4

4

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

Wszystkie wielko

ś

ci fizyczne s

ą

albo skalarami albo wektorami. Skalar ma tylko warto

ść

(podajemy go jako liczb

ę

wraz z jednostk

ą

), natomiast wektor ma warto

ść

(zwan

ą

inaczej

długo

ś

ci

ą

wektora lub jego modułem, podawan

ą

jako liczba nieujemna wraz z jednostk

ą

),

kierunek i zwrot.

Ka

ż

dy wektor mo

ż

na przedstawi

ć

w układzie

współrz

ę

dnych, w którym osie s

ą

skalowane w tych

samych jednostkach, co warto

ść

wektora.

►

Przykład 1.1: sił

ę

1

F

mo

ż

na przedstawi

ć

na rysunku:

Ogólnie wektor

a

mo

ż

emy zapisa

ć

w dwojaki sposób:

•

poprzez współrz

ę

dne wektora

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

;

Współrz

ę

dne wektora mog

ą

by

ć

zarówno dodatnie jak i ujemne oraz przyjmowa

ć

warto

ść

zero.

•

jako sum

ę

wektorów składowych

z

y

x

a

,

a

,

a

:

kˆ

a

jˆ

a

iˆ

a

a

a

a

a

z

y

x

z

y

x

+

+

=

+

+

=

, gdzie

kˆ

,

jˆ

,

iˆ

s

ą

wersorami prostok

ą

tnego układu współrz

ę

dnych, czyli

wektorami o jednostkowej długo

ś

ci, odpowiednio

równoległymi do osi układu współrz

ę

dnych i zwróconymi

zgodnie z tymi osiami:

Współczynniki stoj

ą

ce przy wersorach s

ą

równe

współrz

ę

dnym wektora.

►

Zatem w Przykładzie 1 sił

ę

1

F

mo

ż

na zapisa

ć

:

- poprzez współrz

ę

dne

[

]

N

0

,

N

4

,

N

3

F

1

−

=

- jako sum

ę

wektorów składowych:

kˆ

N

4

iˆ

N

3

F

1

⋅

+

⋅

−

=

,

gdzie wektorami składowymi s

ą

:

iˆ

N

3

F

x

1

−

=

,

jˆ

N

4

F

y

1

=

,

kˆ

0

F

z

1

=

.

Cz

ę

sto na jednym rysunku przedstawiamy ró

ż

ne wektorowe wielko

ś

ci fizyczne (np.

przemieszczenia i pr

ę

dko

ś

ci). Wówczas nakładamy na siebie wszystkie układy współrz

ę

dnych

tak, aby ich osie pokrywały si

ę

. Dla uproszczenia zapisu wspólny układ współrz

ę

dnych

opisujemy symbolami x, y, z i skalujemy bez zapisu jednostek fizycznych.

Blok 1: Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

Podstawowe wielko

ś

ci fizyczne w kinematyce.

Opis ruchu w ró

ż

nych układach odniesienia. Ruch

wzgl

ę

dny.

5

5

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Warto

ść

(długo

ść

) wektora

a

oznacza si

ę

|

a

|

lub a. Warto

ść

wektora

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

jest

równa:

2
z

2
y

2
x

a

a

a

a

|

a

|

+

+

=

≡

.

Warto

ść

wektora jest zawsze dodatnia lub równa zeru.

Wektorem przeciwnym do wektora

a

jest wektor

a

−

.

Oba te wektory maj

ą

t

ę

sam

ą

warto

ść

, ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty.

Je

ś

li

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

, to

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

−

−

−

=

−

Sum

ą

wektorów

a

i

b

jest wektor, który mo

ż

na skonstruowa

ć

, korzystaj

ą

c z:

dwa wektory

metoda równoległoboku

metoda wieloboku

Je

ś

li

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

i

[

]

z

y

x

b

,

b

,

b

b

=

, to

[

]

z

z

y

y

x

x

b

a

,

b

a

,

b

a

b

a

+

+

+

=

+

.

Długo

ść

wektora

)

b

a

(

+

:

α

⋅

⋅

+

+

=

+

cos

|

b

|

|

a

|

2

|

b

|

|

a

|

|

b

a

|

2

2

,

gdzie

α

jest miar

ą

k

ą

ta pomi

ę

dzy wektorami

a

i

b

.

Ró

ż

nic

ą

wektorów

a

i

b

jest wektor b

ę

d

ą

cy sum

ą

wektora

a

i wektora przeciwnego do wektora

b

, czyli:

Je

ś

li

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

i

[

]

z

y

x

b

,

b

,

b

b

=

, to

[

]

z

z

y

y

x

x

b

a

,

b

a

,

b

a

b

a

−

−

−

=

−

.

Iloczynem wektora

a

przez liczb

ę

k nazywamy wektor, którego kierunek jest zgodny z

kierunkiem wektora

a

, a długo

ść

jest równa:

|

a

|

|

k

|

|

a

k

|

⋅

=

⋅

,

natomiast zwrot jest:

•

zgodny ze zwrotem wektora

a

, je

ś

li

0

k

>

•

przeciwny do zwrotu wektora

a

, je

ś

li

0

k

<

Iloczyn skalarny wektorów

a

i

b

jest liczb

ą

, któr

ą

mo

ż

emy obliczy

ć

na dwa sposoby:

•

za pomoc

ą

współrz

ę

dnych:

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

a

⋅

+

⋅

+

⋅

=



•

α

⋅

⋅

=

cos

|

b

|

|

a

|

b

a



, gdzie

α

jest miar

ą

k

ą

ta pomi

ę

dzy tymi wektorami.

6

6

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Iloczyn wektorowy wektorów

a

i

b

jest wektorem, któr

ą

mo

ż

emy obliczy

ć

na dwa sposoby:

•

za pomoc

ą

wyznacznika:

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

kˆ

jˆ

iˆ

b

a

=

×

•

obliczaj

ą

c jego długo

ść

:

|

sin

|

|

b

|

|

a

|

|

b

a

|

α

⋅

⋅

=

×

, gdzie

α

jest miar

ą

k

ą

ta

pomi

ę

dzy tymi wektorami i wiedz

ą

c,

ż

e kierunek tego wektora jest prostopadły

do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory

a

i

b

(czyli prostopadły zarówno

do

a

, jak i do

b

), a jego zwrot mo

ż

na okre

ś

li

ć

z reguły

ś

ruby prawoskr

ę

tnej

Dwa wektory niezerowe s

ą

do siebie równoległe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn

wektorowy jest równy zeru:

0

b

a

b

||

a

=

×

⇔

.

Dwa wektory niezerowe s

ą

do siebie prostopadłe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn

skalarny jest równy zeru:

0

b

a

b

a

=

⇔

⊥



.

Równanie wektorowe.
W fizyce cz

ę

sto mamy do czynienia z równaniami wektorowymi. Aby rozwi

ą

za

ć

takie równania,

najcz

ęś

ciej musimy przej

ść

od postaci wektorowej do równa

ń

algebraicznych (współrz

ę

dnych),

korzystaj

ą

c z twierdzenia o równo

ś

ci dwóch wektorów:

Dla

[

]

z

y

x

a

,

a

,

a

a

=

i

[

]

z

y

x

b

,

b

,

b

b

=

,











=

=

=

⇔

=

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

a

.

Nie mo

ż

na oblicza

ć

konkretnych warto

ś

ci współrz

ę

dnych oraz długo

ś

ci wektorów

bezpo

ś

rednio z równania wektorowego!

ś

eby rozpisa

ć

równanie wektorowe na równania współrz

ę

dnych, trzeba najpierw wybra

ć

układ

współrz

ę

dnych; wybór jest dowolny, ale potem trzeba konsekwentnie si

ę

go trzyma

ć

.

Z jednego równania wektorowego otrzymujemy tyle równa

ń

algebraicznych, ile

współrz

ę

dnych przestrzennych jest zaanga

ż

owanych w zadaniu (tzn. w ruchu po linii prostej

jest zaanga

ż

owana tylko jedna współrz

ę

dna, w ruchu na płaszczy

ź

nie - dwie współrz

ę

dne,

w ruchu w przestrzeni – wszystkie trzy współrz

ę

dne).

.

►

Przykład 1.2: II zasada dynamiki Newtona jest opisywana równaniem wektorowym

a

m

F

⋅

=

.

Je

ś

li ruch odbywa si

ę

w przestrzeni trójwymiarowej, to otrzymujemy trzy równania algebraiczne,

które musz

ą

by

ć

spełnione jednocze

ś

nie:

a

m

F

⋅

=

z

z

y

y

x

x

a

m

F

i

a

m

F

i

a

m

F

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⇔

.

W równaniach tych

z

y

x

F

,

F

,

F

oraz

z

y

x

a

,

a

,

a

s

ą

współrz

ę

dnymi wektorów, mog

ą

wi

ę

c

przyjmowa

ć

warto

ś

ci zarówno dodatnie jak i ujemne.

7

7

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Najcz

ęś

ciej upraszczamy sobie rozwi

ą

zywanie zada

ń

, gdy zapisuj

ą

c równanie we

współrz

ę

dnych, jawnie uwzgl

ę

dnimy ich znaki. Wówczas symbole lub liczby wstawiane do

tych równa

ń

oznaczaj

ą

warto

ś

ci, a nie współrz

ę

dne składowych wektorów.

Znak plus wstawiamy w równaniu współrz

ę

dnych wtedy, gdy wiemy,

ż

e zwrot osi układu

współrz

ę

dnych jest zgodny ze zwrotem odpowiedniej składowej wektora.

Znak minus wstawiamy w równaniu współrz

ę

dnych wtedy, gdy wiemy zwrot osi układu

współrz

ę

dnych jest przeciwny do zwrotu odpowiedniej składowej wektora.

►

Przykład 1.3: Chłopiec ci

ą

gnie sanki po

ś

niegu sił

ą

o warto

ś

ci

|

F

|

. Rozpisz II zasad

ę

dynamiki

Newtona dla sanek, uwzgl

ę

dniaj

ą

c tarcie płoz o

ś

nieg i oblicz przyspieszenie sanek.

Rozwi

ą

zanie:

a

m

F

T

g

m

R

=

+

+

+

OX:

|

a

|

m

|

T

|

|

F

|

x

x

=

−

,

OY:

0

|

a

|

m

|

g

|

m

|

F

|

|

R

|

y

y

=

=

−

+

,

gdzie:

R

siła spr

ęż

ysto

ś

ci (reakcji) podło

ż

a,

g

m

- siła

ci

ęż

ko

ś

ci działaj

ą

ca na sanki,

T

- siła tarcia,

a

-

przyspieszenie sanek.

m

T

cos

F

m

|

T

|

|

F

|

|

a

|

|

a

|

|

a

|

x

2

y

2

x

−

α

=

−

=

+

=

II.

Podstawowe wielko

ś

ci fizyczne w kinematyce.

Ruch polega na zmianie poło

ż

enia ciała wzgl

ę

dem innego, dowolnie wybranego ciała lub układu

ciał, zwanego układem odniesienia.

Tor ruchu to linia, któr

ą

ciało zakre

ś

la w czasie ruchu.

Symbol

∆

oznacza w fizyce przyrost (dodatni lub ujemny) albo inaczej mówi

ą

c - zmian

ę

wielko

ś

ci fizycznej.

W przewa

ż

aj

ą

cej liczbie przykładów przyrost (zmiana) wielko

ś

ci fizycznej nast

ę

puje w

pewnym czasie – mo

ż

emy wi

ę

c okre

ś

li

ć

wielko

ść

fizyczn

ą

w chwili pocz

ą

tkowej (1) i w chwili

ko

ń

cowej (2). Przyrost tej wielko

ś

ci definiuje si

ę

wtedy jako:

o

1

2

X

X

X

−

=

∆

, je

ś

li rozpatrywan

ą

wielko

ś

ci

ą

fizyczn

ą

jest skalar,

X

o

1

2

X

X

X

−

=

∆

, je

ś

li rozpatrywan

ą

wielko

ś

ci

ą

fizyczn

ą

jest wektor,

X

8

8

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Droga to długo

ść

cz

ęś

ci toru, któr

ą

przebyło ciało.

Szybko

ść

ś

rednia to wielko

ść

skalarna zdefiniowana wzorem:

t

s

u

ś

r

∆

∆

=

,

gdzie

s

∆

- całkowita droga, któr

ą

przebyło ciało w czasie

t

∆

.

Szybko

ść

chwilowa (czyli po prostu szybko

ść

) to wielko

ść

skalarna zdefiniowana jako iloraz

drogi przebytej przez ciało i czasu, w którym ta droga została przebyta, przy czym czas ten jest
bardzo krótki (zmierza do zera):

0

t

t

s

u

→

∆













∆

∆

=

Wektorem poło

ż

enia ciała (lub wektorem wodz

ą

cym) jest

wektor, którego pocz

ą

tek znajduje si

ę

w pocz

ą

tku układu

współrz

ę

dnych, a koniec w punkcie w którym ciało znajduje si

ę

w danej chwili.

►

Przykład 1.4: Na rysunku wektorami poło

ż

enia s

ą

wektory

1

r

i

2

r

.

Przemieszczenie

r

∆

jest wektorem opisuj

ą

cym zmian

ę

poło

ż

enia ciała w czasie ruchu od poło

ż

enia pocz

ą

tkowego,

opisywanego wektorem poło

ż

enia

1

r

do poło

ż

enia ko

ń

cowego,

opisywanego wektorem poło

ż

enia

2

r

:

1

2

r

r

r

−

=

∆

Pr

ę

dko

ść

ś

rednia jest wektorem zdefiniowanym jako:

t

r

v

ś

r

∆

∆

=

,

gdzie

r

∆

- całkowite przemieszczenie w czasie

t

∆

.

Warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci

ś

redniej najcz

ęś

ciej nie jest równa szybko

ś

ci

ś

redniej ciała.

Pr

ę

dko

ść

chwilowa (czyli po prostu pr

ę

dko

ść

) jest wektorem zdefiniowanym jako iloraz

przemieszczenia ciała i czasu, w którym to przemieszczenie nast

ą

piło, przy czym czas ten jest

bardzo krótki (zmierza do zera):

0

t

t

r

v

→

∆













∆

∆

=

Pr

ę

dko

ść

chwilowa jest w ka

ż

dym punkcie styczna do toru.

Warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci chwilowej jest zawsze równa szybko

ś

ci chwilowej ciała.

9

9

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

III.

Opis ruchu w ró

ż

nych układach odniesienia. Ruch wzgl

ę

dny.

Opisy ruchu tego samego ciała mog

ą

si

ę

od siebie ró

ż

ni

ć

, je

ś

li rozpatrujemy je z punktu widzenia

ró

ż

nych układów współrz

ę

dnych.

►

Przykład 1.5: Po spokojnych

wodach jeziora porusza si

ę

statek

(C). W dnie jeziora zakotwiczono
bojk

ę

(B). Oblicz pr

ę

dko

ść

bojki w

układzie odniesienia statku

BC

v

,

je

ś

li pr

ę

dko

ść

statku wzgl

ę

dem

układu współrz

ę

dnych

zwi

ą

zanego z brzegiem jeziora

(A) wynosi

CA

v

.

Rozwi

ą

zanie:

•

Pokazane na rysunku układy współrz

ę

dnych wi

ąż

emy z obiektami: układ współrz

ę

dnych (A)

spoczywa wzgl

ę

dem brzegów jeziora, bojka nie porusza si

ę

w układzie (B), statek nie

porusza si

ę

w układzie (C).

•

Bojka nie porusza si

ę

tak

ż

e wzgl

ę

dem układu A, ale wzgl

ę

dem statku przesuwa si

ę

w lewo

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

CA

v

−

.

Podczas rozwi

ą

zywania tego typu zada

ń

najwygodniej jest skorzysta

ć

z metody

mnemotechnicznej:

•

Z ka

ż

dym z obiektów wyró

ż

nionych w zadaniu wi

ąż

emy jego własny układ

współrz

ę

dnych i oznaczamy go liter

ą

. T

ą

sam

ą

liter

ą

oznaczamy sam obiekt. Obiekty

spoczywaj

ą

w swoich układach współrz

ę

dnych. Odpowiednie osie wszystkich układów

współrz

ę

dnych s

ą

do siebie równoległe i tak samo zorientowane.

•

Pr

ę

dko

ść

dowolnie wybranego obiektu B w układzie A oznaczamy:

BA

v

.Wa

ż

na jest

kolejno

ść

liter!

•

Obowi

ą

zuje

0

v

AA

=

dla ka

ż

dego A;

BA

AB

v

v

−

=

.

•

Obowi

ą

zuje zasada składania pr

ę

dko

ś

ci:

AC

BA

BC

v

v

v

+

=

(zawsze suma

wektorowa); dolne wska

ź

niki po prawej stronie równania wpisujemy tak, aby powtarzaj

ą

ce

si

ę

były obok siebie, a nie powtarzaj

ą

ce si

ę

były w tej samej kolejno

ś

ci, co po lewej stronie

równania (tak jakby

ś

my „skre

ś

lali powtarzaj

ą

ce si

ę

litery stoj

ą

ce obok siebie”, czyli

„

v

v

BC

=

B

A

+

v

A

C

”

). Kolejno

ść

liter w alfabecie nie ma tutaj znaczenia.

►

Wracaj

ą

c do

Przykładu 1.5:

AC

BA

BC

v

v

v

+

=

, ale bojka nie porusza si

ę

wzgl

ę

dem układu A,

wi

ę

c

0

v

BA

=

. Wiemy tak

ż

e,

ż

e

CA

AC

v

v

−

=

. St

ą

d:

CA

BC

v

v

−

=

- jak ju

ż

wcze

ś

niej

wydedukowano.

---

Zgodnie z powy

ż

sz

ą

reguł

ą

, pr

ę

dko

ść

wzgl

ę

dna ciała A wzgl

ę

dem ciała B jest równa:

B

A

AB

v

v

v

−

=

,

gdzie

A

v

i

B

v

s

ą

odpowiednio pr

ę

dko

ś

ci

ą

ciała A i pr

ę

dko

ś

ci

ą

ciała B w laboratoryjnym

(spoczywaj

ą

cym wzgl

ę

dem Ziemi) układzie współrz

ę

dnych.