Informatyka, I kolokwium poprawkowe z Matematyki, 13 września 2010 r.

Imię i nazwisko .............................................................

1

2

3

4

5

Razem

Zadanie 1.

a) Określić przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(−1)

n

3

√

n + 2

n + 1

(x + 3)

n

.

b) Pokazać, że szereg funkcyjny

∞

X

n=1

1

2

n−1

√

1 + nx

jest zbieżny jednostajnie na przedziale [0, ∞).

Zadanie 2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema (lokalne i globalne) funkcji
f : R → R danej wzorem

f (x) = x

2

e

−x

.

Zadanie 3. Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji (−1, ∞) 3 x 7→ ln (1 + x), znaleźć wartość
ln (1.1) z dokładnością 10

−4

.

Zadanie 4. Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

x − 6

x

2

− 4x + 6

dx,

b)

Z

sin (ln x) dx.

Zadanie 5. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f : R

2

→ R określonej wzorem

f (x) = x

3

+ y

3

− 3xy

na zbiorze

0 ¬ x ¬ 2,

−1 ¬ y ¬ 2.