Rachunek wyrównawczy I (Raw I)

str. 4

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Tadeusz Banachiewicz
(1882 – 1954): polski ma-
tematyk, astronom i geo-
deta, prof. UJ, dr h.c. UW.
Twórca rachunku krako-
wianowego.

Stefan Hausbrandt
(1896 – 1971): polski
geodeta, prof. PW,
twórca form
rachunkowych,
ułatwiających obliczenia
geodezyjne.

Przyczyny błędów

• Błędy grube: omyłki, przeoczenia, duża wartośd liczbowa, wyraźnie odstające w serii

pomiarów. Błędy takie należy eliminowad, nie są one przedmiotem rachunku wyrów-
nania.

• Błędy systematyczne: wpływ otoczenia, zniekształcający wynik pomiaru (np. tempe-

ratura, oświetlenie, refrakcja). Wpływ nieuwzględnionych czynników środowiska.
Charakter stały lub zależny od warunków. Powinny byd starannie eliminowane w toku
wstępnego opracowania wyników pomiarów poprzez wprowadzenie odpowiednich
poprawek, kalibrację (komparację) przyrządów pomiarowych, pomiar w odmiennych
warunkach, itp.

• Błędy przypadkowe (losowe): Niewielkie zniekształcenia pomiaru w wyniku wpływu

znacznej liczby nieustalonych czynników, mające charakter nieprzewidywalny. Szanse
popełnienia dużego błędu są małe, małego błędu – duże, szanse zaś popełnienia błę-
dów  o  tej  samej  wartości  bezwzględnej,  lecz  ze  znakiem  plus  i  minus  –  jednakowe.
Błędy  te  są  przedmiotem  rachunku  wyrównania  na  podstawie  teorii  i  praw  odkry-
tych głównie przez Gaussa.

Rodzaje błędów

Wśród błędów przypadkowych wyróżniamy:

• Błąd prawdziwy ε: różnica pomiędzy wartością pomierzoną a wartością prawdziwą

danej wielkości:

(4.1)

• Błąd pozorny –v: różnica pomiędzy wartością pomierzoną a wartością wyrównaną

(czyli najlepszą, najprawdopodobniejszą) danej wielkości:

(4.2)

Błąd pozorny często odgrywa rolę poprawki wyrównawczej v, czyli wielkości, o jaką należy
„poprawid” wartośd pomierzoną, aby otrzymad wartośd wyrównaną:

(4.3)

str. 5

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Oceny błędów

• Błąd absolutny (bezwzględny): błąd przypadający na całą mierzoną wielkośd, np.

czyli

Symbolicznie błąd ten zapisujemy z użyciem symboli m lub σ, np.

lub

• Błąd względny: błąd przypadający na jednostkę mierzonej wielkości (długości), np.

(ppm – „parts per milion”, części na milion)

• Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia : podstawowa i najczęstsza charakterysty-

ka wielkości mierzonych bezpośrednio, jak też wielkości wyznaczanych na ich pod-
stawie (czyli ich funkcji).

− Na podstawie błędów prawdziwych :

(5.1)

Nieliczne przypadki, gdy znane są błędy prawdziwe:

- odchyłka zamknięcia różnic wysokości w zamkniętym ciągu niwelacyjnym;

- odchyłka sumy kątów w zamkniętym poligonie od wartości teoretycznej.

W tym ostatnim przypadku średni błąd pomiaru kąta w sieci trójkątów (trian-
gulacyjnej) można wyznaczyd ze wzoru Ferrero:

(5.2)

gdzie jest odchyłką zamknięcia w poszczególnych trójkątach, - liczbą trój-
kątów.

− Na podstawie błędów pozornych przy wielokrotnych jednakowo dokładnych po-

miarach jednej wielkości:

(5.3a)

− Na podstawie błędów pozornych przy wielokrotnych niejednakowo dokładnych

pomiarach jednej wielkości:

(5.3b)

gdzie są wagami (p. niżej) obserwacji.

− Prawdopodobieostwo („szansa”) tego, że wartośd prawdziwa zawiera się w prze-

dziale błędu średniego, tj. – , wynosi

(Hausbrandt,

1953).

str. 6

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

• Błąd średni błędu średniego

− Na podstawie błędów prawdziwych:

(5.4)

− Na podstawie błędów pozornych:

(5.5)

gdzie

jest liczbą spostrzeżeo nadliczbowych:

( - liczba spostrzeżeo wykonanych, - liczba spostrzeżeo niezbędnych).

Przykład:

• Błąd graniczny :

(5.6)

z prawdopodobieostwem nieprzekroczenia

;

(5.7)

z prawdopodobieostwem nieprzekroczenia

• Błąd przeciętny : średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości błędów prawdzi-

wych:

, lub

(5.8)

gdzie jest tzw. miarą dokładności taką, że

. Stąd:

oraz

• Błąd prawdopodobny : jest to błąd, którego przekroczenie jest równie prawdopo-

dobne, jak nieprzekroczenie, czyli błąd, którego prawdopodobieostwo wystąpienia
wynosi

. Jest to, w przybliżeniu, wartośd środkowego wyrazu w

długim ciągu błędów prawdziwych ułożonych w kolejności rosnących wartości bez-
względnych, tj.:

dla parzystego ,

oraz

(5.9a)

dla nieparzystego .

(5.9b)

Można wykazad, że: ,

czyli

• Wielowymiarowy błąd średni. Dla dwóch wymiarów błąd ten został zdefiniowany

przez Helmerta jako średni błąd położenia punktu

(5.10a)

gdzie:

oraz

Błąd ten jest interpretowany jako promieo okręgu, któ-
rego środkiem jest punkt wyrównany.

Definicja ta jest ważna także dla trzech i więcej wymia-
rów:

(5.10b)

(5.10c)

Rys. 1. Średni błąd położenia punktu

str. 7

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Przykład 5.1. Kąt pomierzono dwukrotnie: 1) w 2 seriach, 2) – w 50 seriach otrzymując tę
samą wartośd błędu pojedynczego spostrzeżenia

. Obliczyd błąd średni błędu

średniego.

Korzystamy ze wzoru (5.5):

czyli

■

Wagi spostrzeżeń

Wagi są podstawowym sposobem oceny i porównania dokładności niejednakowo dokład-
nych obserwacji.

Wagi spostrzeżeo są to liczby dodatnie, odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów
średnich tych spostrzeżeo:

(6.1)

Jeśli znane są błędy spostrzeżeo, to przyjmując wagę jednego z nich za równą jedności moż-
na pozostałe obliczyd według wzoru:

czyli

(6.2)

Spostrzeżenie, dla którego przyjęto wagę , nazywane jest spostrzeżeniem typowym,
którego średni błąd oznaczany jest przez

. Stąd dla wagi i-tej obserwacji mamy:

(6.3)

Jeśli błędy średnie obserwacji nie są znane a priori (tj. przed wyrównaniem), to jako obser-
wację o wadze 1 przyjmuje się wielkośd umowną, na przykład:



przy pomiarach długości – wielkośd odwrotnie proporcjonalną do długości boku, tj.

, gdzie jest dowolna stałą dodatnią;



przy pomiarach kąta – na ogół liczbę serii pomiarowych;



przy pomiarze różnicy wysokości metoda niwelacji geometrycznej – wielkośd odwrot-
nie proporcjonalną do długości linii, tj.

W tych przypadkach nieznana wielkośd błędu średniego jest wyliczana w wyniku wyrówna-
nia.

Prawo przenoszenia się błędów

Zakładamy, że znane są wyniki pomiaru wielkości:

oraz ich błędy średnie:

. Należy wyznaczyd średni błąd

pewnej danej funkcji tych wielkości:

str. 8

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Przykładami takich funkcji mogą byd m.in.: długośd linii złożonej z oddzielnie pomierzonych
odcinków, współrzędne i punktu na podstawie pomierzonego kierunku i odległości od
punktu znanego, pole powierzchni figury geometrycznej na podstawie pomierzonych jej
elementów (np. podstawa i wysokośd trójkąta) i inne.

Rozwiązaniem tego zadania jest tzw. prawo przenoszenia się błędów Gaussa, które ma po-
stad

(7.1)

Odmiana tego prawa, jako prawo przenoszenia się wag, wynika z zastosowania wzoru (6.1)
do (7.1) i ma postad:

(7.2)

Do najczęstszych zastosowao prawa przenoszenia się błędów (7.1), przy jednakowo dokład-
nych obserwacjach

, należą:

Tabela 1. Niektóre praktyczne zastosowania prawa przenoszenia sie błędów Gaussa

suma lub różnica dwóch wielkości

suma lub różnica wielu wielkości

średnia arytmetyczna dwóch wiel-
kości

średnia arytmetyczna wielu wiel-
kości

iloczyn dwóch wielkości

iloraz dwóch wielkości

średnia geometryczna dwóch wiel-
kości

kąt kierunkowy

różnica wysokości pomierzonej metodą niwelacji geometrycznej ( -
długośd ciągu w km,

- błąd jednostkowy dla 1 km)

odległośd pomierzona taśmą metalową ( - długośd boku w m,

błąd jednostkowy dla 100 m)

pole powierzchni prostokąta o pomierzonych bokach

z błędami

średnimi

odległośd między punktami F i P,

; dane są współrzędne

punktów

są wzajemnie nieza-

leżne

– kąt kierunkowy (azymut)

azymut linii

; dane jak wyżej

Proste wyprowadzenie tego prawa podane jest m.in. w książce (Hausbrandt, 1953), ss. 18 – 21.

str. 9

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Przykład 7.1. W trójkącie pomierzono bok i dwa kąty do niego przyległe:

Obliczyd trzeci kąt , boki i , ich błędy średnie oraz błędy średnie i błędy względne boków.

stąd

Na podstawie (7.1) mamy

gdzie:

Stąd rachunek daje:

=0.033%

Podobnie otrzymamy:

=0.033%

■

Warunek najmniejszych kwadratów i metody wyrównania

Dla ciągu jednakowo dokładnych obserwacji

poszukujemy takich poprawek

, by wielkości wyrównane

były najprawdopodobniejsze, czyli najlepsze.

Gauss wykazał na gruncie rachunku prawdopodobieostwa (probabilistyki), że (Hausbrandt,
1953):

wystąpienie pewnego określonego układu błędów

, przy obserwo-

waniu ze stałą dokładnością jednej bądź wielu różnych wielkości, jest tym bardziej
prawdopodobne, im mniejsza jest suma kwadratów tych błędów. Stąd układ błędów

jest najprawdopodobniejszy wtedy, gdy suma ich kwadratów jest

najmniejsza.

Jest to bezpośrednia konsekwencja tzw. prawa błędów Gaussa, która jest nazywana warun-
kiem (lub postulatem) najmniejszych kwadratów.

Ten warunek poszukiwania najprawdopodobniejszych ocen mierzonych wielkości poprzez
przypisywanie im pewnych poprawek takich, by:

(8.1)

stanowi naczelną zasadę rachunku wyrównawczego. Stąd metoda, mająca na celu spełnie-
nie tego warunku, nosi nazwę metody najmniejszych kwadratów.

str. 10

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Teoretyczny wywód Gaussa, prowadzący do sformułowania tego warunku, zostanie podany
w dalszych częściach niniejszego kursu.

Na podstawie wzoru (5.3) łatwo stwierdzid, że metoda najmniejszych kwadratów minimalizu-
je ocenę błędu średniego obserwacji, a stąd również pozostałe oceny dokładnościowe. Stąd,
spośród wielu możliwych ocen wielkości wyrównanej, ocenę uzyskaną według metody naj-
mniejszych kwadratów uznajemy za najlepszą.

W przypadku obserwacji niejednakowo dokładnych o wagach odpowiednio

wa-

runek najmniejszych kwadratów ma postad:

(8.2)

Wyrównanie według metody najmniejszych kwadratów ma następujące właściwości:



daje wartości najlepsze, tj. o najmniejszych błędach średnich;



podobnie, w miejsce niedostępnych prawdziwych wartości mierzonych wielkości, ja-
ko danych do wyrównania, wykorzystujemy wartości pomierzone, do których wyzna-
czamy najprawdopodobniejsze wartości poprawek obserwacyjnych;



niewiadome wyznaczane jako funkcje mierzonych wielkości mają najmniejsze błędy
średnie.

Wyróżniamy następujące szczególne przypadki procedur wyrównawczych (Tienstra, 19…),
(Wolf,….):

1) wyrównanie obserwacji bezpośrednich.

2) metoda parametryczna (in. wyrównanie obserwacji pośredniczących);

3) metoda warunkowa (in. wyrównanie obserwacji zawarunkowanych);

4) metoda parametryczna z warunkami na niewiadome;

5) metoda warunkowa z niewiadomymi;

W ramach niniejszego cyklu wykładów omówione są metody wyrównania obserwacji bezpo-
średnich.

W każdym przypadku teorii i zadao praktycznych wyrównania zaleca się omówienie następu-
jących zagadnieo (Wolf,…):

A. Jak wyznacza się wyrównane wartości obserwacji i niewiadomych?

B. Jakie są wymagane kontrole rachunkowe?

C. Jak i jakie przeprowadza się oceny dokładności wyznaczeo?

Obserwacje bezpośrednie - średnia arytmetyczna

9.1. Obserwacje jednakowo dokładne – zwykła średnia arytmetyczna

Wielkośd mierzona: , na przykład: kąt, odległośd, różnica wysokości.

Uzyskane z pomiarów z jednakową dokładnością wartości:

Należy wyznaczyd najprawdopodobniejszą, tj. wyrównaną, wartośd wielkości .

str. 11

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

A. Wyznaczenie wielkości wyrównanej

Podstawową zależnością wiążącą wielkości mierzone

, poprawki do nich

oraz wielkośd

poszukiwaną , jest:

czyli

dla

(9.1)

z warunkiem wyrównania .

Stąd

Z warunku wynika, że:

Czyli:

(9.2)

tj. średnia arytmetyczna jest poszukiwaną wartością najprawdopodobniejszą wielkości ,
czyli wartością wyrównaną wielkości pomierzonych

Pomimo, że zależnośd (9.1) jest liniowa, dla wygody rachunku dobrze jest w tym przypadku
przyjąd pewną wartośd przybliżoną

, taką, że:

i jako wielkośd niewiadomą traktowad dalej . Odejmując od (9.2) tożsamośd

otrzymujemy:

czyli:

gdzie

(9.3)

Wielkości

są tutaj „obserwacjami zredukowanymi” o wartośd przybliżoną

B. Kontrole rachunkowe

a) Suma poprawek

(9.4)

Stąd:

czyli

(9.5)

b) Suma kwadratów poprawek

Mnożąc (9.4) przez

oraz przez

otrzymujemy:

czyli po zsumowaniu

oraz

czyli po zsumowaniu

Ponieważ według (9.5) , więc:

Stąd:

str. 12

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

(9.6)

W przypadku wykorzystania wartości przybliżonej

otrzymamy w ten sam sposób:

(9.7)

C. Rachunek dokładności

a) Błąd średni pojedynczej obserwacji

Mamy: - wartośd prawdziwą oraz – wartośd średniej arytmetycznej mierzonej wielkości.
Jest również

- błąd prawdziwy oraz

- błąd pozorny pomiaru. Stąd

mamy:

czyli

oraz

Stąd, wobec według (9.5), jest:

oraz

czyli

gdzie

Ostatni wyraz zaniedbujemy, ponieważ

jako błędy przypadkowe są wielkościami małymi,

więc suma ich iloczynów jest wielkością małą drugiego rzędu, bliską zeru.

Stąd:

czyli

Ponieważ

więc

czyli

(9.8)

b) Błąd średni obliczonej średniej arytmetycznej (Hausbrandt, 1953):

Średnia arytmetyczna jest funkcją wielkości mierzonych:

czyli

Stąd na podstawie prawa przenoszenia się błędów Gaussa (7.1):

Wielkośd jest odchyleniem średniej arytmetycznej od wartości prawdziwej , czyli jest „błędem

prawdziwym” średniej arytmetycznej, który można uznad jako bliski błędu średniego średniej arytmetycznej, tj.:

. Z definicji (5.1) wynika, że

, stąd

, czyli

Stąd ostatecznie

, co potwierdza (9.8).

str. 13

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Stąd ostatecznie:

(9.9)

Przykład 9.1

Wykonano pięd jednakowo dokładnych pomiarów kąta, jak w Tabela 2 (wartości kątów w
gradach). Należy obliczyd wartośd średnią oraz wykonad kontrolę obliczeo i ocenę dokładno-
ści.

Tabela 2. Obliczenie średniej arytmetycznej

97.4200

+5.4

97.4204

+1.4

97.4213

-7.6

169

97.4209

-3.6

97.4201

+4.4

97.4200

27 +11.2 -11.2

121

267

a) Wartośd wyrównana:

b) Kontrole:

c) Rachunek dokładności:

średni błąd pojedynczej obserwacji:

średni błąd średniej arytmetycznej:

d) Wynik koocowy:

■

Lemat:

Średnia arytmetyczna prowadzi do najmniejszej wartości sumy kwadratów błędów pozor-
nych:

Teza:

gdzie jest średnią arytmetyczną, zaś , - dowolna wielkośd różna od zera, czyli

, gdzie

jest odchyłką obserwacji od wielkości średniej (czyli błę-

dem pozornym), zaś

- odchyłką tej obserwacji od dowolnej innej wielkości .

str. 14

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Dowód:

Wobec

dwa ostatnie wyrazy się znoszą, wyraz

zaś jest zawsze większy od

zera.

C.B.D.O.

9.2.

Obserwacje niejednakowo dokładne – ogólna średnia arytmetyczna

Wartości pomierzone:

z wagami

Należy wyznaczyd wartośd najprawdopodobniejszą (wyrównaną) spełniającą warunek

, gdzie

A. Wyznaczenie wartości wyrównanej

Dla pojedynczej obserwacji mamy:

stąd:

czyli:

zatem:

(9.10)

Wykorzystując wartośd przybliżoną wielkości ,

gdzie

oraz

, otrzymujemy po podstawieniu do (9.10):

stąd

(9.11)

B. Kontrole rachunkowe

a) Suma poprawek obserwacyjnych:

czyli:

stąd:

czyli

(9.12)

b) Suma kwadratów poprawek:

Ponieważ

, więc:

lub

(9.13)

Wykorzystując przybliżenie

otrzymamy:

czyli:

str. 15

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

lub

(9.14)

C. Rachunek dokładności

a) Błąd średni „typowej” obserwacji (o wadze 1), czyli tzw. średni błąd jednostkowej

wagi:

Mnożąc każdą obserwację

(bądź obserwację zredukowaną

) przez pierwiastek

z wagi

otrzymujemy obserwację „zrównoważoną” (tj. równoważną pozosta-

łym), która oznaczamy

(lub

) i której wagą jest

. Jej błąd wynosi

gdzie

Stąd:

(9.15)

b) Błąd średni

obserwacji o wadze

(9.16)

c) Błąd średni

średniej arytmetycznej:

Z (9.10) mamy:

stąd błędem funkcji jest:

gdzie

Zatem:

czyli

(9.17)

gdzie

jest wagą średniej arytmetycznej .

Przykład 9.2

Wykonano pomiary kąta w grupach, po serii pomiarowych w grupie (zob. Tabela 3). Należy
obliczyd wartośd najprawdopodobniejszą kąta przyjmując liczbę serii jako wagę danej grupy.

Tabela 3. Obliczenie ogólnej średniej arytmetycznej

250

43’14”

+14

+28 +33.1 +66.2

2191

392

44’00”

+60

+180 -12.9 -38.7

499 10800

44’12”

+72

+72 -24.9 -24.9

620

5184

43’50”

+50

-2.9

2500

250

43’00”

+330

+66.2
-66.5

3318 18876

a) Wartośd wyrównana:

str. 16

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

b) Kontrole rachunkowe:

Uwaga. Kiedy uznad wynik kontroli za zadowalający?

Oznaczmy:

- reszta z kontroli ,

- reszta z kontroli .

Wynik kontroli jest zadowalający, gdy spełnione są następujące warunki:

oraz

(3.18)

gdzie jest wartością ostatniej jednostki (pozycji) dziesiętnej wielkości .

W naszym przypadku oraz:

przy

Zatem wynik kontroli jest pozytywny.

c) Rachunek dokładności

Średni błąd typowego spostrzeżenia:

Tabela 4. Średnie błędy obserwacji

Średni błąd średniej arytmetycznej:

d) Koocowy wynik:

■

10. Pomiary parami (podwójne)

W celu uniknięcia pomyłek i uzyskania kontroli pomiarów kątów, długości boków, różnic wy-
sokości, itp., powszechnie przyjętą praktyką geodezyjną jest dwukrotny pomiar każdej z tych
wielkości. Sytuację tę ilustruje Rys. 2.

Na podstawie (Chojnicki, 1973) i (Wolf, 1968).

Rys. 2. Ciąg poligonowy zawierający n par pomierzonych długości boków.

str. 17

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Zakładając pomiary jednakowo dokładne, dla każdej z tak pomierzonych wielkości wyznacza
się średnią arytmetyczną z podwójnego pomiaru

, błąd średni pojedyncze-

go pomiaru

według (9.8) i błąd średni tej średniej

według (9.9). Zważywszy jednak

znaczną wielkośd błędu średniego każdego z tych błędów, która na podstawie wzoru (5.5),
przy liczbie obserwacji nadliczbowych

wynosi 71%, postępowanie takie byłoby niera-

cjonalne. Jednak przy większej liczbie jednorodnych par pomiarów można je wykorzystad do
bardziej wiarygodnych ocen dokładnościowych.

Oznaczając przez

różnicę pomiarów w każdej parze, mamy:

dla

(10.1)

Oznaczając przez

błędy prawdziwe pomiarów

, odpowiadającymi im wartościa-

mi prawdziwymi

są:

czyli

Stąd:

zatem

Sumując

dla zauważmy, że przy znacznej liczbie pomiarów suma ostatnie-

go wyrazu zdąża do zera, więc:

Suma gra tu zatem, w przybliżeniu, rolę sumy kwadratów błędów prawdziwych pomia-
rów

, stąd średni błąd różnicy

wynosi:

(10.2)

Ponieważ jednocześnie

, gdzie

, więc średnim błędem poje-

dynczego pomiaru w parze jest:

(10.3)

Natomiast błędem średnim średniej z podwójnego pomiaru,

, w myśl (9.9), jest:

(10.4)

Dla pomiarów niejednakowo dokładnych mamy:

(10.5)

oraz

(10.6)

gdzie wagi pomiarów dla tej pary wynoszą:

Pary obserwacji mogą byd obarczone wpływami (błędami) systematycznymi, co objawia się
nieprzypadkowym charakterem różnic

, czyli wyraźną przewagą różnic jednego znaku (w

przeciwnym razie byłoby .

str. 18

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

W tym przypadku wpływ systematyczny występujący w tych różnicach można oszacowad
według następującej zależności, odpowiednio dla pomiarów jednakowo i niejednakowo do-
kładnych:

lub

(10.7)

Każdą z różnic

, należy zredukowad o ten wpływ systematyczny, tj.:

(10.8)

Skorygowane oceny dokładności wyniosą zatem dla obserwacji jednakowo dokładnych:

(10.9)

oraz dla obserwacji niejednakowo dokładnych:

(10.10)

Ponieważ na podstawie

obliczono według (10.7) wpływ systematyczny , więc różnice zre-

dukowane

mają charakter błędów pozornych, a nie prawdziwych. Dlatego w mianowni-

kach wzorów (10.9) i (10.10) występuje liczba obserwacji nadliczbowych , a nie .

Przykład 10.1.

W Tabela 5 przytoczono wyniki jednakowo dokładnych pomiarów kątów przy dwóch położe-
niach lunety oraz obliczenie ich średnich wartości z ocena dokładnościową opartą na pomia-
rach parami.

Tabela 5. Wyniki i wyrównanie par pomiarów kątów.

kąta

Kąt pomierzony w gradach

Kąt średni

w gradach

Koło prawe

Koło lewe

15.106

15.102

+40

15.1040

-13

28.204

28.198

+60

28.2010

36.982

36.980

+20

36.9810

-33

72.375

72.370

+50

72.3725

-3

60.860

60.854

+60

60.8570

87.418

87.412

+60

87.4150

55.536

55.528

+80

55.5320

+27

91.722

91.715

+70

91.7185

+17

43.640

43.635

+50

43.6375

-3

10.

22.054

22.050

+40

22.0520

-13

513.897

513.844

513.8705

+65

-65

Na podstawie powyższych danych poszczególne błędy średnie wynoszą:

str. 19

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

y’

x’

■

11. Elipsa błędu

Wyznaczone na podstawie pomiarów w dowolnej konstrukcji geodezyjnej położenie punktu

w płaskim układzie współrzędnych może byd opisane dokładnościowo nie tylko za

pomocą błędów średnich współrzędnych,

, lecz również pełniej - z uwzględnieniem

statystycznej współzależności (korelacji) tych błędów od siebie. Jest to dokonywane za po-
mocą tzw. macierzy wariancyjno – kowariancyjnej punktu

i ma postad:

(11.1)

gdzie

jest tzw. macierzą kofaktorów, której odwrotnością jest macierz:

(11.2)

Oznaczając wektor zmiennych niezależnych przez

możemy zapisad następujące

równanie:

(11.3)

czyli:

gdzie jest stałym parametrem.

Jak łatwo stwierdzid, jest to równanie
elipsy o środku w punkcie

, która jest

krzywą  o  stałym  prawdopodobieostwie
tego, że punkt prawdziwy   znajduje się
wewnątrz konturu opisanego tą krzywą.
Wartośd stałego parametru   decyduje o
skali  elipsy,  a  tym  samym  o  wielkości
tego  prawdopodobieostwa.  Poglądową
ilustrację elipsy podaje Rys.  3, jej kształt
i orientację opisują zaś długości półosi,
i  , oraz kąt  .

Wielkości te wyznacza się poprzez
sprowadzenie równania (11.3) do posta-
ci kanonicznej, co jest równoznaczne z
przekształceniem układu współrzędnych

poprzez obrót o kąt .

Na podstawie (Adamczewski, 2007).

Rys. 3. Elipsa błędu punktu P

str. 20

Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji WAT

Wykorzystuje się w tym celu tzw. równanie charakterystyczne macierzy

, a mianowicie:

(11.4)

czyli

(11.5)

w którym

są niezmiennikami elipsy względem przesunięcia i obrotu układu współrzęd-

nych:

- ślad macierzy

(11.6)

- wyznacznik macierzy

(11.7)

Równanie (11.4) i (11.5) jest równaniem drugiego stopnia i ma dwa pierwiastki rzeczywiste,
tzw. wartości własne macierzy,

, gdzie

(11.8)

Wzory kontrolne (Viety):

(11.9)

Na podstawie

mamy następujące równanie elipsy w postaci kanonicznej:

(11.10)

Stąd wyznaczamy:

Półosie elipsy:

(11.11)

Orientacja elipsy – kąt :

przy czym

(11.12)

gdy

kąt jest azymutem wielkiej półosi ,

gdy

kąt jest azymutem małej półosi .

Kontrole obliczeo:

Niektóre stosowane w praktyce elipsy błędu:

- Elipsa błędu średniego przy

Prawdopodobieostwo położenia punktu wewnątrz elipsy

- Elipsa prawdopodobna:

stąd

- Elipsa Andrae:

stąd .