Szczecin, 08-09-2010

Egzamin poprawkowy z matematyki

rok I, semestr II

Teoria

Zadanie I.

Podać definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów. Obliczyć pole trójkąta o

2 pkt.

wierzchołach A(1, 2, 1), B(2, 3, −3), C(−3, 4, 5) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka

C.

Zadanie II.

Podać definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji

2 pkt.

wykazać, że funkcja

z = x

4

+ y

2

posiada w punkcie (0, 0) minimum.

Zadanie III.

Podać definicję obszaru normalnego względem osi Ox. W podanej całce iterowanej

2 pkt.

zmienić kolejność całkowania

1

Z

−1

dx

√

3−x

2

Z

x2

2

f (x, y)dy

Zadanie IV.

Podać warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Korzystając z tego twierdzenia

2 pkt.

uzasadnić podaną równość:

lim

n→∞

50

n

n!

= 0

Zadanie V.

Podać warunki Dirichleta dla funkcji f na przedziale < −π, −π >. Poprawić

2 pkt.

funkcję

f (x) =



x + 2

dla x ∈< −π, 0 >

2x − 1

dla x ∈ (0, π >

tak, aby spełniała warunki Dirichleta.

Zadania

Zadanie 1.

Obliczyć długość łuku krzywej

3 pkt.

y = ln

e

x

− e

−x

e

x

+ e

−x

,

1 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 2.

Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, −2, 1), B(3, 1, 0)

1 pkt.

oraz równoległej do protej l :

x−1

3

=

y+4

0

=

z
2

.

Zadanie 3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

2 pkt.

z = x

2

y +

2

y

+

1

y

Zadanie 4.

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

3 pkt.

z = 2x

2

+ 2y

2

,

z = x

2

+ y

2

,

x

2

+ y

2

= 1,

x

2

+ y

2

= 4.

Zadanie 5.

Rozwiązać równania różniczkowe

6 pkt.

a. y

(5)

+ 3y

(3)

− 4y

0

= e

x

b. y

00

+ 4y

0

+ 4y = e

−2x

tg

2

x

c. (1 + 3x

2

sin y)dx − xctgydy = 0.

Zadanie 6.

Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-

3 pkt.

wnątrz tego przedziału

∞

X

n=0

2

n

x

n+3

n + 2

.

Zadanie 7.

Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję

2 pkt.

f (x) = 2 −

x

π

,

0 < x < π.

1.

R x

α

dx =

x

α+1

α+1

,

α 6= −1

2.

R

1

x

dx = ln |x| + C

3.

R a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

4.

R e

x

dx = e

x

+ C

5.

R sin xdx = − cos x + C

6.

R cos xdx = sin x + C

7.

R

1

cos

2

x

dx = tgx + C

8.

R

1

sin

2

x

dx = −ctgx + C

9.

R

1

a

2

+x

2

dx =

1
a

arctg

x
a

+ C

10.

R

1

√

a

2

−x

2

dx = arcsin

x
a

+ C

11.

R

1

√

x

2

+k

dx = ln |x +

√

x

2

+ k| + C

12.

R sin

n

xdx = −

1

n

sin

n−1

x cos x+

n−1

n

R sin

n−2

xdx

13.

R cos

n

xdx =

1

n

cos

n−1

x sin x+

n−1

n

R cos

n−2

xdx