38

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

P

ę

d ciała i p

ę

d układu ciał

P

ę

d jest wielko

ś

ci

ą

wektorow

ą

, opisan

ą

równaniem:

v

m

p

⋅

=

.

Je

ż

eli rozwa

ż

amy p

ę

d pojedynczego ciała, to w powy

ż

szym wzorze

m

jest mas

ą

tego ciała, a

v

- jego pr

ę

dko

ś

ci

ą

chwilow

ą

.

Dla p

ę

du układu ciał, masa

m

wyst

ę

puj

ą

ca w powy

ż

szym wzorze jest mas

ą

całego układu,

a

v

- jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

ś

rodka masy całego układu

n

ciał:

SM

n

2

1

ukl

v

)

m

...

m

m

(

p

⋅

+

+

+

=

P

ę

d jest wielko

ś

ci

ą

addytywn

ą

, oznacza to,

ż

e p

ę

d układu

n

ciał mo

ż

na tak

ż

e zapisa

ć

jako sum

ę

p

ę

dów poszczególnych ciał:

n

n

2

2

1

1

n

2

1

ukl

v

m

...

v

m

v

m

p

...

p

p

p

+

+

+

=

+

+

+

=

II.

II zasada dynamiki w formie uogólnionej

Zmiana p

ę

du

p

∆

, (jak ka

ż

da wielko

ść

fizyczna oznaczaj

ą

ca zmian

ę

wielko

ś

ci wektorowej),

okre

ś

lona jest jako wektorowa ró

ż

nica pomi

ę

dzy p

ę

dem ko

ń

cowym, a p

ę

dem pocz

ą

tkowym:

p

k

p

p

p

−

=

∆

.

Przyczyn

ą

zmiany p

ę

du jest działaj

ą

ca wypadkowa siła zewn

ę

trzna:, co oznacza,

ż

e dla stałej

siły wypadkowej:

t

F

p

wyp

∆

⋅

=

∆

, a dla siły wypadkowej zmiennej w czasie:

∫

∫

⋅

=

=

∆

dt

)

t

(

F

p

d

p

wyp

Zmian

ę

p

ę

du

p

∆

t

ę

mo

ż

emy podzieli

ć

przez przyrost czasu,

t

∆

, otrzymuj

ą

c:

0

t

p

k

0

t

wyp

t

p

p

t

p

F

→

→















∆

−

=













∆

∆

=

. J

Je

ż

eli zało

ż

ymy,

ż

e masa układu nie zmienia si

ę

w czasie, to wyra

ż

enie to mo

ż

emy rozpisa

ć

bardziej szczegółowo:

a

m

t

v

m

t

v

m

v

m

t

p

p

t

p

F

0

t

0

t

p

k

0

t

p

k

0

t

wyp

⋅

=













∆

∆

=















∆

−

=















∆

−

=













∆

∆

=

→

→

→

→

,

a to wyra

ż

enie jest ju

ż

nam znane od dawna: jest to II zasada dynamiki Newtona.

Zasada ta jest spełniona dla ciał i układów, których masa nie zmienia si

ę

.

Uogólniona posta

ć

II zasady dynamiki obowi

ą

zuje tak

ż

e dla ciał i układów, w których masa

poszczególnych elementów układu zmienia si

ę

w czasie, dlatego nazwana została mianem

uogólnionej:

∫

∫

⋅

=

=

∆

dt

)

t

(

F

p

d

p

wyp

Zasada ta obowi

ą

zuje zarówno w przypadku pojedynczych ciał, jak i układów ciał.

Blok 6:

P

ę

d. Zasada zachowania p

ę

du.

Praca. Moc

39

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

III.

Zasada zachowania p

ę

du

Z II zasady dynamiki Newtona w formie uogólnionej mo

ż

emy wyprowadzi

ć

zasad

ę

zachowania p

ę

du.

Zasada zachowania p

ę

du dla pojedynczego ciała:

P

ę

d pojedynczego ciała nie zmienia si

ę

(pozostaje stały) wtedy i tylko wtedy, gdy wypadkowa

siła działaj

ą

ca na ciało jest równa zeru:

0

F

0

p

wyp

=

⇔

=

∆

Zasada zachowania p

ę

du dla pojedynczego ciała:

P

ę

d układu ciał nie zmienia si

ę

(pozostaje stały) wtedy i tylko wtedy, gdy wypadkowa sił

zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na układ ciał jest równa zeru:

0

F

0

p

zewn

wyp

ukl

=

⇔

=

∆

.

P

ę

d układu nie zmienia si

ę

, nawet, je

ż

eli ciała nale

żą

ce do tego układu oddziałuj

ą

ze sob

ą

siłami wewn

ę

trznymi, (b

ę

d

ą

cymi w tym układzie siłami akcji-reakcji)

P

ę

d układu ciał mo

ż

e by

ć

zachowany, a mimo to p

ę

dy poszczególnych ciał z tego układu

mog

ą

si

ę

zmienia

ć

.

Zasada zachowania p

ę

du jest zasad

ą

dotycz

ą

c

ą

wielko

ś

ci wektorowych. Zasada ta rozpisana

na współrz

ę

dnych przyjmuje posta

ć

trzech równa

ć

algebraicznych:

0

F

0

p

x

x

=

⇔

=

∆

,

0

F

0

p

y

y

=

⇔

=

∆

,

0

F

0

p

z

z

=

⇔

=

∆

gdzie:

•

w przypadku rozpatrywania pojedynczego ciała, wielko

ś

ci

z

y

x

F

,

F

,

F

s

ą

współrz

ę

dnymi wypadkowej siły działaj

ą

cej na ciało

•

w przypadku rozpatrywania układu ciał, wielko

ś

ci

z

y

x

F

,

F

,

F

s

ą

współrz

ę

dnymi

wypadkowej siły zewn

ę

trznej działaj

ą

cej na cały układ ciał

W zadaniach mamy czasami do czynienia ze szczególnymi zagadnieniami, dotycz

ą

cymi

układu ciał, których sumaryczny p

ę

d jest równy zeru zarówno w sytuacji wyj

ś

ciowej (pocz

ą

tkowej),

jak i ko

ń

cowej (np. s

ą

to zadania, w których wszystkie ciała układu spoczywaj

ą

na pocz

ą

tku i na

ko

ń

cu zadania). Je

ż

eli wypadkowa sił zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na ten układ jest równa zeru, to

mo

ż

emy skorzysta

ć

wówczas z zasady zachowania p

ę

du, a wła

ś

ciwie ze szczególnego

spostrze

ż

enia. W takich zadaniach bowiem:

0

p

ukl

=

∆

, ale tak

ż

e

0

p

p

ukl

=

i

0

p

k

ukl

=

, z czego

wynika,

ż

e

0

v

p

SM

=

i

0

v

k

SM

=

, a to z kolei prowadzi do konkluzji,

ż

e

0

x

SM

=

∆

, czyli,

ż

e mo

ż

na

skorzysta

ć

z faktu, i

ż

w takim przypadku

ś

rodek masy układu nie zmienia swojego poło

ż

enia.

Ś

rodek masy układu ciał nie zmienia poło

ż

enia wtedy i tylko wtedy, gdy p

ę

d układu jest

zachowany oraz jednocze

ś

nie p

ę

d pocz

ą

tkowy układu i p

ę

d ko

ń

cowy układu s

ą

równe zeru.

40

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

►

Przykład 6.1: Na jeziorze znajduje si

ę

łódka o masie M i

długo

ś

ci L, a w niej człowiek o masie m. Dziób łódki jest

zwrócony w stron

ę

jednego brzegu, prostopadle do linii

brzegowej. W pewnej chwili człowiek stoj

ą

cy na rufie postanawia

przej

ść

na dziób łódki. Oblicz zmian

ę

poło

ż

enia łódki wzgl

ę

dem

wspomnianego brzegu jeziora.

P

ę

d układu ciał (łódka - człowiek) na pocz

ą

tku i na ko

ń

cu

jest równy zeru, zatem mo

ż

emy skorzysta

ć

ze spostrze

ż

enia,

ż

e

w trakcie przemieszczania si

ę

człowieka z rufy na dziób łodzi,

ś

rodek masy całego układu musi pozosta

ć

w tym samym miejscu wzgl

ę

dem zewn

ę

trznego,

inercjalnego układu odniesienia, zwi

ą

zanego z lini

ą

brzegow

ą

:

p

SM

k

SM

x

x

=

.

Skorzystajmy z definicji

ś

rodka masy układu:

m

M

m

x

M

x

x

2

1

p

SM

+

+

=

, a

m

M

m

'

x

M

'

x

x

2

1

k

SM

+

+

=

,

gdzie

1

1

'

x

,

x

to pocz

ą

tkowa i ko

ń

cowa współrz

ę

dna poło

ż

enia

ś

rodka masy samej łódki w

wybranym układzie współrz

ę

dnych, pokazanym na rysunku, a

2

2

'

x

,

x

to pocz

ą

tkowa i ko

ń

cowa

współrz

ę

dna poło

ż

enia człowieka w tym samym układzie współrz

ę

dnych.

Zatem:

m

M

m

'

x

M

'

x

m

M

m

x

M

x

2

1

2

1

+

+

=

+

+

m

'

x

M

'

x

m

x

M

x

2

1

2

1

+

=

+

⇒

)

'

x

x

(

m

)

x

'

x

(

M

2

2

1

1

−

=

−

⇒

.

Szukamy przesuni

ę

cia łódki wzgl

ę

dem brzegu:

)

x

'

x

(

x

1

1

1

−

=

∆

. Jest ono równe:

)

'

x

x

(

M

m

)

x

'

x

(

x

2

2

1

1

1

−

=

−

=

∆

, ale

)

x

L

(

x

)

'

x

x

(

1

2

2

2

∆

+

−

−

=

∆

−

=

−

(bo człowiek przeszedł na

ruf

ę

, w lewo, na odległo

ść

L, ale jednocze

ś

nie łódka przesun

ę

ła si

ę

w prawo na odległo

ść

1

x

∆

,

unosząc człowieka.

[

]

1

2

2

1

1

1

x

L

M

m

)

'

x

x

(

M

m

)

x

'

x

(

x

∆

−

=

−

=

−

=

∆

L

M

m

m

x

L

M

m

)

M

m

1

(

x

1

1

+

=

∆

⇒

=

+

∆

⇒

IV.

Praca

Praca wykonana przez dowoln

ą

, (stał

ą

lub zale

ż

n

ą

od przemieszczenia) sił

ę

F

, podczas

przesuni

ę

cia ciała o

r

∆

, dana jest wzorem:

∫

∫

∠

⋅

=

=

2

1

2

1

r

r

r

r

dr

)

r

,

F

(

cos

)

r

(

F

r

d

)

r

(

F

W



Praca wykonana przez stał

ą

sił

ę

F

, działaj

ą

ca na ciało przemieszczaj

ą

ce si

ę

pod jej wpływem o

r

∆

, jest równa:

)

r

,

F

(

cos

r

F

r

F

W



∆

∠

⋅

∆

⋅

=

∆

=

Praca sił oporu (w tym tak

ż

e sił tarcia) jest zawsze ujemna, poniewa

ż

siły oporu (hamuj

ą

ce ruch)

maj

ą

zwrot przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia ciała w czasie ruchu, a co za tym idzie,

1

)

r

,

F

(

cos

op

−

=

∆

∠

41

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

V.

Moc

Moc

ś

rednia ciała jest równa ilorazowi pracy wykonanej przez to ciało i czasu, w którym ta praca

została wykonana:

t

W

P

sr

∆

=

, gdzie praca

W

jest całkowit

ą

prac

ą

, która została wykonana w czasie

t

∆

.

Je

ż

eli praca wykonywana przez ciało została spo

ż

ytkowana na zmian

ę

ruchu jakiego

ś

innego

ciała, które pod wpływem tej pracy poruszało si

ę

ze

ś

redni

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

sr

v

, to moc ciała

pierwszego mo

ż

na obliczy

ć

tak

ż

e, znaj

ą

c

ś

redni

ą

sił

ę

, z jak

ą

ono działało na drugie ciało:

)

v

,

F

(

cos

v

F

v

F

P

sr

sr

sr

sr

sr

sr

sr



∠

⋅

⋅

=

=

Moc chwilowa ciała jest równa ilorazowi pracy wykonanej przez to ciało i czasu, w którym ta
praca została wykonana, przy zało

ż

eniu,

ż

e czas ten zmierza do zera (jest bardzo krótki):

0

t

t

W

P

→

∆













∆

∆

=

.

Moc t

ę

mo

ż

na obliczy

ć

tak

ż

e znaj

ą

c chwilow

ą

sił

ę

wykonuj

ą

c

ą

prac

ę

oraz chwilow

ą

pr

ę

dko

ść

ciała, którego ruch zmienia si

ę

pod wpływem tej siły:

)

v

,

F

(

cos

v

F

v

F

P



∠

⋅

⋅

=

=

.