47

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny to ruch ciała odbywaj

ą

cy si

ę

pod wpływem działania siły o szczególnej

postaci:

x

k

F

h

−

=

,

gdzie

k

- jest współczynnikiem proporcjonalno

ś

ci (stał

ą

), a

x

- jest wektorem wychylenia z

poło

ż

enia równowagi.

Ruch harmoniczny, w którym siła wypadkowa jest równa powy

ż

szej sile jest ruchem oscylacyjnym

(drgaj

ą

cym), wokół poło

ż

enia równowagi,

0

x

=

. Oscylacje tego ruchu nie wytłumiaj

ą

si

ę

w

czasie.

poło

ż

enie równowagi,

0

F

h

=

wychylenie z poło

ż

enia równowagi,

x

k

F

h

−

=

Z II zasady dynamiki Newtona dla układów o stałej masie wiemy,

ż

e wówczas

m

a

F

⋅

=

.

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c,

ż

e

2

2

dt

x

d

a

=

, otrzymujemy dynamiczne równanie ruchu dla ciała (zwanego

oscylatorem harmonicznym) poruszaj

ą

cego si

ę

prostym ruchem harmonicznym:

x

k

dt

x

d

m

2

2

−

=

W przypadku ruchu w jednym wymiarze, powy

ż

sze równanie sprowadza si

ę

do:

0

kx

dt

x

d

m

2

2

=

+

.

Jest to równanie ró

ż

niczkowe, którego rozwi

ą

zanie ma posta

ć

:

)

t

sin(

A

)

t

(

x

0

ϕ

+

⋅

ω

⋅

=

lub

)

'

t

cos(

A

)

t

(

x

0

ϕ

+

⋅

ω

⋅

=

, gdzie

A

– amplituda drga

ń

(warto

ść

najwi

ę

kszego wychylenia z

poło

ż

enia równowagi),

ω

- cz

ę

sto

ść

drga

ń

,

0

ϕ

lub

0

'

ϕ

- faza pocz

ą

tkowa, a wyra

ż

enie znajduj

ą

ce

si

ę

w nawiasie (argument funkcji sinus) to faza ruchu.

Blok 8:

Ruch harmoniczny.

Wahadło matematyczne

48

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Oba równania s

ą

równoprawne, ale rozwi

ą

zuj

ą

c zadanie, trzeba si

ę

na które

ś

zdecydowa

ć

i

konsekwentnie trzyma

ć

si

ę

swojej decyzji. Z pozoru wydaj

ą

si

ę

one bowiem ró

ż

ni

ć

wył

ą

cznie

rodzajem wykorzystanej funkcji trygonometrycznej. Jest w nich jednak pewna subtelna ró

ż

nica:

faza ruchu ( w tym: faza pocz

ą

tkowa) w ka

ż

dym z nich jest inna. Dlatego podaj

ą

c rozwi

ą

zanie

dotycz

ą

ce fazy ( w szczególno

ś

ci – fazy pocz

ą

tkowej) ruchu, nale

ż

y wyra

ź

nie zaznaczy

ć

, z

którego kinematycznego równania ruchu korzystali

ś

my.

W tym skrypcie zdecydujemy si

ę

na korzystanie z kinematycznego równania ruchu oscylatora

harmonicznego w postaci:

)

t

sin(

A

)

t

(

x

0

ϕ

+

⋅

ω

⋅

=

.

W przypadku takiego wła

ś

nie wyboru, fazy ruchu okre

ś

lane s

ą

nast

ę

puj

ą

co:

W powy

ż

szych wzorach na faz

ę

ruchu,

ϕ

, przyjmujemy

N

k

∈

. Gdy wyznaczamy faz

ę

pocz

ą

tkow

ą

, przyjmujemy w powy

ż

szych równaniach

0

k

=

49

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Iksowa współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci chwilowej oscylatora harmonicznego wyra

ż

a si

ę

wzorem:

)

t

cos(

A

)

t

(

v

x

0

ϕ

ω

ω

+

⋅

⋅

⋅

=

Iksowa współrz

ę

dna przyspieszenia chwilowego oscylatora harmonicznego wyra

ż

a si

ę

wzorem:

)

t

sin(

A

)

t

(

a

0

2

x

ϕ

+

⋅

ω

⋅

ω

⋅

−

=

Maksymalne warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci:

ω

⋅

=

A

|

v

|

max

x

oraz przyspieszenia

2

max

x

A

|

a

|

ω

⋅

=

.

Po wstawieniu wyra

ż

e

ń

na

)

t

(

x

i na

)

t

(

a

x

do ró

ż

niczkowego równania opisuj

ą

ce ruch oscylatora

harmonicznego, otrzymujemy uniwersaln

ą

zale

ż

no

ść

:

m

k

=

ω

.

Okres drga

ń

oscylatora harmonicznego:

k

m

2

2

T

π

=

ω

π

=

.

Okres drga

ń

oscylatora harmonicznego nie zale

ż

y od amplitudy drga

ń

.

Chwilowa energia kinetyczna oscylatora harmonicznego:

2

)

t

(

v

m

)

t

(

E

2
x

k

⋅

=

.

Chwilowa energia potencjalna spr

ęż

ysto

ś

ci (zwi

ą

zana z sił

ą

zachowawcz

ą

h

F

):

2

)

t

(

x

k

)

t

(

E

2

p

⋅

=

.

Całkowita energia mechaniczna oscylatora harmonicznego:

2

2

1

c

kA

E

=

.

Dla danego oscylatora harmonicznego amplituda jego ruchu

A

zale

ż

y od tego, jak bardzo

wychylimy oscylator z poło

ż

enia równowagi przed rozpocz

ę

ciem ruchu (lub jak

ą

nadamy mu

pr

ę

dko

ść

pocz

ą

tkow

ą

w poło

ż

eniu równowagi).

Dlatego całkowita energia mechaniczna danego oscylatora zale

ż

y nie tylko od warto

ś

ci stałej

k

,

ale tak

ż

e od warunków pocz

ą

tkowych, inicjuj

ą

cych ruch.

II.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne jest bardzo szczególnym rodzajem wahadła, w którym punkt materialny
(lub ciało niewielkich rozmiarów) o masie

m

, zawieszony jest na niewa

ż

kiej i nierozci

ą

gliwej nici o

długo

ś

ci

L

; wahadło matematyczne wprawiane jest w ruch oscylacyjny o niewielkiej amplitudzie

(k

ą

t wychylenia z poło

ż

enia równowagi mie

ś

ci si

ę

w granicach:

)

7

0

(

rad

12

,

0

0

o

o

−

≈

−

≈

α

.

Opory ruchu s

ą

pomijalne.

Wahadło matematyczne jest przykładem oscylatora harmonicznego.


Sił

ą

powoduj

ą

c

ą

ruch harmoniczny wahadła matematycznego w dowolnych warunkach (w

dowolnym układzie odniesienia) jest prostopadła do nici składowa pewnej szczególnej siły, tzn.
siły, która w poło

ż

eniu równowagi równowa

ż

y sił

ę

spr

ęż

ysto

ś

ci nici wahadła.

50

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I tak, dla wahadła znajduj

ą

cego si

ę

w inercjalnym układzie odniesienia:

poło

ż

enie równowagi,

0

F

h

=

wychylenie z poło

ż

enia równowagi,

α

=

sin

mg

F

h

Sił

ą

równowa

żą

c

ą

sił

ę

spr

ęż

ysto

ś

ci nici,

N

F

, jest siła ci

ęż

ko

ś

ci,

g

m

F

c

=

.

Warto

ść

siły powoduj

ą

cej ruch harmoniczny wahadła:

α

=

sin

mg

F

h

, mo

ż

na przybli

ż

y

ć

,

korzystaj

ą

c z faktu,

ż

e dla niewielkich k

ą

tów wychylenia

α

≈

α

sin

, dzi

ę

ki czemu otrzymujemy:

α

≈

mg

F

h

. Z kolei z definicji miary łukowej k

ą

ta

L

x

=

α

, dlatego

x

L

mg

F

h

≈

. Istotnie warto

ść

tej

siły jest proporcjonalna do wychylenia wahadła z poło

ż

enia równowagi i siła przeciwstawia si

ę

wychyleniu z tego poło

ż

enia, dlatego mo

ż

na stwierdzi

ć

,

ż

e jest to siła powoduj

ą

ca ruch

harmoniczny. Współczynnik proporcjonalno

ś

ci

L

mg

k

=

.

Cz

ę

sto

ść

drga

ń

w tym ruchu wynosi:

L

g

mL

mg

m

k

=

=

=

ω

, a okres drga

ń

:

g

L

2

2

T

π

=

ω

π

=

.

►

Przykład 8.1: Wahadło matematyczne o długo

ś

ci

L zawieszono w windzie. Oblicz okres drga

ń

tego wahadła, je

ż

eli winda:

•

porusza si

ę

w gór

ę

z przyspieszeniem o warto

ś

ci

g

a

<

•

porusza si

ę

w gór

ę

z opó

ź

nieniem o warto

ś

ci

g

a

<

51

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Przypadek I: winda porusza si

ę

w gór

ę

z przyspieszeniem.

Najpierw musimy znale

źć

warto

ść

siły, która w poło

ż

eniu równowagi wahadła równowa

ż

y sił

ę

spr

ęż

ysto

ś

ci nici wahadła. T

ę

sił

ę

oznaczamy

r

F

i jest ona równa:

b

c

r

F

F

F

+

=

Gdy winda ta porusza si

ę

w gór

ę

z przyspieszeniem

a

, to siła bezwładno

ś

ci działaj

ą

ca na punkt

materialny jest zwrócona pionowo w dół. Siła

r

F

ma wi

ę

c warto

ść

:

)

a

g

(

m

F

F

F

b

c

r

+

=

+

=

poło

ż

enie równowagi,

0

F

h

=

wychylenie z poło

ż

enia równowagi,

α

=

sin

F

F

r

h

Warto

ść

siły powoduj

ą

cej ruch harmoniczny wahadła:

α

+

=

α

=

sin

)

a

g

(

m

sin

F

F

r

h

, mo

ż

na

przybli

ż

y

ć

, korzystaj

ą

c z faktu,

ż

e dla niewielkich k

ą

tów wychylenia

α

≈

α

sin

, dzi

ę

ki czemu

otrzymujemy:

α

+

≈

)

a

g

(

m

F

h

. Z kolei z definicji miary łukowej k

ą

ta

L

x

=

α

, dlatego

x

L

)

a

g

(

m

F

h

+

≈

. Istotnie

warto

ść

tej siły jest proporcjonalna do wychylenia wahadła z poło

ż

enia równowagi i siła

przeciwstawia si

ę

wychyleniu z tego poło

ż

enia, dlatego mo

ż

na stwierdzi

ć

,

ż

e jest to siła

powoduj

ą

ca ruch harmoniczny. Współczynnik proporcjonalno

ś

ci

L

)

a

g

(

m

k

+

=

.

Cz

ę

sto

ść

drga

ń

w tym ruchu wynosi:

L

a

g

mL

)

a

g

(

m

m

k

+

=

+

=

=

ω

, a okres drga

ń

:

a

g

L

2

T

+

π

=

.

52

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Przypadek II: winda porusza si

ę

w gór

ę

z przyspieszeniem.

Gdy winda jedzie w gór

ę

z opó

ź

nieniem, przyspieszenie windy ma zwrot zgodny ze zwrotem

przyspieszenia ziemskiego, post

ę

puj

ą

c według powy

ż

szego schematu, mo

ż

na pokaza

ć

,

ż

e

okres drga

ń

wahadła matematycznego zawieszonego w takiej windzie wynosi:

a

g

L

T

−

=

π

2

.