A
1.
Zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
2
2x + sin
2
x
dx
4x
3
− x
korzystając z kryterium ilorazo-
wego, a zbieżność całki
∞
Z
1
√
2x + 1
dx
√
x
2
+ 1
, zbadać używając kryterium porównawczego.
• g(x) =
1
2x
2
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
2x + sin
2
x
4x
3
− x
1
2x
2
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
2x
2
zbieżna =⇒
∞
Z
2
2x + sin
2
x
dx
4x
3
− x
zbieżna.
• f (x) =
√
2x + 1
√
x
2
+ 1
>
√
2x
√
x
2
+ x
2
=
1
√
x
= g(x) > 0 dla x 1
•
∞
Z
1
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
1
√
2x + 1
dx
√
x
2
+ 1
rozbieżna do ∞
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
3
n
(2 − 3x)
n
.
•
∞
X
n
=1
3
n
(2 − 3x)
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
x
−
2
3
n
=⇒ x
0
=
2
3
, c
n
=
(−1)
n
3
n
+1
n
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
3
n
+1
n
= 3 =⇒ R =
1
3
• x = x
0
− R =
1
3
,
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
−
1
3
n
=
∞
X
n
=1
3
n
rozbieżny do ∞
• x = x
0
+ R = 1,
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
1
3
n
=
∞
X
n
=1
3(−1)
n
n
naprzemienny zbieżny
•
1
3
,
1
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2
3x
2
− 2
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(4)
(0),
f
(5)
(0).
• f (x) =
x
2
3x
2
− 2
=
x
2
−2
1 −
3
2
x
2
• f (x) =
−
∞
X
n
=0
3
n
2
n
+1
x
2n+2
•
3
2
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
s
2
3
, R =
s
2
3
• c
4
= −
3
2
2
: f
(4)
(0) = −
3
2
2
4! = −18, c
5
= 0 : f
(5)
(0) = 0,
1
4.
Naszkicować obszar D ograniczony prostą y = 1 i wykresem funkcji y = |ln x|, a następnie
obliczyć jego pole.
•
y
x
1
e
1
e
1
•
|D| =
e
Z
1
e
(1 − |ln x|) dx =
1
Z
1
e
(1 + ln x) dx +
e
Z
1
(1 − ln x) dx
•
Z
ln x dx = x (ln x − 1) + C
•
1
Z
1
e
(1 + ln x) dx = x ln x
1
1
e
=
1
e
e
Z
1
(1 − ln x) dx = x(2 − ln x)
e
1
= e − 2
•
|D| =
1
e
+ e − 2 (≈ 1.0861)
B
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(
√
x
+ cos x
2
) dx
√
x
2
− 1
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(2x + 1) dx
3x
3
+ x
.
• g(x) =
1
√
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
√
x
+ cos x
2
√
x
2
− 1
1
√
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
2
(
√
x
+ cos x
2
) dx
√
x
2
− 1
rozbieżna do ∞
• 0 < f (x) =
2x + 1
3x
3
+ x
<
2x + x
3x
3
=
1
x
2
= g(x) dla x 1
•
∞
Z
1
dx
x
2
zbieżna =⇒
∞
Z
1
(2x + 1) dx
3x
3
+ x
zbieżna
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
(1 − 2x)
n
n
3
n
.
•
∞
X
n
=1
(1 − 2x)
n
n
3
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
x
−
1
2
n
=⇒ x
0
=
1
2
, c
n
=
(−1)
n
2
n
n
3
n
2
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
2
n
n
3
n
=
2
3
=⇒ R =
3
2
• x = x
0
− R = −1,
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
−
3
2
n
=
∞
X
n
=1
1
n
rozbieżny do ∞
• x = x
0
+ R = 2,
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
3
2
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
naprzemienny zbieżny
• (
−1, 2] przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2x
2
+ 3
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(3)
(0),
f
(4)
(0).
• f (x) =
x
2x
2
+ 3
=
x
3
1 −
−
2
3
x
2
• f (x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
2
n
3
n
+1
x
2n+1
•
−
2
3
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
s
3
2
, R =
s
3
2
• c
3
= −
2
3
2
: f
(3)
(0) = −
2
3
2
3! = −
4
3
, c
4
= 0 : f
(4)
(0) = 0
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresm funkcji y = arc ctg x, prostymi y =
π
2
, y =
π
4
x
, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
2
π
2
•
|D| =
1
Z
0
π
2
− arc ctg x
dx
+
2
Z
1
π
2
−
π
4
x
dx
•
Z
arc ctg x dx = x arc ctg x −
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
•
1
Z
0
π
2
− arc ctg x
dx
=
π
2
x
− x arc ctg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
=
π
4
+
1
2
ln 2
•
2
Z
1
π
2
−
π
4
x
dx
=
π
2
x
−
π
8
x
2
2
1
=
π
8
•
|D| =
3
8
π
+
1
2
ln 2 (≈ 1.5246)
3
C
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(x
√
x
− sin x
2
) dx
x
3
+
√
x
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(2x + 3) dx
x
√
x
+ 1
.
• g(x) =
1
x
√
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
x
√
x
− sin x
2
x
3
+
√
x
1
x
√
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
x
√
x
zbieżna =⇒
∞
Z
2
(x
√
x
− sin x
2
) dx
x
3
+
√
x
zbieżna
• f (x) =
2x + 3
x
√
x
+ 1
>
2x
x
√
x
+ x
√
x
=
1
√
x
= g(x) > 0 dla x 1
•
∞
Z
1
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
1
(2x + 3) dx
x
√
x
+ 1
rozbieżna do ∞
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
1
n
2
(2x + 4)
n
.
•
∞
X
n
=1
1
n
2
(2x + 4)
n
=
∞
X
n
=1
2
n
n
2
(x − (−2))
n
=⇒ x
0
= −2, c
n
=
2
n
n
2
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
2
n
n
2
= 2 =⇒ R =
1
2
• x = x
0
− R = −
5
2
,
∞
X
n
=1
2
n
n
2
−
1
2
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
2
zbieżny
• x = x
0
+ R = −
3
2
,
∞
X
n
=1
2
n
n
2
1
2
n
=
∞
X
n
=1
1
n
2
zbieżny
•
−
5
2
,
−
3
2
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2
4 − 2x
2
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(4)
(0),
f
(5)
(0).
• f (x) =
x
2
4 − 2x
2
=
x
2
4
1 −
x
2
2
!
• f (x) =
∞
X
n
=0
x
2n+2
2
n
+2
•
x
2
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
√
2, R =
√
2
• c
4
=
1
2
3
: f
(4)
(0) =
4!
2
3
= 3, c
5
= 0 : f
(5)
(0) = 0
4
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresem funkcji y = ln x oraz prostymi y = x − 1,
y
= 1, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
1
2
e
•
|D| =
2
Z
1
((x − 1) − ln x) dx +
e
Z
2
(1 − ln x) dx
•
Z
ln x dx = x (ln x − 1) + C
•
2
Z
1
(x − 1 − ln x) dx =
"
x
2
2
− x ln x
#
2
1
=
3
2
− 2 ln 2
e
Z
2
(1 − ln x) dx =
h
x
(2 − ln x)
i
e
2
=
2 ln 2 + e − 4
•
|D| = e −
5
2
(≈ 0.2182)
D
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(2
√
x
− cos
2
x
) dx
x
√
x
− 1
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(x
√
x
+ 1) dx
x
3
+ 2
√
x
.
• g(x) =
2
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
2
√
x
− cos
2
x
x
√
x
− 1
2
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
2 dx
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
2
(2
√
x
− cos
2
x
) dx
x
√
x
− 1
rozbieżna do ∞
• 0 < f (x) =
x
√
x
+ 1
x
3
+ 2
√
x
<
2x
√
x
x
3
=
2
x
√
x
= g(x) dla x 1
•
∞
Z
1
2 dx
x
√
x
zbieżna =⇒
∞
Z
1
(x
√
x
+ 1) dx
x
3
+ 2
√
x
zbieżna
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
n
3x − 1
4
n
.
•
∞
X
n
=1
n
3x − 1
4
n
=
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
x
−
1
3
n
=⇒ x
0
=
1
3
, c
n
=
n
3
n
4
n
5
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
n
3
n
4
n
=
3
4
=⇒ R =
4
3
• x = x
0
− R = −1,
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
−
4
3
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
rozbieżny
• x = x
0
+ R =
5
3
,
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
4
3
n
=
∞
X
n
=1
n
rozzbieżny do ∞
•
−1,
5
3
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
4x
2
+ 3
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(3)
(0),
f
(4)
(0).
• f (x) =
x
3 + 4x
2
=
x
3
1 −
−
4
3
x
2
• f (x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
4
n
3
n
+1
x
2n+1
•
−
4
3
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
√
3
2
, R =
√
3
2
• c
3
= −
4
3
2
: f
(3)
(0) = −
4
3
2
3! = −
8
3
c
4
= 0 : f
(4)
(0) = 0
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresem funkcji y = arc tg x oraz prostymi y =
π
3
x
,
y
=
π
3
, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
√
3
π
3
•
|D| =
1
Z
0
π
3
x
− arc tg x
dx
+
√
3
Z
1
π
3
− arc tg x
dx
•
Z
arc tg x dx = x arc tg x −
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
•
1
Z
0
π
3
x
− arc tg x
dx
=
"
πx
2
6
− x arc tg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
#
1
0
=
1
2
ln 2 −
π
12
•
√
3
Z
1
π
3
− arc tg x
dx
=
π
3
x
− x arc tg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
√
3
1
=
1
2
ln 2 −
π
12
•
|D| = ln 2 −
π
6
(≈ 0.1695)
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
29 12 10 02 12 55 am2 2004 k1 grupaPS
29 12 10 02 12 15 am2 2004 k1 popr
29 12 10 02 12 36 am2 2004 k1
29 12 10 02 12 51 am2 2004 popr
29 12 10 02 12 06 am2 e mnop6
29 12 10 02 12 33 am2 2004 k2
29 12 10 02 12 40 am2 k1 ijkl5
29 12 10 02 12 25 am2 2006 k2
29 12 10 02 12 53 am2 k2 ijkl5
29 12 10 02 12 11 am2 2006 k1
29 12 10 02 12 55 am2 2004 k1 grupaPS
22 12 10 02 12 55 Egz podst Ana2 B2
25 11 2009 12 10 02 0173 001
22 12 10 02 12 16 Egz popr
pn 29 11 10, pn 6 12 10(fragment) narządy pierwotne, listki zarodkowe, mechanizmy rozwoju zarodkax
22 12 10 02 12 49 Egz podst C
22 12 10 02 12 54 Egz podst Ana2 H2
loveparade 2010 anlage 12 massnahmen polizei 29 06 10
22 12 10 02 12 50 Egz podst B2
więcej podobnych podstron