Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr

seria 6

1. Obliczy´

c wyznaczniki nast

,

epuj

,

acych macierzy stopnia n:

A =









1 2 2 ... 2 2
2 2 2 ... 2 2
2 2 3 ... 2 2

.

.

.

.

.

.

2 2 2 ... 2 n









B =









x

a

a

...

a

a

−a

x

a

...

a

a

−a −a

x

...

a

a

.

.

.

.

.

.

−a −a −a ... −a x









C =









x y

0 ... 0

0

0 x y ... 0

0

.

.

.

.

.

.

0

0 0 ... x y

y

0 0 ... 0 x









D =









1

2

3 ... n − 1 n

−1

x

0 ...

0

0

0 −1 x ...

0

0

.

.

.

.

.

.

0

0

0 ...

−1

x









E =









1

2

3 ... n

−1

0

3 ... n

−1 −2

0 ... n

.

.

.

.

.

−1 −2 −3 ... 0









2. Wykaza´

c, ˙ze je´sli A, B s

,

a macierzami stopnia 2 ze wsp´

o lczynnikami w ciele K, to

det(A · B) = (det A)(det B).

3. Wyznaczy´

c macierze odwrotne do macierzy (o ile jest to mo˙zliwe)

A =

 2 3

3 3



, B =



sin α

− cos α

cos α

sin α



, C =





−1 −2 −1

2

1

−1

1

1

1





, D =







0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0







,

E =









1 1 1 1 ... 1
0 1 1 1 ... 1
0 0 1 1 ... 1

.

.

.

.

.

.

0 0 0 0 ... 1









, F =









1 2 3 4 ...

n

0 1 2 3 ... n − 1
0 0 1 2 ... n − 2

.

.

.

.

.

.

0 0 0 0 ...

1









4. Rozwi

,

aza´

c r´

ownania macierzowe:





2 1 0
3 1 2
1 0 1





· X = B

dla danej macierzy B:

a) B =





1 2
0 3
1 1





,

b) B =





1 2 2 0
3 5 2 1
0 3 6 1





5. Rozwi

,

aza´

c uk lady r´

owna´

n:

a)







x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 2

2x

1

+ x

2

+ 3x

3

= 0

3x

2

− x

2

+ 5x

3

= −3

b)















3x

1

+ x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 3

3x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= 0

6x

1

+ 5x

2

+ x

3

+ 5x

4

= −2

3x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 7x

4

= −2

6. Wyznaczy´

c rz

,

edy macierzy:

a) A =





2 2 4 2
1 1 1 2
3 3 5 4





,

b) B =







1 1 1 1 1
0 1 2 0 1
1 3 1 2 1
0 1 2 1 2







1

7. Wyznaczy´

c rz

,

ad macierzy w zale˙zno´sci od paramatru t:

a) A =





t + 2

3

6

3

2

t + 1

4

2

1

1

t + 1 1





,

b) B =







t − 1

2

1

2

t + 1

2

−1

−2

t − 4

1

2

1







,

c) C =





t + 2

−2

t + 2 −3 2

2

t − 3 t + 2 −3 2

2

−2

t + 2 −3 2





8. Rozwi

,

aza´

c uk lady jednorodne i znale´

z´

c bazy przestrzeni rozwi

,

aza´

n:

a)







x

1

+ x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 0

3x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= 0

6x

1

+ 5x

2

+ x

3

+ 5x

4

= 0

b)















x

1

+ 2x

2

− x

3

− x

4

= 0

2x

1

− 3x

2

+ x

3

− 2x

4

= 0

3x

1

+ x

2

+ 2x

3

− x

4

= 0

x

1

+ 4x

2

+ x

3

+ x

4

= 0

9. Przedyskutowa´

c rozwi

,

azalno´s´

c uk ladu w zale˙zno´sci od parametru t:

a)







tx

1

+ x

2

+ x

3

= 1

x

1

+ tx

2

+ x

3

= t

x

1

+ x

2

+ tx

3

= t

2

b)







tx

1

− 32x

2

+ 5x

3

+ 7x

4

= 1

4x

1

− 6x

2

+ tx

3

+ 3x

4

= t

2x

1

− 3x

2

− 11x

3

− 15x

4

= t − 1

10. Dla macierzy kwadratowej A = [a

ij

] (stopnia n, o wsp´

o lczynnikach w ciele K) okre´slamy jej

´

slad tr A r´

owno´sci

,

a:

tr A = a

11

+ a

22

+ · · · + a

nn

.

a) Wyznaczy´

c wszystkie takie macierze A stopnia n, ˙ze tr AX = 0 dla ka˙zdej macierzy X

stopnia n;

b) Wykaza´

c, ˙ze tr AB = tr BA dla dowolnych macierzy A, B stopnia n;

c) Wykaza´

c, ˙ze je´sli C jest macierz

,

a nieosobliw

,

a, to dla dowolnej macierzy A tego samego

stopnia tr CAC

−1

= tr A;

d) Dla jakich warto´sci λ r´

ownanie macierzowe XY − Y X = λI ma rozwi

,

azanie? (I oznacza

macierz jednostkow

,

a stopnia n.)