47
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
I.
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny to ruch ciała odbywaj
ą
cy si
ę
pod wpływem działania siły o szczególnej
postaci:
x
k
F
h
−
=
,
gdzie
k
- jest współczynnikiem proporcjonalno
ś
ci (stał
ą
), a
x
- jest wektorem wychylenia z
poło
Ŝ
enia równowagi.
Ruch harmoniczny, w którym siła wypadkowa jest równa powy
Ŝ
szej sile jest ruchem oscylacyjnym
(drgaj
ą
cym), wokół poło
Ŝ
enia równowagi,
0
x
=
. Oscylacje tego ruchu nie wytłumiaj
ą
si
ę
w
czasie.
poło
Ŝ
enie równowagi,
0
F
h
=
wychylenie z poło
Ŝ
enia równowagi,
x
k
F
h
−
=
Z II zasady dynamiki Newtona dla układów o stałej masie wiemy,
Ŝ
e wówczas
m
a
F
⋅
=
.
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c,
Ŝ
e
2
2
dt
x
d
a
=
, otrzymujemy dynamiczne równanie ruchu dla ciała (zwanego
oscylatorem harmonicznym) poruszaj
ą
cego si
ę
prostym ruchem harmonicznym:
x
k
dt
x
d
m
2
2
−
=
W przypadku ruchu w jednym wymiarze, powy
Ŝ
sze równanie sprowadza si
ę
do:
0
kx
dt
x
d
m
2
2
=
+
.
Jest to równanie ró
Ŝ
niczkowe, którego rozwi
ą
zanie ma posta
ć
:
)
t
sin(
A
)
t
(
x
0
ϕ
+
⋅
ω
⋅
=
lub
)
'
t
cos(
A
)
t
(
x
0
ϕ
+
⋅
ω
⋅
=
, gdzie
A
– amplituda drga
ń
(warto
ść
najwi
ę
kszego wychylenia z
poło
Ŝ
enia równowagi),
ω
- cz
ę
sto
ść
drga
ń
,
0
ϕ
lub
0
'
ϕ
- faza pocz
ą
tkowa, a wyra
Ŝ
enie znajduj
ą
ce
si
ę
w nawiasie (argument funkcji sinus) to faza ruchu.
Blok 8:
Ruch harmoniczny.
Wahadło matematyczne
48
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Oba równania s
ą
równoprawne, ale rozwi
ą
zuj
ą
c zadanie, trzeba si
ę
na które
ś
zdecydowa
ć
i
konsekwentnie trzyma
ć
si
ę
swojej decyzji. Z pozoru wydaj
ą
si
ę
one bowiem ró
Ŝ
ni
ć
wył
ą
cznie
rodzajem wykorzystanej funkcji trygonometrycznej. Jest w nich jednak pewna subtelna ró
Ŝ
nica:
faza ruchu ( w tym: faza pocz
ą
tkowa) w ka
Ŝ
dym z nich jest inna. Dlatego podaj
ą
c rozwi
ą
zanie
dotycz
ą
ce fazy ( w szczególno
ś
ci – fazy pocz
ą
tkowej) ruchu, nale
Ŝ
y wyra
ź
nie zaznaczy
ć
, z
którego kinematycznego równania ruchu korzystali
ś
my.
W tym skrypcie zdecydujemy si
ę
na korzystanie z kinematycznego równania ruchu oscylatora
harmonicznego w postaci:
)
t
sin(
A
)
t
(
x
0
ϕ
+
⋅
ω
⋅
=
.
W przypadku takiego wła
ś
nie wyboru, fazy ruchu okre
ś
lane s
ą
nast
ę
puj
ą
co:
W powy
Ŝ
szych wzorach na faz
ę
ruchu,
ϕ
, przyjmujemy
N
k
∈
. Gdy wyznaczamy faz
ę
pocz
ą
tkow
ą
, przyjmujemy w powy
Ŝ
szych równaniach
0
k
=
49
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Iksowa współrz
ę
dna pr
ę
dko
ś
ci chwilowej oscylatora harmonicznego wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
)
t
cos(
A
)
t
(
v
x
0
ϕ
ω
ω
+
⋅
⋅
⋅
=
Iksowa współrz
ę
dna przyspieszenia chwilowego oscylatora harmonicznego wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
)
t
sin(
A
)
t
(
a
0
2
x
ϕ
+
⋅
ω
⋅
ω
⋅
−
=
Maksymalne warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci:
ω
⋅
=
A
|
v
|
max
x
oraz przyspieszenia
2
max
x
A
|
a
|
ω
⋅
=
.
Po wstawieniu wyra
Ŝ
e
ń
na
)
t
(
x
i na
)
t
(
a
x
do ró
Ŝ
niczkowego równania opisuj
ą
ce ruch oscylatora
harmonicznego, otrzymujemy uniwersaln
ą
zale
Ŝ
no
ść
:
m
k
=
ω
.
Okres drga
ń
oscylatora harmonicznego:
k
m
2
2
T
π
=
ω
π
=
.
Okres drga
ń
oscylatora harmonicznego nie zale
Ŝ
y od amplitudy drga
ń
.
Chwilowa energia kinetyczna oscylatora harmonicznego:
2
)
t
(
v
m
)
t
(
E
2
x
k
⋅
=
.
Chwilowa energia potencjalna spr
ęŜ
ysto
ś
ci (zwi
ą
zana z sił
ą
zachowawcz
ą
h
F
):
2
)
t
(
x
k
)
t
(
E
2
p
⋅
=
.
Całkowita energia mechaniczna oscylatora harmonicznego:
2
2
1
c
kA
E
=
.
Dla danego oscylatora harmonicznego amplituda jego ruchu
A
zale
Ŝ
y od tego, jak bardzo
wychylimy oscylator z poło
Ŝ
enia równowagi przed rozpocz
ę
ciem ruchu (lub jak
ą
nadamy mu
pr
ę
dko
ść
pocz
ą
tkow
ą
w poło
Ŝ
eniu równowagi).
Dlatego całkowita energia mechaniczna danego oscylatora zale
Ŝ
y nie tylko od warto
ś
ci stałej
k
,
ale tak
Ŝ
e od warunków pocz
ą
tkowych, inicjuj
ą
cych ruch.
II.
Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne jest bardzo szczególnym rodzajem wahadła, w którym punkt materialny
(lub ciało niewielkich rozmiarów) o masie
m
, zawieszony jest na niewa
Ŝ
kiej i nierozci
ą
gliwej nici o
długo
ś
ci
L
; wahadło matematyczne wprawiane jest w ruch oscylacyjny o niewielkiej amplitudzie
(k
ą
t wychylenia z poło
Ŝ
enia równowagi mie
ś
ci si
ę
w granicach:
)
7
0
(
rad
12
,
0
0
o
o
−
≈
−
≈
α
.
Opory ruchu s
ą
pomijalne.
Wahadło matematyczne jest przykładem oscylatora harmonicznego.
Sił
ą
powoduj
ą
c
ą
ruch harmoniczny wahadła matematycznego w dowolnych warunkach (w
dowolnym układzie odniesienia) jest prostopadła do nici składowa pewnej szczególnej siły, tzn.
siły, która w poło
Ŝ
eniu równowagi równowa
Ŝ
y sił
ę
spr
ęŜ
ysto
ś
ci nici wahadła.
50
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
I tak, dla wahadła znajduj
ą
cego si
ę
w inercjalnym układzie odniesienia:
poło
Ŝ
enie równowagi,
0
F
h
=
wychylenie z poło
Ŝ
enia równowagi,
α
=
sin
mg
F
h
Sił
ą
równowa
Ŝą
c
ą
sił
ę
spr
ęŜ
ysto
ś
ci nici,
N
F
, jest siła ci
ęŜ
ko
ś
ci,
g
m
F
c
=
.
Warto
ść
siły powoduj
ą
cej ruch harmoniczny wahadła:
α
=
sin
mg
F
h
, mo
Ŝ
na przybli
Ŝ
y
ć
,
korzystaj
ą
c z faktu,
Ŝ
e dla niewielkich k
ą
tów wychylenia
α
≈
α
sin
, dzi
ę
ki czemu otrzymujemy:
α
≈
mg
F
h
. Z kolei z definicji miary łukowej k
ą
ta
L
x
=
α
, dlatego
x
L
mg
F
h
≈
. Istotnie warto
ść
tej
siły jest proporcjonalna do wychylenia wahadła z poło
Ŝ
enia równowagi i siła przeciwstawia si
ę
wychyleniu z tego poło
Ŝ
enia, dlatego mo
Ŝ
na stwierdzi
ć
,
Ŝ
e jest to siła powoduj
ą
ca ruch
harmoniczny. Współczynnik proporcjonalno
ś
ci
L
mg
k
=
.
Cz
ę
sto
ść
drga
ń
w tym ruchu wynosi:
L
g
mL
mg
m
k
=
=
=
ω
, a okres drga
ń
:
g
L
2
2
T
π
=
ω
π
=
.
►
Przykład 8.1: Wahadło matematyczne o długo
ś
ci
L zawieszono w windzie. Oblicz okres drga
ń
tego wahadła, je
Ŝ
eli winda:
•
porusza si
ę
w gór
ę
z przyspieszeniem o warto
ś
ci
g
a
<
•
porusza si
ę
w gór
ę
z opó
ź
nieniem o warto
ś
ci
g
a
<
51
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Przypadek I: winda porusza si
ę
w gór
ę
z przyspieszeniem.
Najpierw musimy znale
źć
warto
ść
siły, która w poło
Ŝ
eniu równowagi wahadła równowa
Ŝ
y sił
ę
spr
ęŜ
ysto
ś
ci nici wahadła. T
ę
sił
ę
oznaczamy
r
F
i jest ona równa:
b
c
r
F
F
F
+
=
Gdy winda ta porusza si
ę
w gór
ę
z przyspieszeniem
a
, to siła bezwładno
ś
ci działaj
ą
ca na punkt
materialny jest zwrócona pionowo w dół. Siła
r
F
ma wi
ę
c warto
ść
:
)
a
g
(
m
F
F
F
b
c
r
+
=
+
=
poło
Ŝ
enie równowagi,
0
F
h
=
wychylenie z poło
Ŝ
enia równowagi,
α
=
sin
F
F
r
h
Warto
ść
siły powoduj
ą
cej ruch harmoniczny wahadła:
α
+
=
α
=
sin
)
a
g
(
m
sin
F
F
r
h
, mo
Ŝ
na
przybli
Ŝ
y
ć
, korzystaj
ą
c z faktu,
Ŝ
e dla niewielkich k
ą
tów wychylenia
α
≈
α
sin
, dzi
ę
ki czemu
otrzymujemy:
α
+
≈
)
a
g
(
m
F
h
. Z kolei z definicji miary łukowej k
ą
ta
L
x
=
α
, dlatego
x
L
)
a
g
(
m
F
h
+
≈
. Istotnie
warto
ść
tej siły jest proporcjonalna do wychylenia wahadła z poło
Ŝ
enia równowagi i siła
przeciwstawia si
ę
wychyleniu z tego poło
Ŝ
enia, dlatego mo
Ŝ
na stwierdzi
ć
,
Ŝ
e jest to siła
powoduj
ą
ca ruch harmoniczny. Współczynnik proporcjonalno
ś
ci
L
)
a
g
(
m
k
+
=
.
Cz
ę
sto
ść
drga
ń
w tym ruchu wynosi:
L
a
g
mL
)
a
g
(
m
m
k
+
=
+
=
=
ω
, a okres drga
ń
:
a
g
L
2
T
+
π
=
.
52
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Przypadek II: winda porusza si
ę
w gór
ę
z przyspieszeniem.
Gdy winda jedzie w gór
ę
z opó
ź
nieniem, przyspieszenie windy ma zwrot zgodny ze zwrotem
przyspieszenia ziemskiego, post
ę
puj
ą
c według powy
Ŝ
szego schematu, mo
Ŝ
na pokaza
ć
,
Ŝ
e
okres drga
ń
wahadła matematycznego zawieszonego w takiej windzie wynosi:
a
g
L
T
−
=
π
2
.