























n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

n

1

x

x

n

x

x

x

na

arytmetycz

n

n

1

i

i

n

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

x

x

x

x

x

na

geometrycz























~

~

~

Rozstęp
R = x

max

- x

min

Środek rozstępu
x

R

= (x

max

+ x

min

)/2

Dominanta d (wartość występująca

najczęściej – o ile jest taka)

Mediana

• dane uporządkowane (rosnąco lub malejąco)
• nieparzysta liczba wyników: M=x

(n+1)/2

• parzysta liczba wyników: M=(x

n/2

+x

(n+2)/2

)/2

POMIAR – ilościowe wyrażenie obserwacji

poprzez liczbę, niepewność i jednostkę

Każdy pomiar może być wykonany tylko

z ograniczoną dokładnością (precyzją)

Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub

oszacowaniem wartości wielkości

mierzonej

ZAWSZE

WYNIK KOŃCOWY  NIEPEWNOŚĆ

(jednostka)

BŁĄD  NIEPEWNOŚĆ

Błąd

= wartość zmierzona -

wartość rzeczywista

Niepewność

– parametr (wartość liczbowa)

pokazujący rozrzut wyników pomiarów wokół
wartości średniej arytmetycznej wszystkich
wyników

Międzynarodowa Norma przyjmuje jako niepewność
pomiaru wielkość nazywaną NIEPEWNOŚCIĄ
STANDARDOWĄ, a określoną jako pierwiastek
kwadratowy z estymatora wariancji. Jako symbol
niepewności standardowej przyjęto u lub u(x)

Błąd względny to stosunek błędu

bezwzględnego do rzeczywistej wartości

mierzonej wielkości

x/x



Błąd bezwzględny pomiaru, x, jest to różnica

między rzeczywistą wartością x



mierzonej

wielkości a wartością x

śr.

uzyskaną z pomiaru

x=x



-x

śr.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną.

Informuje jaką częścią rzeczywistej wartości jest

błąd, który obciąża wynik pomiaru.

Posługując się błędem względnym można

porównywać dokładność (precyzję) pomiarów

zupełnie różnych wielkości

Błąd bezwzględny ma miano wielkości mierzonej

i wyrażony jest w jej jednostkach. Informuje o ile
prawdziwa wartość mierzonej wielkości może się
różnić od wyniku pomiaru

Błędy przypadkowe

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem
)

x

m

– wartość

prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym
odchyleniem wyniku pomiaru od wartości
rzeczywistej.

Źródłem błędów

przypadkowych są

tzw. oddziaływania przypadkowe:

-niedokładność odczytu,

-fluktuacja warunków pomiaru

-obecność źródeł zakłócających

-nieokreśloność mierzonej wielkości

-niedoskonałość zmysłów obserwatora

Błąd przypadkowy powstaje na skutek działania

czynników losowych

Jest miarą rozrzutu

otrzymywanych wyników

wokół wartości najbardziej prawdopodobnej
(średniej)

Błędu przypadkowego

nie da się wyeliminować

a

także nie da się go oszacować przed dokonaniem
pomiaru

Należy zaplanować i przeprowadzić pomiar tak,
by wartość błędu przypadkowego była jak
najmniejsza

Po zakończeniu pomiaru należy dokonać oceny
wielkości błędu losowego przy użyciu narzędzi
statystycznych

Błędy systematyczne

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem
)

x



– wartość

prawdziwa

Błąd systematyczny

- przy powtarzaniu pomiaru

występuje ta sama różnica między wartościami
zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast
rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest
mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami
systematycznymi:

-niedoskonałość przyrządów pomiarowych
-błędne wyzerowanie lub wywzorcowanie (wyskalowanie)
-nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków wywzorcowania

Błędy grube

x

i

– wyniki pomiarów

(oznaczone symbolem
)

x



– wartość

prawdziwa

błąd gruby

Błąd gruby - wynika z niedbałości lub ewidentnej
pomyłki

, niesprawności sprzętu albo

nieoczekiwanego zaburzenia układu
pomiarowego. Objawia się istnieniem jednego
wyniku znacząco odstającego od pozostałych,
uzyskanych w danej serii pomiarów

Wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest
zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go
odrzucić.

Dokładność pomiaru

dokładność wyniku pojedynczego oznaczenia
– jest to tzw. całkowity błąd bezwzględny x,

stanowiący różnicę pomiędzy otrzymaną
wartością x

i

a wartością prawdziwą

(wartością oczekiwaną) 

x

.

Na wielkość x może składać się szereg

błędów:

 błąd systematyczny metody x

syst

(spowodowany czynnikiem działającym w
jednakowy sposób w czasie wielokrotnego
pomiaru tej samej wielkości),

 błąd przypadkowy x

j

 błąd gruby X

δx

Δx

Δx

μ

x

Δx

j

syst

x

j











Typy oceny niepewności

Typ A

Wykorzystuje statystyczną analizę serii

pomiarów:

• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń

pomiaru

• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie

eksperymentatora wykorzystującym wszystkie

informacje o pomiarze i źródłach jego

niepewności

• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest

możliwa

• dla błędu systematycznego lub dla jednego

wyniku pomiaru

Metoda typu A szacowania niepewności opiera
się na obliczeniach statystycznych (statystyczna
analiza serii pomiarów – n  4)

1. Wykonać serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną

jest średnia arytmetyczna

3. Niepewność standardowa pojedynczego

pomiaru u(x) (tzw. odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru S

x

)

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

u(x)

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ

TYPU A

Niepewność wyniku = niepewność wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ

TYPU B

Ocena niepewności metodą typu B dotyczy

Ocena niepewności metodą typu B dotyczy

określania niepewności pomiaru nie na

określania niepewności pomiaru nie na

podstawie serii wyników

podstawie serii wyników

W metodzie tej niepewność standardową

W metodzie tej niepewność standardową

określa się na podstawie rozkładu

określa się na podstawie rozkładu

prawdopodobieństwa możliwych wyników

prawdopodobieństwa możliwych wyników

pomiarów znanego, bądź założonego przez

pomiarów znanego, bądź założonego przez

eksperymentatora.

eksperymentatora.

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

-

Specyfikacja dostarczona przez producenta

Specyfikacja dostarczona przez producenta

przyrządu

przyrządu

-

Wcześniejsze dane pomiarowe

Wcześniejsze dane pomiarowe

-

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach

określonych materiałów i instrumentów

określonych materiałów i instrumentów

-

Niepewności przypisane danym pochodzącym z

Niepewności przypisane danym pochodzącym z

podręczników

podręczników

Najczęstszym przykładem oceny niepewności

Najczęstszym przykładem oceny niepewności

metodą typu B jest wyznaczenie niepewności

metodą typu B jest wyznaczenie niepewności

wynikającej z dokładności przyrządu

wynikającej z dokładności przyrządu

(niepewności wzorcowania).

(niepewności wzorcowania).