29 12 10 02 12 15 am2 2004 k1 popr

background image

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

WPPT M I/2

Kolokwium nr 1bis, 10.05.04

Uwaga: należy formułować wykorzystywane kryteria zbieżności szeregów i całek!

Zad.1. Załóżmy, że a

n

­ 0 i

P


n
=1

a

n

< ∞. Uzasadnij, że

X

n=1

a

1

+ 2a

2

+ . . . + na

n

n(n + 1)

=

X

n=1

a

n

.

Zad.2. Zbadaj zbieżność (bezwzględną i warunkową) szeregów:

(A)

X

n=1

1 · 4 · . . . · (3n − 2)

(2n)

n

;

(B)

X

n=2

(1)

n

n log

2

n

;

(C)

X

n=1

[(1)

n

1]

n

n

2

+ 2

n

.

Uwaga: Wiemy, dla jakich q i a szeregi postaci

P


n
=1

q

n

oraz

P


n
=1

n

a

są zbieżne,

a dla jakich rozbieżne; można z tego korzystać bez dowodu. Natomiast zbieżność
lub rozbieżność szeregów innej postaci należy uzasadnić!

Zad.3. (A) Czy z bezwzględnej zbieżności szeregu

P


n
=1

a

n

wynika bezwzględna zbieżność

szeregu

P


n
=1

a

n

(1 + a

n

)?

(B) Czy ze zbieżności szeregu

P


n
=1

a

n

wynika zbieżność szeregu

P


n
=1

a

n

(1 + a

n

)?

Odpowiedzi uzasadnij podając dowód lub kontrprzykład.

Zad.4. Zbadaj zbieżność całek niewłaściwych:

(A)

Z

1

0

1 cos x

x

2

sin x

dx,

(B)

Z

1

(1)

[2x]

dx

(arctg x)

2

,

(C)

Z

−∞

dx

x

2

+

q

|x|

,

(D)

Z

0

−∞

x

9

e

2x

dx.

Zad.5. Oblicz granicę

lim

n→∞

n

X

k=2

e

k
n

cos

n

3n + 2

.

Punktacja:
zadanie 1:

18 punktów,

zadanie 2:

19 punktów,

zadanie 3:

13 punktów,

zadanie 4:

7+9+9+12 = 37 punktów,

zadanie 5:

13 punktów.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
29 12 10 02 12 55 am2 2004 k1 grupaPS
29 12 10 02 12 36 am2 2004 k1
29 12 10 02 12 55 am2 2004 k1 grupaPS
29 12 10 02 12 51 am2 2004 popr
29 12 10 02 12 33 am2 2004 k2
29 12 10 02 12 11 am2 2006 k1
29 12 10 02 12 06 am2 e mnop6
29 12 10 02 12 40 am2 k1 ijkl5
29 12 10 02 12 25 am2 2006 k2
29 12 10 02 12 53 am2 k2 ijkl5
29 12 10 02 12 44 am2 ch kol 1
Zarządzanie w sytuacjach kryzysowych - wykłady z 02.10.- 17.12. - 15.01, Sudia - Bezpieczeństwo Wewn
22 12 10 02 12 55 Egz podst Ana2 B2
25 11 2009 12 10 02 0173 001
22 12 10 02 12 16 Egz popr
pn 29 11 10, pn 6 12 10(fragment) narządy pierwotne, listki zarodkowe, mechanizmy rozwoju zarodkax
22 12 10 02 12 49 Egz podst C
1.09.2004.12.15
22 12 10 02 12 54 Egz podst Ana2 H2

więcej podobnych podstron