Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niŜszą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
M6
1
2
3
4
5
6
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n naleŜy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie kaŜdego zadania moŜna
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach naleŜy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Zbadać z definicji zbieŜność całki niewłaściwej
.
∫
e
π
∞
1
x
sin ln x dx
2. Znajdując wzór na sumę odpowiedniego szeregu potęgowego obliczyć sumę
S =
1
3⋅2
−
1
6⋅2
2
+
1
9⋅2
3
−
1
12⋅2
4
+
1
15⋅2
5
− ...
3. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
i stycznej do
l
: −x = y = 2z
powierzchni
.
z =
24 − x
2
− 4y
2
4. Znajdując minimum odpowiedniej funkcji dwóch zmiennych wyznaczyć odległość
między prostymi
,
l
: ( x, y, z ) = ( s, s − 2, 1 + s ), s ∈ R
.
k
: ( x, y, z ) = ( −1 + t, t, 3t ), t ∈ R
5. Obliczyć pole obszaru znajdującego się w półpłaszczyźnie
i ograniczo-
y ≤
3 x
nego krzywymi
,
.
x
2
+ y
2
= 4y x
2
+ y
2
= 10y
6. Czworościan, którego gęstość objętościowa w kaŜdym punkcie jest równa jego
odległości od płaszczyzny
ograniczają płaszczyzny układu współrzędnych
xOz
oraz płaszczyzna o równaniu
. Obliczyć masę tego czworościanu.
x + 2y + 4z = 8
.
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niŜszą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
N6
1
2
3
4
5
6
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n naleŜy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie kaŜdego zadania moŜna
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach naleŜy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Stosując całkę niewłaściwą obliczyć objętość bryły obrotowej utworzonej po obrocie
wokół osi
obszaru określonego warunkami
Ox
.
2 ≤ x < ∞, 0 ≤ y ≤
1
x
e
2
x
2. Stosując kryterium ilorazowe zbadać zbieŜność szeregu
.
n = 1
∞
Σ
n ( arctg
2
n n
) ( tg
3
n
)
3. Korzystając z róŜniczki podać przybliŜoną objętość stoŜka, którego promień podstawy
wynosi
cm, natomiast tworząca
cm.
R = 3 ± 0, 1
l = 5 ± 0, 3
4. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji
na
f ( x, y ) = xy − x − y
zbiorze
.
A = { ( x, y ) ∈ R
2
: y ≤ 2x, y ≥ x
2
}
5. Obszar płaski jest opisany związkiem
. UŜywając
D
( x
2
+ y
2
)
3
≤ ( x
2
− y
2
)
2
współrzędnych biegunowych obliczyć pole tego obszaru. Sporządzić rysunek.
6. WydrąŜona półkula o promieniu wewnętrznym
i zewnętrznym
ma
r = 1
R = 3
ś
rodek w punkcie
. Jej gęstość objętościowa wynosi
( 0, 0, 0 )
.
γ ( x, y, z ) =
x
2
+ y
2
+ z
2
Obliczyć masę tej półkuli.
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niŜszą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
O6
1
2
3
4
5
6
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n naleŜy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie kaŜdego zadania moŜna
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach naleŜy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Obliczyć całkę niewłaściwą drugiego rodzaju
.
∫
0
1
dx
3
x + x
2. Wyznaczyć środek i promień zbieŜności szeregu potęgowego
.
Σ
n = 4
∞
(
n
n − 3
)
n
2
( 1 − 4x )
n
3. Naszkicować zbiór punktów nieciągłości funkcji
.
g ( x, y ) =
x ⋅ y
3
, x ≤ y
3
7x + 8, x > y
3
4. Zbadać, czy funkcja
ma ekstrema lokalne.
f ( x, y ) = ( x + 2 )
2
− ( y − 5 )
3
5. Obliczyć objętość i naszkicować bryłę ograniczoną powierzchniami
V
.
z = x
2
− y
2
, x
2
+ y
2
= 4, z = −5
6. Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny
jednorodnej bryły
yOz
obrotowej powstałej z obrotu wokół osi
trapezu krzywoliniowego
V
Ox
.
T = { ( x, y, 0 ) :
0 ≤ y ≤ 1 dla 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x dla 1 ≤ x ≤ 2
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niŜszą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.
P6
1
2
3
4
5
6
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n naleŜy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie kaŜdego zadania moŜna
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach naleŜy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Stosując kryterium ilorazowe zbadać zbieŜność całki niewłaściwej
.
∫
0
2
sin x
3
x
− 1
dx
2. Stosując twierdzenie o całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę szeregu
.
Σ
n = 2
∞
(−2)
n
n ⋅ 5
n
3. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
g ( x, y ) =
arcctg y
arcsin x
w punkcie
.
( x
0
, y
0
) = ( −
2
2
,
3
3
)
4. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji
.
f ( x, y ) = x
4
( y + 3 )
2
5. Obliczyć moment statyczny względem osi
jednorodnego czworokąta o wierz-
Oy
chołkach
P = ( 1, 0 ), Q = ( 2, 4 ), R = ( 5, 4 ), S = ( 4, 0 )
i o masie
.
M = 3
6. Obliczyć objętość bryły będącej częścią wspólną dwóch kul o promieniach rów-
nych i o środkach
. Wprowadzić współrzędne
2
S
1
= ( 0, 0, 0 ), S
2
= ( 0, 0, 2 )
sferyczne.