Zadania z analizy matematycznej 2

Semestr L 2013/14

Maciej Burnecki

Uwaga: lista jest uzupełniana, obecnie w komplecie podane są zadania z rozdziałów 1-5

Spis treści

1

Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju

2

1.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

4

2.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Szeregi liczbowe

5

3.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4

Szeregi potęgowe

6

4.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

5

Funkcje wielu zmiennych — podstawy, granice i ciągłość

7

5.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

5.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

6

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych – podstawy

8

6.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

6.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

7

Ekstrema lokalne i globalne

10

7.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

7.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

8

Całki podwójne – ogólnie

11

8.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

8.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

9

Całki podwójne – współrzędne biegunowe

12

9.1

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

9.2

Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1

10 Całki potrójne – ogólnie

12

10.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

10.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

11 Całki potrójne – współrzędne walcowe

13

11.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

11.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

12 Całki potrójne – współrzędne sferyczne

14

12.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

12.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

13 Przekształcenie Laplace’a

14

13.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

13.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

14 Przekształcenie Fouriera

15

14.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

14.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Symbolem

∗

zostały oznaczone zadania trudniejsze lub nieobowiązujace.

1

Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju

1.1

Zadania

1.1. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadać zbieżność całki

(a)

∞

R

1

2+cos x

x

3

2

dx,

(b)

∞

R

0

x

2

arc tg x

√

1+x

7

dx,

(c)

∞

R

1

1

√

x

3

+

2

π

arc tg x

2

dx,

(d)

∞

R

2

cos

π

2x

x+sin x

2

dx.

1.2. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadać zbieżność całki

(a)

∞

R

1

sin

4

1

8

√

x

dx,

(b)

∞

R

1

2−sin

1
x

3

√

x

2

dx,

(c)

∞

R

1

25x

8

−9x

2

+3

x

7

−x

2

+1

dx.

(d)

∞

R

0

1000

x

(2

x

+1)

10

dx

(e)

∞

R

1

ln

(

1+

1
x

)

x

dx.

1.3. Zbadać zbieżność całki

(a)

∞

R

1

√

x sin

1
x

dx,

2

(b)

∞

R

1

e

1

x

−1

√

x

dx.

1.4. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną całki

(a)

∞

R

0

3 cos(4x)−2 sin

(

x

6

)

x

2

−x+1

dx,

(b)

∞

R

0

x

2

−5 arc tg x

√

x

5

+cos x+1

dx,

(c)

∞

R

0

sin x

x

2

dx.

1.5. Obliczyć całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:

(a)

∞

R

−∞

1

1+x

2

dx,

(b)

∞

R

−∞

e

−|x|

dx,

(c)

∞

R

−∞

x sin x dx,

(d)

∞

R

−∞

x cos x dx.

1.2

Odpowiedzi, wskazówki

1.1. (a) Zbieżna,

(b) zbieżna,

(c) zbieżna,

(d) rozbieżna do ∞.

1.2. (a) Rozbieżna do ∞,

(b) rozbieżna do ∞,

(c) zbieżna,

(d) zbieżna,

(e) zbieżna.

1.3. (a) Rozbieżna do ∞,

(b) zbieżna.

1.4. (a) Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna),

(b) całka jest rozbieżna do ∞ i nie jest zbieżna bezwzględnie,

(c) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).

1.5. (a) całka jest równa π, zatem tyle samo wynosi wartość główna,

(b) całka jest równa 2, zatem tyle samo wynosi wartość główna,

(c) ani całka, ani wartość główna całki nie istnieją,

(d) całka nie istnieje, wartość główna całki wynosi 0.

3

2

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

2.1

Zadania

2.1. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadać zbież-

ność całki

(a)

π

2

R

0

1

cos x

dx,

(b)

1

R

0

1

sin(x

4

)

dx,

(c)

1

R

0

1

sin

√

x

dx.

2.2. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną całki

(a)

π

R

0

x sin

1

x

dx,

(b)

1

R

0

cos

1
x

x arc tg x

dx.

2.3. Obliczyć całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje:

(a)

1

R

−1

1
x

dx,

(b)

1

R

−1

1

x

2

dx,

(c)

1

R

−1

1

3

√

x

2

dx,

(d)

∗

1

R

−1

|x| ln |x| dx,

2.2

Odpowiedzi, wskazówki

2.1. Dla kryterium porównawczego można wykorzystac nierówności

2

π

x < sin x < x, zachodzące

dla 0 < x <

π

2

.

(a) rozbieżna do ∞,

(b) rozbieżna do ∞,

(c) zbieżna.

2.2. (a) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna),

(b) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).

2.3. (a) całka rozbieżna (nie istnieje), wartość główna wynosi 0,

(b) całka i wartość główna nie istnieją,

(c) całka wynosi 6, zatem wartość główna tyle samo,

(d) całka wynosi −

1
2

, zatem wartość główna tyle samo.

4

3

Szeregi liczbowe

3.1

Zadania

3.1. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykazać rozbieżność szeregu

(a)

∞

P

n=1

arc tg n

arc cos

1

n

,

(b)

∞

P

n=2



n

1−n



n

.

3.2. Korzystając z kryterium d’Alemberta, zbadać zbieżność szeregu

(a)

∞

P

n=1

(−1)

n

(2n)!

6

n

(n!)

2

,

(b)

∞

P

n=1

n sin

1

3

n

,

(c)

∞

P

n=2

(−1)

n n

10

10

n

.

3.3. Korzystając z kryterium Cauchy’ego, zbadać zbieżność szeregu

(a)

∞

P

n=1

(−1)

n

(arctg(2

n

+1))

n

,

(b)

∞

P

n=1

−3

n

+7

n

2

n

+3

n

+4

n

+5

n

+6

n

.

3.4. Zbadać zbieżność i ewentualnie określić jej rodzaj, dla szeregu

(a)

∞

P

n=1

(−1)

n

n

√

2

n

,

(b)

∞

P

n=1

cos(nπ) tg

1

n

,

(c)

∞

P

n=1



n

n+1



(n

2

)

2

n

,

(d)

∞

P

n=1

n! (−2)

n

π

n

,

(e)

∞

P

n=1

1

5

n



n+2

n



(n

2

)

.

3.2

Odpowiedzi, wskazówki

3.1. (a) lim

n→∞

a

n

=

π

2

6= 0,

(b) lim

n→∞

|a

n

| = e 6= 0.

3.2. (a) Zbieżny bezwzględnie,

(b) zbieżny bezwzględnie,

(c) zbieżny bezwzględnie.

3.3. (a) Zbieżny bezwzględnie,

(b) rozbieżny do ∞.

3.4. Zbadać zbieżność szeregu

(a) Zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leib-

niza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystać rozbieżność szeregu
harmonicznego i nierówność 1 <

n

√

2,

5

(b) zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leib-

niza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystać rozbieżność szeregu
harmonicznego i oszacowanie x < tg x dla 0 < x <

π

2

,

(c) zbieżny bezwzględnie,

(d) rozbieżny,

(e) rozbieżny do ∞.

4

Szeregi potęgowe

4.1

Zadania

4.1. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego:

(a)

∞

P

n=1

(x+2)

n

2

n

,

(b)

∞

P

n=1

n

6

n

x

n

,

(c)

P

∞
n=1

(6−2x)

n

√

n+1

,

(d)

P

∞
n=1

(−4x−8)

n

n 8

n

,

(e)

P

∞
n=1

n(2 − 4x)

n

.

4.2. Dla zadanej funkcji f wyznaczyć szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór

na n-ty współczynnik w tym rozwinięciu, jeśli:

(a) f (x) =

4x

x−4

,

(b) f (x) =

2x

16+x

4

,

(c) f (x) = x

3

ln



1 −

1
4

x

2



,

(d) f (x) = x

2

e

−5x

3

.

4.3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, obliczyć pochodną:

(a) f

(4)

(0) dla f (x) = x

2

cos(2x),

(b) f

(12)

(0) dla f (x) = x

2

sin(3x),

(c) f

(5)

(0) dla f (x) =

x

3

1+4x

.

4.4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, obliczyć

sumy szeregów:

(a)

P

∞
n=0

3n+4

3

n

,

(b)

P

∞
n=1

n2

n

3

n

,

(c)

P

∞
n=0

(−1)

n

(n+2)5

n

,

(d)

P

∞
n=1

1

n(n+3)2

n

.

6

4.2

Odpowiedzi, wskazówki

4.1. (a) (−4, 0),

(b) (−6, 6),

(c)



5
2

,

7
2

i

,

(d) (−4, 0],

(e)



1
4

,

3
4



.

4.2. (a)

P

∞
n=1

−1

4

n−1

x

n

, (−4, 4), c

n

=

(

0

dla n = 0,

−1

4

n−1

dla n ∈ N

+

,

(b)

P

∞
k=0

(−1)

k

8·16

k

x

4k+1

, (−2, 2), c

n

=







(−1)

n−1

4

2

n+2

dla n = 4k + 1, k ∈ N,

0

dla pozostałych n ∈ N,

(c)

P

∞
k=1

−1

k4

k

x

2k+3

, (−2, 2), c

n

=

(

−1

(n−3)2

n−4

dla n = 2k + 3, k ∈ N

+

,

0

dla pozostałych n ∈ N,

(d)

P

∞
k=0

(−5)

k

k!

x

3k+2

, R, c

n

=







(−5)

n−2

3

n−2

3

!

dla n = 3k + 2, k ∈ N,

0

dla pozostałych n ∈ N.

4.3. (a) −48,

(b) 0,

(c) 1920.

4.4. (a)

105

4

,

(b)

27

2

,

(c) 5 − 25 ln

6
5

,

(d)

16

9

−

7
3

ln 2.

5

Funkcje wielu zmiennych — podstawy, granice i ciągłość

5.1

Zadania

5.1. Niech x, y, z, t, u oznaczają liczby rzeczywiste. Wyznaczyć dziedzinę D naturalną funkcji

f , opisać zadaną poziomicę oraz określić kształt pozostałych poziomic, jeśli

(a) f (x, y) = e

1/(x

2

+y

2

−3)

, poziomica f (x, y) = e,

(b) f (x, y, z) =

x

2

+y

2

+z

2

x

2

+y

2

+z

2

−0,5

, poziomica f (x, y, z) = 2,

(c) f (x, y, z, t, u) = arc tg

1

x+y+z+t+u+1

, poziomica f (x, y, z, t, u) =

π

4

.

5.2. Zbadać istnienie i ewentualnie obliczyć lim

P →P

0

f (P ), jeśli

(a) P = (x, y, z) ∈ R

3

, P

0

= (0, 0, 0), f (x, y, z) =

2−

√

4−x

2

−y

2

−z

2

x

2

+y

2

+z

2

,

(b) P = (x, y, z, t, u) ∈ R

5

, P

0

= (0, 0, 0, 0, 0), f (x, y, z, t, u) =

x

2

−y

2

+z

2

+t

2

+u

2

x

2

+y

2

+z

2

+t

2

+u

2

.

5.3. Wyznaczyć zbiór A punktów ciągłości funkcji f : R

n

→ R, określonej wzorami

(a) f (x, y) =

(

xy,

gdy y ¬ x

2

,

2x

3

− 1, gdy x

2

< y,

7

(b) f (x, y) =

(

arc tg(xy), gdy |xy| < 1,
x,

gdy 1 ¬ |xy|,

(c) f (x, y) =

(

cos(x − y), gdy |x − y| <

π

4

,

y,

gdy

π

4

¬ |x − y|,

(d) f (x, y, z) =

(

z−7

x

2

+y

2

+z

2

−25

, gdy x

2

+ y

2

+ z

2

6= 25,

1
2

,

gdy x

2

+ y

2

+ z

2

= 25,

(e) f (x, y, z, t, u) =

(

2

√

x

2

+ y

2

+ z

2

+ t

2

+ u

2

,

gdy x

2

+ y

2

+ z

2

+ t

2

+ u

2

¬ 4,

8 − x

2

− y

2

− z

2

− t

2

− u

2

, gdy 4 < x

2

+ y

2

+ z

2

+ t

2

+ u

2

,

5.2

Odpowiedzi, wskazówki

5.1. (a) D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

6= 3} (płaszczyzna bez okręgu); szukaną poziomicą jest

okrąg o środku w (0, 0) i promieniu 2, pozostałymi poziomicami są okręgi o środku w
(0, 0) i promieniach % ∈ [0,

√

3) ∪ (

√

3, ∞),

(b) D = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

6=

1
2

} (przestrzeń R

3

bez sfery); szukaną poziomicą

jest sfera o środku w (0, 0, 0) i promieniu 1, pozostałymi poziomicami są sfery o środku

w (0, 0, 0) i promieniach % ∈

h

0,

√

2

2



∪



√

2

2

, ∞



,

(c) D = {(x, y, z, t, u) ∈ R

5

: x + y + z + t + u 6= −1} (przestrzeń R

5

bez hiperpłaszczyzny),

szukaną poziomicą jest podprzestrzeń liniowa (i jednocześnie hiperpłaszczyzna) V

0

=

{(x, y, z, t, u) ∈ R

5

: x + y + z + t + u = 0}, pozostałymi poziomicami są równoległe

do niej hiperpłaszczyzny V

λ

= {(x, y, z, t, u) ∈ R

5

: x + y + z + t + u = λ}, gdzie

λ ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, ∞).

5.2. (a)

1
4

,

(b) nie istnieje; rozważyć np. ciągi (x

0
n

, y

0

n

, z

0

n

, t

0
n

, u

0
n

) =



1

n

,

1

n

, 0, 0, 0



, (x

00
n

, y

00

n

, z

00

n

, t

00
n

, u

00
n

) =



1

n

, 0, 0, 0, 0



.

5.3. (a) A = {(x, y) ∈ R

2

: y 6= x

2

} ∪ {(1, 1)} (funkcja jest ciągła poza parabolą y = x

2

i

dodatkowo jest ciągła w punkcie (1, 1)),

(b) A = {(x, y) ∈ R

2

: |xy| 6= 1}∪

n

π

4

,

4

π



,



−

π

4

,

4

π

o

(funkcja jest ciągła poza hiperbolami

y =

1

x

, y = −

1
x

i dodatkowo jest ciągła w punktach



π

4

,

4

π



,



−

π

4

,

4

π



),

(c) A =

n

(x, y) ∈ R

2

: y = |y − x| 6=

π

4

o

∪

n

π

4

+

√

2

2

,

√

2

2



,



−

π

4

+

√

2

2

,

√

2

2

o

(funkcja jest

ciągła poza prostymi y = x −

π

4

, y = x +

π

4

i dodatkowo jest ciągła w punktach



π

4

+

√

2

2

,

√

2

2



,



−

π

4

+

√

2

2

,

√

2

2



),

(d) A = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+y

2

+z

2

6= 25} (funkcja jest ciągła poza sferą x

2

+y

2

+z

2

= 25),

(e) A = R

5

(funkcja jest ciągła na całej przestrzeni).

6

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych – podstawy

6.1

Zadania

6.1. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x, y) = sin(xy

3

) +

x

√

y

w

punkcie (π, 1).

6.2. Dla funkcji f (x, y, z) = z ln(5x + y

3

) + y

2

e

xz

obliczyć

∂

3

f

∂z∂y∂x

(0, 1, 1).

8

6.3. Sprawdzić, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej

do wykresu funkcji f w punkcie P

0

= (x

0

, y

0

, z

0

), a następnie wyznaczyć równanie tej

płaszczyzny, jeśli:

(a) f (x, y) = tg

2

(x + y

2

), (x

0

, y

0

) = (0,

√

π

2

),

(b) f (x, y) = ln(x + y

2

), (x

0

, y

0

) = (0, e),

(c) f (x, y) =

ln y

arc cos x

, (x

0

, y

0

) =



1
2

,

√

e



,

(d) f (x, y) = 3

y−4x

, (x

0

, y

0

) = (4, 1),

(e) f (x, y) = 4 arc tg (2xy

2

) , (x

0

, y

0

) =



1
4

,

√

2



.

6.4. Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P

0

, jeśli:

(a) f (x, y) = 2

x−y

, P

0

=



1

ln 4

,

1

ln 2



,

(b) f (x, y) = sin



x

√

y



, P

0

=



π

4

,

16

9



,

(c) f (x, y) = x cos

πy

2

6x

, P

0

=



−1,

√

2



,

(d) f (x, y, z) = xy

2

cos



π

6

z



+ 2, P

0

= (−1, 2, −1).

6.5. Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P

0

i w kierunku wersora ~

v, jeśli:

(a) f (x, y) = x sin (y

2

+ x

3

), P

0

= (−

3

√

π, 0) , ~

v =



1

π

,

q

1 −

1

π

2



,

(b) f (x, y) = x sin(x + y), P

0

=



π

2

,

π

6



, ~

v =



1

√

2

,

−1

√

2



,

(c) f (x, y) = xy cos(xy), P

0

=



−1,

π

6



, ~

v =



√

3

2

, −

1
2



,

(d) f (x, y) = sin(2x) + y

2

, P

0

=



π

6

, 1



, ~

v =



−

1
2

, −

√

3

2



.

6.6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podać przybliżoną wartość wyrażenia:

(a)

√

1, 002 0, 999

4

,

(b) arc tg

0,01+0,07

2

1−0,0007

.

6.7. Oszacować, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian pros-

topadłościanu, jeśli krawędzie mierzyliśmy z dokładnością 0,1 mm i otrzymaliśmy wyniki
10 mm, 20 mm, 30 mm.

6.2

Odpowiedzi, wskazówki

6.1.

∂

2

f

∂x

2

(π, 1) = 0,

∂

2

f

∂y

2

(π, 1) = −

21

4

π,

∂

2

f

∂x∂y

(π, 1) =

∂

2

f

∂y∂x

(π, 1) = −

7
2

.

6.2.

∂

3

f

∂z∂y∂x

(0, 1, 1) = −13.

6.3. (a) z − 1 = 4x + 4

√

π



y −

√

π

2



,

(b) z − 2 =

1

e

2

x +

2
e

(y − e),

(c) z −

3

2π

=

3

√

3

π

2



x −

1
2



+

3

π

√

e

(y −

√

e),

(d) z − 1 = −4 ln 3(x − 4) + ln 3(y − 1),

(e) z − π = 8



x −

1
4



+ 2

√

2(y −

√

2).

6.4. (a) gradf (P

0

) =



ln 2

√

e

, −

ln 2

√

e



,

9

(b) gradf (P

0

) =



2
3

,

3π

64



,

(c) gradf (P

0

) =



3+

√

3 π

6

,

√

6 π



,

(d) gradf (P

0

) =



2

√

3, −2

√

3, −

π

3



.

6.5. (a)

∂f

∂~

v

(P

0

) = 3,

(b)

∂f

∂~

v

(P

0

) =

√

6

4

,

(c)

∂f

∂~

v

(P

0

) = −

√

3π

2

144

−

π

12

+

√

3

4

,

(d)

∂f

∂~

v

(P

0

) = −

1
2

−

√

3.

6.6. (a) 0, 997,

(b) 0, 01. Wskazówka: rozważyć funkcję f (x, y) = arc tg

x+y

2

1−xy

.

6.7. ∆

f

≈ 24 mm

2

.

7

Ekstrema lokalne i globalne

7.1

Zadania

7.1. Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:

(a) f (x, y) = −4x

3

− 3xy

2

+ 12xy,

(b) f (x, y) = (x

2

+ 2y

2

) e

−y

,

(c)

∗

f (x, y) = (x

2

− 2y

3

+ 3y

2

) e

−x

,

(d)

∗

f (x, y) = x

n

+ y

n

− nxy, gdzie n ∈ {2, 3, 4, . . .}.

7.2. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli:

(a) f (x, y) = y

2

x + 2yx + x

2

− 2x, D = [1, 2] × [−2, 0],

(b) f (x, y) = (x + y

2

)

√

e

x

, D = [−3, −1] × [−1, 1],

(c) f (x, y) = 3(x − 2)y, D = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

− 4x + y

2

¬ 0}.

7.3.

∗

Wyznaczyć trójkąt, dla którego iloczyn sinusów jego kątów jest największy.

7.2

Odpowiedzi, wskazówki

7.1. (a) f (1, 2) = 8 – maksimum lokalne właściwe, f (−1, 2) = −8 – minimum lokalne właściwe.

(b) f (0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji).

(c) f (0, 0) = 0 – minimum lokalne właściwe. Wskazówka: dla punktu P

0

= (1, 1) zauwa-

żyć, że

∂f

2

∂x

2

(P

0

) = 0,

∂f

3

∂x

3

(P

0

) 6= 0,

(d) uwaga: dla n parzystych istnieje jeden więcej punkt krytyczny.

7.2. (a) M = 0, m = −

9
4

,

(b) M = 0, m = −

2
e

,

(c) M =

3
2

, m = −

3
2

.

7.3. Trójkąt równoboczny. Wskazówka: trzeci kąt przedstawić za pomocą dwóch pozostałych i

wyznaczyć ekstrema globalne funkcji dwóch zmiennych.

10

8

Całki podwójne – ogólnie

8.1

Zadania

8.1. Zmienić kolejność całkowania w całkach iterowanych:

(a)

2

R

1

dy

y

2

R

2−y

f (x, y) dx,

(b)

1

R

−1

dx

x

2

R

−x

2

f (x, y) dy.

Sporządzić rysunek.

8.2. Obliczyć pole obszaru na płaszczyźnie, ograniczonego przez krzywe:

(a) y

2

= −5x, y = −x,

(b) y = −1, y

2

= 4x, xy = −2,

(c) xy = 10, x + y + 7 = 0,

(d) y = e

x−1

, y =

1
x

, x = 2,

(e) y = sin x, y =

2

π

|x|,

(f) y = 3

x

, y = 2x + 1,

(g) y = e

x

, y = (e − 1)x + 1.

Sporządzić rysunek.

8.3. Obliczyć masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli:

(a) D =

n

(x, y) ∈ R

2

: −

π

3

¬ x ¬ −

π

4

, sin x ¬ y ¬ 0

o

, σ(x, y) = −x,

(b) D jest ograniczony przez krzywe xy = 3, x + y − 4 = 0, a σ(x, y) = y.

Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D.

8.2

Odpowiedzi, wskazówki

8.1. (a)

1

R

0

dx

2

R

2−x

f (x, y) dy +

4

R

1

dx

2

R

√

x

f (x, y) dy,

(b)

1

R

−1

dy

−

√

|y|

R

−1

f (x, y) dx +

1

R

−1

dy

1

R

√

|y|

f (x, y) dx.

8.2. (a)

25

6

,

(b) 2 ln 2 −

7

12

,

(c)

21

2

− 10 ln 5 + 10 ln 2,

(d) e − 1 − ln 2,

(e) 1 −

π

4

,

(f) 2 −

2

ln 3

,

(g)

3
2

−

1
2

e.

8.3. (a)

3

√

2−4

24

π +

√

3−

√

2

2

,

(b)

4
3

.

11

9

Całki podwójne – współrzędne biegunowe

9.1

Zadania

9.1. Wprowadzając współrzędne biegunowe, obliczyć:

(a)

RR

D

y dxdy, jeśli D = {(x, y) ∈ R

2

: y ¬

√

3

3

x, x

2

+ y

2

¬ 9},

(b)

RR

D

3

x

2

+y

2

dx dy, jeśli D = {(x, y) ∈ R

2

: x ­ 0, y ¬ 0, x

2

+ y

2

¬ 4},

(c)

RR

D

(x

2

+ y

2

) dx dy, jeśli D =

n

(x, y) ∈ R

2

:

√

3 x ¬ y ¬ 0, x

2

+ y

2

¬ 4

o

.

Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.

9.2. Wprowadzając współrzędne biegunowe, obliczyć masę obszaru D ⊆ R

2

o gęstości po-

wierzchniowej σ(x, y), jeśli D jest ograniczony krzywymi:

(a) y = 0, y =

√

3 x, x =

√

1 − y

2

, x =

√

9 − y

2

, a σ(x, y) =

√

x

2

+ y

2

,

(b) x = 0, y = −

√

3

3

x, y = −

√

4 − x

2

, y = −

√

16 − y

2

, a σ(x, y) = x

2

+ y

2

,

(c) x = 0, y =

√

3 x, y =

√

4 − x

2

, a σ(x, y) = x.

Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.

9.2

Odpowiedzi, wskazówki

9.1. (a) −9

√

3,

(b)

20

ln 3

π,

(c)

4
3

π.

9.2. (a)

26

9

π,

(b) 20π,

(c)

4
3



2 −

√

3



.

10

Całki potrójne – ogólnie

10.1

Zadania

10.1. Zmienić kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce:

(a)

2

R

0

dx

0

R

−2+x

dy

4−2x+2y

R

0

f (x, y, z) dz,

(b)

0

R

−2

dx

2+x

R

0

dy

3+

3
2

x−

3
2

y

R

0

f (x, y, z) dz,

(c)

1

R

0

dy

4−4y

R

0

dz

1−y−

1
4

z

R

0

f (x, y, z) dx,

(d)

4

R

0

dy

4−y

R

0

dz

0

R

−1+

1
4

y+

1
4

z

f (x, y, z) dx.

Sporządzić rysunek obszaru całkowania.

10.2. Obliczyć objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie:

12

(a) z = 2, z = 8, x = 5 − y

2

, x = 3 + y

2

,

(b) x = 0, y = 2, y = 2x, x + y + z = 0, 2x + y − z = 0.

Sporządzić rysunek.

10.2

Odpowiedzi, wskazówki

10.1. (a)

4

R

0

dz

0

R

−2+

1
2

z

dy

2+y−

1
2

z

R

0

f (x, y, z) dx,

4

R

0

dz

2−

1
2

z

R

0

dx

0

R

−2+x+

1
2

z

f (x, y, z) dy,

(b)

3

R

0

dz

2−

2
3

z

R

0

dy

0

R

−2+y+

2
3

z

f (x, y, z) dx,

3

R

0

dz

0

R

−2+

2
3

z

dx

2+x−

2
3

z

R

0

f (x, y, z) dy,

(c)

4

R

0

dz

1−

1
4

z

R

0

dy

1−y−

1
4

z

R

0

f (x, y, z) dx,

4

R

0

dz

1−

1
4

z

R

0

dx

1−x−

1
4

z

R

0

f (x, y, z) dx,

(d)

4

R

0

dz

4−z

R

0

dy

0

R

−1+

1
4

y+

1
4

z

f (x, y, z) dx,

4

R

0

dz

0

R

−1+

1
4

z

dx

4+4x−z

R

0

f (x, y, z) dy.

10.2. (a) 8,

(b)

11

3

.

11

Całki potrójne – współrzędne walcowe

11.1

Zadania

11.1. Wprowadzając współrzędne walcowe, obliczyć objętość obszaru U ⊆ R

3

, ograniczonego

powierzchniami:

(a) x

2

+ y

2

− z = 0,

√

x

2

+ y

2

− z + 2 = 0,

(b) x

2

+ z

2

+ y = 0,

√

x

2

+ z

2

− y − 6 = 0.

Sporządzić rysunek.

11.2. Wprowadzając współrzędne walcowe, obliczyć masę obszaru U ⊆ R

3

, o gęstości objęto-

ściowej masy σ, jeśli:

(a)

∗

σ(x, y, z) = arc tg

√

x

2

+ y

2

, U jest ograniczony powierzchnami

5

√

x

2

+ y

2

+ z = 0, z + 5 = 0,

(b)

∗

σ(x, y, z) = ln (1 + x

2

+ z

2

), U jest ograniczony powierzchnami

x

2

− y + z

2

+ 1 = 0, 2x

2

− y + 2z

2

= 0.

Sporządzić rysunek.

11.2

Odpowiedzi, wskazówki

11.1. (a)

16

3

π,

(b)

32

3

π.

11.2. (a)

5
3

π

2

−

10

3

π −

5π ln 2

3

,

(b)

π

2

4

+



7
4

+ ln 2



π.

13

12

Całki potrójne – współrzędne sferyczne

12.1

Zadania

12.1. Wprowadzając współrzędne sferyczne, obliczyć objętość obszaru U ⊆ R

3

, ograniczonego

powierzchniami:

(a)

√

3 x +

√

y

2

+ z

2

= 0, x +

√

9 − y

2

− z

2

= 0,

(b)

√

2

√

x

2

+ z

2

− 2y = 0,

√

9 − x

2

− z

2

− y = 0,

√

4 − x

2

− z

2

− y = 0.

Naszkicować obszar całkowania.

12.2. Wprowadzając współrzędne sferyczne, obliczyć masę obszaru U ⊆ R

3

, o gęstości objęto-

ściowej masy σ(x, y, z) = z, jeśli U jest ograniczony powierzchnią o równaniu x

2

+ y

2

+

z

2

− z = 0.

12.3. Niech V oznacza pierścień kulisty, znajdujący pomiędzy sferami o promieniach R

1

< R

2

, a

S stożek wierzchołku w środku kul i kącie przy wierzchołku

π

3

. Obliczyć masę wycinka U

pierścienia kulistego, wyciętego przez stożek S z pierścienia V , jeśli gęstość objętościowa
masy w danym punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu
od środka kuli.

12.2

Odpowiedzi, wskazówki

12.1. (a) 9π,

(b)

19

(

2−

√

2

)

3

π.

12.2.

π

12

.

12.3.

2−

√

3

5

λπ (R

5
2

− R

5
1

) .

13

Przekształcenie Laplace’a

13.1

Zadania

13.1. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiązać zagadnienie początkowe

(a) y

0

+ 5y = −10t, y(0) =

2
5

,

(b) y

0

+ 7y = −14t, y(0) =

2
7

,

(c) y

00

+ y

0

− 2y = 4e

2t

, y(0) = 0, y

0

(0) = 1,

(d)

(

x

0

= 3x

+ y,

y

0

= −x + y,

(

x(0) = 0,
y(0) = 1.

Uwaga: Wartość transformacji Laplace’a L (t

n

e

αt

) (s) =

n!

(s−α)

n+1

, w tym L (e

αt

) (s) =

1

s−α

,

L (t

n

) (s) =

n!

s

n+1

, L(1)(s) =

1
s

.

13.2

Odpowiedzi, wskazówki

13.1. (a) y(t) =

2
5

− 2t,

(b) y(t) =

2
7

− 2t,

(c) y(t) = e

2t

− e

t

,

(d)

(

x(t) = −te

2t

,

y(t) = −e

2t

+ te

2t

.

14

14

Przekształcenie Fouriera

14.1

Zadania

14.1. Wyprowadzić z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji f , a następnie przedstawić

f za pomocą wzoru całkowego Fouriera, jeśli

(a) f (x) =

(

1 dla 0 ¬ t < 2
0 dla pozostałych t ∈ R,

(b) f (x) =

(

1 dla 0 ¬ t < 5
0 dla pozostałych t ∈ R.

14.2

Odpowiedzi, wskazówki

14.1. (a) ˆ

f (ω) =

1 − e

−2ωi

ωi

, f (t) =

1

2π

∞

Z

−∞

1 − e

−2ωi

ωi

e

ωti

dω,

(b) ˆ

f (ω) =

1 − e

−5ωi

ωi

, f (t) =

1

2π

∞

Z

−∞

1 − e

−5ωi

ωi

e

ωti

dω.

15