Szczecin, 27-06-2007

Egzamin z matematyki

rok I, semestr II

Teoria

Zadanie I.

Poda_ definicjê maksimum funkcji dwóch zmiennych. Korzystajźc z definicji wyka-

2 pkt.

za_, 'e funkcja

z = −x

4

− y

2

Posiada w punkcie (0, 0) maksimum.

Zadanie II.

Poda_ definicjê pochodnej czźstkowej pierwszego rzêdu funkcji f wzglêdem y w

2 pkt.

punkcie (x

0

, y

0

). Korzystajźc z definicji obliczy_ pochodnź

∂f

∂y

(−1, 1), gdzie f (x, y) =

y
x

.

Zadanie III.

Poda_ definicjê jakobianu przeksztașcenia T :



x = φ(u, v)

y = ψ(u, v)

. Korzystajźc z

2 pkt.

definicji obliczy_ jakobian przeksztașcenia

T :



x = uv

y =

u
v

Zadanie IV.

Poda_ kryterium cașkowe zbie'noIJci szeregów. Korzystajźc z tego kryterium

2 pkt.

zbada_ zbie'noIJ_ szeregu liczbowego

∞

X

n=1

1

4 + n

2

Zadanie V.

Poda_ definicjê oryginașu oraz warunek wystarczajźcy istnienia transformaty

2 pkt.

Laplace’a funkcji f (t).

Zadania

Zadanie 1.

Obliczy_ dșugoIJ_ șuku krzywej

1 pkt.

y =

p

1 − x

2

+ arcsin x

Zadanie 2.

Wyznaczy_ ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

2 pkt.

z = x

2

+ xy + y

2

− 3 ln x − 3 ln y

Zadanie 3.

Obliczy_ cașkê podwójnź

3 pkt.

ZZ

D

p

x

2

+ y

2

dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x

2

+ y

2

= 2y, x

2

+ y

2

= 4y.

Zadanie 4.

Rozwiźza_ równania ró'niczkowe

6 pkt.

a. y

0

cos x − y sin x = y

4

sin x

b. (1 + 3x

2

sin y)dx − xctgydy = 0

c. y

000

+ y

00

= sin 2x

Zadanie 5.

Znale§_ przedziaș zbie'noIJci szeregu potêgowego oraz wyznaczy_ jego sumê we-

3 pkt.

wnźtrz tego przedziașu.

∞

X

n=0

(n + 1)x

n+2

2

n

Zadanie 6.

Rozwinź_ w szereg Fouriera wzglêdem cosinusów funkcjê

2 pkt.

f (x) = 2 −

x

π

,

0 < x < π

Zadanie 7.

Korzystajźc z transformacji Laplace’a rozwiźza_ równanie ró'niczkowe z warunkami

3 pkt.

poczźtkowymi

y

000

+ y

0

= e

2t

y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = 0

I. L[1] =

1
s

II. L[t

n

] =

n!

s

n+1

III. L[e

at

] =

1

s−a

IV. L[sin at] =

1

s

2

+a

2

V. L[cos at] =

s

s

2

+a

2

1. L[αf (t) + βf (t)] = αF (s) + βG(s)

2. L[f (αt)] =

1

α

F



s

α



3. L[1(t − t

0

)f (t − t

0

)] = e

−t

0

s

F (s)

4. L[e

s

0

t

f (t)] = F (s − s

0

)

5. L[f

(n)

(t)] = s

n

F (s)−s

n−1

f (0+)−s

n−2

f

0

(0+)−

. . . − sf

(n−2)

(0+) − f

(n−1)

(0+)

6. L[t

n

f (t)] = (−1)

n

F

(n)

(s)

7. L

h

R

t

0

f (τ )dτ

i

=

F (s)

s

8. L

h

f (t)

t

i

=

R

∞

s

F (p)dp