Zadania domowe
Zestaw 9
1. Sprawdzić, że podany zbiór W jest podprzestrzenią liniową odpowiedniej przestrzeni
V:
W =
{
x , y , z ,t ∈R
4
: x − y=z−t
}
,V =R
4
w
1
={
x
1,
y
1,
z
1,
t
1
}⇒
x
1
−
y
1
=
z
1
−
t
1
w
2
={
x
2,
y
2,
z
2,
t
2
}⇒
x
2
−
y
2
=
z
2
−
t
2
Sprawdzenie 1-go warunku:
w
1
w
2
=
x
1
x
2,
y
1
y
2,
z
1
z
2,
t
1
t
2
⇒
x− y= x
1
x
2
−
y
1
−
y
2
=
x
1
−
y
1
x
2
−
y
2
=
z
1
−
t
1
z
2
−
t
2
=
z
1
z
2
−
t
1
t
2
=
z−t
Sprawdzenie 2-go warunku:
w
1
= {
x
1
, y
1
, z
1
, t
1
}={
x
1
, y
1
, z
1
, t
1
}
⇒
x− y= x
1
−
y
1
=
x
1
−
y
1
=
z
1
−
t
1
=
z
1
−
t
1
=
z −t
ODP: Podany zbiór jest podprzestrzenią liniową V
Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania
2. Wektory 3,−2,5 , 0,1,1 przedstawić na wszystkie możliwe sposoby jako
kombinacje liniowe wektorów: 1,−2,3 , 1,0 ,1 ,0,2 ,−1
[
3,−2,5]=a [1,−2,3]b[1,0 ,1]c[0,2 ,−1]
[
1
1
0
−
2 0
2
3
1 −1
][
a
b
c
]
=
[
3
−
2
5
]
[
1
1
0
−
2 0
2
3
1 −1
∣
3
−
2
5
]
w
2
2w
1
w
3
−
3w
1
[
1
1
0
0
2
2
0 −2 −1
∣
3
4
−
4
]
w
3
w
2
w
2
/
2
[
1 1 0
0 1 1
0 0 1
∣
3
2
0
]
w
2
−
w
3
[
1 1 0
0 1 0
0 0 1
∣
3
2
0
]
w
1
−
w
2
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣
1
2
0
]
⇒
a=1,b=2, c=0
Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania
[
0,1,1]=a [1,−2,3]b [1,0 ,1]c [0,2 ,−1]
[
1
1
0
−
2 0
2
3
1 −1
][
a
b
c
]
=
[
0
1
1
]
[
1
1
0
−
2 0
2
3
1 −1
∣
3
−
2
5
]
w
2
2w
1
w
3
−
3w
1
[
1
1
0
0
2
2
0 −2 −1
∣
0
1
1
]
w
3
w
2
w
2
/
2
[
1 1 0
0 1 1
0 0 1
∣
0
0,5
2
]
w
2
−
w
3
[
1 1 0
0 1 0
0 0 1
∣
0
−
1,5
2
]
w
1
−
w
2
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∣
1,5
−
1,5
2
]
⇒
a=1,5 , b=−1,5 , c=2
Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania
3. Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach
liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinacje liniową pozostałych:
1,2,3 , 2,3,4 ,1,1,1
a 1,2,3b 2,3 ,4c 1,1,1=0,0,0
{
a2bc=0
2a3bc=0
3a4bc=0
r
3
−
r
1
{
a2bc=0
2a3bc=0
2a2b=0⇒ a=−b
podstawiając a do równania 2 otrzymujemy :
{
a2bc=0
−
2b3bc=0⇒ c=−b
a=−b
a=−b=c
za a podstawiamy dowolną liczbę , np. 1⇒ a=1, b=−1, c=1
podstawiając do równania początkowegootrzymujemy :1,2 ,3−2,3,41,1,1=0
za pomocą transformacji tego równania możemy przedstawić każdy z wektorów
jako kombinację liniową pozostałych
4. Wektory u , v ,
w , x są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V. Zbadać liniową
niezależność wektorów u−v ,v−
w ,
w
c
1
u−v c
2
v−
wc
3
w=[0,0 ,0]
c
1
u−c
1
vc
2
v−c
2
wc
3
w=[0,0 ,0]
u c
1
v −c
1
c
2
w −c
2
c
3
=[
0,0 ,0]
{
c
1
=
0
−
c
1
c
2
=
0
−
c
2
c
3
=
0
⇒
c
1
=
c
2
=
c
3
=
0 ⇒ wektory są liniowo niezależne
Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania