Równania i nierówności z wartością bezwzględną.

Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema

(trzema) niewiadomymi.

Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań.

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja 1. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością
bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy:

|x| :=

(

x

jeśli

x ­ 0

−x jeśli x < 0

Stąd na przykład | − 5| = 5, |5| = 5, |0| = 0, |π| = π.
Uwaga.
1) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem.
2) Z geometrycznego punktu widzenia, |x| wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem
x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0.
3) Na |x − y| można spojrzeć jak na odległość x − y od 0, a ta jest równa odległości na osi
liczbowej pomiędzy punktami x i y.
4)

√

x

2

= |x|.

5) |x|

2

= x

2

= (−x)

2

.

Własności wartości bezwzględnej

Twierdzenie 1. Niech x, y ∈ R i b ∈ R, b ­ 0, wówczas

|x| = | − x|,

(1)

|xy| = |x||y|,

(2)

|x| ¬ b

⇐⇒

−b ¬ x ¬ b,

(3)

|x| ­ b

⇐⇒

x ¬ −b

lub

x ­ b,

(4)

|x + y| ¬ |x| + |y|,

(5)

|x − y| ¬ |x| + |y|,

(6)

||x| − |y|| ¬ |x + y|,

(7)

||x| − |y|| ¬ |x − y|.

(8)

Dowód. Własności (1) i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą
z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x ­ 0 i x < 0.
Pokażemy, że dla dowolnego x ∈ R |x| = | − x|.
Jeśli x ­ 0, to |x| = x i jednocześnie | − x| = −(−x) = x, a zatem |x| = | − x|.
Jeśli x < 0, to |x| = −x i jednocześnie | − x| = −x, więc |x| = | − x|. Stąd dla dowolnego x ∈ R
zachodzi równość (1).

Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : 1

o

x ­ 0 i y ­ 0, 2

o

x ­ 0 i y < 0 i 3

o

x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4

o

x < 0 i y ­ 0

możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2

o

. Mamy odpowiednio

1

o

x ­ 0 ∧ y ­ 0

⇒ |xy| = xy = |x||y|,

2

o

x ­ 0 ∧ y < 0

⇒ |xy| = −xy = x(−y) = |x||y|,

3

o

x < 0 ∧ y < 0

⇒ |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.

Własność (3), |x| ¬ b

⇐⇒

−b ¬ x ¬ b.

Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja −b ¬ x ¬ b

=⇒

|x| ¬ b.

Załóżmy, że −b ¬ x ¬ b, zatem dla x ­ 0 mamy |x| = x ¬ b, a dla x < 0 mamy |x| = −x ¬ b.
Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek −b ¬ x ¬ b mamy |x| ¬ b.
Teraz implikacja w przeciwną stronę |x| ¬ b

=⇒

−b ¬ x ¬ b.

Jeśli |x| ¬ b i b ­ 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną,
mamy

−b ¬ |x| ¬ b.

Dla x ­ 0 powyższa nierówność przyjmuje postać −b ¬ x ¬ b, a dla x < 0 postać −b ¬ −x ¬ b.
W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez -1 otrzymując
b ­ x ­ −b. Stąd dla dowolnego x ∈ R, |x| ¬ b zachodzi −b ¬ x ¬ b.

Własność (5), |x| ­ b ⇐⇒ x ¬ −b

lub

x ­ b.

Jeśli |x| ­ b, to dla x ­ mamy x = |x| ­ b, a dla x < 0 otrzymujemy −x = |x| ­ b, czyli x ¬ −b.
Jeśli x ¬ −b, to ponieważ b ­ 0 mamy x ¬ 0. Stąd |x| = −x ­ b. Jeśli x ­ b i b ­ 0, to x ­ 0,
stąd |x| = x ­ 0.

Własność (6), |x + y| ¬ |x| + |y|.
Z własności (3) zastosowanej dla b = |x| mamy |x| ¬ |x|

⇐⇒

−|x| ¬ x ¬ |x|. Zatem

−|x| ¬ x ¬ |x|

i

−|y| ¬ y ¬ |y|.

Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując

−(|x| + |y|) ¬ x + y ¬ |x| + |y|.

Teraz z własności (3) |x + y| ¬ |x| + |y|.

Własność (7), |x − y| ¬ |x| + |y|, wynika z (5), jeśli za y podstawimy −y:

|x + (−y)| ¬ |x| + | − y|

⇐⇒

|x − y| ¬ |x| + |y|.

Własność (8), ||x| − |y|| ¬ |x + y|. Korzystając z własności (6) otrzymamy:

|x| = |x + y − y| ¬ |x + y| + |y|

⇔

|x| − |y| ¬ |x + y|,

(9)

|y| = |y + x − x| ¬ |y + x| + |x|

⇔

|y| − |x| ¬ |x + y|

⇔ |x| − |y| ­ −|y + x|(10)

Z (9) i (10) mamy −|x+y| ¬ |x|−|y| ¬ |x+y|, a więc na podstawie (3) mamy ||x|−|y|| ¬ |x+y|.

Własność (4), ||x| − |y|| ¬ |x − y| otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := −y.

Przykład 1. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie
|x − 1| + |x − 5| = 4.

Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x ∈ R, dla
których suma ich odległości (na osi liczbowej) od 1 i od 5 jest równa 4. Ponieważ 1 i 5 są odległe
od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania

|x − 1| + |x − 5| = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo
od 1 czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od 1 odległość od 5 jest większa od
4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od 1 jest większa od 4. Natomiast
każda liczba leżąca pomiędzy 1 i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od 1 i od 5 jest równa
4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x ∈ [1; 5].

Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie |a

2

− 1|.

Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego
się ”pod” wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to
wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a ∈ R a

2

− 1 ­ 0 i dla jakich a

a

2

− 1 < 0.

a

2

− 1 ­ 0

⇐⇒

a ¬ −1

∨

a ­ 1,

a

2

− 1 < 0

⇐⇒

−1 < a < 1.

Stąd

|a

2

− 1| =

(

a

2

− 1,

jeżeli

a ¬ −1

lub

a ­ 1,

−a

2

+ 1,

jeżeli

−1 < a < 1.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Przy rozwiązywaniu równań lub nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące
warunki równoważne, pozwalające ”opuścić” znak wartości bezwzględnej:

|x| = b ⇐⇒ x = −b

lub

x = b,

(11)

|x| = |y| ⇐⇒ x

2

= y

2

.

(12)

|x| ¬ |y| ⇐⇒ x

2

¬ y

2

.

(13)

oraz własności (3) i (4):

|x| ¬ b ⇐⇒ −b ¬ x ¬ b,

|x| ­ b ⇐⇒ x ¬ −b

lub

x ­ b.

W każdym z powyższych warunków x, b ∈ R i b ­ 0.

Przykład 3. Rozwiąż równania

a) |x − 2| = 5,

b) |2x − 5| + 10 = 3x,

c) |x + 1| + |2x − 4| = 9,

d) |x + 2| = |2x + 1|.

Rozwiązanie.
a) |x − 2| = 5.
Skorzystamy z (11):

|x − 2| = 5

⇐⇒

x − 2 = −5

lub

x − 2 = 5

⇐⇒

x = −3

lub

x = 7.

b) |2x − 5| + 10 = 3x.
Z definicji wartości bezwzględnej mamy

|2x − 5| =

(

2x − 5,

jeżeli

x ­

5
2

−2x + 5, jeżeli x <

5
2

.

Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów:

(

2x − 5 + 10 = 3x
x ­

5
2

lub

(

−2x + 5 + 10 = 3x
x <

5
2

,

stąd po przekształceniach otrzymamy

(

x = 5
x ­

5
2

lub

(

x = 3
x <

5
2

,

Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5.

c) |x + 1| + |2x − 4| = 9.
Ponieważ

x − 1 = 0

⇐⇒

x = 1

i

2x − 4 = 0

⇐⇒

x = 2,

więc należy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 ¬ x < 2, x ­ 2.

Przypadek I. Jeśli x < 1, to x − 1 < 0 i 2x − 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9 przyjmie postać
−x − 1 − 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = −2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w
tym przypadku przedziału: x ∈ (−∞; 1).

Przypadek II. Jeśli 1 ¬ x < 2, to x − 1 ­ 0 i 2x − 4 < 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9
przyjmie postać x + 1 − 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = −4, ale −4 /

∈ [−1; 2), zatem tę

odpowiedź odrzucamy.

Przypadek III. Jeśli x ­ 2, to x − 1 ­ 0 i 2x − 4 ­ 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9
przyjmie postać x + 1 + 2x − 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 ∈ [2; ∞).

Rozwiązaniem równania |x+1|+|2x−4| = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach

I, II i III, czyli x = −2 lub x = 4.

d) |x + 2| = |2x + 1|.
Sposób 1

o

. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ

x + 2 = 0

⇐⇒

x = −2

i

2x + 1 = 0

⇐⇒

x = −

1

2

,

więc rozważymy trzy przypadki: x < −2, −2 ¬ x < −

1
2

, x ­ −

1
2

.

Przypadek I. Jeśli x < −2, to x + 2 < 0 i 2x + 1 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1| przyjmie postać
−x − 2 = −2x − 1. Jego rozwiązaniem jest x = 1 ale 1 /

∈ (−∞; −2), zatem tę odpowiedź

odrzucamy.

Przypadek II. Jeśli −2 ¬ x < −

1
2

, to x + 2 ­ 0 i 2x + 1 < 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|

przyjmie postać x + 2 = −2x − 1. Jego rozwiązaniem jest x = −1 i −1 ∈

h

− 2; −

1
2



, zatem

x = −1 jest jednym z rozwiązań równania d).

Przypadek III. Jeśli x ­ −

1
2

, to x + 2 ­ 0 i 2x + 1 ­ 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|

przyjmie postać x + 2 = 2x + 1. Jego rozwiązaniem jest x = 1 i 1 ∈

h

−

1
2

; ∞



.

Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli

x = −1 lub x = 1 .

Sposób 2

o

. Skorzystamy z (12). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są

sobie równe. Zatem

|x + 2| = |2x + 1|

⇐⇒

(x + 2)

2

= (2x + 1)

2

⇐⇒

3x

2

− 3 = 0

⇐⇒

3(x − 1)(x + 1) = 0

⇐⇒

x = −1

lub

x = 1.

Przykład 4. Rozwiąż nierówności

a) |2x + 2| > 4,

b) |x

2

− 5| ¬ 2,

c) |2x + 2| + 3x > 4,

d)

|4x+1|
|2x−3|

­ 2,

e) |x − 3| ­ |x − 1|.

Rozwiązanie.

a) |2x + 2| > 4.
Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności:

|2x + 2| > 4

⇐⇒

2x + 2 < −4

lub

2x + 2 > 4

⇐⇒

x < −3

lub

x > 1.

Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x ∈ (−∞; 3) ∪ (1; ∞).

b) |x

2

− 5| ¬ 2.

Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną:

|x

2

− 5| ¬ 2

⇐⇒

−2 ¬ x

2

− 5 ¬ 2

⇐⇒

3 ¬ x

2

¬ 7

⇐⇒

3 − x

2

¬ 0

i

x

2

− 7 ¬ 0

⇐⇒

x ¬ −

√

3

lub

x ­

√

3

i

−

√

7 ¬ x ¬

√

7

⇐⇒

−

√

7 ¬ x ¬ −

√

3

lub

√

3 ¬ x ¬

√

7.

c) |2x + 2| + 3x > 4.
Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 − 3x może przyjmować
zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość
bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań:

(

−2x − 2 + 3x > 4
2x + 2 < 0

lub

(

2x + 2 + 3x > 4
2x + 2 ­ 0,

Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy:

(

x > 6
x < −1

lub

(

x >

2
5

x ­ −1,

Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego

układu są x >

2
5

. Rozwiązaniem nierówności c) są x ∈



2
5

; ∞



.

d)

|4x+1|
|2x−3|

­ 2.

Ponieważ





x

y





=

|x|
|y|

,

zatem równanie d) jest równoważne równaniu





4x + 1

2x − 3





­ 2.

Zastosujmy własność (5):





4x + 1

2x − 3





­ 2

⇐⇒

4x + 1

2x − 3

¬ −2

lub

4x + 1

2x − 3

­ 2.

Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ {

3
2

}. Dalej mamy

4x + 1

2x − 3

¬ −2

lub

4x + 1

2x − 3

­ 2

⇐⇒

8x − 5

2x − 3

¬ 0

lub

7

2x − 3

­ 0.

Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak
iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach:

(8x − 5)(2x − 3) ¬ 0

lub

2x − 3 ­ 0

⇐⇒

x ∈

h

5

8

;

3

2

i

lub

x ∈



3

2

; ∞



⇐⇒

x ∈

h

5

8

; ∞



,

Ponieważ x =

3
2

nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są

x ∈

h

5
8

;

3
2



∪



3
2

; ∞



.

e) |x − 3| ­ |x − 1|.

Sposób 1

o

. Zastosujemy warunek (13), otrzymując

|x − 3| ­ |x − 1|

⇐⇒

(x − 3)

2

­ (x − 1)

2

⇐⇒

−6x + 9 ­ −2x + 1

⇐⇒

x ¬ 2.

Rozwiązaniem nierówności e) są x ∈ (−∞; 2].

Sposób 2

o

. Możemy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 ¬ x < 3, x ­ 3, postępując podobnie jak

w punkcie c) Przykładu 3.

Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y

(A)

(

a

1

x + b

1

y

=

c

1

a

2

x + b

2

y

=

c

2

,

gdzie a

1

, b

1

, a

2

, b

2

∈ R.

Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych
równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.

Na przykład rozwiązaniem układu

(B)

(

2x − y

=

4

x + 2y

=

−3

jest para liczb (1, −2), bo 2 · 1 − (−2) = 4 i 1 + 2(−2) = −3.

1

o

Jeżeli dla każdej pary współczynników a

i

, b

i

, dla i = 1, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny

od zera tzn. a

1

6= 0 lub b

1

6= 0 i a

2

6= 0 lub b

2

6= 0, to wykresem każdego z równań układu (A)

jest prosta. Oznaczmy pierwszą z nich przez l

1

a drugą przez l

2

, zatem l

1

: a

1

x + b

1

y = c

1

i

l

2

: a

2

x + b

2

y = c

2

.

Uwaga.
1) Jeśli proste l

1

i l

2

nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt

wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że
są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych
punktu przecięcia się prostych l

1

i l

2

.

2) Jeśli proste l

1

i l

2

są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o

układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki
nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań.
3) Jeśli proste l

1

i l

2

pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma

nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie
drugie układu.

2

o

Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników a

i

, b

i

dla i = 1, 2 jest

równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = c

i

, zatem ma rozwiązanie, gdy c

i

= 0

(każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy c

i

6= 0. Stąd

dla a

1

= a

2

= b

1

= b

2

= c

1

= c

2

= 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego

rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y ∈ R. Jeśli natomiast, a

1

= a

2

= b

1

= b

2

i c

1

6= 0

lub c

2

6= 0, to układ (A) nie ma rozwiązań.

Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie lub graficznie. Wśród metod algebraicznych
wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu

jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie:

(

2x − y = 4
x + 2y = −3

⇐⇒

(

y = 2x − 4
x + 2(2x − 4) = −3.

Stąd

(

y = 2x − 4
5x = 5

⇐⇒

(

y = −2
x = 1.

Zatem para (1, −2) jest rozwiązaniem układu równań.

Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i

dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie:

(

2x − y = 4
x + 2y = −3

⇐⇒

(

2x − y = 4
x + 2y = −3 / (−2)

⇐⇒

(

2x − y = 4
−2x − 4y = 6.

Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując:

(

−5y = 10
−2x − 4y = 6.

Dalej mamy

(

y = −2
−2x − 4y = 6

⇐⇒

(

y = −2
−2x − 4(−2) = 6.

⇐⇒

(

y = −2
−2x = −2.

Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (1, −2).

Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych.

Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a

1

b

2

− a

2

b

1

, co zapisujemy tak:

W =





a

1

b

1

a

2

b

2





= a

1

b

2

− a

2

b

1

.

Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne W

x

i W

y

rozumiemy odpowiednio:

W

x

=





c

1

b

1

c

2

b

2





= c

1

b

2

− c

2

b

1

,

W

y

=





a

1

c

1

a

2

c

2





= a

1

c

2

− a

2

c

1

.

Na przykład dla układu (B) mamy

W =





2

−1

1

2





= 4 + 1 = 5,

W

x

=





4

−1

−3 2





= 8 − 3 = 5,

W

y

=





2

4

1

−3





= −6 − 4 = −10.

Twierdzenie 1. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno
rozwiązanie, gdy W 6= 0, przy czym

x =

W

x

W

,

y =

W

y

W

.

Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W

1

6= 0 lub W

2

6= 0, a także wówczas, gdy

W = W

x

= W

y

= 0 oraz a

1

= a

2

= b

1

= b

2

= 0 i c

1

6= 0 lub c

2

6= 0.

Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = W

x

=

W

y

= 0 i co najmniej jedna z liczb a

1

, a

2

, b

1

, b

2

jest różna od zera, albo od dwóch parametrów

rzeczywistych, gdy a

1

= a

2

= b

1

= b

2

= c

1

= c

2

= 0.

Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x =

W

x

W

=

5
5

= 1 i y =

W

y

W

=

−10

5

=

−2.

Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby
otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie , b) nieskończenie wiele rozwiązań,
c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.

(

3x + 2y

=

7

.........

=

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić

w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b 6= 0. Zapiszmy równania prostych l

1

:

3x + 2y = 7 i l

2

: ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej:

l

1

: y = −

3

2

x +

7

2

l

2

: y = −

a

b

+

c

b

dla

b 6= 0.

a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l

1

powinna przecinać prostą l

2

dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności
nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe,
czyli w naszym przypadku dla

−

3

2

= −

a

b

⇐⇒

a = 3k

i

b = 2k

dla pewnego k ∈ Z \ {0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek:

3

2

6=

a

b

(14)

to proste l

1

i l

2

nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli

np. a = 3 i b = 1 lub a = −5 i b = −

1
2

lub a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma

dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci:

(

3x + 2y

=

7

3x + y

=

1

lub

(

3x + 2y

=

7

−5x + −

1
2

y

=

7

lub

(

3x + 2y

=

7

2y

=

−4.

Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla
których −

a

b

6= −

3
2

, a zatem dla których proste l

1

i l

2

, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a

układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku −

a

b

6= −

3
2

wynika, że

2a − 3b 6= 0, tzn., że W 6= 0.

b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l

1

i l

2

będą się pokrywały, to

znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy

a = 3k

i

b = 2k

i

c = 7k

dla pewnego k ∈ Z \ {0}. Proponowany układ równań będzie postaci

(

3x + 2y

=

7

3x + 2y

=

7

lub

(

3x + 2y

=

7

3kx + 2ky

=

7k.

Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 12,

b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = −12, b = −8, c = −28 (tu k = −4), a =

1
3

, b =

2
9

, c =

7
9

(tu

k =

1
9

) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z

tym samym współczynnikiem proporcjonalności k ∈ Z \ {0}, tzn.

∃ k ∈ Z \ {0}

a

3

=

b

2

=

c

7

= k.

(15)

Z warunku (15) wynika, że W = W

x

= W

y

= 0.

c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l

1

i l

2

nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe

ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki
kierunkowe prostych były równe, a c 6= 7, tzn.

−

3

2

= −

a

b

c 6= 7,

co można też zapisać w postaci:

∃ k ∈ Z \ {0}

a

3

=

b

2

= k

i

c

7

6= k.

(16)

Warunek (16) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i W

x

6= 0

i W

y

6= 0. Weźmy a = 3, b = 2 i c = 5, lub a = −3 b = −2 c = 7 otrzymamy wtedy układ

(

3x + 2y

=

7

3x + 2y

=

5.

lub

(

3x + 2y

=

7

−3x + −2y

=

7.

Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników:

(C)

(

x + 2y = 3
2x − 3y = 1

(D)

(

−y + 2x = 3
4x − 2y = 6

(E)

(

2x + 6y = 7
x + 3y = 1.

Rozwiązanie.
(C)

W =





1

2

2

−3





= −7 6= 0,

W

x

=





3

2

1

−3





= −11,

W

y

=





1

3

2

1





= −5.

Ponieważ wyznacznik główny W 6= 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y),
gdzie

x =

W

x

W

=

11

7

y =

W

y

W

=

5

7

.

(D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego
równania ”stała” nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w
postaci:

(

2x − y = 3
4x − 2y = 6.

Obliczymy wyznaczniki układu:

W =





2

−1

4

−2





= 0,

W

x

=





3

−1

6

−2





= 0,

W

y

=





2

3

4

6





= 0.

Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia (1) wnioskujemy, że
układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne
(równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda
para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy
jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego:

2x − y = 3

⇐⇒

y = 2x − 3.

Stąd rozwiązaniem równania 2x − y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x − 3).
Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności
tych dwóch równań):

4x − 2(2x − 3) = 6

⇐⇒

6 = 6.

Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x−3), gdzie pod x możemy podstawić
dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu.

(E) Obliczymy wyznaczniki układu (E):

W =





2

6

1

3





= 0,

W

x

=





2

7

1

1





= −5 6= 0

Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika W

y

, bo W = 0, a W

x

6= 0, tzn., że co najmniej

jeden z wyznaczników W

x

, W

y

jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (1), układ równań

nie ma rozwiązań.
Przykład 6. Rozwiąż układ równań

(F )











1

x+y+1

+

5

x−y+1

=

2

3

x+y−1

−

5

x−y+1

=

2.

Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y ∈ R, że y 6=
1 + x i y 6= 1 − x, tzn. (x, y) 6= (x, 1 + x) i (x, y) 6= (x, 1 − x), x ∈ R. Wprowadzimy
pomocnicze niewiadome u i t. Niech u =

1

x+y−1

i t =

1

x−y+1

, zatem równoważny układ równań,

o niewiadomych u i t przyjmie postać

(

1

u

+

5

t

=

2

3

u

−

5

t

=

2.

Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy

(

1

u

+

5

t

=

2

3

u

−

5

t

=

2

⇐⇒

(

4

u

=

4

3

u

−

5

t

=

2

⇐⇒

(

u

=

1

3

u

−

5

t

=

2

⇐⇒

(

u

=

1

t

=

5.

Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący
układu równań liniowych:

(

x + y − 1

=

1

x − y + 1

=

5.

Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny:

(

2x

=

6

x − y + 1

=

5.

⇐⇒

(

x

=

3

y

=

−1.

Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y = −1.

Przykład 7. Rozwiąż układ równań

(G)

(

|x − 1| + ||y − 5| = 1
|x − 1| − y

=

−5.

Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez −1 i dodajmy je stronami do równania pierwszego.
Otrzymamy

(

|x − 1| + |y − 5| = 1
|x − 1| − y

=

−5 / (−1)

⇐⇒

(

y + |y − 5|

=

6

|x − 1| − y

=

−5.

Rozważmy dwa przypadki y ­ 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne.
1

o

Dla y ­ 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y − 5| opuszczamy bez zmiany znaku:

(

y + y − 5

=

6

|x − 1| − y

=

−5

⇐⇒

(

2y

=

11

|x − 1| − y

=

−5

⇐⇒

(

y

=

11

2

|x − 1| = −5 +

11

2

.

Stąd

(

y

=

11

2

|x − 1| =

1
2

.

⇐⇒

(

y

=

11

2

x − 1

=

1
2

lub

(

y

=

11

2

x − 1

=

−

1
2

Zatem

(

y

=

11

2

x

=

3
2

lub

(

y

=

11

2

x

=

1
2

.

Oczywiście para (x, y) = (

1
2

,

11

2

) spełnia warunek y ­ 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G).

Rozważmy drugi przypadek.
2

o

Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y − 5| opuszczamy ze zmianą znaku:

(

y − y + 5

=

6

|x − 1| − y

=

−5

⇐⇒

(

5

=

6

|x − 1| − y

=

−5.

Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując,
układ (G) ma dwa rozwiązania: (x

1

, y

1

) = (

3
2

,

11

2

), (x

2

, y

2

) = (

1
2

,

11

2

).

Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b ∈ R.

(

ax − by

=

a

2

+ b

2

x + y

=

2a

Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:

W =





a

−b

1

1





= a + b,

W

x

=





a

2

+ b

2

−b

2a

1





= (a + b)

2

,

W

y

=





a

a

2

+ b

2

1

2a





= a

2

− b

2

.

Korzystając z Twierdzena 1 mamy:
Dla a 6= −b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie

(

x

=

a + b

y

=

a − b.

Jeżeli a + b = 0, to a = −b, zatem W = 0, W

x

= 0 i W

y

= 0, czyli dla a = −b układ ma

nieskończenie wiele rozwiązań.
1

o

Jeśli a = −b = 0, to układ przyjmuje postać

(

0x − 0y

=

0

x + y

=

0.

⇐⇒

(

0

=

0

y

=

−x.

Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, −x), gdzie x ∈ R.

2

o

Jeśli a = −b, i b 6= 0 (wtedy również a 6= 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez −a

i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy

(

ax + ay

=

2a

2

x + y

=

2a.

⇐⇒

(

x + y

=

2a

0

=

0

Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a − x), dla dowolnego x ∈ R.

Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to
a = −b i co za tym idzie W

x

= 0 i W

y

= 0. Podsumowując mamy:

a 6= −b

⇒ jedno

rozwiązanie

(x, y) = (a + b, a − b);

a = −b

⇒ nieskończenie

wiele

rozwiązań :

a = b = 0

⇒ (x, y) = (x, −x)

a = −b 6= 0 ⇒ (x, y) = (x, 2a − x).

Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b ∈ R \ {0}.











x
a

+

y

b

=

1

x

b

+

y
a

=

1

Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:

W =





1
a

1

b

1

b

1
a





=

1

a

2

−

1

b

2

,

W

x

=





1

1

b

1

1
a





=

1
a

−

1

b

,

W

y

=





1
a

1

1

b

1





=

1
a

−

1

b

.

Jeśli a 6= b i a 6= −b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) =



ab

b+a

,

ab

b+a



.

Jeśli a = b, to W = 0 i W

x

= 0 i W

y

= 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

(x, y) = (x, a − x), gdzie x ∈ R.
Jeśli a = −b, to W = 0 i W

x

=

−2

a

6= 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.

Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania lub przeciwnych
znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do
dwóch pierwszych metod.

Przykład 10. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

(F )











x − 8y + 2z

=

−8

2y + 3z

=

−1

2x + 4y − z

=

9.

Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy
przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez −2 i dodajmy
do równania trzeciego.











x − 8y + 2z

=

−8

2y + 3z

=

−1

2x + 4y − z

=

9

⇐⇒











x + 14z

=

−12

2y + 3z

=

−1

2x − 7z

=

11

Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez −2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego.
Otrzymamy











x + 14z

=

−12

2y + 3z

=

−1

−35z

=

35

⇐⇒











x − 14

=

−12

2y − 3

=

−1

z

=

−1

⇐⇒











x

=

2

y

=

1

z

=

−1

Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2, 1, −1).

Zadania

1. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej |1 −

√

2|, |

p

(π − 4)

2

|, |x

2

+ 1|

2. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie |x+2| =

|x + 4|.

3. Rozwiąż równania

a) |x| = x,

b) 3|x − 3| + x = 5,

c) |x − 1| + |x| + |x + 1| = 2.

4. Rozwiąż nierówności

a) |

4x+1
2x−3

| > 2,

b) |x

2

− 2x − 3| ­ 0,

c) |3x − 3| ­ 6 − 3x,

d) x + ||x + 1| − 2| ¬ 0,

e) |x| + ||x + 1| + 1| − |x + 4| ¬ 0.

5. Rozwiąż równanie | sin x| = sin 2x.

6. Wykaż, że:

a) | sin x| + | cos | ­ 1 dla x ∈ R,

b) |a sin x + b sin x| ¬

√

a

2

+ b

2

dla a, b, x ∈ R.

7. Naszkicuj wykresy funkcji f (x) = |x| + |x + 1| + |x + 2|, g(x) = ||x − 3| − x|.

8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników

(H)

(

x − y = 1
2x − 2y = 2,

(I)

(

2x − y = 3 + x
x − y = 6

(J )

(

x − y = 2
2x − 2y = 1

9. Rozwiąż układ równań

(K)

(

1
x

+

1
y

= 5

3

x

−

5
y

= −9,

10. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedź, a ile cynk znajdujące

się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary
właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm

3

i 6, 9 kg / dm

3

?

Wskazówka: 1 dm

3

wody waży 1 kg.

11. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 18 km/h, a pod prąd z prędkością 14 km/h.

Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.

12. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi:

(L)











2x − 3y + 5z

=

11

x + 4y − 7z

=

−12

3x + 2y + 8z

=

31

(M )











5

x

−

2
y

+

3
z

= −

9
4

2

x

+

3
y

+

1
z

=

5

12

1

x

+

4
y

−

2
z

=

5
3

13. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m ∈ R.

(

(m − 1)x + 2y

=

1

x + my

=

1

14. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu

(

2x + 8(m

2

+ 1)

=

5

x + 5m

2

y

=

2

jest para liczb dodatnich ?

15. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu

(

x + my

=

3

mx + 4y

=

6

spełnia warunek x > 1 i y > 0 ?

16. Dla jakich wartości parametru m układ

(

(m − 1)x + 3y

=

5

mx − 2y

=

4

nie ma rozwiązań ? Podaj interpretację geometryczną tego układu.

17. Rozwiąż układ równań

(

|x| + y = 1
x

2

+ (y − 1)

2

= 8.

Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy
początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu.

18. Rozwiąż układy równań:

(A)

(

x

2

+ xy = 10

y

2

+ xy = 15

(B)

(

√

x −

√

y = 2

x − 4y = 0

(C)

(

−4x

3

+ 4xy

2

= 0

−4y

3

+ 4yx

2

= 0

19. Dla jakich wartości parametru m układ równań

(

(x − 1)

2

+ (y + 1)

2

= 1

(x − 5)

2

+ (y − 2)

2

= m

ma więcej niż jedno rozwiązanie?

20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ

(

x

2

+ y

2

= 9

my

2

− x = 3

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

21. Rozwiąż układy:



















x ­ −1
y ­ −2
y + x ¬ 6
x + 3y ¬ 10,











x + y ­ 1
3x + y ¬ 3
y − x = 1.

Odpowiedzi
1.

√

2 − 1, 4 − π, x

2

+ 1;

2. x = −3;
3. a) x ­ 0, b) x = 2 lub x =

14

3

, c) x = 0 ;

4. a) x <

5
8

, b) x ∈ R, c) x ∈ (

1
2

; 1) ∪



3
2

; ∞



, d) x ∈ (−∞, −

3
2



, e) x ∈

h

−

4
3

; 2

i

;

5. x =

π

3

+ 2kπ lub x =

4
3

π + 2kπ dla k ∈ Z;

8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x − 1), (I) - układ oznaczony,
rozwiązanie (x, y) = (−3, −9), (J )- układ sprzeczny, brak rozwiązań;
9. x =

1
2

, y =

1
3

;

10. 53, 4 kg, 13, 8 kg;

11. 16 km/h;
12. (L) - (x, y, z) = (1, 2, 3), (M )- (x, y, z) = (−6, 3, −4);
13. dla m 6= −1 i m 6= 2 jedno rozwiązanie (x, y) = (

1

m+1

,

1

m+1

), dla m = −1 brak rozwiązań,

dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci



x,

1−x

2



;

14. m ∈ (−

4
3

;

4
3

);

15. m ∈ (−2; 2) lub m ∈ (2, 4);
16. m =

2
5

;

17. (x, y) = (−2, −1) lub (x, y) = (2, −1), P = 2π, L = (4 + π)

√

2;

18. (A)- (x, y) = (−2, −3) lub (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (16, 4), (C)- (x, x) lub (x, −x), gdzie
x ∈ R;
19. t ∈ (16; 36);
20. m = 0 lub m =

1
6

.