Szczecin, 08-09-2010
Egzamin poprawkowy z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
Zadanie I.
Podać definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów. Obliczyć pole trójkąta o
2 pkt.
wierzchołach A(1, 2, 1), B(2, 3, −3), C(−3, 4, 5) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka
C.
Zadanie II.
Podać definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji
2 pkt.
wykazać, że funkcja
z = x
4
+ y
2
posiada w punkcie (0, 0) minimum.
Zadanie III.
Podać definicję obszaru normalnego względem osi Ox. W podanej całce iterowanej
2 pkt.
zmienić kolejność całkowania
1
Z
−1
dx
√
3−x
2
Z
x2
2
f (x, y)dy
Zadanie IV.
Podać warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Korzystając z tego twierdzenia
2 pkt.
uzasadnić podaną równość:
lim
n→∞
50
n
n!
= 0
Zadanie V.
Podać warunki Dirichleta dla funkcji f na przedziale < −π, −π >. Poprawić
2 pkt.
funkcję
f (x) =
x + 2
dla x ∈< −π, 0 >
2x − 1
dla x ∈ (0, π >
tak, aby spełniała warunki Dirichleta.
Zadania
Zadanie 1.
Obliczyć długość łuku krzywej
3 pkt.
y = ln
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
,
1 ≤ x ≤ 2.
Zadanie 2.
Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, −2, 1), B(3, 1, 0)
1 pkt.
oraz równoległej do protej l :
x−1
3
=
y+4
0
=
z
2
.
Zadanie 3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2 pkt.
z = x
2
y +
2
y
+
1
y
Zadanie 4.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
3 pkt.
z = 2x
2
+ 2y
2
,
z = x
2
+ y
2
,
x
2
+ y
2
= 1,
x
2
+ y
2
= 4.
Zadanie 5.
Rozwiązać równania różniczkowe
6 pkt.
a. y
(5)
+ 3y
(3)
− 4y
0
= e
x
b. y
00
+ 4y
0
+ 4y = e
−2x
tg
2
x
c. (1 + 3x
2
sin y)dx − xctgydy = 0.
Zadanie 6.
Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
3 pkt.
wnątrz tego przedziału
∞
X
n=0
2
n
x
n+3
n + 2
.
Zadanie 7.
Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję
2 pkt.
f (x) = 2 −
x
π
,
0 < x < π.
1.
R x
α
dx =
x
α+1
α+1
,
α 6= −1
2.
R
1
x
dx = ln |x| + C
3.
R a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
4.
R e
x
dx = e
x
+ C
5.
R sin xdx = − cos x + C
6.
R cos xdx = sin x + C
7.
R
1
cos
2
x
dx = tgx + C
8.
R
1
sin
2
x
dx = −ctgx + C
9.
R
1
a
2
+x
2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ C
10.
R
1
√
a
2
−x
2
dx = arcsin
x
a
+ C
11.
R
1
√
x
2
+k
dx = ln |x +
√
x
2
+ k| + C
12.
R sin
n
xdx = −
1
n
sin
n−1
x cos x+
n−1
n
R sin
n−2
xdx
13.
R cos
n
xdx =
1
n
cos
n−1
x sin x+
n−1
n
R cos
n−2
xdx