∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

⋅

=

=

n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

n

1

x

x

n

x

x

x

na

arytmetycz

n

n

1

i

i

n

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

x

x

x

x

x

na

geometrycz

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

=

=

=

~

~

~

Rozstęp
R = x

max

- x

min

Środek rozstępu
x

R

= (x

max

+ x

min

)/2

Dominanta d (wartość występująca najczęściej –

o ile jest taka)

Mediana

• dane uporządkowane (rosnąco lub malejąco)
• nieparzysta liczba wyników: M=x

(n+1)/2

• parzysta liczba wyników: M=(x

n/2

+x

(n+2)/2

)/2

POMIAR – ilościowe wyrażenie obserwacji poprzez

liczbę, niepewność i jednostkę

Każdy pomiar może być wykonany tylko

z ograniczoną dokładnością (precyzją)

Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub

oszacowaniem wartości wielkości mierzonej

ZAWSZE

WYNIK KOŃCOWY

±

NIEPEWNOŚĆ (jednostka)

BŁĄD

≠

NIEPEWNOŚĆ

Błąd

= wartość zmierzona -

wartość rzeczywista

Niepewność

– parametr (wartość liczbowa) pokazujący

rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej
arytmetycznej wszystkich wyników

Międzynarodowa Norma przyjmuje jako niepewność pomiaru
wielkość nazywaną NIEPEWNOŚCIĄ STANDARDOWĄ, a
określoną jako pierwiastek kwadratowy z estymatora
wariancji. Jako symbol niepewności standardowej przyjęto u
lub u(x)

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do

rzeczywistej wartości mierzonej wielkości

∆

x/x

µ

Błąd bezwzględny pomiaru,

∆

x, jest to różnica między

rzeczywistą wartością x

µ

mierzonej wielkości a wartością

x

śr.

uzyskaną z pomiaru

∆

x=x

µ

-x

śr.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną. Informuje

jaką częścią rzeczywistej wartości jest błąd, który obciąża

wynik pomiaru.

Posługując się błędem względnym można porównywać

dokładność (precyzję) pomiarów zupełnie różnych

wielkości

Błąd bezwzględny ma miano wielkości mierzonej
i wyrażony jest w jej jednostkach. Informuje o ile
prawdziwa wartość mierzonej wielkości może się różnić
od wyniku pomiaru

Błędy przypadkowe

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem )

x

m

– wartość prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem
wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej.

Źródłem błędów

przypadkowych są tzw. oddziaływania przypadkowe:
-niedokładność odczytu,
-fluktuacja warunków pomiaru
-obecność źródeł zakłócających
-nieokreśloność mierzonej wielkości
-niedoskonałość zmysłów obserwatora

Błąd przypadkowy powstaje na skutek działania

czynników losowych

Jest miarą rozrzutu

otrzymywanych wyników wokół

wartości najbardziej prawdopodobnej (średniej)

Błędu przypadkowego

nie da się wyeliminować

a także

nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiaru

Należy zaplanować i przeprowadzić pomiar tak, by
wartość błędu przypadkowego była jak najmniejsza

Po zakończeniu pomiaru należy dokonać oceny wielkości
błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych

Błędy systematyczne

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem )

x

µ

– wartość prawdziwa

Błąd systematyczny

- przy powtarzaniu pomiaru występuje ta

sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością
rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych
pomiarów jest mały. Błędy te są powodowane
oddziaływaniami systematycznymi:

-niedoskonałość przyrządów pomiarowych
-błędne wyzerowanie lub wywzorcowanie (wyskalowanie)
-nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków wywzorcowania

Błędy grube

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem )

x

µ

– wartość prawdziwa

błąd gruby

Błąd gruby - wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki

,

niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia
układu pomiarowego. Objawia się istnieniem jednego
wyniku znacząco odstającego od pozostałych,
uzyskanych w danej serii pomiarów

Wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj
łatwo zauważalny i należy go odrzucić.

Dokładność pomiaru

dokładność wyniku pojedynczego oznaczenia – jest to
tzw. całkowity błąd bezwzględny

∆

x, stanowiący

różnicę pomiędzy otrzymaną wartością x

i

a wartością

prawdziwą (wartością oczekiwaną)

µ

x

.

Na wielkość

∆

x może składać się szereg błędów:

 błąd systematyczny metody

∆

x

syst

(spowodowany

czynnikiem działającym w jednakowy sposób w czasie
wielokrotnego pomiaru tej samej wielkości),

 błąd przypadkowy

∆

x

j

 błąd gruby

δ

X

δx

Δx

Δx

μ

x

Δx

j

syst

x

j

+

+

=

−

=

Typy oceny niepewności

Typ A

Wykorzystuje statystyczną analizę serii pomiarów:

• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru

• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i

źródłach jego niepewności

• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa

• dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku

pomiaru

Metoda typu A szacowania niepewności opiera się na
obliczeniach statystycznych (statystyczna analiza serii
pomiarów – n

≥

4)

1. Wykonać serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną jest

średnia arytmetyczna

3. Niepewność standardowa pojedynczego

pomiaru u(x) (tzw. odchylenie standardowe
pojedynczego pomiaru S

x

)

n

x

x

n

1

i

i

∑

=

=

(

)

∑

=

−

−

=

=

n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

u(x)

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU A

Niepewność wyniku = niepewność wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

( )

(

)

(

)

1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x

−

−

=

=

=

∑

=

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Ocena niepewności metodą typu B dotyczy określania

Ocena niepewności metodą typu B dotyczy określania

niepewności pomiaru nie na podstawie serii wyników

niepewności pomiaru nie na podstawie serii wyników

W metodzie tej niepewność standardową określa się na

W metodzie tej niepewność standardową określa się na

podstawie rozkładu prawdopodobieństwa możliwych

podstawie rozkładu prawdopodobieństwa możliwych

wyników pomiarów znanego, bądź założonego przez

wyników pomiarów znanego, bądź założonego przez

eksperymentatora.

eksperymentatora.

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:
-

Specyfikacja dostarczona przez producenta przyrządu

Specyfikacja dostarczona przez producenta przyrządu

-

Wcześniejsze dane pomiarowe

Wcześniejsze dane pomiarowe

-

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach

określonych materiałów i instrumentów

określonych materiałów i instrumentów
-

Niepewności przypisane danym pochodzącym z

Niepewności przypisane danym pochodzącym z

podręczników

podręczników

Najczęstszym przykładem oceny niepewności metodą

Najczęstszym przykładem oceny niepewności metodą

typu B jest wyznaczenie niepewności wynikającej z

typu B jest wyznaczenie niepewności wynikającej z

dokładności przyrządu (niepewności wzorcowania).

dokładności przyrządu (niepewności wzorcowania).