Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Cz¸

e´

s´

c zadaniowa

Zad.Z1. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dane jest pole wektorowe ~

F (x, y, z) = [3 cos x e

y

, 3 sin x e

y

− 2z sin y, 2 cos y − 3z

2

]. Sprawdzi´c, czy pole to jest

potencjalne. Je˙zeli tak, wyznaczy´c potencja l tego pola. Obliczy´c

R

L

~

F ◦ d~r, gdzie krzywa L ma parametryzacj¸e

x(t) = sin 2t, y(t) = sin 3t, z(t) = t, t ∈ [0,

π

2

].

Zad.Z2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c mas¸e luku L : {x(t) = e

t

, y(t) = e

t

, z(t) = t, t ∈ [0, 1]}, je˙zeli ρ(x, y, z) = xy.

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Dany jest szereg pot¸egowy

∞

P

n

=0

(−1)

n

(3x−6)

n

3

√

n

+1

.

Wyznaczy´c promie´

n zbie˙zno´sci, przedzia l zbie˙zno´sci, zbada´c

zbie˙zno´s´c (i okre´sli´c jej rodzaj) w prawym kra´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci.

Zad.Z4. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dana jest funkcja f (x) =

1

x

2

+6x+18

. Rozwin¸a´c funkcje f (x) i f

′

(x) w szereg Taylora w otoczeniu x

0

= −3.

Obliczy´c f

(46)

(−3).

Zad.Z5. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dana jest g¸esto´s´c prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej X:

f (x) =







|x − 1| x ∈ [0, 2]

0

x /

∈ [0, 2]

.

Obliczy´c P (1 − X

2

≥ 0). Wyznaczy´c dystrybuant¸e zmiennej losowej X oraz narysowa´c jej wykres. Obliczy´c

EX, D

2

X oraz D

2

(5X + 1).