Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema
(trzema) niewiadomymi.
Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań.
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Definicja 1. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością
bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy:
|x| :=
(
x
jeśli
x 0
−x jeśli x < 0
Stąd na przykład | − 5| = 5, |5| = 5, |0| = 0, |π| = π.
Uwaga.
1) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem.
2) Z geometrycznego punktu widzenia, |x| wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem
x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0.
3) Na |x − y| można spojrzeć jak na odległość x − y od 0, a ta jest równa odległości na osi
liczbowej pomiędzy punktami x i y.
4)
√
x
2
= |x|.
5) |x|
2
= x
2
= (−x)
2
.
Własności wartości bezwzględnej
Twierdzenie 1. Niech x, y ∈ R i b ∈ R, b 0, wówczas
|x| = | − x|,
(1)
|xy| = |x||y|,
(2)
|x| ¬ b
⇐⇒
−b ¬ x ¬ b,
(3)
|x| b
⇐⇒
x ¬ −b
lub
x b,
(4)
|x + y| ¬ |x| + |y|,
(5)
|x − y| ¬ |x| + |y|,
(6)
||x| − |y|| ¬ |x + y|,
(7)
||x| − |y|| ¬ |x − y|.
(8)
Dowód. Własności (1) i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą
z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x 0 i x < 0.
Pokażemy, że dla dowolnego x ∈ R |x| = | − x|.
Jeśli x 0, to |x| = x i jednocześnie | − x| = −(−x) = x, a zatem |x| = | − x|.
Jeśli x < 0, to |x| = −x i jednocześnie | − x| = −x, więc |x| = | − x|. Stąd dla dowolnego x ∈ R
zachodzi równość (1).
Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : 1
o
x 0 i y 0, 2
o
x 0 i y < 0 i 3
o
x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4
o
x < 0 i y 0
możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2
o
. Mamy odpowiednio
1
o
x 0 ∧ y 0
⇒ |xy| = xy = |x||y|,
2
o
x 0 ∧ y < 0
⇒ |xy| = −xy = x(−y) = |x||y|,
3
o
x < 0 ∧ y < 0
⇒ |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.
Własność (3), |x| ¬ b
⇐⇒
−b ¬ x ¬ b.
Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja −b ¬ x ¬ b
=⇒
|x| ¬ b.
Załóżmy, że −b ¬ x ¬ b, zatem dla x 0 mamy |x| = x ¬ b, a dla x < 0 mamy |x| = −x ¬ b.
Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek −b ¬ x ¬ b mamy |x| ¬ b.
Teraz implikacja w przeciwną stronę |x| ¬ b
=⇒
−b ¬ x ¬ b.
Jeśli |x| ¬ b i b 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną,
mamy
−b ¬ |x| ¬ b.
Dla x 0 powyższa nierówność przyjmuje postać −b ¬ x ¬ b, a dla x < 0 postać −b ¬ −x ¬ b.
W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez -1 otrzymując
b x −b. Stąd dla dowolnego x ∈ R, |x| ¬ b zachodzi −b ¬ x ¬ b.
Własność (5), |x| b ⇐⇒ x ¬ −b
lub
x b.
Jeśli |x| b, to dla x mamy x = |x| b, a dla x < 0 otrzymujemy −x = |x| b, czyli x ¬ −b.
Jeśli x ¬ −b, to ponieważ b 0 mamy x ¬ 0. Stąd |x| = −x b. Jeśli x b i b 0, to x 0,
stąd |x| = x 0.
Własność (6), |x + y| ¬ |x| + |y|.
Z własności (3) zastosowanej dla b = |x| mamy |x| ¬ |x|
⇐⇒
−|x| ¬ x ¬ |x|. Zatem
−|x| ¬ x ¬ |x|
i
−|y| ¬ y ¬ |y|.
Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując
−(|x| + |y|) ¬ x + y ¬ |x| + |y|.
Teraz z własności (3) |x + y| ¬ |x| + |y|.
Własność (7), |x − y| ¬ |x| + |y|, wynika z (5), jeśli za y podstawimy −y:
|x + (−y)| ¬ |x| + | − y|
⇐⇒
|x − y| ¬ |x| + |y|.
Własność (8), ||x| − |y|| ¬ |x + y|. Korzystając z własności (6) otrzymamy:
|x| = |x + y − y| ¬ |x + y| + |y|
⇔
|x| − |y| ¬ |x + y|,
(9)
|y| = |y + x − x| ¬ |y + x| + |x|
⇔
|y| − |x| ¬ |x + y|
⇔ |x| − |y| −|y + x|(10)
Z (9) i (10) mamy −|x+y| ¬ |x|−|y| ¬ |x+y|, a więc na podstawie (3) mamy ||x|−|y|| ¬ |x+y|.
Własność (4), ||x| − |y|| ¬ |x − y| otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := −y.
Przykład 1. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie
|x − 1| + |x − 5| = 4.
Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x ∈ R, dla
których suma ich odległości (na osi liczbowej) od 1 i od 5 jest równa 4. Ponieważ 1 i 5 są odległe
od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania
|x − 1| + |x − 5| = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo
od 1 czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od 1 odległość od 5 jest większa od
4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od 1 jest większa od 4. Natomiast
każda liczba leżąca pomiędzy 1 i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od 1 i od 5 jest równa
4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x ∈ [1; 5].
Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie |a
2
− 1|.
Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego
się ”pod” wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to
wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a ∈ R a
2
− 1 0 i dla jakich a
a
2
− 1 < 0.
a
2
− 1 0
⇐⇒
a ¬ −1
∨
a 1,
a
2
− 1 < 0
⇐⇒
−1 < a < 1.
Stąd
|a
2
− 1| =
(
a
2
− 1,
jeżeli
a ¬ −1
lub
a 1,
−a
2
+ 1,
jeżeli
−1 < a < 1.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Przy rozwiązywaniu równań lub nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące
warunki równoważne, pozwalające ”opuścić” znak wartości bezwzględnej:
|x| = b ⇐⇒ x = −b
lub
x = b,
(11)
|x| = |y| ⇐⇒ x
2
= y
2
.
(12)
|x| ¬ |y| ⇐⇒ x
2
¬ y
2
.
(13)
oraz własności (3) i (4):
|x| ¬ b ⇐⇒ −b ¬ x ¬ b,
|x| b ⇐⇒ x ¬ −b
lub
x b.
W każdym z powyższych warunków x, b ∈ R i b 0.
Przykład 3. Rozwiąż równania
a) |x − 2| = 5,
b) |2x − 5| + 10 = 3x,
c) |x + 1| + |2x − 4| = 9,
d) |x + 2| = |2x + 1|.
Rozwiązanie.
a) |x − 2| = 5.
Skorzystamy z (11):
|x − 2| = 5
⇐⇒
x − 2 = −5
lub
x − 2 = 5
⇐⇒
x = −3
lub
x = 7.
b) |2x − 5| + 10 = 3x.
Z definicji wartości bezwzględnej mamy
|2x − 5| =
(
2x − 5,
jeżeli
x
5
2
−2x + 5, jeżeli x <
5
2
.
Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów:
(
2x − 5 + 10 = 3x
x
5
2
lub
(
−2x + 5 + 10 = 3x
x <
5
2
,
stąd po przekształceniach otrzymamy
(
x = 5
x
5
2
lub
(
x = 3
x <
5
2
,
Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5.
c) |x + 1| + |2x − 4| = 9.
Ponieważ
x − 1 = 0
⇐⇒
x = 1
i
2x − 4 = 0
⇐⇒
x = 2,
więc należy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 ¬ x < 2, x 2.
Przypadek I. Jeśli x < 1, to x − 1 < 0 i 2x − 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9 przyjmie postać
−x − 1 − 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = −2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w
tym przypadku przedziału: x ∈ (−∞; 1).
Przypadek II. Jeśli 1 ¬ x < 2, to x − 1 0 i 2x − 4 < 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9
przyjmie postać x + 1 − 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = −4, ale −4 /
∈ [−1; 2), zatem tę
odpowiedź odrzucamy.
Przypadek III. Jeśli x 2, to x − 1 0 i 2x − 4 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x − 4| = 9
przyjmie postać x + 1 + 2x − 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 ∈ [2; ∞).
Rozwiązaniem równania |x+1|+|2x−4| = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach
I, II i III, czyli x = −2 lub x = 4.
d) |x + 2| = |2x + 1|.
Sposób 1
o
. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ
x + 2 = 0
⇐⇒
x = −2
i
2x + 1 = 0
⇐⇒
x = −
1
2
,
więc rozważymy trzy przypadki: x < −2, −2 ¬ x < −
1
2
, x −
1
2
.
Przypadek I. Jeśli x < −2, to x + 2 < 0 i 2x + 1 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1| przyjmie postać
−x − 2 = −2x − 1. Jego rozwiązaniem jest x = 1 ale 1 /
∈ (−∞; −2), zatem tę odpowiedź
odrzucamy.
Przypadek II. Jeśli −2 ¬ x < −
1
2
, to x + 2 0 i 2x + 1 < 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|
przyjmie postać x + 2 = −2x − 1. Jego rozwiązaniem jest x = −1 i −1 ∈
h
− 2; −
1
2
, zatem
x = −1 jest jednym z rozwiązań równania d).
Przypadek III. Jeśli x −
1
2
, to x + 2 0 i 2x + 1 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|
przyjmie postać x + 2 = 2x + 1. Jego rozwiązaniem jest x = 1 i 1 ∈
h
−
1
2
; ∞
.
Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli
x = −1 lub x = 1 .
Sposób 2
o
. Skorzystamy z (12). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są
sobie równe. Zatem
|x + 2| = |2x + 1|
⇐⇒
(x + 2)
2
= (2x + 1)
2
⇐⇒
3x
2
− 3 = 0
⇐⇒
3(x − 1)(x + 1) = 0
⇐⇒
x = −1
lub
x = 1.
Przykład 4. Rozwiąż nierówności
a) |2x + 2| > 4,
b) |x
2
− 5| ¬ 2,
c) |2x + 2| + 3x > 4,
d)
|4x+1|
|2x−3|
2,
e) |x − 3| |x − 1|.
Rozwiązanie.
a) |2x + 2| > 4.
Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności:
|2x + 2| > 4
⇐⇒
2x + 2 < −4
lub
2x + 2 > 4
⇐⇒
x < −3
lub
x > 1.
Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x ∈ (−∞; 3) ∪ (1; ∞).
b) |x
2
− 5| ¬ 2.
Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną:
|x
2
− 5| ¬ 2
⇐⇒
−2 ¬ x
2
− 5 ¬ 2
⇐⇒
3 ¬ x
2
¬ 7
⇐⇒
3 − x
2
¬ 0
i
x
2
− 7 ¬ 0
⇐⇒
x ¬ −
√
3
lub
x
√
3
i
−
√
7 ¬ x ¬
√
7
⇐⇒
−
√
7 ¬ x ¬ −
√
3
lub
√
3 ¬ x ¬
√
7.
c) |2x + 2| + 3x > 4.
Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 − 3x może przyjmować
zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość
bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań:
(
−2x − 2 + 3x > 4
2x + 2 < 0
lub
(
2x + 2 + 3x > 4
2x + 2 0,
Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy:
(
x > 6
x < −1
lub
(
x >
2
5
x −1,
Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego
układu są x >
2
5
. Rozwiązaniem nierówności c) są x ∈
2
5
; ∞
.
d)
|4x+1|
|2x−3|
2.
Ponieważ
x
y
=
|x|
|y|
,
zatem równanie d) jest równoważne równaniu
4x + 1
2x − 3
2.
Zastosujmy własność (5):
4x + 1
2x − 3
2
⇐⇒
4x + 1
2x − 3
¬ −2
lub
4x + 1
2x − 3
2.
Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ {
3
2
}. Dalej mamy
4x + 1
2x − 3
¬ −2
lub
4x + 1
2x − 3
2
⇐⇒
8x − 5
2x − 3
¬ 0
lub
7
2x − 3
0.
Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak
iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach:
(8x − 5)(2x − 3) ¬ 0
lub
2x − 3 0
⇐⇒
x ∈
h
5
8
;
3
2
i
lub
x ∈
3
2
; ∞
⇐⇒
x ∈
h
5
8
; ∞
,
Ponieważ x =
3
2
nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są
x ∈
h
5
8
;
3
2
∪
3
2
; ∞
.
e) |x − 3| |x − 1|.
Sposób 1
o
. Zastosujemy warunek (13), otrzymując
|x − 3| |x − 1|
⇐⇒
(x − 3)
2
(x − 1)
2
⇐⇒
−6x + 9 −2x + 1
⇐⇒
x ¬ 2.
Rozwiązaniem nierówności e) są x ∈ (−∞; 2].
Sposób 2
o
. Możemy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 ¬ x < 3, x 3, postępując podobnie jak
w punkcie c) Przykładu 3.
Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y
(A)
(
a
1
x + b
1
y
=
c
1
a
2
x + b
2
y
=
c
2
,
gdzie a
1
, b
1
, a
2
, b
2
∈ R.
Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych
równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.
Na przykład rozwiązaniem układu
(B)
(
2x − y
=
4
x + 2y
=
−3
jest para liczb (1, −2), bo 2 · 1 − (−2) = 4 i 1 + 2(−2) = −3.
1
o
Jeżeli dla każdej pary współczynników a
i
, b
i
, dla i = 1, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny
od zera tzn. a
1
6= 0 lub b
1
6= 0 i a
2
6= 0 lub b
2
6= 0, to wykresem każdego z równań układu (A)
jest prosta. Oznaczmy pierwszą z nich przez l
1
a drugą przez l
2
, zatem l
1
: a
1
x + b
1
y = c
1
i
l
2
: a
2
x + b
2
y = c
2
.
Uwaga.
1) Jeśli proste l
1
i l
2
nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt
wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że
są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych
punktu przecięcia się prostych l
1
i l
2
.
2) Jeśli proste l
1
i l
2
są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o
układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki
nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań.
3) Jeśli proste l
1
i l
2
pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma
nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie
drugie układu.
2
o
Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników a
i
, b
i
dla i = 1, 2 jest
równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = c
i
, zatem ma rozwiązanie, gdy c
i
= 0
(każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy c
i
6= 0. Stąd
dla a
1
= a
2
= b
1
= b
2
= c
1
= c
2
= 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego
rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y ∈ R. Jeśli natomiast, a
1
= a
2
= b
1
= b
2
i c
1
6= 0
lub c
2
6= 0, to układ (A) nie ma rozwiązań.
Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie lub graficznie. Wśród metod algebraicznych
wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników.
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu
jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie:
(
2x − y = 4
x + 2y = −3
⇐⇒
(
y = 2x − 4
x + 2(2x − 4) = −3.
Stąd
(
y = 2x − 4
5x = 5
⇐⇒
(
y = −2
x = 1.
Zatem para (1, −2) jest rozwiązaniem układu równań.
Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i
dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie:
(
2x − y = 4
x + 2y = −3
⇐⇒
(
2x − y = 4
x + 2y = −3 / (−2)
⇐⇒
(
2x − y = 4
−2x − 4y = 6.
Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując:
(
−5y = 10
−2x − 4y = 6.
Dalej mamy
(
y = −2
−2x − 4y = 6
⇐⇒
(
y = −2
−2x − 4(−2) = 6.
⇐⇒
(
y = −2
−2x = −2.
Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (1, −2).
Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych.
Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a
1
b
2
− a
2
b
1
, co zapisujemy tak:
W =
a
1
b
1
a
2
b
2
= a
1
b
2
− a
2
b
1
.
Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne W
x
i W
y
rozumiemy odpowiednio:
W
x
=
c
1
b
1
c
2
b
2
= c
1
b
2
− c
2
b
1
,
W
y
=
a
1
c
1
a
2
c
2
= a
1
c
2
− a
2
c
1
.
Na przykład dla układu (B) mamy
W =
2
−1
1
2
= 4 + 1 = 5,
W
x
=
4
−1
−3 2
= 8 − 3 = 5,
W
y
=
2
4
1
−3
= −6 − 4 = −10.
Twierdzenie 1. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno
rozwiązanie, gdy W 6= 0, przy czym
x =
W
x
W
,
y =
W
y
W
.
Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W
1
6= 0 lub W
2
6= 0, a także wówczas, gdy
W = W
x
= W
y
= 0 oraz a
1
= a
2
= b
1
= b
2
= 0 i c
1
6= 0 lub c
2
6= 0.
Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = W
x
=
W
y
= 0 i co najmniej jedna z liczb a
1
, a
2
, b
1
, b
2
jest różna od zera, albo od dwóch parametrów
rzeczywistych, gdy a
1
= a
2
= b
1
= b
2
= c
1
= c
2
= 0.
Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x =
W
x
W
=
5
5
= 1 i y =
W
y
W
=
−10
5
=
−2.
Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby
otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie , b) nieskończenie wiele rozwiązań,
c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.
(
3x + 2y
=
7
.........
=
Rozwiązanie.
Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić
w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b 6= 0. Zapiszmy równania prostych l
1
:
3x + 2y = 7 i l
2
: ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej:
l
1
: y = −
3
2
x +
7
2
l
2
: y = −
a
b
+
c
b
dla
b 6= 0.
a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l
1
powinna przecinać prostą l
2
dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności
nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe,
czyli w naszym przypadku dla
−
3
2
= −
a
b
⇐⇒
a = 3k
i
b = 2k
dla pewnego k ∈ Z \ {0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek:
3
2
6=
a
b
(14)
to proste l
1
i l
2
nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli
np. a = 3 i b = 1 lub a = −5 i b = −
1
2
lub a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma
dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci:
(
3x + 2y
=
7
3x + y
=
1
lub
(
3x + 2y
=
7
−5x + −
1
2
y
=
7
lub
(
3x + 2y
=
7
2y
=
−4.
Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla
których −
a
b
6= −
3
2
, a zatem dla których proste l
1
i l
2
, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a
układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku −
a
b
6= −
3
2
wynika, że
2a − 3b 6= 0, tzn., że W 6= 0.
b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l
1
i l
2
będą się pokrywały, to
znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy
a = 3k
i
b = 2k
i
c = 7k
dla pewnego k ∈ Z \ {0}. Proponowany układ równań będzie postaci
(
3x + 2y
=
7
3x + 2y
=
7
lub
(
3x + 2y
=
7
3kx + 2ky
=
7k.
Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 12,
b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = −12, b = −8, c = −28 (tu k = −4), a =
1
3
, b =
2
9
, c =
7
9
(tu
k =
1
9
) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z
tym samym współczynnikiem proporcjonalności k ∈ Z \ {0}, tzn.
∃ k ∈ Z \ {0}
a
3
=
b
2
=
c
7
= k.
(15)
Z warunku (15) wynika, że W = W
x
= W
y
= 0.
c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l
1
i l
2
nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe
ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki
kierunkowe prostych były równe, a c 6= 7, tzn.
−
3
2
= −
a
b
c 6= 7,
co można też zapisać w postaci:
∃ k ∈ Z \ {0}
a
3
=
b
2
= k
i
c
7
6= k.
(16)
Warunek (16) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i W
x
6= 0
i W
y
6= 0. Weźmy a = 3, b = 2 i c = 5, lub a = −3 b = −2 c = 7 otrzymamy wtedy układ
(
3x + 2y
=
7
3x + 2y
=
5.
lub
(
3x + 2y
=
7
−3x + −2y
=
7.
Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników:
(C)
(
x + 2y = 3
2x − 3y = 1
(D)
(
−y + 2x = 3
4x − 2y = 6
(E)
(
2x + 6y = 7
x + 3y = 1.
Rozwiązanie.
(C)
W =
1
2
2
−3
= −7 6= 0,
W
x
=
3
2
1
−3
= −11,
W
y
=
1
3
2
1
= −5.
Ponieważ wyznacznik główny W 6= 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y),
gdzie
x =
W
x
W
=
11
7
y =
W
y
W
=
5
7
.
(D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego
równania ”stała” nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w
postaci:
(
2x − y = 3
4x − 2y = 6.
Obliczymy wyznaczniki układu:
W =
2
−1
4
−2
= 0,
W
x
=
3
−1
6
−2
= 0,
W
y
=
2
3
4
6
= 0.
Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia (1) wnioskujemy, że
układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne
(równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda
para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy
jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego:
2x − y = 3
⇐⇒
y = 2x − 3.
Stąd rozwiązaniem równania 2x − y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x − 3).
Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności
tych dwóch równań):
4x − 2(2x − 3) = 6
⇐⇒
6 = 6.
Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x−3), gdzie pod x możemy podstawić
dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu.
(E) Obliczymy wyznaczniki układu (E):
W =
2
6
1
3
= 0,
W
x
=
2
7
1
1
= −5 6= 0
Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika W
y
, bo W = 0, a W
x
6= 0, tzn., że co najmniej
jeden z wyznaczników W
x
, W
y
jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (1), układ równań
nie ma rozwiązań.
Przykład 6. Rozwiąż układ równań
(F )
1
x+y+1
+
5
x−y+1
=
2
3
x+y−1
−
5
x−y+1
=
2.
Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y ∈ R, że y 6=
1 + x i y 6= 1 − x, tzn. (x, y) 6= (x, 1 + x) i (x, y) 6= (x, 1 − x), x ∈ R. Wprowadzimy
pomocnicze niewiadome u i t. Niech u =
1
x+y−1
i t =
1
x−y+1
, zatem równoważny układ równań,
o niewiadomych u i t przyjmie postać
(
1
u
+
5
t
=
2
3
u
−
5
t
=
2.
Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy
(
1
u
+
5
t
=
2
3
u
−
5
t
=
2
⇐⇒
(
4
u
=
4
3
u
−
5
t
=
2
⇐⇒
(
u
=
1
3
u
−
5
t
=
2
⇐⇒
(
u
=
1
t
=
5.
Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący
układu równań liniowych:
(
x + y − 1
=
1
x − y + 1
=
5.
Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny:
(
2x
=
6
x − y + 1
=
5.
⇐⇒
(
x
=
3
y
=
−1.
Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y = −1.
Przykład 7. Rozwiąż układ równań
(G)
(
|x − 1| + ||y − 5| = 1
|x − 1| − y
=
−5.
Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez −1 i dodajmy je stronami do równania pierwszego.
Otrzymamy
(
|x − 1| + |y − 5| = 1
|x − 1| − y
=
−5 / (−1)
⇐⇒
(
y + |y − 5|
=
6
|x − 1| − y
=
−5.
Rozważmy dwa przypadki y 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne.
1
o
Dla y 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y − 5| opuszczamy bez zmiany znaku:
(
y + y − 5
=
6
|x − 1| − y
=
−5
⇐⇒
(
2y
=
11
|x − 1| − y
=
−5
⇐⇒
(
y
=
11
2
|x − 1| = −5 +
11
2
.
Stąd
(
y
=
11
2
|x − 1| =
1
2
.
⇐⇒
(
y
=
11
2
x − 1
=
1
2
lub
(
y
=
11
2
x − 1
=
−
1
2
Zatem
(
y
=
11
2
x
=
3
2
lub
(
y
=
11
2
x
=
1
2
.
Oczywiście para (x, y) = (
1
2
,
11
2
) spełnia warunek y 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G).
Rozważmy drugi przypadek.
2
o
Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y − 5| opuszczamy ze zmianą znaku:
(
y − y + 5
=
6
|x − 1| − y
=
−5
⇐⇒
(
5
=
6
|x − 1| − y
=
−5.
Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując,
układ (G) ma dwa rozwiązania: (x
1
, y
1
) = (
3
2
,
11
2
), (x
2
, y
2
) = (
1
2
,
11
2
).
Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b ∈ R.
(
ax − by
=
a
2
+ b
2
x + y
=
2a
Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:
W =
a
−b
1
1
= a + b,
W
x
=
a
2
+ b
2
−b
2a
1
= (a + b)
2
,
W
y
=
a
a
2
+ b
2
1
2a
= a
2
− b
2
.
Korzystając z Twierdzena 1 mamy:
Dla a 6= −b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
(
x
=
a + b
y
=
a − b.
Jeżeli a + b = 0, to a = −b, zatem W = 0, W
x
= 0 i W
y
= 0, czyli dla a = −b układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań.
1
o
Jeśli a = −b = 0, to układ przyjmuje postać
(
0x − 0y
=
0
x + y
=
0.
⇐⇒
(
0
=
0
y
=
−x.
Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, −x), gdzie x ∈ R.
2
o
Jeśli a = −b, i b 6= 0 (wtedy również a 6= 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez −a
i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy
(
ax + ay
=
2a
2
x + y
=
2a.
⇐⇒
(
x + y
=
2a
0
=
0
Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a − x), dla dowolnego x ∈ R.
Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to
a = −b i co za tym idzie W
x
= 0 i W
y
= 0. Podsumowując mamy:
a 6= −b
⇒ jedno
rozwiązanie
(x, y) = (a + b, a − b);
a = −b
⇒ nieskończenie
wiele
rozwiązań :
a = b = 0
⇒ (x, y) = (x, −x)
a = −b 6= 0 ⇒ (x, y) = (x, 2a − x).
Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b ∈ R \ {0}.
x
a
+
y
b
=
1
x
b
+
y
a
=
1
Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:
W =
1
a
1
b
1
b
1
a
=
1
a
2
−
1
b
2
,
W
x
=
1
1
b
1
1
a
=
1
a
−
1
b
,
W
y
=
1
a
1
1
b
1
=
1
a
−
1
b
.
Jeśli a 6= b i a 6= −b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) =
ab
b+a
,
ab
b+a
.
Jeśli a = b, to W = 0 i W
x
= 0 i W
y
= 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci
(x, y) = (x, a − x), gdzie x ∈ R.
Jeśli a = −b, to W = 0 i W
x
=
−2
a
6= 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.
Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi.
Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania lub przeciwnych
znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do
dwóch pierwszych metod.
Przykład 10. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi
(F )
x − 8y + 2z
=
−8
2y + 3z
=
−1
2x + 4y − z
=
9.
Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy
przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez −2 i dodajmy
do równania trzeciego.
x − 8y + 2z
=
−8
2y + 3z
=
−1
2x + 4y − z
=
9
⇐⇒
x + 14z
=
−12
2y + 3z
=
−1
2x − 7z
=
11
Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez −2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego.
Otrzymamy
x + 14z
=
−12
2y + 3z
=
−1
−35z
=
35
⇐⇒
x − 14
=
−12
2y − 3
=
−1
z
=
−1
⇐⇒
x
=
2
y
=
1
z
=
−1
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2, 1, −1).
Zadania
1. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej |1 −
√
2|, |
p
(π − 4)
2
|, |x
2
+ 1|
2. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie |x+2| =
|x + 4|.
3. Rozwiąż równania
a) |x| = x,
b) 3|x − 3| + x = 5,
c) |x − 1| + |x| + |x + 1| = 2.
4. Rozwiąż nierówności
a) |
4x+1
2x−3
| > 2,
b) |x
2
− 2x − 3| 0,
c) |3x − 3| 6 − 3x,
d) x + ||x + 1| − 2| ¬ 0,
e) |x| + ||x + 1| + 1| − |x + 4| ¬ 0.
5. Rozwiąż równanie | sin x| = sin 2x.
6. Wykaż, że:
a) | sin x| + | cos | 1 dla x ∈ R,
b) |a sin x + b sin x| ¬
√
a
2
+ b
2
dla a, b, x ∈ R.
7. Naszkicuj wykresy funkcji f (x) = |x| + |x + 1| + |x + 2|, g(x) = ||x − 3| − x|.
8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników
(H)
(
x − y = 1
2x − 2y = 2,
(I)
(
2x − y = 3 + x
x − y = 6
(J )
(
x − y = 2
2x − 2y = 1
9. Rozwiąż układ równań
(K)
(
1
x
+
1
y
= 5
3
x
−
5
y
= −9,
10. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedź, a ile cynk znajdujące
się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary
właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm
3
i 6, 9 kg / dm
3
?
Wskazówka: 1 dm
3
wody waży 1 kg.
11. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 18 km/h, a pod prąd z prędkością 14 km/h.
Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.
12. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi:
(L)
2x − 3y + 5z
=
11
x + 4y − 7z
=
−12
3x + 2y + 8z
=
31
(M )
5
x
−
2
y
+
3
z
= −
9
4
2
x
+
3
y
+
1
z
=
5
12
1
x
+
4
y
−
2
z
=
5
3
13. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m ∈ R.
(
(m − 1)x + 2y
=
1
x + my
=
1
14. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu
(
2x + 8(m
2
+ 1)
=
5
x + 5m
2
y
=
2
jest para liczb dodatnich ?
15. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu
(
x + my
=
3
mx + 4y
=
6
spełnia warunek x > 1 i y > 0 ?
16. Dla jakich wartości parametru m układ
(
(m − 1)x + 3y
=
5
mx − 2y
=
4
nie ma rozwiązań ? Podaj interpretację geometryczną tego układu.
17. Rozwiąż układ równań
(
|x| + y = 1
x
2
+ (y − 1)
2
= 8.
Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy
początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu.
18. Rozwiąż układy równań:
(A)
(
x
2
+ xy = 10
y
2
+ xy = 15
(B)
(
√
x −
√
y = 2
x − 4y = 0
(C)
(
−4x
3
+ 4xy
2
= 0
−4y
3
+ 4yx
2
= 0
19. Dla jakich wartości parametru m układ równań
(
(x − 1)
2
+ (y + 1)
2
= 1
(x − 5)
2
+ (y − 2)
2
= m
ma więcej niż jedno rozwiązanie?
20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ
(
x
2
+ y
2
= 9
my
2
− x = 3
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
21. Rozwiąż układy:
x −1
y −2
y + x ¬ 6
x + 3y ¬ 10,
x + y 1
3x + y ¬ 3
y − x = 1.
Odpowiedzi
1.
√
2 − 1, 4 − π, x
2
+ 1;
2. x = −3;
3. a) x 0, b) x = 2 lub x =
14
3
, c) x = 0 ;
4. a) x <
5
8
, b) x ∈ R, c) x ∈ (
1
2
; 1) ∪
3
2
; ∞
, d) x ∈ (−∞, −
3
2
, e) x ∈
h
−
4
3
; 2
i
;
5. x =
π
3
+ 2kπ lub x =
4
3
π + 2kπ dla k ∈ Z;
8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x − 1), (I) - układ oznaczony,
rozwiązanie (x, y) = (−3, −9), (J )- układ sprzeczny, brak rozwiązań;
9. x =
1
2
, y =
1
3
;
10. 53, 4 kg, 13, 8 kg;
11. 16 km/h;
12. (L) - (x, y, z) = (1, 2, 3), (M )- (x, y, z) = (−6, 3, −4);
13. dla m 6= −1 i m 6= 2 jedno rozwiązanie (x, y) = (
1
m+1
,
1
m+1
), dla m = −1 brak rozwiązań,
dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x,
1−x
2
;
14. m ∈ (−
4
3
;
4
3
);
15. m ∈ (−2; 2) lub m ∈ (2, 4);
16. m =
2
5
;
17. (x, y) = (−2, −1) lub (x, y) = (2, −1), P = 2π, L = (4 + π)
√
2;
18. (A)- (x, y) = (−2, −3) lub (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (16, 4), (C)- (x, x) lub (x, −x), gdzie
x ∈ R;
19. t ∈ (16; 36);
20. m = 0 lub m =
1
6
.