Ć
w i c z e n i e 44
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY
SZTYWNEJ WZGLĘDEM DOWOLNEJ OSI OBROTU
Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA
44.1 Opis teoretyczny
W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego równieŜ twierdzeniem o osiach równoległych,
naleŜy wyznaczyć połoŜenie środka masy danej bryły sztywnej.
Dla układu dyskretnego składającego się z N mas o róŜnych wartościach
i
m środek jego masy
wyznaczamy następująco (masa całego układu M jest sumą mas składowych
i
m ):
Obieramy dowolny punkt w przestrzeni, który będziemy traktować jako punkt odniesienia
względem, którego określimy połoŜenie środka masy. Wektory
[
]
i
i
i
i
z
y
x
r
,
,
=
r
opiszą wówczas
połoŜenia poszczególnych mas składowych
i
m względem punktu odniesienia. Odległość środka
masy od punktu odniesienia określona wektorem
[
]
C
C
C
C
z
y
x
r
,
,
=
r
wyznacza się z definicyjnej
zaleŜności:
∑
=
=
N
i
i
i
C
m
r
M
r
1
1
r
r
(44.1)
któr
ą
mo
Ŝ
na rozło
Ŝ
y
ć
na trzy nast
ę
puj
ą
ce wyra
Ŝ
enia:
∑
=
=
N
i
i
i
C
m
x
M
x
1
1
(44.1a)
∑
=
=
N
i
i
i
C
m
y
M
y
1
1
(44.1b)
∑
=
=
N
i
i
i
C
m
z
M
z
1
1
(44.1c)
W przypadku ciała rozci
ą
głego aby wyznaczy
ć
jego
ś
rodek masy nale
Ŝ
y rozło
Ŝ
y
ć
go na
niesko
ń
czenie wiele małych mas dm , których poło
Ŝ
enia wzgl
ę
dem punktu odniesienia s
ą
okre
ś
lone
wektorem
[
]
z
y
x
r
,
,
=
r
. Wówczas w powy
Ŝ
szych wzorach sumy przyjmuj
ą
posta
ć
całek :
∫
=
dm
r
M
r
C
1
r
(44.2)
to znaczy
∫
=
dm
x
M
x
C
1
(44.2a)
∫
=
dm
y
M
y
C
1
(44.2b)
∫
=
dm
z
M
z
C
1
(44.2c)
Przy czym całkowanie musi si
ę
odby
ć
po wszystkich elementach dm to znaczy po całej obj
ę
to
ś
ci
ciała sztywnego. Nale
Ŝ
y zwróci
ć
szczególn
ą
uwag
ę
na przypadek gdy punkt odniesienia pokrywa
si
ę
ze
ś
rodkiem masy. Wówczas
[
]
0
,
0
,
0
=
C
r
r
tzn.
0
;
0
;
0
=
=
=
∫
∫
∫
dm
z
dm
y
dm
x
(44.3)
Wielko
ść
fizyczna zwana momentem bezwładno
ś
ci okre
ś
la bezwładno
ść
ciała sztywnego, gdy
wykonuje ono ruch obrotowy. Została ona dokładnie opisana w cz
ęś
ci teoretycznej w
ć
wiczeniu
nr 36. Warto
ść
momentu bezwładno
ś
ci zale
Ŝ
y od osi, wokół której odbywa si
ę
obrót ciała. Je
Ŝ
eli
znamy moment bezwładno
ś
ci ciała wzgl
ę
dem osi obrotu przechodz
ą
cej przez
ś
rodek masy ciała, to
mo
Ŝ
emy za pomoc
ą
twierdzenia Steinera obliczy
ć
momentem bezwładno
ś
ci tego ciała wzgl
ę
dem
innej osi równoległej do niej.
Z
*
Z
dm
Y
x
1
y
1
X
Y
*
d
x
C
x
2
y
C
X
*
y
2
Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera
Dla ciała przedstawionego na powy
Ŝ
szym rysunku moment bezwładno
ś
ci wzgl
ę
dem osi obrotu
przechodz
ą
cej przez jego
ś
rodek masy (jest to o
ś
Z) wyra
Ŝ
a si
ę
całk
ą
:
∫
+
=
dm
y
x
J
Z
)
(
2
1
2
1
(44.4)
Wyra
Ŝ
enie
2
1
2
1
y
x
+
okre
ś
la odległo
ść
elementu dm od osi Z
Analogicznie mo
Ŝ
emy napisa
ć
wyra
Ŝ
enie na moment bezwładno
ś
ci wzgl
ę
dem osi obrotu Z
*
równoległej do osi Z i oddalonej od niej o
2
2
C
C
y
x
d
+
=
, gdzie współrz
ę
dne
C
C
y
x
i
okre
ś
laj
ą
poło
Ŝ
enie
ś
rodka masy rozpatrywanego ciała w nowym gwiazdkowanym układzie współrz
ę
dnych:
∫
+
=
dm
y
x
J
Z
)
(
2
2
2
2
*
(44.5)
Wyra
Ŝ
enie
2
2
2
2
y
x
+
okre
ś
la odległo
ść
elementu dm od nowej osi Z
*
przy czym:
1
2
x
x
x
C
+
=
;
1
2
y
y
y
C
+
=
(44.6)
Podstawiaj
ą
c wyra
Ŝ
enia 44.6 do 44.5 otrzymujemy:
(
) (
)
[
]
(
)
∫
∫
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
dm
y
y
y
y
x
x
x
x
dm
y
y
x
x
J
C
C
C
C
C
C
Z
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
*
2
2
(44.7)
dalej grupuj
ą
c wyra
Ŝ
enia
(
) (
)
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
+
=
dm
y
y
dm
x
x
dm
y
x
dm
y
x
J
C
C
C
C
Z
1
1
2
2
2
1
2
1
*
2
2
Pierwsza całka (zgodnie z 44.4) odpowiada wyj
ś
ciowemu momentowi bezwładno
ś
ci J
Z
.
Poniewa
Ŝ
jak zaznaczyli
ś
my wy
Ŝ
ej
2
2
2
d
y
x
C
C
=
+
i
∫
=
M
dm
druga całka przyjmuje posta
ć
:
(
)
M
d
dm
y
x
C
C
2
2
2
=
+
∫
Dwie ostatnie całki zeruj
ą
si
ę
, gdy
Ŝ
spełniony jest warunek 44.3 tzn. poło
Ŝ
enie
ś
rodka masy w
pierwotnym układzie odniesienia okre
ś
la wektor zerowy
[
]
0
,
0
,
0
=
C
r
r
.
Reasumuj
ą
c równanie (44.7) przyjmuje posta
ć
:
2
*
d
M
J
J
Z
Z
+
=
(44.8)
I to jest wła
ś
nie twierdzenie Steinera opisuj
ą
ce zwi
ą
zek mi
ę
dzy momentami bezwładno
ś
ci
Z
Z
J
J
i
*
44.2 Metoda pomiaru.
W
ć
wiczeniu wyznaczamy momenty bezwładno
ś
ci okr
ą
głej tarczy metalowej o promieniu
R = 15 cm. Posiada ona 5 otworów rozmieszczonych co 3 cm. Umo
Ŝ
liwia to równoległe
przesuwanie osi jej obrotu o znan
ą
warto
ść
d. Tarcz
ę
mocuje si
ę
na balansowym spr
ęŜ
ynowym
mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z poło
Ŝ
enia równowagi o niedu
Ŝ
y k
ą
t i puszczona
swobodnie wykonuje drgania harmoniczne jak wahadło torsyjne (patrz
ć
wiczenie nr 40).
Okres drga
ń
tarczy wyra
Ŝ
a si
ę
tym samym wzorem:
D
J
π
2
T
=
(44.9)
gdzie: J – moment bezwładno
ś
ci tarczy wzgl
ę
dem zadanej osi obrotu.
D – stała zwana modułem skr
ę
cenia lub momentem kieruj
ą
cym zale
Ŝ
na od budowy
mechanizmu torsyjnego . W
ć
wiczeniu wynosi ona
0,0255 Nm
W ten sposób mierz
ą
c okres drga
ń
T wyznacza si
ę
moment bezwładno
ś
ci J. Stanowisko
wyposa
Ŝ
one jest w fotokomórk
ę
, za pomoc
ą
której mo
Ŝ
na automatycznie zmierzy
ć
połow
ę
okresu
drga
ń
czyli T/2 .
Sugerowa
ł
bym wyra
ż
ne okre
ś
lenie celu
ć
wiczenia.
Wyznaczamy moment bezw
ł
adno
ś
ci tarczy gdy
a) o
ś
obrotu przechodzi przez
ś
rodek tarczy, (z
bezpo
ś
redniego pomiaru w eksperymencie, na
podtawie wykresu T=f(d2), z obliczenia
teoretycznego )
b) przez brzeg tarczy (z obliczenia
teoretycznego, z aproksymacji z wykresu).
44.3 Wykonanie pomiarów.
Kolejno
ść
pomiarów jest nast
ę
puj
ą
ca:
1.
Zapozna
ć
si
ę
z budow
ą
zestawu pomiarowego.
2.
Umocowa
ć
tarcz
ę
na centralnym otworze.
3.
Wł
ą
czy
ć
fotokomórk
ę
.
4.
Obróci
ć
tarcz
ę
o k
ą
t 90
o
, nacisn
ąć
na fotokomórce przycisk SET i pu
ś
ci
ć
tarcz
ę
. Po
wykonaniu przez układ pełnego drgania, odczyta
ć
na wy
ś
wietlaczu czas T/2. Czynno
ść
powtórzy
ć
dziesi
ę
ciokrotnie, obracaj
ą
c tarcz
ę
po 5 razy w prawo i lewo.
5.
Umocowywa
ć
tarcz
ę
na kolejnych otworach i powtarzaj
ą
c punkt 4 mierzy
ć
kolejne okresy
drga
ń
.
44.4 Opracowanie wyników pomiarów.
1.
Obliczy
ć
ś
rednie arytmetyczne wyznaczonych okresów drga
ń
i ich
ś
rednie bł
ę
dy kwadratowe
2.
Na podstawie zale
Ŝ
no
ś
ci (44.9) obliczy
ć
momenty bezwładno
ś
ci J dla 5 serii pomiarowych
oraz bł
ę
dy pomiarów.
3.
Wykona
ć
wykres
)
(
2
d
f
J
=
.W eksperymencie d przyjmuje kolejno warto
ś
ci: 0, 3, 6,9, 12
[cm]. Nanie
ść
punkty pomiarowe wraz z bł
ę
dami i poprowadzi
ć
przez nie optymaln
ą
prost
ą
najlepiej stosuj
ą
c metod
ę
najmniejszych kwadratów Gaussa. Reprezentuje ona twierdzenie
Steinera (wzór (44.8)). Wyci
ą
gn
ąć
odpowiednie wnioski.
4.
Z teoretycznego wzoru
2
2
1
MR
J
=
obliczy
ć
moment bezwładno
ś
ci tarczy (R = 15 cm,
M = 0,4 kg) i porówna
ć
go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem przeci
ę
cia prostej
z punktu 3 z osi
ą
rz
ę
dnych). Wyci
ą
gn
ąć
odpowiednie wnioski.
5.
Obliczy
ć
moment bezwładno
ś
ci tarczy wzgl
ę
dem osi stycznej i prostopadłej do niej.
44.5. Pytania kontrolne
1.
Wyja
ś
ni
ć
poj
ę
cie
ś
rodka masy ciała.
2.
Zdefiniowa
ć
moment bezwładno
ś
ci bryły. Od czego on zale
Ŝ
y?.
3.
Wyprowadzi
ć
wzór na moment bezwładno
ś
ci walca o promieniu R wzgl
ę
dem osi obrotu.
4.
Wyprowadzi
ć
wzór na okres wahadła torsyjnego.
L i t e r a t u r a
[1] Leyko J. :. :Mechanika ogólna . PWN W-wa 1995-r
[2] Kittel.C. , Knight W.D. , Ruderman M.A. : Mechanika. PWN W-wa 1973r.