10
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
I.
Odczytywanie informacji z wykresu – co tak naprawd
ę
na nim si
ę
znajduje.
Chc
ą
c odczyta
ć
informacje z wykresu funkcji, musimy dokładnie wiedzie
ć
, jaka wielko
ść
fizyczna
została na nim przedstawiona. W przypadku wykresów wielko
ś
ci skalarnych nie ma
Ŝ
adnych
w
ą
tpliwo
ś
ci (np. wykres szybko
ś
ci od czasu, wykres temperatury w zale
Ŝ
no
ś
ci od gł
ę
boko
ś
ci itp.).
Sprawa komplikuje si
ę
jednak w przypadku wykresów zwi
ą
zanych z wielko
ś
ciami wektorowymi,
poniewa
Ŝ
czasami informacja podana w zadaniu jest niejednoznaczna.
Nie mo
Ŝ
na narysowa
ć
wykresu funkcji wektora (np. od czasu, odległo
ś
ci itd.). Mo
Ŝ
na jedynie
narysowa
ć
wykres zale
Ŝ
no
ś
ci warto
ś
ci wektora (np. od czasu, odległo
ś
ci itd.) lub wykresy
zale
Ŝ
no
ś
ci poszczególnych współrz
ę
dnych wektora (np. od czasu, odległo
ś
ci itd.)
Cz
ę
sto – zarówno w zadaniach, jak i na wykładach - stosowany jest jednak skrót my
ś
lowy – mówi
si
ę
na przykład „na rysunku przedstawiono wykres pr
ę
dko
ś
ci od czasu”, co literalnie nie mo
Ŝ
e by
ć
prawd
ą
. Nale
Ŝ
y wówczas zada
ć
sobie pytanie, co tak naprawd
ę
zostało przedstawione na
wykresie.
►
Przykład 2.1: „Wykres pr
ę
dko
ś
ci ciała w ruchu
prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Skoro rozwa
Ŝ
any ruch jest prostoliniowy, to
znaczy,
Ŝ
e odbywa si
ę
po linii prostej, z któr
ą
mo
Ŝ
emy
zwi
ą
za
ć
jedn
ą
o
ś
układu współrz
ę
dnych, np. o
ś
OX.
Poniewa
Ŝ
cz
ęść
wykresu
)
t
(
v
znajduje si
ę
poni
Ŝ
ej osi
czasu, oznacza to,
Ŝ
e
0
)
t
(
v
<
(w przedziale czasu,
2
t
∆
: (2 s; 3,5 s)). Nie mo
Ŝ
e zatem by
ć
to wykres
warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci ciała (warto
ść
wektora jest zawsze
wielko
ś
ci
ą
nieujemn
ą
). Zatem wykres przedstawia
zale
Ŝ
no
ść
współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci ciała od czasu.
►
Przykład 2.2: „Wykres pr
ę
dko
ś
ci ciała w ruchu
prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Skoro rozwa
Ŝ
any ruch jest prostoliniowy, to
znaczy,
Ŝ
e odbywa si
ę
po linii prostej, z któr
ą
mo
Ŝ
emy
zwi
ą
za
ć
jedn
ą
o
ś
układu współrz
ę
dnych, np. o
ś
OX.
Wykres
)
t
(
v
w cało
ś
ci le
Ŝ
y powy
Ŝ
ej osi czasu (co
oznacza,
Ŝ
e
0
)
t
(
v
>
przez cały czas trwania ruchu),
dlatego z cał
ą
pewno
ś
ci
ą
mo
Ŝ
na stwierdzi
ć
,
Ŝ
e jest to
wykres warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci tego ciała. Bez
dodatkowych informacji o zwrocie pr
ę
dko
ś
ci nie mo
Ŝ
na
jednak stwierdzi
ć
jednoznacznie, czy jest to tak
Ŝ
e
wykres współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci tego ciała, czy te
Ŝ
nie. Istniej
ą
bowiem przynajmniej dwie
mo
Ŝ
liwo
ś
ci – odpowiadaj
ą
ce im wykresy współrz
ę
dnych pr
ę
dko
ś
ci przedstawiono poni
Ŝ
ej:
Blok 2:
Zale
Ŝ
no
ść
funkcyjna wielko
ś
ci fizycznych
11
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
gdy ciało porusza si
ę
przez cały czas
gdy ciało porusza si
ę
przez cały czas w stron
ę
zgodnie ze zwrotem wybranej osi OX
przeciwn
ą
do zwrotu wybranej osi OX
►
Przykład 2.3: „Wykres pr
ę
dko
ś
ci ciała
przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Poniewa
Ŝ
nie posiadamy informacji, czy
ruch jest prostoliniowy, musimy zakłada
ć
,
Ŝ
e jest on
krzywoliniowy.
Poniewa
Ŝ
cz
ęść
wykresu
)
t
(
v
znajduje si
ę
poni
Ŝ
ej
osi czasu, oznacza to,
Ŝ
e
0
)
t
(
v
<
(w przedziale
czasu,
2
t
∆
: (2 s; 3,5 s)). Nie mo
Ŝ
e zatem by
ć
to
wykres warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci ciała (warto
ść
wektora
jest zawsze wielko
ś
ci
ą
nieujemn
ą
). Zatem wykres
przedstawia zale
Ŝ
no
ść
jednej ze współrz
ę
dnych pr
ę
dko
ś
ci ciała od czasu.
►
Przykład 2.4: „Wykres pr
ę
dko
ś
ci ciała
przedstawiony został na rysunku:”
Analiza: Poniewa
Ŝ
nie posiadamy informacji, czy
ruch jest prostoliniowy, musimy zakłada
ć
,
Ŝ
e jest on
krzywoliniowy.
Wykres
)
t
(
v
w cało
ś
ci le
Ŝ
y powy
Ŝ
ej osi czasu (co
oznacza,
Ŝ
e
0
)
t
(
v
>
przez cały czas trwania
ruchu), dlatego z cał
ą
pewno
ś
ci
ą
mo
Ŝ
na stwierdzi
ć
,
Ŝ
e jest to wykres warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci tego ciała.
By
ć
mo
Ŝ
e wykres przedstawia tak
Ŝ
e zale
Ŝ
no
ść
jednej ze współrz
ę
dnych pr
ę
dko
ś
ci ciała od czasu,
ale aby to stwierdzi
ć
, potrzebne s
ą
dodatkowe informacje (kierunek i zwrot pr
ę
dko
ś
ci).
Mo
Ŝ
na dowiedzie
ć
si
ę
, jaka jest zale
Ŝ
no
ść
całego wektora (od zmiennej niezale
Ŝ
nej, np.
od czasu), ale tylko wtedy, gdy poznamy wykresy zale
Ŝ
no
ś
ci wszystkich jego
współrz
ę
dnych (od tej samej zmiennej niezale
Ŝ
nej, np. od czasu).
12
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
II.
Odczytywanie informacji z wykresu – analiza wykresu.
1. Z wykresów współrz
ę
dnych wektorów mo
Ŝ
na odczyta
ć
, w któr
ą
stron
ę
zwrócona jest
odpowiednia składowa wektora.
►
Przykład 2.5:
Na wykresie zale
Ŝ
no
ś
ci iksowej
współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci od czasu, wida
ć
,
Ŝ
e w
przedziale czasu
1
t
∆
:
(0 s; 2 s) współrz
ę
dna ta jest dodatnia (tzn.
)
0
)
t
(
v
x
>
,
sk
ą
d wnioskujemy,
Ŝ
e w czasie
1
t
∆
iksowa składowa
pr
ę
dko
ś
ci jest zwrócona zgodnie ze zwrotem osi OX. Na
tym samym wykresie, w przedziale czasu
2
t
∆
: (2 s; 3,5
s) iksowa współrz
ę
dna pr
ę
dko
ś
ci jest ujemna
(
)
0
)
t
(
v
x
<
), sk
ą
d wiadomo,
Ŝ
e w czasie
2
t
∆
iksowa
składowa pr
ę
dko
ś
ci jest zwrócona przeciwnie do zwrotu
osi OX.
2. Z wykresów zale
Ŝ
no
ś
ci jednej wielko
ś
ci fizycznej od zmiennej niezale
Ŝ
nej (np. czasu) mo
Ŝ
na
cz
ę
sto obliczy
ć
inne wielko
ś
ci fizyczne.
•
Wykres przedstawia zale
Ŝ
no
ść
wielko
ś
ci fizycznej
Γ
od zmiennej niezale
Ŝ
nej
Ψ
, czyli
)
(
Ψ
Γ
, a my poszukujemy funkcji
)
(
Ψ
Θ
, przy czym wiemy,
Ŝ
e
)
(
Ψ
Θ
jest pochodn
ą
funkcji
)
(
Ψ
Γ
po
Ψ
(czyli
Ψ
Ψ
Γ
=
Ψ
Γ
=
Ψ
Θ
d
)
(
d
)
(
'
)
(
). Wówczas szukana
)
(
Ψ
Θ
jest
funkcj
ą
tangens k
ą
ta nachylenia stycznej do wykresu
)
(
Ψ
Γ
do osi C, obliczan
ą
w
ka
Ŝ
dym punkcie
Ψ
.
Wersja bez pochodnych: Wykres przedstawia zale
Ŝ
no
ść
wielko
ś
ci fizycznej Z od zmiennej
niezale
Ŝ
nej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w
jednostkach fizycznych (j). Je
Ŝ
eli poszukujemy zale
Ŝ
no
ś
ci wielko
ś
ci fizycznej W(J), której
jednostk
ą
jest
)
(
j
z
, to W(J) jest równe tangensowi k
ą
ta nachylenia stycznej do wykresu Z(J)
do osi J, obliczanej w ka
Ŝ
dym punkcie J.
►
Przykład 2.6: Wykres współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci ciała został
przedstawiony na rysunku. Narysuj zale
Ŝ
no
ść
współrz
ę
dnej
przyspieszenia tego ciała od czasu.
Wiemy,
Ŝ
e
( )
[
]
'
t
v
a
x
x
=
, czyli iksowa współrz
ę
dna
przyspieszenia ciała jest pochodn
ą
funkcji iksowej
współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci tego ciała po czasie.
Albo mówi
ą
c inaczej:
0
t
x
x
t
v
a
→
∆
∆
∆
=
, co potwierdza równo
ść
jednostek po obu stronach równania:
=
s
s
m
s
m
2
.
13
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Zatem współrz
ę
dna przyspieszenia ciała jest równa tangensowi k
ą
ta nachylenia stycznej do
wykresu
)
t
(
v
x
. W podanym przykładzie:
2
s
m
2
s
m
2
4
x
2
)
t
(
a
−
=
−
=
(i jest akurat funkcj
ą
stał
ą
).
•
Wykres przedstawia zale
Ŝ
no
ść
wielko
ś
ci fizycznej
Γ
od zmiennej niezale
Ŝ
nej
Ψ
, czyli
)
(
Ψ
Γ
, a my poszukujemy funkcji
)
(
Ψ
Θ
, przy czym wiemy,
Ŝ
e
)
(
Ψ
Θ
jest całk
ą
funkcji
)
(
Ψ
Γ
po
Ψ
d
(czyli
Ψ
Ψ
Γ
=
Ψ
Θ
∫
d
)
(
)
(
). Wówczas szukana
)
(
Ψ
Θ
jest równa sumie
pól figur zawartych pomi
ę
dzy wykresem
)
(
Ψ
Γ
a osi
ą
Ψ
; przy czym pola figur
znajduj
ą
cych si
ę
powy
Ŝ
ej osi
Ψ
s
ą
w tej sumie uwzgl
ę
dniane ze znakiem „+”, a pola
figur znajduj
ą
cych si
ę
poni
Ŝ
ej osi
Ψ
s
ą
w tej sumie uwzgl
ę
dniane ze znakiem „-”.
•
Wersja bez całek: Wykres przedstawia zale
Ŝ
no
ść
wielko
ś
ci fizycznej Z od zmiennej
niezale
Ŝ
nej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w
jednostkach fizycznych (j). Je
Ŝ
eli poszukujemy zale
Ŝ
no
ś
ci wielko
ś
ci fizycznej W(J),
której jednostk
ą
jest
( )
j
z
⋅
, to W(J) jest równe sumie pól figur zawartych pomi
ę
dzy
wykresem Z(J) a osi
ą
J; przy czym pola figur znajduj
ą
cych si
ę
powy
Ŝ
ej osi J s
ą
w tej
sumie uwzgl
ę
dniane ze znakiem „+”, a pola figur znajduj
ą
cych si
ę
poni
Ŝ
ej osi
Ψ
s
ą
w
tej sumie uwzgl
ę
dniane ze znakiem „-”.
►
Przykład 2.7: Wykres iksowej współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci
ciała został przedstawiony na rysunku. Narysuj zale
Ŝ
no
ść
współrz
ę
dnej przemieszczenia tego ciała od czasu.
Wiemy,
Ŝ
e
dt
)
t
(
dx
)
t
(
v
x
=
, czyli funkcja iksowej
współrz
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci ciała jest pochodn
ą
funkcji iksowej
współrz
ę
dnej poło
Ŝ
enia tego ciała po czasie. St
ą
d
zale
Ŝ
no
ść
iksowej współrz
ę
dnej przemieszczenia od
czasu jest całk
ą
:
∫
⋅
=
∆
dt
)
t
(
v
)
t
(
x
x
.
Albo mówi
ą
c inaczej:
[
]
0
t
x
t
)
t
(
v
x
→
∆
∆
⋅
=
∆
, co potwierdza równo
ść
jednostek po obu stronach równania:
( )
)
s
(
)
m
(
s
m
⋅
=
.
Zatem współrz
ę
dna przemieszczenia ciała po czasie
s
5
,
3
t
1
=
∆
, licz
ą
c od pocz
ą
tku ruchu, jest
równa sumie pól
1
P
i
2
P
−
zawartych pomi
ę
dzy wykresem funkcji
)
t
(
v
x
, a osi
ą
czasu. Jak wida
ć
pole
1
P
wstawiamy do tej sumy ze znakiem „+” (bo ta figura le
Ŝ
y powy
Ŝ
ej osi czasu), a pole
2
P
-
ze znakiem „-” (bo ta figura le
Ŝ
y poni
Ŝ
ej osi czasu). W podanym przykładzie:
m
5
,
2
s
5
,
1
2
s
2
4
)
t
(
x
s
m
2
1
s
m
2
1
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∆
14
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
III.
Matematyczny opis ruchu prostoliniowego.
W wielu zadaniach mamy do czynienia albo z ruchem jednostajnym, albo z ruchem jednostajnie
zmiennym.
•
Ruch jednostajny to taki ruch, w którym warto
ść
pr
ę
dko
ś
ci ciała pozostaje stała podczas
całego ruchu, czyli
const
|
v
|
=
.
Je
ś
li dodatkowo ruch ten odbywa si
ę
po linii prostej (ruch jednostajny prostoliniowy),
opisywany jest przez par
ę
równa
ń
:
○
t
v
x
x
0
⋅
+
=
- wektor poło
Ŝ
enia tego ciała (
0
x
oznacza pocz
ą
tkowe poło
Ŝ
enie ciała)
○
const
v
=
- wektor pr
ę
dko
ś
ci tego ciała
•
Ruch jednostajnie zmienny oznacza,
Ŝ
e warto
ść
przyspieszenia ciała pozostaje stała
podczas całego ruchu, czyli
const
|
a
|
=
.
Je
ś
li dodatkowo ruch ten odbywa si
ę
po linii prostej (ruch prostoliniowy jednostajnie
zmienny), opisywany jest przez par
ę
równa
ń
:
○
2
x
2
1
x
0
0
t
a
t
v
x
x
⋅
+
⋅
+
=
- wektor poło
Ŝ
enia tego ciała (
0
x
oznacza pocz
ą
tkowe
poło
Ŝ
enie ciała,
0
v
oznacza pocz
ą
tkow
ą
pr
ę
dko
ść
ciała)
○
t
a
v
v
x
x
0
⋅
+
=
- wektor pr
ę
dko
ś
ci tego ciała
Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony to taki ruch, w którym pr
ę
dko
ść
ciała i
jego przyspieszenie maj
ą
ten sam zwrot (czyli ich współrz
ę
dne maj
ą
te same znaki).
Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrz
ę
dnych maj
ą
posta
ć
:
○
2
x
2
1
x
0
0
t
|
a
|
t
|
v
|
x
x
⋅
+
⋅
+
=
- iksowa współrz
ę
dna poło
Ŝ
enia tego ciała
○
t
|
a
|
|
v
|
v
x
x
0
x
⋅
+
=
- iksowa współrz
ę
dna pr
ę
dko
ś
ci tego ciała
Ruch prostoliniowy jednostajnie opó
ź
niony to taki ruch, w którym pr
ę
dko
ść
ciała i jego
przyspieszenie maj
ą
przeciwne zwroty (czyli ich współrz
ę
dne maj
ą
przeciwne znaki).
Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrz
ę
dnych maj
ą
posta
ć
:
○
2
x
2
1
x
0
0
t
|
a
|
t
|
v
|
x
x
⋅
−
⋅
+
=
- iksowa współrz
ę
dna poło
Ŝ
enia tego ciała
○
t
|
a
|
|
v
|
v
x
x
0
x
⋅
−
=
- iksowa współrz
ę
dna pr
ę
dko
ś
ci tego ciała
Stwierdzenie,
Ŝ
e w ruchu przyspieszonym przyspieszenie jest dodatnie, a w ruchu
opó
ź
nionym – ujemne jest bł
ę
dne, gdy
Ŝ
to nie wektor, ale jego składowe maj
ą
przypisane
znaki; sam wektor nie ma okre
ś
lonego znaku.
Niepoprawne jest równie
Ŝ
stwierdzenie,
Ŝ
e warto
ść
przyspieszenia w tych ruchach jest
odpowiednio: dodatnia lub ujemna, gdy
Ŝ
warto
ść
dowolnego wektora jest liczb
ą
nieujemn
ą
.
Nie jest tak
Ŝ
e w ogólno
ś
ci prawd
ą
,
Ŝ
e w ruchu przyspieszonym prostoliniowym
współrz
ę
dna przyspieszenia jest dodatnia, a w ruchu prostoliniowym opó
ź
nionym –
ujemna, bo to zale
Ŝ
y od wyboru zwrotu osi układu współrz
ę
dnych.
15
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
IV.
Składanie ruchów – rzuty.
Spadek swobodny, rzut pionowy, rzut poziomy i uko
ś
ny s
ą
przykładami ruchów odbywaj
ą
cych si
ę
ze stałym przyspieszeniem, w płaszczy
ź
nie pionowej.
Spadek swobodny i rzut pionowy s
ą
ruchami, które mo
Ŝ
na opisa
ć
w jednym wymiarze
( w kierunku pionowym), natomiast rzut poziomy i rzut uko
ś
ny to ruchy, do których opisu
potrzebne s
ą
dwa wymiary.
We wszystkich przypadkach poni
Ŝ
ej układy współrz
ę
dnych zostały tak wybrane, aby o
ś
pionowa była osi
ą
OY. Wówczas przyspieszenie ziemskie,
g
jest równoległe do tej osi.
Nale
Ŝ
y jednak zwróci
ć
uwag
ę
na to,
Ŝ
e zwrot osi OY jest dobierany w zale
Ŝ
no
ś
ci od
rozwa
Ŝ
anego przypadku.
1. Spadek swobodny i rzut pionowy s
ą
ruchami prostoliniowymi jednostajnie zmiennymi,
opisywanymi układem równa
ń
wektorowych:
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
t
g
v
v
t
g
t
v
y
y
y
0
y
2
2
1
y
0
0
,
gdzie
0
y
- pocz
ą
tkowe poło
Ŝ
enie ciała na osi pionowej,
y
0
v
- pocz
ą
tkowa pr
ę
dko
ść
ciała,
g
-
przyspieszenie ciała. S
ą
to równania ogólne, z których wyprowadza si
ę
nast
ę
pnie równania
współrz
ę
dnych, uwzgl
ę
dniaj
ą
c szczegóły konkretnych ruchów oraz zwrot osi OY obranego
wcze
ś
niej przez nas układu współrz
ę
dnych. I tak:
Spadek swobodny - we współrz
ę
dnych:
⋅
=
⋅
+
=
t
|
g
|
v
t
|
g
|
|
y
|
y
y
2
2
1
0
- przy tak wybranym układzie współrz
ę
dnych:
Rzut pionowy - we współrz
ę
dnych:
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
=
t
|
g
|
|
v
|
v
t
|
g
|
t
|
v
|
|
y
|
y
y
0
y
2
2
1
y
0
0
- przy tak wybranym układzie współrz
ę
dnych:
2. Rzut poziomy i uko
ś
ny mo
Ŝ
na rozpatrywa
ć
jako zło
Ŝ
enie dwóch, odbywaj
ą
cych si
ę
równocze
ś
nie ruchów: jednostajnego wzdłu
Ŝ
osi poziomej (osi OX) i jednostajnie zmiennego
wzdłu
Ŝ
osi pionowej (osi OY).
Ruch jednostajny wzdłu
Ŝ
osi OX odbywa si
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
x
0
v
i opisywany jest równaniami
wektorowymi:
t
v
x
x
x
0
0
⋅
+
=
i
x
0
x
v
v
=
.
16
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Ruch jednostajnie zmienny wzdłu
Ŝ
osi OY odbywa si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
pocz
ą
tkow
ą
y
0
v
i
przyspieszeniem
g
, i opisywany równaniami wektorowymi:
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
t
g
v
v
t
g
t
v
y
y
y
0
y
2
2
1
y
0
0
Rzut poziomy - we współrz
ę
dnych:
⋅
=
⋅
+
=
t
|
g
|
v
t
|
g
|
|
y
|
y
y
2
2
1
0
t
v
x
x
x
0
0
⋅
+
=
i
x
0
x
v
v
=
- przy tak wybranym układzie współrz
ę
dnych:
Rzut uko
ś
ny – we współrz
ę
dnych:
⋅
−
=
⋅
−
⋅
+
=
t
|
g
|
|
v
|
v
t
|
g
|
t
|
v
|
|
y
|
y
y
0
y
2
2
1
y
0
0
t
v
x
x
x
0
0
⋅
+
=
i
x
0
x
v
v
=
,
gdzie
α
⋅
=
cos
|
v
|
|
v
|
0
x
0
α
⋅
=
sin
|
v
|
|
v
|
0
y
0
- przy tak wybranym układzie współrz
ę
dnych:
Je
Ŝ
eli mo
Ŝ
na pomin
ąć
opory ruchu, to czas wznoszenia ciała na maksymaln
ą
wysoko
ść
równy
jest czasowi opadania (w rzucie pionowym w gór
ę
, w rzucie uko
ś
nym).