Klasyczny Rachunek Zda

ń

J

ęzyk KRZ

2

J

ęzyk KRZ

DEF. 1 (Słownik). Nast

ępujące znaki tworzą

słownik

j

ęzyka KRZ:

p

1

, p

2

, p

3

, …

(zmienne zdaniowe)

~, ∧, ∨, →, ≡

(spójniki)

), (

(nawiasy).

DEF. 2 (Wyra

żenie).

Wyra

żeniem

j

ęzyka KRZ jest każdy skończony ciąg znaków ze słownika

j

ęzyka KRZ.

Wyra

żenia poprawnie zbudowane („sensowne”) języka KRZ nazywamy

formułami

(zdaniowymi).

3

J

ęzyk KRZ

DEF. 3 (Formuła).

(1)

Ka

żda zmienna zdaniowa jest formułą języka KRZ.

(2)

Je

żeli A, B są formułami języka KRZ, to wyrażenia:

~(A), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B), (A) → (B), (A) ≡ (B)

s

ą także formułami języka KRZ.

(3)

Nie ma innych formuł j

ęzyka KRZ poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami,

które powstaj

ą dzięki zastosowaniu reguły (2).

Dygresja.

Ka

żdy zbiór może zostać scharakteryzowany w dwojaki sposób:

•

ekstensjonalnie poprzez wymienienie wszystkich i tylko tworz

ących go elementów.

lub

•

intensjonalnie poprzez podanie pewnej cechy, która przysługuje wszystkim i tylko tworz

ącym

go elementom.

4

J

ęzyk KRZ

Ekstensjonalna charakterystyka terminu odnosz

ącego się do danego zbioru może być dokonana

na drodze

indukcyjnej

. Najogólniej rzecz bior

ąc, ten sposób definiowania polega na wskazaniu

pewnego zbioru przedmiotów prostych (atomowych, bazowych) oraz podaniu pewnej reguły lub

reguł budowy dalszych przedmiotów, tj. przedmiotów zło

żonych.

Definicja indukcyjna

jest to charakterystyka zbioru (zakresu nazwy lub predykatu) poprzez:

•

wskazanie pewnych elementów bazowych (mo

że to być zbiór skończony lub nieskończony),

•

podanie reguły lub reguł, które zastosowane do przedmiotów b

ędących elementami danego

zbioru jednoznacznie wskazuj

ą kolejne jego elementy,

•

stwierdzenie,

że dany zbiór tworzą tylko wyróżnione elementy bazowe oraz wszystkie te

przedmioty, które mo

żna utworzyć wedle podanych reguł. ■

5

J

ęzyk KRZ

Notacja:

(1) Dla uproszczenia zamiast p

1

b

ędziemy pisać niekiedy po prostu p, zamiast p

2

– q,

zamiast p

3

– r, zamiast p

4

– s. (2) Pojedynczej zmiennej nie bierzemy w nawiasy. Nie dodaje si

ę

nawiasu, gdy umieszcza si

ę znak negacji przed formułą już poprzedzoną znakiem negacji; tj.

zamiast ~(~(A)) pisze si

ę ~~(A). Nie dodaje się nowego nawiasu, dodając nowy człon

koniunkcji (alternatywy) do formuły b

ędącej koniunkcją (alternatywą); tj.

pisze si

ę (A) ∧ (B) ∧ (C) zamiast ((A) ∧ (B)) ∧ (C) i zamiast (A) ∧ ((B) ∧ (C)).

(3) Spójnik ~ wi

ąże najsilniej. Spójniki ∧ i ∨ wiążą silniej niż spójniki → i ≡; np.

zamiast (~(p) ∧ q) → (r ∨ ~(s)) wolno pisa

ć: ~p ∧ q → r ∨ ~s. ■

Przykłady:

Formułami s

ą:

p, ~ p, ~~ p, p ∧ ~q, ~(p → ~q), p ∧ q → ~~p.

Formułami nie s

ą:

p ~ q, p ~ → q, ~p ∧ → q, ∨pq.

■

Notacja:

For = zbiór wszystkich formuł j

ęzyka KRZ.

Napis „A ∈ For” b

ędziemy czytać: A jest formułą języka KRZ. ■

6

J

ęzyk KRZ

DEF. 3 (Podformuła). Dowoln

ą część formuły A, która sama jest formułą nazywamy

podformuł

ą

formuły A. Do podformuł formuły A zaliczamy te

ż samo A.

Przykład:

Podformułami formuły p → ~(q ∧ ~r) s

ą:

p, q, r, ~r, q ∧ ~r, ~(q ∧ ~r), p → ~(q ∧ ~r).

■

Budow

ę każdej formuły można zilustrować za pomocą grafu będącego drzewem:

7

J

ęzyk KRZ

(p → q) ∧ (~p → q) → q

→

(p → q) ∧ (~p → q) q

∧

q

p → q ~p → q

→

→

p q ~p q

p q ~

q

p

p

8

J

ęzyk KRZ

Formuły j

ęzyka KRZ są schematami zdań jakiegoś języka etnicznego. Każda formuła jest

schematem niesko

ńczonej klasy zdań. Aby zbudować schemat zdania:

Je

żeli wypowiedziałeś alternatywę, to o ile jeden jej składnik nie jest fałszywy, to

wypowiedziałe

ś zdanie prawdziwe

post

ępujemy następująco:

•

zdania proste zast

ępujemy zmiennymi zdaniowymi:

Wypowiedziałe

ś alternatywę

– p,

Jeden jej składnik jest fałszywy

– q,

Wypowiedziałe

ś zdanie prawdziwe

– r.

•

spójniki zast

ępujemy ich symbolami

•

i otrzymujemy: p → (~q → r).

9

J

ęzyk KRZ

Analogicznie budujemy schemat zdania:

Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest fałszywy lub nast

ępnik

jest prawdziwy.

•

Zdania proste zast

ępujemy zmiennymi zdaniowymi:

Implikacja jest prawdziwa

– p,

Jej poprzednik jest fałszywy

– q,

Jej nast

ępnik jest prawdziwy

– r.

•

Spójniki zast

ępujemy ich symbolami

•

i otrzymujemy: p ≡ q ∨ r

(spójnikiem głównym jest w nim znak ≡, gdy

ż – zgodnie z umową – spójnik alternatywy wiąże

silniej ni

ż spójnik równoważności).

10

J

ęzyk KRZ

Schematem zdania:

Je

żeli mówisz nieprawdę, ale czynisz to nieświadomie, to nie kłamiesz

jest:

p ∧ q → ~r

(spójnikiem głównym jest implikacja).

Schematem zdania:

Nie potrafisz kontrolowa

ć swoich rozumowań wtw nie znasz zasad logiki

jest:

~p ≡ ~q.

Schematem zdania:

Je

żeli wygrasz ten proces, to otrzymasz znaczny spadek, a jeśli go przegrasz, to będziesz

musiał opłaci

ć znaczne koszta sądowe.

jest:

(p → q) ∧ (r → s).

11

J

ęzyk KRZ

Amfibolia

to wyra

żenie wieloznaczne na skutek swojej niedookreślonej struktury składniowej.

W klasyfikacji Arystotelesa jest ona bł

ędem logicznym mającym swe źródło w mowie.

Schematem zdania:

Skłami

ę lub powiem prawdę i zostanę ukarany

jest :

(p ∨ q) ∧ r

b

ądź

p ∨ (q ∧ r).

12

Symbolika beznawiasowa (notacja polska)

Dygresja:

Nawiasy w zapisie formuł nie s

ą konieczne. Można je w ogóle wyeliminować.

Za J. Łukasiewiczem u

żywa się następujących symboli:

N zamiast ~

C zamiast →

K zamiast

∧

A zamiast

∨

E zamiast ≡.

Tak wi

ęc, piszemy:

Np zamiast ~p

Cpq zamiast p → q

Kpq zamiast p

∧ q

Apq zamiast p

∨ q

Epq zamiast p ≡ q.

13

Symbolika beznawiasowa (notacja polska)

Przykłady:

Formule: p

∨ ~p

odpowiada: ApNp;

~(p

∧ ~p)

NKpNp;

p → (~p → q)

CpCNpq;

[(p → q)

∧ ~q] → ~p

CKCpqNqNp;

[p

∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

EKpAqrAKpqKpr.

■