Lista 8,

Kierunek: AiR, sem. I, 2008/2009

Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej

1. Napisz r´

ownania stycznych do wykres´

ow podanych funkcji we wskazanych

punktach:
a) u(x) = arcsin

x

2

, (1, u(1))

b) v(x) = ln x

2

+ e, (0, v(0))

c) w(x) = e

tgx

, (

π

4

, w(

π

4

))

d) z(x) =

√

2

x

+ 1, (3, z(3))

e) f (x) =

2x

1+x

2

, (

√

2, f (

√

2))

f) g(x) = arctgx

2

, (0, g(0))

g) h(x) =

x

√

x, (e, h(e))

h) p(x) =

e

x

x+1

, (1, p(1))

i) q(x) =

ln x

x

, (e, q(e))

j) r(x) = arctg

1−x
1+x

, (1, f (1)).

2.

Korzystaj

,

ac z r´

o˙zniczki funkji obliczy przybli˙zone warto´

sci podanych

wyra˙ze´

n:

a)

3

√

7, 999,

b) e

0,04

,

c) ln

2001
2000

,

d) arccos 0, 499,

e)

1

√

3,98

,

f) arcsin 0, 51,

g) e

−0,07

,

h) ln 0, 9993

3.

Wyznacz przedzia ly monotoniczno´

sci i ekstrema lokalne podanych

funkcji:
a) u(x) =

x

4

4

−

x

3

3

− x

2

,

b) v(x) = x ln

2

x,

c) w(x) = e

x

(x + 1),

d) z(x) = x − 3

3

√

x,

e) f (x) =

x

3

3−x

2

,

f) g(x) = x

3

− 30x

2

+ 225x,

g) h(x) = xe

−3x

,

h) p(x) =

x

ln x

,

i) q(x) = 4x +

1

x

,

j) r(x) =

1

x ln x

k) h(x) = x

x

,

l) g(x) =

x

x

2

+4

,

m) w(t) =

t

√

t.

4.

Wyznacz przedzia ly wypuk lo´

sci oraz punkty przegi

,

ecia wykres´

ow po-

danych funkcji:
a) u(x) = xe

−x

,

b) v(x) = ln(1 + x

2

),

c) w(x) = sin x +

1
8

sin 2x,

d) z(x) = x −

2
3

x

3

− 4 ln |x|,

e) f (x) =

1

1−x

2

,

f) g(x) = sin x,

g) h(x) = tgx,

h) p(x) = e

arctgx

,

i) q(x) =

x

3

x

2

+12

,

j) r(x) =

ln x

√

x

.

5. Wyznacz warto´

sci najmniejsze i najwi

,

eksze podanych funkcji na wskazanych

przedzia lach:
a) u(x) = arctg

1−x
1+x

, [0, 1]

b) v(x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x, [1, 5]

c) w(x) = 1 − |9 − x

2

|, [−5, 1]

d) z(x) = 2x

3

− 3x

2

− 36x − 8, [−3, 6]

e) f (x) = x − 2

√

x, [0, 5]

f) g(x) = (x − 3)

2

e

|x|

, [−1, 4]

g) h(x) = x

2

|x

2

− 1|, [−2, 3]

h) p(x) = x

2

ln x, [1, e].

6.

Narysuj wykresy funkcji f : R → R, kt´ore spe lniaj

,

a wszystkie podane

warunki:
a) f

0

(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 1)∪(4, ∞), f

0

(x) < 0 dla x ∈ (1, 4), ale f

0

(1), f

0

(4)nie

istniej

,

a,

b) f

0

(x) > 0 dla ka˙zdego x < 1, f (1) < 0 dla ka˙zdego x > 1, f

0

−

(1) = 1,

f

0

+

(1) = −

1
2

, f (1) = 2,

c) f

0

(x) > 0 dla ka˙zdego x ∈ R, lim

x→∞

f

0

(x) = 0,

d) f

0

(x) < 0 dla ka˙zdego x < 1, f

0

(x) > 0 dla ka˙zdego x > 1, f

0

(1) nie istnieje,

e) f

0

−

(0) = −1, f

0

+

(0) = ∞, lim

x→∞

f

0

(x) = ∞,

f) f

0

(x) < 0 dla ka˙zdego x ∈ R − {−2}, f

0

(−2) = 0.

Na rysunkach zaznaczy´

c fragmenty wykres´

ow, kt´

ore spe lniaj

,

a poszczeg´

olne warunki.

7.

Zbadaj przebieg zmienno´

sci podanych funkcji i nast

,

epnie sporz

,

ad´

z ich

wykresy:

a) u(x) =

√

x

x−1

,

b) v(x) = x ln x,

c) w(x) = arcsin

1−x

2

1+x

2

,

d) z(x) = e

2−x2
x2 −1

,

e) f (x) = 3 −

4

x

−

4

x

2

,

f) g(x) = x2

1

x

,

g) h(x) = (x − 1)

2

(x + 2),

h) p(x) =

x

3

x−1

,

i) q(x) =

x

ln x

,

j) r(x) = x

√

1 − x

2

k) h(x) = x

2

e

−x

,

l) g(x) =

x

x

2

+4

,

m) w(t) =

t

√

t.

8.

Korzystaj

,

ac z regu ly de L’Hospitala oblicz podane granice:

a) lim

x→1

x

10

−10x+9

x

5

−5x+4

,

b) lim

x→∞

ln(2

x

+1)

x

,

c) lim

x→1

ln sin

π

2

x

ln x

,

d) lim

x→0

x−arctgx

x

2

,

e) lim

x→0

ln cos x

ln cos 3x

,

f) lim

x→1

x

x

−1

ln x

,

g) lim

x→0

(cos x)

1

x

,

h) lim

x→∞

xarctgx,

i) lim

x→0

+

x ln x,

j) lim

x→0

−

(

1

x−ctgx

),

k) lim

x→∞

(

2

π

arctgx)

x

,

l) lim

x→0

+

(

1

x

)

sin x

,

m) lim

x→0

+

(1 + x)

ln x

,

n) lim

x→∞

arctg3x

arctgx

,

o) lim

x→π

−

(π − x)tg

x

2

.