42

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Sił

ą

zachowawcz

ą

nazywamy sił

ę

, która wzdłu

ż

dowolnego zamkni

ę

tego toru wykonuje prac

ę

równ

ą

zeru.

Sił

ą

zachowawcz

ą

nazywamy sił

ę

, która działaj

ą

c na ciało wykonuje prac

ę

zale

ż

n

ą

od punktów

poło

ż

enia pocz

ą

tkowego i ko

ń

cowego tego ciała, a niezale

ż

n

ą

od kształtu i długo

ś

ci toru, po

którym ciało si

ę

porusza.

Siłami zachowawczymi s

ą

np. siła grawitacji, siła powoduj

ą

ca ruch harmoniczny, siła

elektrostatyczna.

Sił

ą

niezachowawcz

ą

nazywamy sił

ę

, która wzdłu

ż

dowolnego zamkni

ę

tego toru wykonuje prac

ę

ró

ż

n

ą

od zera.

Siła niezachowawcza działaj

ą

ca na ciało wykonuje prac

ę

zale

ż

n

ą

od długo

ś

ci toru ruchu ciała.

Siłami niezachowawczymi s

ą

np. siła tarcia i wszelkie siły oporu.

II.

Energia potencjalna

Ka

ż

dej sile zachowawczej odpowiada wła

ś

ciwa dla niej energia potencjalna.

I tak np. z sił

ą

grawitacyjn

ą

wi

ąż

emy energi

ę

potencjaln

ą

grawitacji, z sił

ą

spr

ęż

ysto

ś

ci

(powoduj

ą

c

ą

ruch harmoniczny) wi

ąż

emy energi

ę

potencjaln

ą

spr

ęż

ysto

ś

ci, a z sił

ą

elektrostatyczn

ą

– energi

ę

potencjaln

ą

elektrostatyczn

ą

.

Nale

ż

y pami

ę

ta

ć

,

ż

e energia potencjalna jest zawsze przypisywana układowi ciał, a nie

pojedynczemu ciału.


I tak potocznie mówi si

ę

,

ż

e „ciało ma energi

ę

potencjaln

ą

grawitacyjn

ą

równ

ą

p

E

”, ale nale

ż

y to

rozumie

ć

w ten sposób,

ż

e ciało to posiada t

ę

energi

ę

w polu grawitacyjnym innego ciała (np.

Ziemi) i

ż

e tak naprawd

ę

jest to energia potencjalna układu ciało-Ziemia.

Warto

ść

energii potencjalnej układu ciał jest zawsze okre

ś

lona z dokładno

ś

ci

ą

do pewnej stałej

(zale

ż

y od wyboru punktu, w którym przyjmujemy,

ż

e

0

E

p

=

). Nie ma to jednak znaczenia, je

ż

eli

chcemy obliczy

ć

zmian

ę

energii potencjalnej układu ciał, a wła

ś

nie zmiana energii potencjalnej

jest t

ą

wielko

ś

ci

ą

, któr

ą

najcz

ęś

ciej oblicza si

ę

w zadaniach.

Energia potencjalna mo

ż

e by

ć

zarówno dodatnia, jak i ujemna w zale

ż

no

ś

ci od wyboru punktu, w

którym przyjmujemy

0

E

p

=

Zgodnie z umow

ą

dla zagadnie

ń

fizycznych rozwa

ż

anych w pobli

ż

u powierzchni Ziemi

przyjmujemy,

ż

e

0

E

p

=

na powierzchni Ziemi, zmiana energii potencjalnej ciała

h

mg

E

P

∆

=

∆

,

gdzie

h

∆

jest ró

ż

nic

ą

pomi

ę

dzy ko

ń

cowym i pocz

ą

tkowym poło

ż

eniem ciała (wysoko

ś

ci

ą

)

wzgl

ę

dem powierzchni Ziemi.

Nie wi

ąż

emy energii potencjalnej z siłami niezachowawczymi.

Blok 7:

Zasada zachowania energii mechanicznej.

Zderzenia

43

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

III.

Energia kinetyczna

Energi

ę

kinetyczn

ą

posiadaj

ą

ciała, które znajduj

ą

si

ę

w ruchu.

Energia kinetyczna ruchu post

ę

powego jest równa:

2

mv

E

2

K

=

, gdzie

v

jest warto

ś

ci

ą

chwilowej

pr

ę

dko

ś

ci ciała w danym układzie odniesienia.

Je

ż

eli natomiast ciało porusza si

ę

ruchem obrotowym, posiada energi

ę

kinetyczn

ą

ruchu

obrotowego.

Energia kinetyczna jest zawsze nieujemna.

IV.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Układ posiada energi

ę

mechaniczn

ą

, je

ż

eli jest zdolny do wykonania pracy.

Energia mechaniczna układu ciał jest sum

ą

jego energii potencjalnej i kinetycznej.

Przyjmuje si

ę

,

ż

e energia mechaniczna ciała składa si

ę

z sumy jego energii kinetycznej oraz

energii potencjalnej układu ciało – pole siły zachowawczej. Dlatego, chocia

ż

mówimy „energia

mechaniczna kulki, znajduj

ą

cej si

ę

na równi jest równa 4J”, mamy tak naprawd

ę

na my

ś

li „energia

mechaniczna kulki, znajduj

ą

cej si

ę

na równi w polu grawitacyjnym Ziemi jest równa 4J”

Zmiana energii mechanicznej jest równa pracy niezachowawczych sił zewn

ę

trznych:

zewn

M

W

E

=

∆

Je

ż

eli w danej chwili znamy poło

ż

enia i pr

ę

dko

ś

ci ciał tworz

ą

cych układ, mówimy,

ż

e znamy stan

układu. Je

ż

eli zmieniła si

ę

energia mechaniczna, to znaczy to,

ż

e musiał si

ę

tak

ż

e zmieni

ć

stan

układu (poło

ż

enie lub pr

ę

dko

ść

chocia

ż

jednego ciała nale

żą

cego do układu).

W przypadku, gdy jedynymi siłami niezachowawczymi działaj

ą

cymi na układ s

ą

siły tarcia, zmiana

energii mechanicznej jest równa pracy sił tarcia, co mo

ż

na zapisa

ć

:

T

K

P

W

E

E

=

∆

+

∆

, pami

ę

taj

ą

c,

ż

e praca sił tarcia ma zawsze warto

ść

ujemn

ą

.

Je

ż

eli na układ ciał poza siłami zachowawczymi nie działaj

ą

ż

adne siły (lub wypadkowa

działaj

ą

cych sił jest równa zeru) albo niezachowawcze siły zewn

ę

trzne nie wykonuj

ą

pracy, to

spełniona jest dla tego układu zasada zachowania energii mechanicznej.

⇒

=

0

W

zewn

0

E

M

=

∆

, czyli

0

E

E

K

P

=

∆

+

∆

.

V.

Zderzenia

W zadaniach rozwa

ż

ane s

ą

dwa rodzaje zderze

ń

: zderzenia idealnie spr

ęż

yste i idealnie

niespr

ęż

yste. W ka

ż

dym z tych zderze

ń

obowi

ą

zuje zasada zachowania p

ę

du układu

zderzaj

ą

cych si

ę

ciał.

W przypadku zderzenia idealnie niespr

ęż

ystego, zderzaj

ą

ce si

ę

ciała ulegaj

ą

zlepieniu w

trakcie zderzenia. Poniewa

ż

przy zlepianiu pewna cz

ęść

energii mechanicznej zamienia si

ę

na

energi

ę

ciepln

ą

, to podczas zderzenia niespr

ęż

ystego energia mechaniczna nie jest zachowana i

nie mo

ż

emy stosowa

ć

zasady zachowania energii mechanicznej.

44

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

W przypadku zderzenia idealnie spr

ęż

ystego, zderzaj

ą

ce si

ę

ciała odbijaj

ą

si

ę

od siebie i

nigdy nie ulegaj

ą

zlepieniu. W zderzeniu idealnie spr

ęż

ystym energia mechaniczna jest

zachowana, stosujemy wi

ę

c zasad

ę

zachowania energii mechanicznej.

Zatem: na przykład dla dwóch zderzaj

ą

cych si

ę

ciał o masach

1

m

i

2

m

oraz pr

ę

dko

ś

ciach

pocz

ą

tkowych

1

v

i

2

v

:

•

w przypadku zderzenia niespr

ęż

ystego, zadania rozwi

ą

zujemy w oparciu o jedno

równanie wektorowe, wyra

ż

aj

ą

ce zasad

ę

zachowania p

ę

du:

v

)

m

m

(

v

m

v

m

2

1

2

2

1

1

+

=

+

•

w przypadku zderzenia spr

ęż

ystego zadanie rozwi

ą

zujemy w oparciu o dwa równania

– jedno, wektorowe, opisuj

ą

ce zasad

ę

zachowania p

ę

du i drugie, algebraiczne,

opisuj

ą

ce zasad

ę

zachowania energii mechanicznej:

ZZP:

4

2

3

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

+

,

ZZEM:

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2
4

2

2
3

1

2
2

2

2

1

1

+

=

+

.

►

Przykład 7.1: Dwie kule o masach

kg

5

m

1

=

i

kg

3

m

2

=

poruszaj

ą

ce si

ę

z pr

ę

dko

ś

ciami

s

/

cm

12

v

1

=

i

s

/

cm

4

v

2

=

zderzaj

ą

si

ę

centralnie. Oblicz pr

ę

dko

ś

ci kul po zderzeniu

niespr

ęż

ystym. Nale

ż

y rozwa

ż

y

ć

oba przypadki: ze wzgl

ę

du na zgodne i przeciwne kierunki

pocz

ą

tkowych pr

ę

dko

ś

ci ciał (przed zderzeniem).

Zderzenia niespr

ęż

yste: obowi

ą

zuje jedynie zasada zachowania p

ę

du (ZZP) dla układu. Nie

obowi

ą

zuje zasada zachowania energii mechanicznej.

ZZP:

v

)

m

m

(

v

m

v

m

2

1

2

2

1

1

+

=

+

Przypadek I: kulki poruszaj

ą

si

ę

w t

ę

sam

ą

stron

ę

, o

ś

OX

wybieramy np. tak, jak na rysunku:
OX:

⇒

+

=

+

v

)

m

m

(

v

m

v

m

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

m

m

v

m

v

m

v

+

+

=

, czyli

s

cm

s

cm

s

cm

9

kg

3

kg

5

4

kg

3

12

kg

5

v

=

+

⋅

+

⋅

=

Przypadek II: kulki poruszaj

ą

si

ę

naprzeciw siebie, o

ś

OX

wybieramy np. tak jak na rysunku:
OX:

⇒

+

=

−

v

)

m

m

(

v

m

v

m

2

1

2

2

1

1

, gdzie zało

ż

yli

ś

my,

ż

e

po zderzeniu ciała poruszaj

ą

si

ę

zgodnie ze zwrotem osi

OX. Je

ś

li zało

ż

enie jest bł

ę

dne, wynik b

ę

dzie ujemny.

2

1

2

2

1

1

m

m

v

m

v

m

v

+

−

=

, czyli

s

cm

s

cm

s

cm

6

kg

3

kg

5

4

kg

3

12

kg

5

v

=

+

⋅

−

⋅

=

. Wynik ten jest dodatni, zatem

pr

ę

dko

ść

zwrócona jest (tak jak zostało to przewidziane) zgodnie ze zwrotem osi OX.

45

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

►

Przykład 7.2: Dwie kule o masach

kg

5

m

1

=

i

kg

3

m

2

=

poruszaj

ą

ce si

ę

z pr

ę

dko

ś

ciami

s

/

cm

12

v

1

=

i

s

/

cm

4

v

2

=

zderzaj

ą

si

ę

centralnie. Oblicz pr

ę

dko

ś

ci kul po zderzeniu idealnie

spr

ęż

ystym. Nale

ż

y rozwa

ż

y

ć

oba przypadki: ze wzgl

ę

du na zgodne i przeciwne kierunki

pocz

ą

tkowych pr

ę

dko

ś

ci ciał (przed zderzeniem).

Zderzenia spr

ęż

yste: obowi

ą

zuje zarówno zasada zachowania p

ę

du (ZZP) dla układu oraz

zasada zachowania energii mechanicznej (ZZEM).

ZZP:

4

2

3

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

+

ZZEM:

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2
4

2

2
3

1

2
2

2

2

1

1

+

=

+

Przypadek I: kulki poruszaj

ą

si

ę

w t

ę

sam

ą

stron

ę

, o

ś

OX wybieramy np. tak, jak na rysunku:
OX:

4

2

3

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

+

, gdzie zało

ż

yli

ś

my,

ż

e po zderzeniu oba ciała poruszaj

ą

si

ę

zgodnie ze

zwrotem osi OX. Znaki obliczonych w ten sposób

4

3

v

,

v

wska

żą

, czy zało

ż

enie to było słuszne,

czy nie. Pr

ę

dko

ść

, dla której wynik b

ę

dzie ujemny, oka

ż

e si

ę

pr

ę

dko

ś

ci

ą

o zwrocie przeciwnym do

zwrotu wybranej osi OX.

ZZEM:

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2

v

m

2
4

2

2
3

1

2
2

2

2

1

1

+

=

+

W obu równaniach gromadzimy po jednej stronie wyrazy zawieraj

ą

ce

1

m

, a po drugiej stronie –

wyrazy zawieraj

ą

ce

2

m

:

2

2

4

2

3

1

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

−

=

−

(I)

2
2

2

2
4

2

2
3

1

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

−

=

−

, (II)

gdzie dodatkowo to drugie równanie pomno

ż

yli

ś

my przez czynnik 2.

Otrzymali

ś

my układ równa

ń

: liniowego i kwadratowego. Mo

ż

emy go rozwi

ą

za

ć

metod

ą

podstawienie (

ż

mudne) lub zastosowa

ć

pewien trik: podzieli

ć

równanie II przez równanie I

(korzystaj

ą

c ze wzorów skróconego mno

ż

enia). Wolno nam to zrobi

ć

bez obaw,

ż

e b

ę

dziemy

musieli podzieli

ć

przez zero, gdy

ż

0

v

v

3

1

≠

−

i

0

v

v

3

1

≠

−

(gdyby te wielko

ś

ci były parami sobie

równe, to oznaczałoby to,

ż

e podczas zderzenia wektory pr

ę

dko

ś

ci: ciała o masie

1

m

i ciała o

masie

2

m

pozostały stałe co do warto

ś

ci, kierunku i zwrotu, a to z kolei oznaczałoby,

ż

e w ogóle

nie doszło do zderzenia).

Ostatecznie otrzymujemy:

2

4

3

1

v

v

v

v

+

=

+

(III) - z dzielenia równa

ń

stronami równa

ń

(II) i (I)

)

v

v

(

m

)

v

v

(

m

2

4

2

3

1

1

−

=

−

(równanie I)

Z równania III:

1

2

4

3

v

v

v

v

−

+

=

podstawiamy do równania dolnego, otrzymuj

ą

c:

)

v

v

(

m

)

v

v

v

v

(

m

2

4

2

1

2

4

1

1

−

=

+

−

−

2

1

1

2

2

1

1

4

m

m

)

m

m

(

v

m

v

2

v

+

−

+

=

oraz

2

1

2

1

1

2

2

3

m

m

)

m

m

(

v

m

v

2

v

+

−

+

=

.

Czyli:

s

cm

s

cm

s

cm

4

14

kg

3

kg

5

)

kg

5

kg

3

(

4

kg

5

12

2

v

=

+

−

+

⋅

⋅

=

i

s

cm

s

cm

s

cm

3

6

kg

3

kg

5

)

kg

3

kg

5

(

12

kg

3

4

2

v

=

+

−

+

⋅

⋅

=

.

46

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Oba wyniki okazały si

ę

dodatnie, co oznacza,

ż

e zwroty pr

ę

dko

ś

ci obu ciał po zderzeniu s

ą

zgodne ze zwrotem wybranej osi OX (po zderzeniu ciała w dalszym ci

ą

gu przemieszczaj

ą

si

ę

na

osi w prawo).

Przypadek II: kulki poruszaj

ą

si

ę

naprzeciw siebie, o

ś

OX

wybieramy np. tak jak na rysunku:
OX:

⇒

+

=

−

4

2

3

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

, gdzie zało

ż

yli

ś

my,

ż

e

po zderzeniu ciała poruszaj

ą

si

ę

zgodnie ze zwrotem osi

OX. Znaki obliczonych w ten sposób

4

3

v

,

v

wska

żą

, czy

zało

ż

enie to było słuszne, czy nie. Pr

ę

dko

ść

, dla której wynik b

ę

dzie ujemny, oka

ż

e si

ę

pr

ę

dko

ś

ci

ą

o zwrocie przeciwnym do zwrotu wybranej osi OX.

W obu równaniach gromadzimy po jednej stronie wyrazy zawieraj

ą

ce

1

m

, a po drugiej stronie –

wyrazy zawieraj

ą

ce

2

m

:

2

2

4

2

3

1

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

+

=

−

(I)

2
2

2

2
4

2

2
3

1

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m

−

=

−

, (II)

gdzie dodatkowo to równanie pomno

ż

yli

ś

my przez czynnik 2.

Otrzymali

ś

my układ równa

ń

: liniowego i kwadratowego. Mo

ż

emy go rozwi

ą

za

ć

metod

ą

podstawienie (

ż

mudne) lub zastosowa

ć

pewien trik: podzieli

ć

równanie II przez równanie I

(korzystaj

ą

c ze wzorów skróconego mno

ż

enia). Ostatecznie otrzymujemy:

2

4

3

1

v

v

v

v

−

=

+

(III) - z dzielenia stronami równa

ń

(I) i (II)

)

v

v

(

m

)

v

v

(

m

2

4

2

3

1

1

+

=

−

(równanie I)

Z równania III:

1

2

4

3

v

v

v

v

−

−

=

podstawiamy do równania dolnego, otrzymuj

ą

c:

)

v

v

(

m

)

v

v

v

v

(

m

2

4

2

1

2

4

1

1

+

=

+

+

−

2

1

2

1

2

1

1

4

m

m

)

m

m

(

v

m

v

2

v

+

−

+

=

oraz

2

1

2

1

1

2

2

3

m

m

)

m

m

(

v

m

v

2

v

+

−

+

−

=

Czyli:

s

cm

s

cm

s

cm

4

16

kg

3

kg

5

)

kg

3

kg

5

(

4

kg

5

12

2

v

=

+

−

+

⋅

⋅

=

i

0

kg

3

kg

5

)

kg

3

kg

5

(

12

kg

3

4

2

v

s

cm

s

cm

3

=

+

−

+

⋅

⋅

−

=

.

Wynik ten oznacza,

ż

e po zderzeniu ciało o masie

1

m

zatrzyma si

ę

, a ciało o masie

2

m

, b

ę

dzie

porusza

ć

si

ę

w prawo (zgodnie ze zwrotem wybranej przez nas osi OX).