Szczecin, 28-06-2010
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
Zadanie I.
Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów i jego trzy dowolne własności.
2 pkt.
Obliczyć kąt między wektorami −
→
u = (1, 2, −1), −
→
v = (1, 0,
1
2
).
Zadanie II.
Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
2 pkt.
punkcie (x
0
, y
0
). Korzystając z definicji obliczyć pochodną
∂f
∂y
(−1, 1), gdzie f (x, y) =
y
x
.
Zadanie III.
Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
2 pkt.
zmienić kolejność całkowania
π
3
Z
0
dx
sin x
Z
0
f (x, y)dy
Zadanie IV.
Podać ogólną postać równania różniczkowego jednorodnego względem x i y. Sto-
2 pkt.
sując odpowiednie podstawienie sprowadzić je do równania o zmiennych rozdzielonych.
Zadanie V.
Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać
2 pkt.
zbieżność szeregu liczbowego
∞
X
n=1
1
4 + n
2
Zadania
Zadanie 1.
Obliczyć długość łuku krzywej
2 pkt.
y =
1
3
(x − 3)
√
x,
gdzie
x ∈ [0, 1]
Zadanie 2.
Znaleźć rzut punktu A(1, 2, −3) na płaszczyznę Π : 2x − 3y + 5z − 1 = 0
2 pkt.
Zadanie 3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2 pkt.
z = x
2
+ xy + y
2
− 3 ln x − 3 ln y
Zadanie 4.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
3 pkt.
z = x
2
+ y
2
,
x
2
+ y
2
= 2x,
x
2
+ y
2
= 2y,
z = 0
Zadanie 5.
Rozwiązać równania różniczkowe
6 pkt.
a. y
0
cos x − y sin x = y
4
sin x
b. (1 + 3x
2
sin y)dx − xctgydy = 0
c. y
000
+ y
00
= sin 2x
Zadanie 6.
Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
3 pkt.
wnątrz tego przedziału.
∞
X
n=0
(n + 1)x
n+2
2
n
Zadanie 7.
Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
2 pkt.
f (x) = 2 −
x
π
,
0 < x < π
1.
R x
α
dx =
x
α+1
α+1
,
α 6= −1
2.
R
1
x
dx = ln |x| + C
3.
R a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
4.
R e
x
dx = e
x
+ C
5.
R sin xdx = − cos x + C
6.
R cos xdx = sin x + C
7.
R
1
cos
2
x
dx = tgx + C
8.
R
1
sin
2
x
dx = −ctgx + C
9.
R
1
a
2
+x
2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ C
10.
R
1
√
a
2
−x
2
dx = arcsin
x
a
+ C
11.
R
1
√
x
2
+k
dx = ln |x +
√
x
2
+ k| + C
12.
R sin
n
xdx = −
1
n
sin
n−1
x cos x+
n−1
n
R sin
n−2
xdx
13.
R cos
n
xdx =
1
n
cos
n−1
x sin x+
n−1
n
R cos
n−2
xdx