Zadania domowe

Zestaw 10

1. Znaleźć z definicji współrzędne podanego wektora we wskazanej bazie odpowiedniej

przestrzeni liniowej:

v=−2,5,6∈R

3

, B={1,1 ,0 , 2,1,0 , 3,3,1}

[

1 2 3
1 1 3
0 0 1

][

a
b

c

]

=

[

−

2

5
6

]

[

1 2 3
1 1 3
0 0 1

∣

−

2

5
6

]

w

2

−

w

1

[

1

2

3

0 −1 0
0

0

1

∣

−

2

7

6

]

w

1



2w

1

[

1

0

3

0 −1 0
0

0

1

∣

12

7
6

]

w

1

−

3w

3

−

1⋅w

2

[

1 0 0
0 1 0
0 0 1

∣

−

6

−

7

6

]

⇒

a=−6, b=−7, c=6

Zadania do wykładu 10 (Seria 2) - Rozwiązania

2. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej:

V ={ x y z , x− y , x−z , y −z : x , y , z ∈R}

Każdy wektor z tej przestrzeni można przedstawić jako:

x [1,1,1 ,0] y [1,−1,0,1]z [1,0 ,−1,−1]

czyli V =lin[1,1 ,1,0] ,[1,−1,0 ,1] ,[1,0 ,−1,−1]

Wektory [1,1 ,1,0 ], [1,−1,0 ,1] ,[1,0 ,−1,−1] są generatorami przestrzeni V, aby
sprawdzić czy stanowią one bazę tej przestrzeni należy zbadać ich liniową niezależność:

a[1,1 ,1,0 ]b [1,−1,0 ,1]c [1,0 ,−1,−1]=[0,0 ,0 ]

{

abc=0
a−b=0
a−c=0
b−c=0

{

abc=0
a=b
a=c
b=c

skoro a=b=c to równanie abc=0 jest spełnione tylko i wyłącznie dla a=b=c=0

co oznacza, że dane wektory są liniowo niezależne

Wymiar przestrzeni V wynosi 3, ponieważ jej baza składa się z trzech liniowo niezależnych
wektorów.

Zadania do wykładu 10 (Seria 2) - Rozwiązania

3. Obliczyć miarę kąta między wektorami:



a=1,



2 ,3 ,



b=0,−



2 , 1

〈



a ,b

〉

=

1

∣a∣=



12

∣

b∣=



3

cos =

1
6

⇒ =

arccos



1
6



Zadania do wykładu 10 (Seria 2) - Rozwiązania

4. Sprawdzić czy wektor:



1,0 ,1 ,0

należy do przestrzeni liniowej generowanej przez wektory:



1,0,2 ,−1 , 1,1 ,0 ,2 ,0,2 ,1,3 , 2,5 ,4,7

[

1

1 0 2

0

1 2 5

2

0 1 4

−

1 2 3 7

][

a
b
c

d

]

=

[

1
0
1
0

]

[

1

1 0 2

0

1 2 5

2

0 1 4

−

1 2 3 7

∣

1
0
1
0

]

w

3



2w

4

w

4



w

1

[

1 1 0

2

0 1 2

5

0 4 7 18
0 3 3

9

∣

1
0
1
1

]

w

3

−

4w

2

w

4

−

3w

2

[

1 1

0

2

0 1

2

5

0 0 −1 −2
0 0 −3 −6

∣

1
0
1
1

]

w

4

−

3w

3

[

1 1

0

2

0 1

2

5

0 0 −1 −2
0 0

0

0

∣

1
0
1

−

2

]

⇒

układ sprzeczny ⇒wektor nie należy do podanej przestrzeni liniowej

Zadania do wykładu 10 (Seria 2) - Rozwiązania