53

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Moment bezwładno

ś

ci

Omawiaj

ą

c ruch post

ę

powy ciała, posługujemy si

ę

poj

ę

ciami przemieszczenia, szybko

ś

ci,

przyspieszenia tego ciała oraz wypadkowej siły na nie działaj

ą

cej. W opisie ruchu post

ę

powego

zwykle traktujemy ciała jako punkty materialne. Nawet, je

ś

li ciało ma du

ż

e rozmiary, wszystkie

powy

ż

sze wielko

ś

ci fizyczne wi

ąż

emy ze

ś

rodkiem masy ciała, a samo ciało zast

ę

pujemy przez

punkt materialny o masie równej masie badanego ciała.

W opisie ruchu obrotowego taka konstrukcja my

ś

lowa przestaje by

ć

uzasadniona, poniewa

ż

w

przypadku tego ruchu ma znaczenie nie tyle warto

ść

masy ciała, ile rozkład masy w przestrzeni.

Dlatego musimy wzi

ąć

pod uwag

ę

rozmiary i kształt badanego ciała, którego nie mo

ż

emy ju

ż

traktowa

ć

jak punktu materialnego, ale musimy je rozwa

ż

a

ć

jako brył

ę

sztywn

ą

.

Miar

ą

bezwładno

ś

ci ciała w ruchu post

ę

powym jest masa ciała.

Miar

ą

bezwładno

ś

ci ciała w ruchu obrotowym jest moment bezwładno

ś

ci.

Moment bezwładno

ś

ci

I

ciała wzgl

ę

dem osi O definiuje si

ę

, dziel

ą

c brył

ę

sztywn

ą

na małe

fragmenty o masach

i

m

:

∑

=

i

2

i

i

r

m

I

, gdzie

i

r

jest odległo

ś

ci

ą

fragmentu bryły o masie

i

m

od

wybranej osi O, a sumowanie przebiega po wszystkich fragmentach. Mo

ż

na zdefiniowa

ć

moment

bezwładno

ś

ci bardziej dokładnie za pomoc

ą

całki:

∫

=

V

2

dm

r

I

, gdzie całkowanie przebiega po

całej obj

ę

to

ś

ci

V

bryły sztywnej.

Moment bezwładno

ś

ci jest wielko

ś

ci

ą

addytywn

ą

, tzn. moment bezwładno

ś

ci układu brył

sztywnych wzgl

ę

dem osi O jest sum

ą

momentów bezwładno

ś

ci poszczególnych ciał tego układu

wzgl

ę

dem osi O.

Moment bezwładno

ś

ci punktu materialnego wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez ten punkt

jest równy zero.

O

ś

wybierana do obliczania momentu bezwładno

ś

ci ciała jest najcz

ęś

ciej osi

ą

obrotu tego ciała.

Je

ś

li o

ś

ta jest osi

ą

symetrii ciała, wyznaczenie momentu bezwładno

ś

ci bardzo cz

ę

sto staje si

ę

proste. Momenty bezwładno

ś

ci,

O

I

podstawowych brył wzgl

ę

dem ich osi symetrii mo

ż

na znale

źć

w tablicach matematycznych.

Blok 9:

Moment bezwładno

ś

ci. Moment siły

Zasada zachowania momentu p

ę

du

54

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

kula

pełny walec

pełny cienki kr

ąż

ek

2

5

2

O

MR

I

=

2

2

1

O

MR

I

=

2

2

1

O

MR

I

=

cienki pr

ę

t

cienko

ś

cienna rura

cienki pier

ś

cie

ń

punkt materialny

2

12

1

ML

I

O

=

2

O

MR

I

=

2

O

MR

I

=

0

I

O

=

Moment bezwładno

ś

ci bryły o masie

M

wzgl

ę

dem osi obrotu innej ni

ż

o

ś

symetrii, mo

ż

na

obliczy

ć

z twierdzenia Steinera,

2

0

Md

I

I

A

+

=

ale pod pewnymi warunkami:

0

I

to moment bezwładno

ś

ci bryły wzgl

ę

dem której

ś

z jej osi

symetrii, osie O i A s

ą

równoległe do siebie, a odległo

ść

mi

ę

dzy nimi wynosi

d

.

55

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

►

Przykład 9.1: Cztery kulki, ka

ż

da o masie

g

5

m

=

, znajduj

ą

si

ę

w wierzchołkach kwadratu o

boku

m

a

1

=

. Oblicz moment bezwładno

ś

ci układu kulek wzgl

ę

dem osi zawieraj

ą

cej jeden z

boków kwadratu oraz wzgl

ę

dem osi zawieraj

ą

cej przek

ą

tn

ą

kwadratu. Kulki traktujemy jak punkty

materialne.

Moment bezwładno

ś

ci układu wzgl

ę

dem wybranej osi O jest równy sumie momentów

bezwładno

ś

ci poszczególnych elementów tego układu wzgl

ę

dem tej osi.

Chc

ą

c obliczy

ć

moment bezwładno

ś

ci dowolnej bryły wzgl

ę

dem dowolnej osi A, korzystamy z

twierdzenia Steinera:

2

0

Md

I

I

A

+

=

, gdzie

M

to masa bryły,

0

I

to moment bezwładno

ś

ci bryły

wzgl

ę

dem której

ś

z jej osi symetrii (najcz

ęś

ciej znany z tablic), osie O i A s

ą

równoległe do

siebie, a odległo

ść

mi

ę

dzy nimi wynosi

d .

Moment bezwładno

ś

ci punktu materialnego wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez ten punkt

0

0

=

I

.

Moment bezwładno

ś

ci układu kulek wzgl

ę

dem jednego z boków kwadratu:

2

2

2

2

0

A

m

kg

01

,

0

m

1

kg

005

,

0

2

Ma

2

0

Ma

2

I

4

I

⋅

=

⋅

⋅

=

+

=

+

=

Moment bezwładno

ś

ci układu kulek wzgl

ę

dem przek

ą

tnej

D

kwadratu (uwaga:

2

D

d

=

):

2

2

2

2

2

2

2

2

0

005

0

1

005

0

2

2

0

2

4

m

kg

,

m

kg

,

Ma

M

Md

Md

I

I

a

A

⋅

=

⋅

=

=













=

+

=

+

=

►

Przykład 9.2: Oblicz moment bezwładno

ś

ci cienkiego jednorodnego pr

ę

ta o długo

ś

ci L i masie

m, wzgl

ę

dem osi prostopadłej do niego i przechodz

ą

cej przez:

•

punkt odległy od

ś

rodka pr

ę

ta o L/4

•

punkt le

żą

cy na ko

ń

cu pr

ę

ta

Moment bezwładno

ś

ci cienkiego, jednorodnego pr

ę

ta wzgl

ę

dem osi prostopadłej do niego i

przechodz

ą

cej przez jego

ś

rodek wynosi:

2

12

1

0

ML

I

=

, gdzie

M

to masa pr

ę

ta, a

L

to jego

długo

ść

. Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem innej równoległej osi obliczamy z tw. Steinera:

2

0

A

Ma

I

I

+

=

i w tym przypadku:

•

4

/

L

a

=

, st

ą

d

2

48

7

2

4

L

2

12

1

A

ML

)

(

M

ML

I

=

+

=

•

2

/

L

a

=

, st

ą

d

2

3

1

2

2

L

2

12

1

A

ML

)

(

M

ML

I

=

+

=

►

Przykład 9.3: Z jednorodnej kuli o masie M i promieniu R wyci

ę

to kul

ę

o

promieniu

2

R

r

=

, której

ś

rodek znajdował si

ę

w odległo

ś

ci r od

ś

rodka

du

ż

ej kuli. Ile wynosi moment bezwładno

ś

ci wydr

ąż

onej kuli wzgl

ę

dem osi

przechodz

ą

cej przez punkt stanowi

ą

cy

ś

rodek masy pełnej du

ż

ej kuli i

stycznej do wydr

ąż

enia?

Moment bezwładno

ś

ci pełnej kuli wzgl

ę

dem osi O to suma momentu

bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi O kuli wydr

ąż

onej i momentu bezwładno

ś

ci wydr

ąż

enia. Zatem:

wydrazenia

kuli

dziurawe

I

I

I

−

=

2

5

2

kuli

MR

I

=

, a

( )

2

160

7

2

2

R

8

M

5

7

2

5

7

2

2

5

2

2

0

wydrazenia

MR

)

(

mr

mr

mr

Ma

I

I

=

=

=

+

=

+

=

, bo

8

/

M

m

=

.

Zatem

2

160

57

2

160

7

64

2

160

7

2

5

2

dziurawe

MR

MR

MR

MR

I

=

=

−

=

−

56

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

II.

Moment siły

Moment siły

M

jest wielko

ś

ci

ą

wektorow

ą

zdefiniowan

ą

wzgl

ę

dem osi obrotu, jako:

F

r

M

×

=

,

gdzie

r

- rami

ę

siły

F

.

Kierunek wektora

M

jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory

F

i

r

, a zwrot

M

mo

ż

na okre

ś

li

ć

z reguły dla iloczynu wektorowego.

Rami

ę

siły

F

to wektor prostopadły do osi obrotu, którego pocz

ą

tek le

ż

y na tej osi, a koniec

znajduje si

ę

w punkcie przyło

ż

enia siły

F

. Moment siły jest zatem obliczany zawsze wzgl

ę

dem

jakiej

ś

osi.

Warto

ść

momentu siły:

)

F

,

r

(

sin

F

r

M

∠

⋅

⋅

=

.

Moment siły jest przyczyn

ą

zmiany ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładno

ś

ci

I

,

nadaj

ą

c jej przyspieszenie k

ą

towe,

ε

:

I

M

=

ε

Jest to tzw. II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej.

Je

ś

li suma momentów wszystkich sił działaj

ą

cych na ciało jest równa zeru, to ciało obraca si

ę

ze

stał

ą

szybko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

,

ω

.

►

Przykład 9.4: Stosunek warto

ś

ci sił działaj

ą

cych na

brył

ę

sztywn

ą

wynosi

3

1

F

F

2

1

=

. Jaki warunek spełniaj

ą

długo

ś

ci ramion tych sił, je

ż

eli wiadomo,

ż

e bryła

obraca si

ę

ruchem jednostajnym wokół osi O

prostopadłej do płaszczyzny rysunku?

Je

ż

eli bryła obraca si

ę

ruchem obrotowym z jednostajn

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

, to z II zasady

dynamiki dla ruchu obrotowego, wypadkowy moment sił działaj

ą

cych na brył

ę

jest równy zeru:

0

M

=

, czyli

0

M

M

2

1

=

+

Moment siły

1

F

:

1

1

1

F

r

M

×

=

, gdzie

1

r

jest ramieniem siły, czyli

wektorem prostopadłym do osi obrotu, którego pocz

ą

tek le

ż

y na tej osi , a koniec znajduje si

ę

w

punkcie przyło

ż

enia siły

1

F

. Podobnie obliczamy moment siły

2

F

:

2

2

2

F

r

M

×

=

. Poniewa

ż

wektory

2

1

M

i

M

s

ą

do siebie równoległe i maj

ą

przeciwne zwroty, to równanie wektorowe na

sum

ę

momentów sił mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci algebraicznej (wybieram o

ś

OX prostopadł

ą

do

płaszczyzny rysunku i np. zwrócon

ą

za t

ę

płaszczyzn

ę

.):

3

1

F

F

r

r

F

r

F

r

)

F

,

r

(

sin

F

r

)

F

,

r

(

sin

F

r

0

M

M

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

2

1

=

=

⇒

=

⇒

∠

=

∠

⇒

=

−

. Czyli

długo

ść

2

r

ramienia siły

2

F

jest trzykrotnie mniejsza od długo

ś

ci

1

r

ramienia siły

1

F

.

57

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

III.

Moment p

ę

du. Zasada zachowania momentu p

ę

du

Moment p

ę

du

L

jest wielko

ś

ci

ą

wektorow

ą

zdefiniowan

ą

wzgl

ę

dem punktu, jako:

p

r

L

×

=

, gdzie

r

- rami

ę

p

ę

du

p

.

Kierunek wektora

L

jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory

p

i

r

, a zwrot

L

mo

ż

na okre

ś

li

ć

z reguły dla iloczynu wektorowego.

Warto

ść

momentu p

ę

du:

)

p

,

r

(

sin

p

r

L

∠

⋅

⋅

=

.

Cz

ęś

ciej stosowana jest druga definicja momentu p

ę

du:

ω

⋅

=

I

L

, gdzie

ω

jest wektorem

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej bryły, o kierunku pokrywaj

ą

cym si

ę

osi

ą

obrotu i zwrocie okre

ś

lonym zgodnie z

reguł

ą

ś

ruby prawoskr

ę

tnej.

Moment p

ę

du mo

ż

na powi

ą

za

ć

z momentem siły poprzez tzw. uogólnion

ą

posta

ć

II zasady dynamiki

dla ruchu obrotowego bryły sztywnej:

t

M

L

∆

⋅

=

∆

Zasada zachowania momentu p

ę

du.

Je

ż

eli wypadkowy moment sił działaj

ą

cych na brył

ę

sztywn

ą

jest równy zeru, to moment p

ę

du bryły

nie ulega zmianie:

0

L

0

M

=

∆

⇒

=

IV.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego. Zasada zachowania energii
mechanicznej

Ciało poruszaj

ą

c si

ę

ruchem obrotowym posiada energi

ę

kinetyczn

ą

ruchu obrotowego:

2

I

E

2

K

ω

=

Całkowita energia mechaniczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym nie ulega zmianie wtedy i tylko
wtedy, gdy wypadkowa sił niezachowawczych działaj

ą

cych na ciało jest równa zeru i moment sił

zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na ciało jest równy zeru.

58

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

►

Przykład 9.5: Dwa kr

ąż

ki obracaj

ą

si

ę

niezale

ż

nie w przeciwne strony z pr

ę

dko

ś

ciami k

ą

towymi o

warto

ś

ciach:

1

ω

i

2

ω

na jednej osi przechodz

ą

cej przez ich

ś

rodki i prostopadłej do ich powierzchni.

W pewnej chwili kr

ąż

ek górny spada na kr

ąż

ek dolny i kr

ąż

ki te „zlepiaj

ą

si

ę

”. Oblicz pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

zł

ą

czonych kr

ąż

ków, je

ż

eli masa górnego kr

ąż

ka wynosi

1

m

, a jego promie

ń

1

r

, natomiast masa

dolnego kr

ąż

ka wynosi

2

m

, a jego promie

ń

2

r

. Oblicz zmian

ę

energii kinetycznej układu i wyja

ś

nij,

dlaczego jest ona ró

ż

na od zera (tzn. dlaczego nie obowi

ą

zuje zasada zachowania energii).

Zderzenie idealnie niespr

ęż

yste. Obowi

ą

zuje zasada zachowania momentu p

ę

du, ale nie obowi

ą

zuje

zasada zachowania energii mechanicznej:

k

p

L

L

=

, czyli

k

2

1

2

2

1

1

)

I

I

(

I

I

ω

⋅

+

=

ω

⋅

−

ω

⋅

. Podstawiamy dane z zadania:

k

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

)

r

m

r

m

(

r

m

r

m

ω

⋅

+

=

ω

⋅

−

ω

⋅

, st

ą

d

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

k

r

m

r

m

r

m

r

m

+

ω

⋅

−

ω

⋅

=

ω

.

Zmiana energii kinetycznej:

2

I

2

I

)

I

I

(

)

I

I

(

2

)

I

I

(

2

I

2

I

2

)

I

I

(

E

2
2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2
k

2

1

k

ω

−

ω

−

+

ω

⋅

−

ω

⋅

⋅

+

=

ω

−

ω

−

ω

⋅

+

=

∆

.

Po skróceniu pierwszego iloczynu ułamków oraz sprowadzeniu wszystkich trzech składników
do wspólnego mianownika, otrzymujemy:

)

I

I

(

2

)

(

I

I

E

2

1

2

2

1

2

1

k

+

ω

+

ω

⋅

⋅

⋅

−

=

∆

. Zmiana energii układu jest ujemna tak, jak tego si

ę

spodziewali

ś

my.