Zadania domowe

Zestaw 11

1. Znaleźć z definicji macierz podanego przekształcenia liniowego we wskazanych bazach

odpowiednich przestrzeni liniowych:

L : R

4

 R

2,

L

x , y , z ,t=x y , zt ,



u

1

=1,0 ,0,0, 

u

2

=1,2,0,0, 

u

3

=1,2 ,3,0, 

u

4

=1,2,3,4 ,



v

1

=1,0 , 

v

2

=1,2

Wyznaczenie obrazów wektorów bazy U

L

 u

1

=1,0

L

 

u

2

=3,0

L

 

u

3

=3,3

L

 

u

4

=3,7

Przedstawienie obrazów wektorów bazy U w bazie V

L

 u

1

=1⋅v

1

0⋅v

2

L

 u

2

=3⋅v

1

0⋅v

2

L

u

3

= x⋅

v

1

 y⋅v

2

3,3=x⋅1,0 y⋅1,2

{

x

2y=3

2y

=3

{

x

=1,5

y

=1,5

L

u

3

=1,5⋅

v

1

1,5⋅

v

2

L

u

4

=x⋅

v

1

 y⋅

v

2

3,7=x⋅1,0 y⋅1,2

{

x

2y=3

2y

=7

{

x

=−0,5

y

=3,5

L

u

4

=−0,5⋅

v

1

3,5⋅

v

2

A

f

=

[

1 3 1,5

−05

0 0 1,5

3,5

]

2. Macierz przekształcenia liniowego L :U

V ma w bazach { 

u

1,



u

2

}, { 

v

1,



v

2,



v

3

}

przestrzeni liniowych U,V postać:

A

L

=

[

3

2

−1

1

2

−4

]

Wyznaczyć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu:

a)

u=−2 

u

1

3 u

2

b)

u=6 

u

1

− u

2

Wyznaczenie obrazów wektorów bazy U



u

1

=3 v

1

−v

2

2v

3



u

2

=2 

v

1

 v

2

−4 v

3

a)

u=2 3 

v

1

−v

2

2v

3

3 2v

1

v

2

−4v

3

=5 v

2

−16 v

3

b)

u=6 3 v

1

− v

2

2 v

3

−2 v

1

− v

2

4 v

3

=16 v

1

−7 v

2

16 v

3

3. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy:

[

1 0 4
0 2 0
1 0 1

]

Wyznaczenie wartości własnych:

[

1

−

0

4

0

2

−

0

1

0

1

−

]

=1−2−1−−4 2−=1−

2

2−−84  =

=

1−2

2

2−−84 =2−−4 2

2

2 

2

−

3

−84 =

=

−

3

4 

2

−−6

-1

4

-1

-6

1

-1

3

2

-4

-1

-1

5

-6

0

2

-1

2

3

0

-2

-1

6

-13

20

3

-1

1

2

0

-3

-1

7

-22

60

6

-1

-2

-13

-84

-6

-1

10

-67

396



1

=−1,

2

=2, 

3

=3

dla



1

=−1:

[

2 0 4
0 3 0
1 0 2

]

[

x
y
z

]

=

[

0
0
0

]

{

2x

4z=0

3y

=0

x

2z=0

{

x

=−2z

y

=0



v

1

=

[

−2z

0

z

]

, np.

[

−2

0
1

]

dla



2

=2 :

[

−1 0

4

0

0

0

1

0

−1

]

[

x

y
z

]

=

[

0
0
0

]

{

−x4z=0

x

−z=0

{

x

=4z

x

=z

⇔ z=0⇒ x=0



v

2

=

[

0

y

0

]

, np.

[

0
1
0

]

dla



3

=3:

[

−2

0

4

0

−1

0

1

0

−2

]

[

x
y
z

]

=

[

0
0
0

]

{

−2x4z=0

−y=0

x

−2z=0

{

x

=2z

y

=0



v

3

=

[

2z

0

z

]

, np.

[

2
0
1

]

4. Przekształcenie liniowe L :V

W ma w pewnych bazach przestrzeni liniowych V,W

macierz:

[

1 2 4
1 1 3
2 1 5
1 3 5
0 1 1

]

Podać wymiar jądra tego przekształcenia.

dim

KerL dim ImL=dimU ⇒ dimKerL =dimU −dim ImL

dim

ImL=

∣

1 2 4
1 1 3
2 1 5
1 3 5
0 1 1

∣



w

2

−w

1

w

3

−2w

1

w

4

−w

1



∣

1 2

4

0

−1 −1

0

−3 −3

0 1

1

0 1

1

∣



∣

1 2 4

0 1 1

∣

⇒ dimImL=2

dimU

=3

dim

 ImL=2

dim

 KerL=dimU −dimImL=1