Szczecin, 17-09-2010

Egzamin z matematyki

rok I, semestr II

Teoria

Zadanie I.

Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów i jego trzy dowolne własności.

2 pkt.

Obliczyć kąt między wektorami −

→

u = (1, 2, −1), −

→

v = (1, 0,

1
2

).

Zadanie II.

Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w

2 pkt.

punkcie (x

0

, y

0

). Korzystając z definicji obliczyć pochodną

∂f

∂y

(−1, 1), gdzie f (x, y) =

y
x

.

Zadanie III.

Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej

2 pkt.

zmienić kolejność całkowania

π

3

Z

0

dx

sin x

Z

0

f (x, y)dy

Zadanie IV.

Podać ogólną postać równania różniczkowego jednorodnego względem x i y. Sto-

2 pkt.

sując odpowiednie podstawienie sprowadzić je do równania o zmiennych rozdzielonych.

Zadanie V.

Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać

2 pkt.

zbieżność szeregu liczbowego

∞

X

n=1

1

4 + n

2

Zadania

Zadanie 1.

Obliczyć długość łuku krzywej

2 pkt.

y =

1

3

(x − 3)

√

x,

gdzie

x ∈ [0, 1]

Zadanie 2.

Znaleźć rzut punktu A(1, 2, −3) na płaszczyznę Π : 2x − 3y + 5z − 1 = 0

2 pkt.

Zadanie 3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

2 pkt.

z = x

2

+ xy + y

2

− 3 ln x − 3 ln y

Zadanie 4.

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

3 pkt.

z = x

2

+ y

2

,

x

2

+ y

2

= 2x,

x

2

+ y

2

= 2y,

z = 0

Zadanie 5.

Rozwiązać równania różniczkowe

6 pkt.

a. y

(5)

+ 3y

(3)

− 4y

0

= e

x

b. y

00

+ 4y

0

+ 4y = e

−2x

tg

2

x

c. (1 + 3x

2

sin y)dx − xctgydy = 0.

Zadanie 6.

Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-

3 pkt.

wnątrz tego przedziału.

∞

X

n=0

(n + 1)x

n+2

2

n

Zadanie 7.

Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję

2 pkt.

f (x) = 2 −

x

π

,

0 < x < π

1.

R x

α

dx =

x

α+1

α+1

,

α 6= −1

2.

R

1

x

dx = ln |x| + C

3.

R a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

4.

R e

x

dx = e

x

+ C

5.

R sin xdx = − cos x + C

6.

R cos xdx = sin x + C

7.

R

1

cos

2

x

dx = tgx + C

8.

R

1

sin

2

x

dx = −ctgx + C

9.

R

1

a

2

+x

2

dx =

1
a

arctg

x
a

+ C

10.

R

1

√

a

2

−x

2

dx = arcsin

x
a

+ C

11.

R

1

√

x

2

+k

dx = ln |x +

√

x

2

+ k| + C

12.

R sin

n

xdx = −

1

n

sin

n−1

x cos x+

n−1

n

R sin

n−2

xdx

13.

R cos

n

xdx =

1

n

cos

n−1

x sin x+

n−1

n

R cos

n−2

xdx