Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

1/23

O

BWODY MAGNETYCZNE SPRZĘśONE

Strumień magnetyczny:

d

S

Φ

=

⋅

∫

B S (1)

Strumie

ń

skojarzony z cewk

ą

:

w

Ψ

Φ

= ⋅

(2)

Indukcyjno

ść

własna:

L

i

Ψ

=

(3)

Je

ś

li w przekroju poprzecznym cewki z rdzeniem pole jest równomierne:

2

,

wHS

w S

L

i

i

l

Ψ

µ

µ

=

≈

=

(4)

gdzie:

S, l – pole przekroju rdzenia i średnia

długość drogi magnetycznej. Przy wyprowadzeniu
użyto prawa przepływu:

(przepływ), czyli w przybl.:

H dl

H l

i w

⋅ = Θ

⋅ = ⋅

∫

Dla cewki toroidalnej:

2 2

ś

r

,

2

w r

L

R

µ

=

(5)

gdzie:

r – promień przekroju poprzecznego cewki,

R

ś

r

– średni promień cewki.

Przenikalność magnetyczna statyczna:

st

B

H

µ

=

(6)

Przenikalność magnetyczna dynamiczna:

dyn

d

d

B

H

µ

=

(7)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

2/23

I

NDUKCYJNOŚĆ WZAJEMNA

Rys. 1. Podział całkowitego strumienia na strumień główny i rozproszenia.

Strumień główny i strumień rozproszenia:

11

1

1

+

g

s

Φ

Φ Φ

=

(8)

Strumienie magnetyczne skojarzone z cewką

1

oraz cewk

ą

2

wynosz

ą

:

11

1

11

1g

1

1g

1s

1

1s

12

2

1g

,

,

,

w

w

w

w

Ψ

Φ Ψ

Φ Ψ

Φ

Ψ

Φ

=

=

=

=

(9)

Indukcyjno

ść

własna cewki

1

:

11

1

11

1

1

1

w

L

i

i

Ψ

Φ

=

=

(10)

Indukcyjno

ść

wzajemna cewki

1

z cewk

ą

2

:

2

1g

12

12

1

1

w

M

i

i

Φ

Ψ

=

=

(11)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

3/23

Po przełączeniu zasilania do cewki 2 będzie:

22

2

2

+

g

s

Φ

Φ Φ

=

(12)

Indukcyjność

własna cewki

2

:

22

2

22

2

2

2

w

L

i

i

Ψ

Φ

=

=

(13)

Indukcyjno

ść

wzajemna cewki

2

z cewk

ą

1

:

1

2g

21

21

2

2

w

M

i

i

Φ

Ψ

=

=

(14)

Je

ś

li cewki znajduj

ą

si

ę

w

ś

rodowisku o takiej samej przenikalno

ś

ci

magnetycznej

µ

, to indukcyjno

ś

ci wzajemne s

ą

takie same:

12

21

12

21

1

2

M

M

M

i

i

Ψ

Ψ

=

=

=

=

(15)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

4/23

I

NDUKCYJNOŚĆ GŁÓWNA I INDUKCYJNOŚĆ ROZPROSZENIA

Indukcyjność główna cewki 1 oraz cewki 2:

1g

1

1g

2g

2

2g

1g

2g

1

1

2

2

,

w

w

L

L

i

i

i

i

Ψ

Φ

Ψ

Φ

=

=

=

=

(16)

Indukcyjność rozproszenia cewki

1 oraz cewki 2:

1s

1

1s

2s

2

2s

1s

2s

1

1

2

2

,

w

w

L

L

i

i

i

i

Ψ

Φ

Ψ

Φ

=

=

=

=

(17)

Ze wzgl

ę

du na wzór (8) otrzymuje si

ę

:

1

1g

1s

2

2g

2s

,

L

L

L

L

L

L

=

+

=

+

(18)

Zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy indukcyjno

ś

ciami głównymi a indukcyjno

ś

ci

ą

wzajemn

ą

:

2

1g

2

1

1

1g

2g

1g

2g

2

1

2

2g

2

, czyli:

, oraz:

L

w

w

w

L

M

L

M

L L

w

w

L

w

=

=

=

=

(19)

Indukcyjność wzajemna jest średnią geometryczną indukcyjności

głównych.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

5/23

W

SPÓŁCZYNNIK SPRZĘśENIA

1g

1s

11

11

1

Φ

Φ

Φ

Φ

+

=

(20)

Współczynniki sprzężenia cewek

1 i 2:

1g

2g

1

2

11

22

,

k

k

Φ

Φ

Φ

Φ

=

=

(21)

Współczynniki rozproszenia cewek

1 i 2:

1s

2s

1

2

11

22

,

Φ

Φ

σ

σ

Φ

Φ

=

=

(22)

Ich suma:

1

1

2

2

1,

1

k

k

σ

σ

+

=

+

=

(23)

Iloczyn:

(

)

1 2

1

2

1

2

1

k k

σ σ σ σ

= −

+

−

(24)

Współczynnikiem sprz

ęż

enia cewek nazywamy

ś

redni

ą

geometryczn

ą

:

1 2

k

k k

=

(25)

Wypadkowy współczynnik rozproszenia to dopełnienie wzoru (24) do jedynki:

1

2

1

2

σ σ σ σ σ

=

+

−

(26)

Wtedy:

2

1

k

σ

+ =

(27)

Współczynniki sprz

ęż

enia mo

ż

na wyliczy

ć

z proporcji:

1g

2g

1

2

1

2

,

, 0

1.

L

L

k

k

k

L

L

=

=

≤ ≤

(28)

a po uwzgl

ę

dnieniu równania (19)

1

2

M

k L L

=

(29)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

6/23

Z

WROT NAWINIĘCIA CEWEK A ZNAK INDUKCYJNOŚCI WZAJEMNEJ

Rys. 2. Dwie cewki sprzężone o zgodnym i przeciwnym kierunku nawinięcia.

Gwiazdka oznacza początek uzwojenia. Jeżeli przy połączeniu 1 i 2 strumienie
się dodają (prądy w cewkach są wtedy zgodne), znak indukcyjności wzajemnej
jest +M.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

7/23

B

ILANS NAPIĘĆ PRZY ZGODNYM NAWINIĘCIU CEWEK

Rys. 3. Cewki nawinięte zgodnie i ich schemat.

Bilans napięć strony pierwotnej przy i

2

= 0:

1

1 1

1

1

d

d

i

R i

L

u

t

+

=

(30)

Po pojawieniu si

ę

pr

ą

du i

2

zgodnie z prawem Faraday'a strumie

ń

z nim

zwi

ą

zany indukuje po stronie pierwotnej sił

ę

elektromotoryczn

ą

e

1

, podobnie dla

strony wtórnej:

21

2

12

1

1

2

,

i

i

e

M

e

M

t

t

t

t

Ψ

Ψ

∂

∂

∂

∂

= −

= −

= −

= −

∂

∂

∂

∂

(31)

Bilans napi

ęć

dla obydwu stron:

1

2

1 1

1

1

2

1

2 2

2

2

i

i

R i

L

M

u

t

t

i

i

R i

L

M

u

t

t

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∂

∂

+

+

= −

∂

∂

(32)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

8/23

B

ILANS NAPIĘĆ PRZY PRZECIWNYM NAWINIĘCIU CEWEK

Rys. 4. Cewki nawinięte przeciwnie i ich schemat.

Bilans napięć strony pierwotnej przy i

2

= 0:

1

1 1

1

1

d

d

i

R i

L

u

t

+

=

(33)

Po pojawieniu si

ę

pr

ą

du i

2

zgodnie z prawem Faraday'a strumie

ń

z nim

zwi

ą

zany indukuje po stronie pierwotnej sił

ę

elektromotoryczn

ą

e

1

, podobnie dla

strony wtórnej (indukcyjno

ść

wzajemna jest ujemna):

21

2

12

1

1

2

,

i

i

e

M

e

M

t

t

t

t

Ψ

Ψ

∂

∂

∂

∂

= −

=

= −

=

∂

∂

∂

∂

(34)

Bilans napi

ęć

dla obydwu stron:

1

2

1 1

1

1

2

1

2 2

2

2

i

i

R i

L

M

u

t

t

i

i

R i

L

M

u

t

t

∂

∂

+

−

=

∂

∂

∂

∂

+

−

= −

∂

∂

(35)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

9/23

P

OŁĄCZENIE SZEREGOWE CEWEK SPRZĘśONYCH

Rys. 5. Połączenie szeregowe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie.

Strumienie skojarzone przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek:

(

)

(

)

1

11

21

1

2

22

12

2

L

M i

L

M i

Ψ Ψ Ψ
Ψ Ψ

Ψ

=

+

=

+

=

+

=

+

(36)

Indukcyjność całego połączenia:

1

2

1

2

2

L

L

L

M

i

i

Ψ Ψ Ψ

+

=

=

= + +

(37)

Strumienie skojarzone przy przeciwnym nawini

ę

ciu cewek:

(

)

(

)

1

11

21

1

2

22

12

2

L

M i

L

M i

Ψ Ψ Ψ
Ψ Ψ

Ψ

=

−

=

−

=

−

=

−

(38)

Indukcyjno

ść

całego poł

ą

czenia:

1

2

1

2

2

L

L

L

M

i

i

Ψ Ψ Ψ

+

=

=

= + −

(39)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

10/23

Gdy współczynnik sprzężenia między cewkami wynosi k = 1, wtedy:

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

L

L

L

M

L

L

L L

L

L

= + ±

= + ±

=

±

(40)

Inny przypadek szczególny, to cewki jednakowe:

1

2

, wtedy przy zgodnym nawinięciu

4 , przy przeciwnym

0.

L

L

L

L

L

=

=

=

(41)

Gdy współczynnik sprzężenia wynosi k = 0, to:

1

2

niezależnie od kierunku nawinięcia cewek.

L

L

L

= +

(42)

Wprowadzając współczynnik sprzężenia k można udowodnić, że wypadkowa
indukcyjność jest zawsze dodatnia:

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

0

L L

L

M

L

L

k L L

L

L

L L

L

L

= + −

= + −

≥ + −

=

−

≥

(43)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

11/23

P

OŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE CEWEK SPRZĘśONYCH

Rys. 6. Połączenie równoległe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie.

Impedancje zespolone cewek, bez sprzężenia:

1

1

1

2

2

2

j

,

j

Z

R

L

Z

R

L

ω

ω

=

+

=

+

(44)

Impedancja zwią

zana ze sprz

ęż

eniem:

12

21

j

Z

Z

M

ω

=

=

(45)

Bilans napi

ęć

przy zgodnym nawini

ę

ciu:

1

1

21

2

12

1

2

2

Z I

Z I

U

Z I

Z I

U

+

=

+

=

(46)

St

ą

d pr

ą

dy w cewkach wynosz

ą

:

2

12

1

12

1

2

2

2

1

2

12

1

2

12

,

Z

Z

Z

Z

I

U

I

U

Z Z

Z

Z Z

Z

−

−

=

=

−

−

(47)

Impedancja wej

ś

ciowa układu cewek zgodnie nawini

ę

tych:

2

1

2

12

1

2

1

2

12

2

U

U

Z Z

Z

Z

I

I

I

Z

Z

Z

−

=

=

=

+

+

−

(48)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

12/23

Bilans napięć przy przeciwnym kierunku nawinięcia:

1

1

21

2

12

1

2

2

Z I

Z I

U

Z I

Z I

U

−

=

−

+

=

(49)

Impedancja wejściowa wynosi wtedy:

2

1

2

12

1

2

12

2

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

−

=

+

+

(50)

Gdy nie ma sprzężeń:

M = 0, Z

12

= jω

M = 0

1

2

1

2

Z Z

Z

Z

Z

=

+

(51)

Gdy rezystancje są równe zeru,

Z

1

= jω

L

1

, Z

2

= jω

L

2

i dla zgodnego i

przeciwnego kierunku nawinięcia cewek otrzymuje się:

2

1

2

1

2

2

L L

M

L

L

L

M

−

=

+

∓

(52)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

13/23

T

RANSFORMATOR POWIETRZNY

Rys. 7. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych przeciwnie.

Bilans napięć transformatora przy przeciwnym kierunku nawinięcia cewek:

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

obc

2

2

j

j

j

j

R I

L I

MI

U

R I

L I

MI

Z

I

U

ω

ω

ω

ω

+

−

=

+

−

= −

= −

(53)

Wykres wskazowy odpowiadaj

ą

cy schematowi z rys. 7:

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

obc

2

obc

2

1

j

j

j

j

j

R I

L I

MI

U

R I

L I

R

I

X

I

MI

ω

ω

ω

ω

+

−

=

+

+

+

=

Rys. 8. Wykres wskazowy.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

14/23

Rys. 9. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych zgodnie.

Bilans napięć transformatora przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek:

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

obc

2

2

j

j

j

j

R I

L I

MI

U

R I

L I

MI

Z

I

U

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

= −

= −

(54)

Wykres wskazowy odpowiadaj

ą

cy schematowi z rys. 9 zgodnie z równaniem

(54) o postaci:

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

obc

2

obc

2

1

j

j

j

+jX

=

j

R I

L I

MI

U

R I

L I

R

I

I

MI

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

−

Rys. 10. Wykres wskazowy.

Na obu ostatnich wykresach wskazowych przyj

ę

to,

ż

e odbiornik ma charakter

indukcyjno-czynny:

obc

obc

obc

j

Z

R

X

=

+

(55)

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

15/23

S

CHEMAT ZASTĘPCZY TRANSFORMATORA POWIETRZNEGO

Układ równań (53) można zapisać w postaci macierzowej:

1

1

1

1

2

2

2

2

j

j

j

j

I

R

L

M

U

I

M

R

L

U

ω

ω

ω

ω

+

−













=













−

+

−













(56)

Układ ten opisuje nast

ę

puj

ą

cy schemat zast

ę

pczy:

Rys. 11.

Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi przeciwnie.

Bilans napi

ęć

schematu zast

ę

pczego (metoda oczkowa) daje to samo równanie

(56):

[

]

[

]

1

1

1

2

1

1

2

2

2

2

j (

)

j

j

j

j (

)

j

I

R

ω

L

M

ω

M

I

ω

M

U

I ω M

I

R

ω

L

M

ω

M

U

+

−

+

−

=

−

+

+

−

+

= −

Natomiast układowi (54) można nadać postać:

1

1

1

1

2

2

2

2

j

j

j

j

I

R

L

M

U

I

M

R

L

U

ω

ω

ω

ω

+

−













=













−

−

+













(57)

któremu odpowiada układ zastępczy (bilans napięć jest analogiczny, jak
powyżej, wystarczy zmienić znak

I

2

oraz

U

2

):

Rys. 12. Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi zgodnie.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

16/23

C

EWKA NA RDZENIU STALOWYM

Napięcie jest związane ze strumieniem magnetycznym przez prawo Faraday'a:

d

d

d

d

e

w

t

t

Ψ

Φ

= −

= −

(58)

Dla przebiegu sinusoidalnego mo

ż

na poda

ć

wzór:

m

m

m

m

rdz

2

4, 44

4, 44

2

2

E

E

f w

f w

f w

S

Φ

Φ

Β

π

=

=

⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

(59)

Prąd jest związany z natężeniem pola magnetycznego przez prawo przepływu:

, gdzie:

ś

rednia długo

ść

drogi magnetycznej w rdzeniu.

w I

H l

l

⋅ = ⋅

−

(60)

Rys. 13. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszone napięcie.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

17/23

Przy wymuszonym napięciu w cewce powstają wysokie impulsy prądu.
Natomiast przy zasilaniu cewki wymuszonym prądem sinusoidalnym ma
miejsce odwrotna sytuacja, następuje spłaszczenie krzywej napięcia na cewce
będące wynikiem nasycenia rdzenia:

Rys. 14. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszony prąd.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

18/23

P

ĘTLA HISTEREZY

,

STRATY ZWIĄZANE Z HISTEREZĄ

Rys. 15. Pętla histerezy materiału ferromagnetycznego.

Straty na histerezę są związane z energią przemagnesowania materiału po

krzywej histerezy

d

W

B H

=

∫

. Ich warto

ść

podaj

ą

wzory Richtera:

2

h

m

100

f

p

B

ε

=

(61)

Pr

ą

dy wirowe w materiale przewodz

ą

cym s

ą

zwi

ą

zane z istnieniem zmiennego

pola magnetycznego:

rot

, gęstość prądu

.

B

E

J

E

t

γ

∂

= −

=

∂

(62)

Drugi wzór Richtera podaje wartość strat na prądy wirowe:

2

2

w

m

100

f

p

B

σ





=









(63)

Współczynniki Richtera dla różnych blach:

Zawartość krzemu [%]

0,5

1

2,5

4,0

Grubość blachy

1,0

0,5

0,5

0,5

0,5

0,35mm

Ciężar wł. blachy

7,85

7,85

7,8

7,7

7,6

7,6G/cm

3

Współczynnik

ε

4,4

4,4

4,2

3,8

2,8

2,1

Współczynnik

σ

22,4

5,6

2,6

1,6

1,1

1,1

Stratność p

10

7,8

3,6

2,8

2,3

1,7

1,3W/kg

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

19/23

S

CHEMAT ZASTĘPCZY CEWKI NA RDZENIU STALOWYM

Rys. 16. Schemat zastępczy cewki z rdzeniem oraz wykres wskazowy napięć i prądów.

Wielkości występujące na schemacie zastępczym:

U, I - napięcie i prąd zasilający (symboliczne),
E

- siła elektromotoryczna indukowana przez strumień Φ,

R

Cu

- rezystancja uzwojeń cewki,

R

Fe

- rezystancja zastępująca straty w rdzeniu stalowym,

L

s

- indukcyjność rozproszenia cewki,

L

µ

- indukcyjność główna (magnesująca) cewki.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

20/23

T

RANSFORMATOR

.

S

PROWADZENIE WIELKOŚCI WTÓRNYCH NA STRONĘ PIERWOTNĄ

Rys. 17. Sprowadzenie wielkości wtórnych na stronę pierwotną przy zgodnym nawinięciu

uzwojeń.

Przy n = w

1

/w

2

wielkości sprowadzone do strony pierwotnej wynoszą:

i

2

' = i

2

/n

,

u

2

' = n·u

2

,

R

2

' = n

2

·R

2

,

L

2s

' = n

2

·L

2s

,

Z

2

' = n

2

·Z

2

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

21/23

Rys. 18. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie.

Rys. 19. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie

przy obciążeniu indukcyjno-czynnym:

2

obc

obc

obc

2

j

U

Z

R

X

I

=

=

+

.

Wielkości strony wtórnej pokazano na wykresie przed przeliczeniem na stronę
pierwotną.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

22/23

Rys. 20. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie.

Rys. 21. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie

przy obciążeniu indukcyjno-czynnym:

'

'

'

'

2

obc

obc

obc

'

2

j

U

Z

R

X

I

=

=

+

.

Na tym wykresie przedstawiono jedynie wielkości strony wtórnej sprowadzone
do pierwotnej.

Obwody magnetyczne sprzężone ...

2013

K.M.Gawrylczyk

23/23

T

RANSFORMATOR IDEALNY

.

A

UTOTRANSFORMATOR

Transformator idealny charakteryzuje się brakiem strat w uzwojeniach, jak też w
rdzeniu. Indukcyjność główna jest nieskończenie wielka, co powoduje, że prąd
magnesujący jest równy zeru. W zależności od kierunku nawinięcia uzwojeń
charakteryzują go równania:

1

2

1

2

0

1

0

U

U

n

I

I

n

























=

































∓

∓

(64)

Impedancja doł

ą

czona na jego wyj

ś

cie jest przetwarzana przez

n

2

, co jest

własno

ś

ci

ą

typow

ą

dla konwerterów:

2

we

obc

Z

n Z

=

(65)

Rys. 22. Schemat autotransformatora.

Autotransformator jest transformatorem jednouzwojeniowym. Z bilansu pr

ą

dów

łatwo wyprowadzi

ć

,

ż

e:

1

1

2

3

1

2

1

1

1

1

2

3

2

2

, czyli przy

0.

w

w

w

I

I

I

I

I

I

w

w

I

w

w

−

= +

= −

= −

=

⇒

=

(66)