Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i
Informatyki

Laboratorium Teorii Obwodów

Przedmiot: Elektrotechnika teoretyczna

Numer ćwiczenia:

4

Temat: Obwody rezonansowe (rezonans
prądów i napięć)

I. Wprowadzenie

O rezonansie w pasywnym obwodzie elektrycznym RLC mówimy wówczas, gdy jego

reaktancja (X = X

L

– X

C

= 0) lub susceptancja (B = B

C

– B

L

= 0) wypadkowa jest równa zeru.

Wówczas napięcie i prąd występujący na zaciskach obwodu są zgodne w fazie, a moc układu
jest równa mocy czynnej.

Częstotliwość, dla której występuje w obwodzie zjawisko rezonansu, nazywana jest

częstotliwością rezonansową. W przypadku, gdy elementy RLC są połączone szeregowo,
występuje rezonans napięć (szeregowy), w przeciwnym razie występuje rezonans prądów
(równoległy).

Rezonans napięć

Dany jest szeregowy obwód RLC (rysunek 1). Impedancja tego obwodu jest dana

zależnością:

,

1

C

L

jX

jX

R

C

j

L

j

R

Z

a napięcie:

.

)

1

(

)

1

(

C

L

R

U

U

U

I

C

L

j

I

R

I

C

j

L

j

R

U

Jeżeli w obwodzie wystąpi rezonans, tzn. gdy

Im(Z)= 0 => X = 0 => X

L

– X

C

= 0 => X

L

= X

C,

to napięcie U zasilania układu jest równe spadkowi napięcia na rezystancji, a suma
geometryczna napięć na indukcyjności i na pojemności jest równa zeru. Obrazuje to wykres
wskazowy przedstawiony na rysunku 2, uzyskany dla częstotliwości rezonansowej obwodu
RLC przedstawionego na rysunku 1.

U

C

C

U

L

U

R

U

R

L

I

X

L

– X

C

= 0 => X

L

= X

C

=>

ω

0

L = 1/(ω

0

C) => f

0

= 1/(2π (LC)

1/2

)

Rysunek 1 Szeregowe połączenie elementów pasywnych RLC.

Jednym z parametrów charakteryzujących obwód rezonansowy jest dobroć obwodu

rezonansowego. W przypadku obwodu szeregowe (rezonans napięć) dobroć wyraża stosunek
napięcia na elemencie reaktancyjnym do napięcia na rezystancji.

.

1

0

0

RC

R

L

U

U

U

U

Q

R

C

R

L

Rezonans prądów

Dany jest równoległy obwód RLC (rysunek 3). Admitancja tego obwodu jest dana

zależnością:

,

1

L

C

jB

jB

G

L

j

C

j

G

Y

a prąd:

.

)

1

(

)

1

(

L

C

G

I

I

I

U

L

C

j

U

G

U

L

j

C

j

G

I

Jeżeli w obwodzie wystąpi rezonans, tzn. gdy Im(Y)= 0 => B = 0 => B

C

– B

L

= 0 =>

B

C

= B

L

to prąd I wpływający do układu jest równy prądowi przepływającemu przez gałąź

rezystancji, a suma geometryczna prądu płynącego przez indukcyjność i pojemność jest
równa zeru. Obrazuje to wykres wskazowy przedstawiony na rysunku 4, uzyskany dla
częstotliwości rezonansowej obwodu RLC przedstawionego na rysunku 3.

Dobroć równoległego obwodu rezonansowego RLC wyraża stosunek prądu na elemencie

reaktancyjnym do prądu na rezystancji.

.

1

0

0

GL

G

C

I

I

I

I

Q

R

C

R

L

I·R=U

R

=U

I·jωL = U

L

I

I · -j/(ωC) = U

C

Rysunek 2 Wykres wskazowy obwodu szeregowego RLC w stanie rezonansu.

C

G

L

I

G

I

L

I

C

I

B

C

– B

L

= 0 => B

C

= B

L

=>

ω

0

C = 1/(ω

0

L) => f

0

= 1/(2π (LC)

1/2

)

I·G = U

G

= U

I

L

I = I

G

I

C

Rysunek 3 Równoległe połączenie elementów pasywnych RLC.

Rysunek 4 Wykres wskazowy obwodu równoległego RLC w stanie rezonansu.

II. Przebieg ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest praktyczna ilustracja rezonansu napięć i prądu występująca w

obwodach RLC.

Rezonans napięć

Schemat układu pomiarowego wykorzystywanego podczas ćwiczenia przedstawiono na

rysunku 5. Układ badawczy należy połączyć ze wskazanych przez prowadzącego przyrządów
pomiarowych i dekad, a przed przystąpieniem do realizacji zadania ustawić przewidywany
zakres i podstawę czasu na oscyloskopie, a amplitudę napięcia zasilającego nastawić na 2V.
Po podłączeniu układu należy poprosić prowadzącego o sprawdzenie poprawności połączeń.
Układ pokazany na rysunku umożliwia obserwowanie przebiegu napięcia oraz przebiegu
prądu płynącego w obwodzie (poprzez spadek napięcia na rezystancji R

d

).

Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia należy nastawić na dekadzie indukcyjnej

wartość L = 50 mH i obliczyć wartość pojemności C jaką trzeba nastawić na dekadzie
pojemnościowej by w układzie wystąpił rezonans przy częstotliwości f

0

= 10kHz.

W trakcie ćwiczenia należy:

obliczoną wartość C nastawić na dekadzie pojemności;

obliczyć rezystancję obwodu dla dobroci: 10, 20, 100. Nastawić odpowiednią
wartość na oporniku dekadowym R

d

(uwzględniając rezystancję generatora i

przyjmując rezystancję indukcyjności za zerową).

regulując częstotliwość w pobliżu f = 10 kHz doprowadzić układ do rezonansu.
Dla częstotliwości rezonansowej f = f

0

nastawić amplitudę napięcia zasilania

U

a

=2V,

odczytać amplitudę spadku napięcia na oporniku dekadowym w stanie
rezonansu(U

Rd0

),

wyznaczyć amplitudę prądu:

d

Rd

R

U

I

0

0

,

gdzie R

d

jest rezystancją nastawioną na oporniku dekadowym dla odpowiedniej

dobroci.

wyznaczyć charakterystykę I(f) dla wszystkich dobroci (przy stałej wartości
napięcia zasilania).

I

U

L

U

Rd

U

R

d

L

Generator

funkcyjny

U

a

= 2V

Oscyloskop

U

C

C

Rysunek 5 Układ pomiarowy rezonansu napięć.

zmierzyć przesunięcie fazowe dla Q=10 i częstotliwości: f = 0,5 f

o

; f = f

o

;

f = 1,5 f

o

przedstawić wyniki w tabelach 1, 2 i 3.

W sprawozdaniu należy wykreślić charakterystyki rezonansowe

)

(

0

f

f

I

I

g

o

dla różnych

dobroci oraz określić 3-dB szerokość pasma przepuszczania.

Rezonans prądów
Rezonans prądów (rezonans równoległy) zachodzi w obwodach elektrycznych o

równolegle połączonych gałęziach R, L, C lub R, L i R, C, jeżeli wypadkowa susceptancja
obwodu jest równa zeru. Schemat układu pomiarowego wykorzystywanego podczas
ćwiczenia przedstawiono na rysunku 6. Układ badawczy należy połączyć ze wskazanych
przez prowadzącego przyrządów pomiarowych i dekad, a przed przystąpieniem do realizacji
zadania ustawić przewidywany zakres i podstawę czasu na oscyloskopie, a amplitudę napięcia
zasilającego nastawić na 5V. Po podłączeniu układu należy poprosić prowadzącego o
sprawdzenie poprawności połączeń.

Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia należy nastawić:

L = 50 mH,
R = 1000 Ω,
C = 0,5 μF,
U

a

= 5 V,

R

1

= 100 Ω,

a następnie obliczyć wartość częstotliwości rezonansowej f

0

i impedancję wypadkową

obwodu - wynik zapisać.

0

1

2

f

LC

…………[kHz], Z = R

1

+R=.......[Ω].

W trakcie ćwiczenia należy:

zmieniając częstotliwość dostroić układ do rezonansu,

zmierzyć częstotliwość i amplitudę prądu.

f

0

= .........[kHz], U

R1

=...... [cm], c =.......[V/cm], U

R1

=........[V], I =......[mA].

I

U

L

U

R1

U

R

1

L

Generator

funkcyjny

U

a

= 2V

Oscyloskop

U

C

C

U

R

R

Rysunek 6 Układ pomiarowy rezonansu prądów.

obserwować zmianę prądu przy zmianach częstotliwości,

zanotować spostrzeżenia i wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową.

zapisać wyniki pomiarów w tabeli 4.

W sprawozdaniu należy wykreślić charakterystyki oraz obliczyć dobroć.

Jeżeli przyjmiemy, że dekada pojemności jest zbliżona do idealnego kondensatora, to

równolegle połączoną indukcyjność i rezystancję można przyjąć jako równoległy schemat
zastępczy cewki rzeczywistej (rys.7a).

Dla danej częstotliwości znając parametry układu równoległego R i L (rysunek 7a)

można wyznaczyć wartości R’i L’ równoważnego układu szeregowego (rysunek 7b):

}

Im{

'

},

Re{

'

Z

L

Z

R

L

j

R

L

j

R

Z

Dokonując takiej zamiany, zamiast układu z rysunku 6, otrzymamy układ przedstawiony

na rys.8.

Dla układu z rysunku 8 częstotliwość rezonansowa wynosi:

2

0

1

1

'

2

'

'

R

f

L C

L

,

a impedancja przy częstotliwości rezonansowej ma wartość:

0

1

1

'

Z

R

R C

W trakcie drugiej części ćwiczenia należy:

obliczyć:

I

U

L

U

R1

U

R

1

L

Generator

funkcyjny

U

a

= 5V

Oscyloskop

U

C

C

U

R

R

R

L

I

L=50 [mH]
R=1000 [Ώ]

R

'

L

'

I

a)

b)

Rysunek 7. Modyfikacja układu.

Rysunek 8 Zmodyfikowany układ pomiarowy rezonansu prądów.

parametry równoważnego szeregowego schematu zastępczego cewki dla

ω = ω

0

R’=........[Ω]

L’=.......[mH],

częstotliwość rezonansową dla układu z rys.8 f

0

=............[kHz]

impedancję dla tego układu przy częstotliwości rezonansowej Z

0

= .........[Ώ]

oraz amplitudę prądu dla częstotliwości rezonansowej przy napięciu zasilania

U

a

=5V

I

m0

=.........[mA].

połączyć układ przedstawiony na rys.8, nastawić na poszczególnych elementach

odpowiednie wartości i regulując częstotliwość dostroić układ do rezonansu.

zmierzyć częstotliwość i amplitudę prądu.

f

0

=........kHz,

I

m0

=..........mA ,

Porównać wartości obliczone z wynikami zmierzonymi.

Wyciągnąć wnioski.

III. Uwagi do sprawozdania

Na podstawie przeprowadzonych pomiarów należy wykonać sprawozdanie z

wykonanego ćwiczenia. W sprawozdaniu należy zawrzeć:

1. Cel i metodykę ćwiczenia.

2. Schematy układów pomiarowych wraz z dokładnym opisem elementów układu i

parametrami urządzeń pomiarowych.

3. Przedstawić wyniki pomiarowe w tabelach.

4. Przeprowadzić analizę błędu pomiarowego.

5. Narysować charakterystyki i przedstawić obliczenia wykonane w toku ćwiczeń.

6. Sformułować i przedstawić wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia.

IV. Zagadnienia teoretyczne

1. Omów cel ćwiczenia.
2. Przedstaw schematy układów pomiarowych wykorzystywanych w ćwiczeniu do

obserwacji rezonansu napięć i prądu. Omów w jaki sposób będzie obserwowane
zjawisko rezonansu w układach podczas realizacji ćwiczenia – mierzone wielkości i
sposób ich pomiaru.

3. Kiedy zachodzi rezonans w obwodzie RLC?
4. Co to jest dobroć układu i w jaki sposób zależy od elementów reaktancyjnych?

V. Literatura

1. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, tom I Obwody liniowe i nieliniowe, PWN.

2. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, aa

Warszawa, Wydanie V

f

0

= ......[kHz], U

Rd0

= ..... [cm], c =.......[V/cm], U

Rd0

= ..... [V]

Tabela 1 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 10.

Lp.

f

[kHz]

U

Rd

[cm]

c

[V/cm]

U

Rd

[V]

f/f

0

U

Rd

/

U

Rdo

T

[cm]

t

[cm]

φ

[º]

Uwagi

1.

2

2.

5

3.

6

4.

7

5.

8

6.

9

7.

10

8.

11

9.

12

10.

13

11.

14

12.

15

13.

18

f

0

= ......[kHz], U

Rd0

= ..... [cm], c =.......[V/cm], U

Rd0

= ..... [V]

Tabela 2 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 20.

Lp.

f

[kHz]

U

Rd

[cm]

c

[V/cm]

U

Rd

[V]

f/f

0

U

Rd

/

U

Rdo

T

[cm]

t

[cm]

φ

[º]

Uwagi

1.

2

2.

5

3.

6

4.

7

5.

8

6.

9

7.

10

8.

11

9.

12

10.

13

11.

14

12.

15

13.

18

f

0

= ......[kHz], U

Rd0

= ..... [cm], c =.......[V/cm], U

Rd0

= ..... [V]

Tabela 3 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 100.

Lp.

f

[kHz]

U

Rd

[cm]

c

[V/cm]

U

Rd

[V]

f/f

0

U

Rd

/

U

Rdo

T

[cm]

t

[cm]

φ

[º]

Uwagi

1.

2

2.

5

3.

6

4.

7

5.

8

6.

9

7.

10

8.

11

9.

12

10.

13

11.

14

12.

15

13.

18

Podpis prowadzącego:

Tabela 4 Tabela pomiarowa rezonansu prądów.

Lp.

f

[kHz]

U

Rd

[cm]

c

[V/cm]

U

Rd

[V]

f/f

0

U

Rd

/

U

Rdo

Q

Uwagi

1.

2

2.

5

3.

6

4.

7

5.

8

6.

9

7.

10

8.

11

9.

12

10.

13

11.

14

12.

15

13.

18

Podpis prowadzącego: