Klasyczny Rachunek Zda
ń
J
ęzyk KRZ
Klasyczny Rachunek Zda
ń
J
ęzyk KRZ
2
J
ęzyk KRZ
DEF. 1 (Słownik). Nast
ępujące znaki tworzą
słownik
j
ęzyka KRZ:
p
1
, p
2
, p
3
, …
(zmienne zdaniowe)
~, ∧, ∨, →, ≡
(spójniki)
), (
(nawiasy).
DEF. 2 (Wyra
żenie).
Wyra
żeniem
j
ęzyka KRZ jest każdy skończony ciąg znaków ze słownika
j
ęzyka KRZ.
Wyra
żenia poprawnie zbudowane („sensowne”) języka KRZ nazywamy
formułami
(zdaniowymi).
3
J
ęzyk KRZ
DEF. 3 (Formuła).
(1)
Ka
żda zmienna zdaniowa jest formułą języka KRZ.
(2)
Je
żeli A, B są formułami języka KRZ, to wyrażenia:
~(A), (A) ∧ (B), (A) ∨ (B), (A) → (B), (A) ≡ (B)
s
ą także formułami języka KRZ.
(3)
Nie ma innych formuł j
ęzyka KRZ poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami,
które powstaj
ą dzięki zastosowaniu reguły (2).
Dygresja.
Ka
żdy zbiór może zostać scharakteryzowany w dwojaki sposób:
•
ekstensjonalnie poprzez wymienienie wszystkich i tylko tworz
ących go elementów.
lub
•
intensjonalnie poprzez podanie pewnej cechy, która przysługuje wszystkim i tylko tworz
ącym
go elementom.
4
J
ęzyk KRZ
Ekstensjonalna charakterystyka terminu odnosz
ącego się do danego zbioru może być dokonana
na drodze
indukcyjnej
. Najogólniej rzecz bior
ąc, ten sposób definiowania polega na wskazaniu
pewnego zbioru przedmiotów prostych (atomowych, bazowych) oraz podaniu pewnej reguły lub
reguł budowy dalszych przedmiotów, tj. przedmiotów zło
żonych.
Definicja indukcyjna
jest to charakterystyka zbioru (zakresu nazwy lub predykatu) poprzez:
•
wskazanie pewnych elementów bazowych (mo
że to być zbiór skończony lub nieskończony),
•
podanie reguły lub reguł, które zastosowane do przedmiotów b
ędących elementami danego
zbioru jednoznacznie wskazuj
ą kolejne jego elementy,
•
stwierdzenie,
że dany zbiór tworzą tylko wyróżnione elementy bazowe oraz wszystkie te
przedmioty, które mo
żna utworzyć wedle podanych reguł. ■
5
J
ęzyk KRZ
Notacja:
(1) Dla uproszczenia zamiast p
1
b
ędziemy pisać niekiedy po prostu p, zamiast p
2
– q,
zamiast p
3
– r, zamiast p
4
– s. (2) Pojedynczej zmiennej nie bierzemy w nawiasy. Nie dodaje si
ę
nawiasu, gdy umieszcza si
ę znak negacji przed formułą już poprzedzoną znakiem negacji; tj.
zamiast ~(~(A)) pisze si
ę ~~(A). Nie dodaje się nowego nawiasu, dodając nowy człon
koniunkcji (alternatywy) do formuły b
ędącej koniunkcją (alternatywą); tj.
pisze si
ę (A) ∧ (B) ∧ (C) zamiast ((A) ∧ (B)) ∧ (C) i zamiast (A) ∧ ((B) ∧ (C)).
(3) Spójnik ~ wi
ąże najsilniej. Spójniki ∧ i ∨ wiążą silniej niż spójniki → i ≡; np.
zamiast (~(p) ∧ q) → (r ∨ ~(s)) wolno pisa
ć: ~p ∧ q → r ∨ ~s. ■
Przykłady:
Formułami s
ą:
p, ~ p, ~~ p, p ∧ ~q, ~(p → ~q), p ∧ q → ~~p.
Formułami nie s
ą:
p ~ q, p ~ → q, ~p ∧ → q, ∨pq.
■
Notacja:
For = zbiór wszystkich formuł j
ęzyka KRZ.
Napis „A ∈ For” b
ędziemy czytać: A jest formułą języka KRZ. ■
6
J
ęzyk KRZ
DEF. 3 (Podformuła). Dowoln
ą część formuły A, która sama jest formułą nazywamy
podformuł
ą
formuły A. Do podformuł formuły A zaliczamy te
ż samo A.
Przykład:
Podformułami formuły p → ~(q ∧ ~r) s
ą:
p, q, r, ~r, q ∧ ~r, ~(q ∧ ~r), p → ~(q ∧ ~r).
■
Budow
ę każdej formuły można zilustrować za pomocą grafu będącego drzewem:
7
J
ęzyk KRZ
(p → q) ∧ (~p → q) → q
→
(p → q) ∧ (~p → q) q
∧
q
p → q ~p → q
→
→
p q ~p q
p q ~
q
p
p
8
J
ęzyk KRZ
Formuły j
ęzyka KRZ są schematami zdań jakiegoś języka etnicznego. Każda formuła jest
schematem niesko
ńczonej klasy zdań. Aby zbudować schemat zdania:
Je
żeli wypowiedziałeś alternatywę, to o ile jeden jej składnik nie jest fałszywy, to
wypowiedziałe
ś zdanie prawdziwe
post
ępujemy następująco:
•
zdania proste zast
ępujemy zmiennymi zdaniowymi:
Wypowiedziałe
ś alternatywę
– p,
Jeden jej składnik jest fałszywy
– q,
Wypowiedziałe
ś zdanie prawdziwe
– r.
•
spójniki zast
ępujemy ich symbolami
•
i otrzymujemy: p → (~q → r).
9
J
ęzyk KRZ
Analogicznie budujemy schemat zdania:
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest fałszywy lub nast
ępnik
jest prawdziwy.
•
Zdania proste zast
ępujemy zmiennymi zdaniowymi:
Implikacja jest prawdziwa
– p,
Jej poprzednik jest fałszywy
– q,
Jej nast
ępnik jest prawdziwy
– r.
•
Spójniki zast
ępujemy ich symbolami
•
i otrzymujemy: p ≡ q ∨ r
(spójnikiem głównym jest w nim znak ≡, gdy
ż – zgodnie z umową – spójnik alternatywy wiąże
silniej ni
ż spójnik równoważności).
10
J
ęzyk KRZ
Schematem zdania:
Je
żeli mówisz nieprawdę, ale czynisz to nieświadomie, to nie kłamiesz
jest:
p ∧ q → ~r
(spójnikiem głównym jest implikacja).
Schematem zdania:
Nie potrafisz kontrolowa
ć swoich rozumowań wtw nie znasz zasad logiki
jest:
~p ≡ ~q.
Schematem zdania:
Je
żeli wygrasz ten proces, to otrzymasz znaczny spadek, a jeśli go przegrasz, to będziesz
musiał opłaci
ć znaczne koszta sądowe.
jest:
(p → q) ∧ (r → s).
11
J
ęzyk KRZ
Amfibolia
to wyra
żenie wieloznaczne na skutek swojej niedookreślonej struktury składniowej.
W klasyfikacji Arystotelesa jest ona bł
ędem logicznym mającym swe źródło w mowie.
Schematem zdania:
Skłami
ę lub powiem prawdę i zostanę ukarany
jest :
(p ∨ q) ∧ r
b
ądź
p ∨ (q ∧ r).
12
Symbolika beznawiasowa (notacja polska)
Dygresja:
Nawiasy w zapisie formuł nie s
ą konieczne. Można je w ogóle wyeliminować.
Za J. Łukasiewiczem u
żywa się następujących symboli:
N zamiast ~
C zamiast →
K zamiast
∧
A zamiast
∨
E zamiast ≡.
Tak wi
ęc, piszemy:
Np zamiast ~p
Cpq zamiast p → q
Kpq zamiast p
∧ q
Apq zamiast p
∨ q
Epq zamiast p ≡ q.
13
Symbolika beznawiasowa (notacja polska)
Przykłady:
Formule: p
∨ ~p
odpowiada: ApNp;
~(p
∧ ~p)
NKpNp;
p → (~p → q)
CpCNpq;
[(p → q)
∧ ~q] → ~p
CKCpqNqNp;
[p
∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
EKpAqrAKpqKpr.
■