ZASTOSOWANIE POCHODEJ I BADANIE FUNKCJI
Zad. 1. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej w podanym punkcie:
1.
( )
(
)
( )
(
)
0
,
0
,
ln
2
f
e
x
x
f
+
=
2.
( )
( )
(
)
e
f
e
x
x
x
f
,
,
ln
=
3.
2
,
2
0
=
=
x
xe
y
x
Zad. 2.Stosując różniczkę funkcji jednej zmiennej obliczyć wartość przybliżoną wyrażeń:
1.
3
02
,
1
2.
11
log
3.
( )
( )
1
95
,
0
1
95
,
0
2
2
+
−
.
Zad. 3. Stosując twierdzenie de L’Hospitala obliczyć granice funkcji:
1.
x
e
x
x
2
sin
1
lim
0
−
→
2.
tgx
x
x
x
x
−
−
→
sin
lim
0
3.
−
−
→
x
x
x
x
ln
1
ln
lim
1
4.
(
)
2
tg
1
lim
1
x
x
x
π
−
→
5.
(
)
(
)
2
2
0
sin
cos
ln
lim
x
x
x
→
6.
+
∞
→
x
x
x
1
sin
1
ln
lim
7.
(
)
tgx
x
x
sin
lim
2
−
→
π
8.
2
1
1
lim
x
x
x
∞
→
9.
(
)
−
−
−
∞
→
x
e
x
x
x
2
1
2
lim
Zad. 4. Wyznaczyć asymptoty funkcji:
1.
x
x
y
ln
=
2.
+
=
x
e
x
y
1
ln
3.
1
2
+
+
=
x
x
y
Zad. 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji oraz zbadać jej monotoniczność:
1.
(
)
x
x
x
x
x
y
4
2
3
ln
2
2
2
+
−
−
=
2.
14
36
15
2
2
3
−
+
−
=
x
x
x
y
3.
3
7
3
1
7
1
x
x
y
−
=
4.
(
)
x
x
y
+
−
=
1
ln
5.
(
)
2
1
ln
x
x
y
+
−
=
6.
(
)
2
4
4
5
ln
1
x
x
y
−
−
=
7.
x
x
x
e
y
2
3
−
=
8.
x
e
x
y
1
5
2
=
9.
(
)
2
1
ln
x
y
−
=
10.
x
x
y
2
sin
+
=
11.
(
) (
)
3
2
1
5
+
−
=
x
x
y
12.
3
3
ln
ln
x
x
y
−
=
13.
x
x
y
sin
ln
sin
−
=
14.
x
e
x
y
−
=
4
15.
+
+
=
1
ln
2
x
x
y
Zad. 6. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz jej punkty przegięcia:
1.
x
x
y
1
2
−
=
2.
1
4
2
+
−
=
x
y
3.
x
xe
y
−
=
4.
1
arctg
y
x
=
5.
(
)
3
2
ln
y
x
x
=
+
6.
0
,
ln
>
=
a
a
x
x
a
y
7.
11
64
18
8
2
3
4
−
+
+
−
=
x
x
x
x
y
8.
1
arcsin
y
x
=
9.
(
)
2
3
x
y
e
x
x
=
−
Zad. 7. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1.
2
2
1
x
xe
y
−
=
2.
(
)
2
ln
2
−
−
=
x
x
y
3.
x
e
y
=
4.
x
xe
y
1
=
5.
2
3
6x
x
y
−
=
6.
2
2
arcsin
1
x
y
x
=
+
7.
x
x
y
ln
=
8.
x
x
y
ln
=
9.
2arctgx
y
x
= −
10.
x
y
cos
ln
=
11.
x
x
y
ln
2
=
12.
2
1 x
e
y
−
=