Powłoki

Powłoki – dźwigary powierzchniowe, których powierzchnia
środkowa jest zakrzywiona pojedynczo lub podwójnie.

Nie można oddzielić zagadnienia zginania od zagadnienia
tarczowego, dlatego też obliczenie powłok jest bardziej
skomplikowane aniżeli obliczenie płaskich dźwigarów
powierzchniowych.

Rozpatrzymy tylko powłoki cienkie.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 1

Praktyczne obliczenie powłok opiera się na następujących
założeniach:
a) grubość powłoki jest mała w porównaniu z jej pozostałymi
wymiarami;
b) ugięcia powłoki są małe w stosunku do jej grubości;
c) punkty, które przed odkształceniem leżały na prostej prostopadłej
do powierzchni środkowej, również po odkształceniu znajdują się
na prostej, prostopadłej do odkształconej powierzchni środkowej;
d) naprężenia normalne, działające prostopadle do powierzchni
środkowej, są znikomo małe.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 2

Siły i momenty przekrojowe

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 3

Składowe naprężenia na jednostkę długości przekroju łączymy w
siły i momenty przekrojowe.
Ponieważ szerokość powierzchni bocznych elementu zależy od z , a
szerokości równej jedności przy

0

z

=

odpowiada na wysokości z

szerokość

(

) /

y

y

r

z r

+

lub

(

) /

x

x

r

z r

+

w przekrojach

const.

x

=

,

const.

y

=

, więc siły i momenty przekrojowe określone są

następującymi zależnościami:

1

h

x

x

y

h

z

n

dz

r

σ

−

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

,

1

h

y

y

x

h

z

n

dz

r

σ

−

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

1

h

xy

xy

y

h

z

n

d

r

τ

−

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

z

,

1

h

yx

yx

x

h

z

n

dz

r

τ

−

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

1

h

x

x

y

h

z

m

z

r

σ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

dz

,

1

h

y

y

x

h

z

m

zdz

r

σ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 4

1

h

xy

xy

y

h

z

m

zdz

r

τ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

,

1

h

yx

yx

x

h

z

m

zdz

r

τ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

1

h

x

xy

y

h

z

q

d

r

τ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

z

,

1

h

y

yz

x

h

z

q

dz

r

τ

−

⎛

⎞

= −

+

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

Ponieważ powierzchnie boczne elementu powłoki są do siebie
prostopadłe, więc

xy

yx

τ

τ

=

Siły styczne

xy

n

i

yx

n

lub momenty skręcające

xy

m

i

yx

m

mają

jednak, jednakową wielkość tylko w przypadku

x

y

r

r

=

.

Skoro szerokości powierzchni bocznych elementu płyty zależą od
współrzędnej

z

, także składowe naprężenia, działające równolegle

do powierzchni środkowej nie mogą być rozłożone na grubości
powłoki liniowo.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 5

Np. również w pręcie zakrzywionym przy przekrojach, które
pozostają płaskie, nie otrzymujemy liniowego rozkładu naprężeń od
zginania).
Wpływ składników, które w mianowniku zawierają

x

r

albo

y

r

(wyrazy uwzględniające krzywiznę), jest jednak bardzo mały,
ponieważ h a tym samym również z jest bardzo małe w porównaniu
z promieniami krzywizny.
Jeżeli na podstawie sił i momentów przekrojowych obliczamy
naprężenia, to można rozpatrywać powierzchnie przekroju jako
prostokąty, zakładając, że naprężenia normalne jak również
działające równolegle do powierzchni środkowej naprężenia styczne
zmieniają się na grubości powłoki liniowo.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 6

Błonowy stan naprężenia

W wielu przypadkach możemy przyjąć, że naprężenia równoległe
do powierzchni środkowej są rozłożone równomiernie na grubości
powłoki

2h

δ

=

i stąd niezależne od z.

W takim razie w równaniach składowe naprężenia możemy wynieść
przed znak całki.
Przy całkowaniu równań człony uwzględniające krzywiznę
odpadają i otrzymamy

xy

y

n

n

x

=

a dla sił przekrojowych otrzymujemy zależności

x

x

n

σ δ

=

,

y

y

n

σ δ

=

,

xy

yx

xy

yx

n

n

τ δ τ δ

=

=

=

oraz

0

x

y

xy

yx

m

m

m

m

=

=

=

=

Z powodu równowagi muszą wtedy zniknąć również siły
poprzeczne

x

q

i

y

q

,

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 7

Pozostają jedynie siły przekrojowe, które działają równolegle do
powierzchni środkowej.
Ten wolny od zginania stan naprężenia w powłoce określamy jako
błonowy stan naprężenia.
Powierzchnia środkowa powłoki doznaje przy tym w istocie tylko
wydłużeń i odkształceń postaciowych, którym towarzyszyć muszą
zmiany krzywizny.
Odpowiednie naprężenia od zginania mają jednak z reguły tylko
znaczenie naprężeń ubocznych, także najczęściej można je pominąć.

Po zniknięciu momentów i sił poprzecznych z sześciu równań
równowagi przestrzennego układu sił pozostają tylko trzy.
Tyle jest również niewiadomych sił przekrojowych i można je w
przypadku statycznie wyznaczalnego podparcia powłoki obliczyć z
samych tylko równań równowagi.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 8

Stan naprężenia w powłoce można tylko wtedy uważać (w
przybliżeniu) za wolny od zginania, jeżeli spełnione są następujące
założenia:
– powierzchnia środkowa jest w ogólnym przypadku zakrzywiona
w sposób ciągły,
– grubość powłoki nie zmienia się skokami,
– obciążenia powierzchniowe są rozłożone w sposób ciągły i nie
przebiegają zbyt nierównomiernie,
– siły brzegowe są skierowane stycznie do powierzchni środkowej.
– łożyska lub przylegające elementy konstrukcji mogą krępować
odkształcenie powłoki tylko na tyle, ażeby nałożone tym samym
więzy wywoływały znów siły działające tylko stycznie do
powierzchni środkowej.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 9

TEORIA BŁONOWA POWŁOK OBROTOWYCH

Powłoka obrotowa i jej siły przekrojowe

Punkty powierzchni środkowej ustalone są przez odpowiednią
płaszczyznę południkową o kącie

ϑ

oraz przez kąt

ϕ

.

Rozpatrzymy element powłoki, którego powierzchnia środkowa
ograniczona jest południkami

ϑ

i

d

ϑ

ϑ

+

i równoleżnikami

ϕ

i

d

ϕ

ϕ

+

między normalnymi.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 10

Powierzchnie boczne są prostopadłe do powierzchni środkowej.
Siły przekrojowe oznaczamy przez

n

ϑ

,

n

ϕ

,

n

n

ϑϕ

ϕϑ

=

.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 11

Warunki równowagi
a) Równanie równowagi w kierunku stycznej do równoleżnika:

(

)

0

1

1

cos

0

n r

n

r

n r

X

ϕϑ

ϑ

ϑϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ

∂

∂

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂ =

∂

∂

0 1

r r

,

b) Równanie równowagi w kierunku stycznej do południka:

(

)

0

1

1

0 1

cos

0

n r

n

r

n r

Yr r

ϕϑ

ϑϕ

ϑ

ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ

∂

∂

∂ ∂ −

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂ =

∂

∂

,

c) Równanie równowagi w kierunku normalnej od powierzchni:

1

0

0 1

sin

0

n r

n r

Zr r

ϑ

ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂ =

,

przy

0

2

sin

r

r

ϕ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 12

Ostatecznie otrzymamy

(

)

0

1

1

cos

0

n r

n

r

n r

Xr

ϕϑ

ϑ

ϑϕ

ϕ

ϑ

ϕ

∂

∂

+

+

+

∂

∂

0 1

r

=

( )

0

1

1

0 1

cos

0

n r

n

r n r

Yr r

ϕ

ϑϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕ

∂

∂

+

+

+

∂

∂

=

2

1

n

n

Z

r

r

ϕ

ϑ

∂

∂

+

= −

OBCIĄŻENlE OBROTOWO-SYMETRYCZNE
Całkowanie warunków równowagi
W danym przypadku stan naprężenia jest niezależny od

ϑ

, a zatem

w równaniach znikają pochodne względem

ϑ

.

Zakładamy, że

0

X

=

.

Wtedy będzie również

0

n

n

ϑϕ

ϕϑ

=

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 13

Jeżeli

P

ϕ

oznacza wypadkową obciążeń działających na część

kopuły położona ponad równoleżnikiem

ϕ

, to

0

2

sin

P

n

r

ϕ

ϕ

π

ϕ

= −

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 14

Powłoka kulista
Obciążenie ciężarem własnym.
Przyjmijmy stałą grubość

δ

ścianki kopuły.

Na jednostkę powierzchni środkowej działa wówczas niezmienny
ciężar g.

Dla punktu na równoleżniku

ϕ

obciążenie daje składowe

0,

sin ,

cos

X

Y

g

Z

g

ϕ

ϕ

=

=

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 15

Powierzchnia części kopuły położonej nad równoleżnikiem ma
wielkość

(

)

2

2

2

1 cos

O

f

a

ϕ

πα

π

=

=

−

ϕ

Na tę część kopuły przypada obciążenie całkowite

(

)

2

2

1 cos

P

gO

ga

ϕ

ϕ

π

ϕ

=

=

−

Ostatecznie otrzymamy

2

1 cos

sin

1 cos

ga

n

ga

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

= −

= −

+

1

cos

1 cos

n

ga

ϑ

ϕ

ϕ

⎛

⎞

=

−

⎜

⎟

+

⎝

⎠

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 16

Obciążenie śniegiem

2

0,

sin cos ,

cos

X

Y

p

Z

p

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

2

2

2

sin

1

2

sin

2

pa

n

p

a

ϕ

π

ϕ

π

ϕ

= −

= −

a

1

cos

2

n

pa

ϑ

ϕ

= −

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 17

Powłoka obrotowa hiperboliczna

Równanie powłoki

2

2

0

2

1

2

r

z

b

−

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 18

2

2

2

a

n

g z

n

r

ϑ

ϕ

α

α

= −

+

1 2

0

2

2

1

sin

sin

n

gr r

d

r

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

⎡

⎤

= −

+

⎣

⎦

∫

C

gdzie

0

C

oznacza stałą, którą należy wyznaczyć z warunków

brzegowych.
Przy stałej grubości ścianki

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

0

1

ln

2

1

1

ga r zr

z

r

n

C

r

a

a a

ϕ

α

α

α

α

⎡

⎤

⎛

⎞

⎢

⎥

⎜

⎟

= −

+

+

⎜

⎟

⎢

⎥

+

+

⎝

⎠

⎣

⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 06 – str. 19