5 Zastosowania pochodnej

background image

Zastosowania pochodnej

Badanie monotoniczności funkcji

Twierdzenie. Niech f będzie funkcją określoną i
różniczkowalną w przedziale E. Wówczas:

- jeżeli

0

)

(

'

x

f

dla każdego

E

x

, to funkcja f jest w

przedziale E rosnąca,

- jeżeli

0

)

(

'

x

f

dla każdego

E

x

, to funkcja f jest w

przedziale E malejąca.

Przykład 1. Zbadać monotoniczność funkcji

5

24

9

2

)

(

2

3

x

x

x

x

f

.

Rozwiązanie. Dziedzina:

R

x

.

Pochodna:

24

18

6

)

(

'

2

x

x

x

f

Rozwiążmy nierówność:

0

)

(

'

x

f

:

0

24

18

6

2

x

x

0

4

3

2

x

x

5

,

25

)

4

(

1

4

3

4

2

2

ac

b

,

4

2

5

3

2

1

a

b

x

,

1

2

5

3

2

2

a

b

x

background image

Wykresem pochodnej jest parabola z ramionami do góry,
zatem:

0

)

(

'

x

f

gdy

)

;

1

(

)

4

;

(



x

oraz

0

)

(

'

x

f

gdy

)

1

;

4

(

x

.

Odpowiedź. Funkcja jest rosnąca w przedziale

)

4

;

(



oraz w przedziale

)

;

1

(

. Funkcja jest malejąca w

przedziale

)

1

;

4

(

.

Pojęcie ekstremum funkcji

0

x

- punkt należący do dziedziny funkcji f .

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

0

x

maksimum, gdy

istnieje otoczenie U punktu

0

x

zawarte w dziedzinie

funkcji f i takie, że dla każdego

U

x

różnego od

0

x

jest:

)

(

)

(

0

x

f

x

f

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

0

x

minimum, gdy

istnieje otoczenie U punktu

0

x

zawarte w dziedzinie

funkcji f i takie, że dla każdego

U

x

różnego od

0

x

jest:

)

(

)

(

0

x

f

x

f

background image

Mówimy, że w funkcja f ma w punkcie

0

x

ekstremum,

gdy ma w tym punkcie maksimum lub minimum.

Wyznaczanie ekstremów funkcji

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
pewnym otoczeniu punktu

0

x

i pochodna tej funkcji jest:

- równa zero w punkcie

0

x

- dodatnia w pewnym lewostronnym sąsiedztwie p-tu

0

x

- ujemna w pewnym prawostronnym sąsiedztwie p-tu

0

x

to funkcja f ma w punkcie

0

x

maksimum.

Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
pewnym otoczeniu punktu

0

x

i pochodna tej funkcji jest:

- równa zero w punkcie

0

x

- ujemna w pewnym lewostronnym sąsiedztwie p-tu

0

x

- dodatnia w pewnym prawostronnym sąsiedztwie p-tu

0

x

to funkcja f ma w punkcie

0

x

minimum.

background image

Przykład 2. Wyznaczyć ekstrema funkcji

2

1

4

)

(

x

x

x

f

Rozwiązanie. Dziedzina:

R

x

.

Pochodna:

2

2

2

2

)

1

(

)'

1

(

4

)

1

(

)'

4

(

)

(

'

x

x

x

x

x

x

f

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

8

4

4

)

1

(

2

4

)

1

(

4

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2

)

1

(

4

4

x

x

Rozwiążmy równanie:

0

)

(

'

x

f

, czyli

0

4

4

2

x

1

2

x

1

1

x

,

1

2

x

Mianownik pochodnej jest dodatni, zaś wykresem licznika
pochodnej jest parabola z ramionami do dołu, zatem:

0

)

(

'

x

f

gdy

)

;

1

(

)

1

;

(



x

oraz

0

)

(

'

x

f

gdy

)

1

;

1

(

x

.

Wyniki obliczeń możemy zilustrować w tabeli:

x

1

1

)

(

' x

f

0

+

0

)

(x

f

mal.

min.

ros.

max.

mal.

background image

Odpowiedź. W punkcie

1

x

funkcja ma minimum, zaś

w punkcie

1

x

funkcja ma maksimum.

Przykład 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji

x

e

x

f

x

)

(

Rozwiązanie. Dziedzina:

0

x

.

Pochodna:

2

2

2

)

1

(

)'

(

)'

(

)

(

'

x

x

e

x

e

xe

x

x

e

x

e

x

f

x

x

x

x

x

Rozwiążmy równanie:

0

)

(

'

x

f

. Ponieważ dla każdego

x

jest:

0

x

e

, zatem:

0

1

x

1

x

Stąd (z uwzględnieniem dziedziny):

0

)

(

'

x

f

gdy

)

1

;

0

(

)

0

;

(



x

oraz

0

)

(

'

x

f

gdy

)

;

1

(

x

.

Wyniki obliczeń możemy zilustrować w tabeli:

x

0

1

)

(

' x

f

0

+

)

(x

f

mal.

mal.

min.

ros.

Odpowiedź. W punkcie

1

x

funkcja ma minimum.

background image

Reguła de l’Hospitala. Jeżeli:

1. Funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym
sąsiedztwie punktu

0

x

2.

0

)

(

lim

)

(

lim

x

g

x

f

c

x

c

x

lub

)

(

lim

)

(

lim

x

g

x

f

c

x

c

x

3. Istnieje granica

)

(

'

)

(

'

lim

x

g

x

f

c

x

to

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

c

x

=

)

(

'

)

(

'

lim

x

g

x

f

c

x

Uwaga: c może oznaczać liczbę lub

lub

Przykład 4.

4

11

2

1

3

lim

0

0

4

6

lim

2

2

2

3

2





x

x

x

x

x

x

H

x

Przykład 5.

8

1

cos

3

5

sin

lim

0

0

sin

3

5

cos

lim

0

0





x

x

e

x

x

x

e

x

x

H

x

x

Przykład 6.















2

2

lim

2

lim

1

lim

2

x

x

H

x

x

H

x

x

e

x

e

x

e


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Zastosowanie pochodnej
Analiza matematyczna, lista analiza 2008 10 zastosowania pochodnych
POCHODNA FUNKCJI ZASTOSOWANIE POCHODNYCH
6, 7 zastosowania pochodnej funkcji
Wybrane zastosowania pochodnej funkcji, Analiza matematyczna
C06 Zastosowanie pochodnej
Lista 7 - Zastosowania pochodnych funkcji jednej zmiennej, Studia, Matematyka
Analiza matematyczna lista analiza 2008 10 zastosowania pochodnych
Arkusz nr 7 (zastosowania pochodnej cz. 1)
zastosowania pochodnej, materiały Pwr, analiza matematyczna
(9559) (5168) zastosowania pochodnej1[1], Chemia Fizyka Matma
lista8 zastosowanie pochodnej
Zastosowania pochodnej, Matematyka i Statystyka, Funkcje
6 Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji
5 Zastosowanie pochodnej

więcej podobnych podstron