ZASTOSOWANIE POCHODEJ I BADANIE FUNKCJI

Zad. 1. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej w podanym punkcie:

1.

( )

(

)

( )

(

)

0

,

0

,

ln

2

f

e

x

x

f

+

=

2.

( )

( )

(

)

e

f

e

x

x

x

f

,

,

ln

=

3.

2

,

2

0

=

=

x

xe

y

x

Zad. 2.Stosując różniczkę funkcji jednej zmiennej obliczyć wartość przybliżoną wyrażeń:

1.

3

02

,

1

2.

11

log

3.

( )

( )

1

95

,

0

1

95

,

0

2

2

+

−

.

Zad. 3. Stosując twierdzenie de L’Hospitala obliczyć granice funkcji:

1.

x

e

x

x

2

sin

1

lim

0

−

→

2.

tgx

x

x

x

x

−

−

→

sin

lim

0

3.













−

−

→

x

x

x

x

ln

1

ln

lim

1

4.

(

)

2

tg

1

lim

1

x

x

x

π

−

→

5.

(

)

(

)

2

2

0

sin

cos

ln

lim

x

x

x

→

6.













+

∞

→

x

x

x

1

sin

1

ln

lim

7.

(

)

tgx

x

x

sin

lim

2

−

→

π

8.

2

1

1

lim

x

x

x













∞

→

9.

(

)

















−

−

−

∞

→

x

e

x

x

x

2

1

2

lim

Zad. 4. Wyznaczyć asymptoty funkcji:

1.

x

x

y

ln

=

2.













+

=

x

e

x

y

1

ln

3.

1

2

+

+

=

x

x

y

Zad. 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji oraz zbadać jej monotoniczność:

1.

(

)

x

x

x

x

x

y

4

2

3

ln

2

2

2

+

−

−

=

2.

14

36

15

2

2

3

−

+

−

=

x

x

x

y

3.

3

7

3

1

7

1

x

x

y

−

=

4.

(

)

x

x

y

+

−

=

1

ln

5.

(

)

2

1

ln

x

x

y

+

−

=

6.

(

)

2

4

4

5

ln

1

x

x

y

−

−

=

7.

x

x

x

e

y

2

3

−

=

8.

x

e

x

y

1

5

2

=

9.

(

)

2

1

ln

x

y

−

=

10.

x

x

y

2

sin

+

=

11.

(

) (

)

3

2

1

5

+

−

=

x

x

y

12.

3

3

ln

ln

x

x

y

−

=

13.

x

x

y

sin

ln

sin

−

=

14.

x

e

x

y

−

=

4

15.













+

+

=

1

ln

2

x

x

y

Zad. 6. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz jej punkty przegięcia:

1.

x

x

y

1

2

−

=

2.

1

4

2

+

−

=

x

y

3.

x

xe

y

−

=

4.

1

arctg

y

x

=

5.

(

)

3

2

ln

y

x

x

=

+

6.

0

,

ln

>

=

a

a

x

x

a

y

7.

11

64

18

8

2

3

4

−

+

+

−

=

x

x

x

x

y

8.

1

arcsin

y

x

=

9.

(

)

2

3

x

y

e

x

x

=

−

Zad. 7. Zbadać przebieg zmienności funkcji:

1.

2

2

1

x

xe

y

−

=

2.

(

)

2

ln

2

−

−

=

x

x

y

3.

x

e

y

=

4.

x

xe

y

1

=

5.

2

3

6x

x

y

−

=

6.

2

2

arcsin

1

x

y

x

=

+

7.

x

x

y

ln

=

8.

x

x

y

ln

=

9.

2arctgx

y

x

= −

10.

x

y

cos

ln

=

11.

x

x

y

ln

2

=

12.

2

1 x

e

y

−

=