Ć

w i c z e n i e 44

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY

SZTYWNEJ WZGLĘDEM DOWOLNEJ OSI OBROTU

Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA

44.1 Opis teoretyczny

W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego również twierdzeniem o osiach równoległych,
należy wyznaczyć położenie środka masy danej bryły sztywnej.

Dla układu dyskretnego składającego się z N mas o różnych wartościach

i

m środek jego masy

wyznaczamy następująco (masa całego układu M jest sumą mas składowych

i

m ):

Obieramy dowolny punkt w przestrzeni, który będziemy traktować jako punkt odniesienia
względem, którego określimy położenie środka masy. Wektory

[

]

i

i

i

i

z

y

x

r

,

,

=

r

opiszą wówczas

położenia poszczególnych mas składowych

i

m względem punktu odniesienia. Odległość środka

masy od punktu odniesienia określona wektorem

[

]

C

C

C

C

z

y

x

r

,

,

=

r

wyznacza się z definicyjnej

zależności:

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

r

M

r

1

1

r

r

(44.1)

któr

ą

mo

ż

na rozło

ż

y

ć

na trzy nast

ę

puj

ą

ce wyra

ż

enia:

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

x

M

x

1

1

(44.1a)

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

y

M

y

1

1

(44.1b)

∑

=

=

N

i

i

i

C

m

z

M

z

1

1

(44.1c)

W przypadku ciała rozci

ą

głego aby wyznaczy

ć

jego

ś

rodek masy nale

ż

y rozło

ż

y

ć

go na

niesko

ń

czenie wiele małych mas dm , których poło

ż

enia wzgl

ę

dem punktu odniesienia s

ą

okre

ś

lone

wektorem

[

]

z

y

x

r

,

,

=

r

. Wówczas w powy

ż

szych wzorach sumy przyjmuj

ą

posta

ć

całek :

∫

=

dm

r

M

r

C

1

r

(44.2)

to znaczy

∫

=

dm

x

M

x

C

1

(44.2a)

∫

=

dm

y

M

y

C

1

(44.2b)

∫

=

dm

z

M

z

C

1

(44.2c)

Przy czym całkowanie musi si

ę

odby

ć

po wszystkich elementach dm to znaczy po całej obj

ę

to

ś

ci

ciała sztywnego. Nale

ż

y zwróci

ć

szczególn

ą

uwag

ę

na przypadek gdy punkt odniesienia pokrywa

si

ę

ze

ś

rodkiem masy. Wówczas

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r

r

tzn.

0

;

0

;

0

=

=

=

∫

∫

∫

dm

z

dm

y

dm

x

(44.3)

Wielko

ść

fizyczna zwana momentem bezwładno

ś

ci okre

ś

la bezwładno

ść

ciała sztywnego, gdy

wykonuje ono ruch obrotowy. Została ona dokładnie opisana w cz

ęś

ci teoretycznej w

ć

wiczeniu

nr 36. Warto

ść

momentu bezwładno

ś

ci zale

ż

y od osi, wokół której odbywa si

ę

obrót ciała. Je

ż

eli

znamy moment bezwładno

ś

ci ciała wzgl

ę

dem osi obrotu przechodz

ą

cej przez

ś

rodek masy ciała, to

mo

ż

emy za pomoc

ą

twierdzenia Steinera obliczy

ć

momentem bezwładno

ś

ci tego ciała wzgl

ę

dem

innej osi równoległej do niej.

Z

*

Z

dm

Y

x

1

y

1

X

Y

*

d

x

C

x

2

y

C

X

*

y

2

Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera

Dla ciała przedstawionego na powy

ż

szym rysunku moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi obrotu

przechodz

ą

cej przez jego

ś

rodek masy (jest to o

ś

Z) wyra

ż

a si

ę

całk

ą

:

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

1

2

1

(44.4)

Wyra

ż

enie

2

1

2

1

y

x

+

okre

ś

la odległo

ść

elementu dm od osi Z

Analogicznie mo

ż

emy napisa

ć

wyra

ż

enie na moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi obrotu Z

*

równoległej do osi Z i oddalonej od niej o

2

2

C

C

y

x

d

+

=

, gdzie współrz

ę

dne

C

C

y

x

i

okre

ś

laj

ą

poło

ż

enie

ś

rodka masy rozpatrywanego ciała w nowym gwiazdkowanym układzie współrz

ę

dnych:

∫

+

=

dm

y

x

J

Z

)

(

2

2

2

2

*

(44.5)

Wyra

ż

enie

2

2

2

2

y

x

+

okre

ś

la odległo

ść

elementu dm od nowej osi Z

*

przy czym:

1

2

x

x

x

C

+

=

;

1

2

y

y

y

C

+

=

(44.6)

Podstawiaj

ą

c wyra

ż

enia 44.6 do 44.5 otrzymujemy:

(

) (

)

[

]

(

)

∫

∫

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

dm

y

y

y

y

x

x

x

x

dm

y

y

x

x

J

C

C

C

C

C

C

Z

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

*

2

2

(44.7)

dalej grupuj

ą

c wyra

ż

enia

(

) (

)

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+

+

=

dm

y

y

dm

x

x

dm

y

x

dm

y

x

J

C

C

C

C

Z

1

1

2

2

2

1

2

1

*

2

2

Pierwsza całka (zgodnie z 44.4) odpowiada wyj

ś

ciowemu momentowi bezwładno

ś

ci J

Z

.

Poniewa

ż

jak zaznaczyli

ś

my wy

ż

ej

2

2

2

d

y

x

C

C

=

+

i

∫

=

M

dm

druga całka przyjmuje posta

ć

:

(

)

M

d

dm

y

x

C

C

2

2

2

=

+

∫

Dwie ostatnie całki zeruj

ą

si

ę

, gdy

ż

spełniony jest warunek 44.3 tzn. poło

ż

enie

ś

rodka masy w

pierwotnym układzie odniesienia okre

ś

la wektor zerowy

[

]

0

,

0

,

0

=

C

r

r

.

Reasumuj

ą

c równanie (44.7) przyjmuje posta

ć

:

2

*

d

M

J

J

Z

Z

+

=

(44.8)

I to jest wła

ś

nie twierdzenie Steinera opisuj

ą

ce zwi

ą

zek mi

ę

dzy momentami bezwładno

ś

ci

Z

Z

J

J

i

*

44.2 Metoda pomiaru.

W

ć

wiczeniu wyznaczamy momenty bezwładno

ś

ci okr

ą

głej tarczy metalowej o promieniu

R = 15 cm. Posiada ona 5 otworów rozmieszczonych co 3 cm. Umo

ż

liwia to równoległe

przesuwanie osi jej obrotu o znan

ą

warto

ść

d. Tarcz

ę

mocuje si

ę

na balansowym spr

ęż

ynowym

mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z poło

ż

enia równowagi o niedu

ż

y k

ą

t i puszczona

swobodnie wykonuje drgania harmoniczne jak wahadło torsyjne (patrz

ć

wiczenie nr 40).

Okres drga

ń

tarczy wyra

ż

a si

ę

tym samym wzorem:

D

J

π

2

T

=

(44.9)

gdzie: J – moment bezwładno

ś

ci tarczy wzgl

ę

dem zadanej osi obrotu.

D – stała zwana modułem skr

ę

cenia lub momentem kieruj

ą

cym zale

ż

na od budowy

mechanizmu torsyjnego . W

ć

wiczeniu wynosi ona

0,0255 Nm

W ten sposób mierz

ą

c okres drga

ń

T wyznacza si

ę

moment bezwładno

ś

ci J. Stanowisko

wyposa

ż

one jest w fotokomórk

ę

, za pomoc

ą

której mo

ż

na automatycznie zmierzy

ć

połow

ę

okresu

drga

ń

czyli T/2 .

Sugerowa

ł

bym wyra

ż

ne okre

ś

lenie celu

ć

wiczenia.

Wyznaczamy moment bezw

ł

adno

ś

ci tarczy gdy

a) o

ś

obrotu przechodzi przez

ś

rodek tarczy, (z

bezpo

ś

redniego pomiaru w eksperymencie, na

podtawie wykresu T=f(d2), z obliczenia
teoretycznego )
b) przez brzeg tarczy (z obliczenia
teoretycznego, z aproksymacji z wykresu).

44.3 Wykonanie pomiarów.

Kolejno

ść

pomiarów jest nast

ę

puj

ą

ca:

1.

Zapozna

ć

si

ę

z budow

ą

zestawu pomiarowego.

2.

Umocowa

ć

tarcz

ę

na centralnym otworze.

3.

Wł

ą

czy

ć

fotokomórk

ę

.

4.

Obróci

ć

tarcz

ę

o k

ą

t 90

o

, nacisn

ąć

na fotokomórce przycisk SET i pu

ś

ci

ć

tarcz

ę

. Po

wykonaniu przez układ pełnego drgania, odczyta

ć

na wy

ś

wietlaczu czas T/2. Czynno

ść

powtórzy

ć

dziesi

ę

ciokrotnie, obracaj

ą

c tarcz

ę

po 5 razy w prawo i lewo.

5.

Umocowywa

ć

tarcz

ę

na kolejnych otworach i powtarzaj

ą

c punkt 4 mierzy

ć

kolejne okresy

drga

ń

.

44.4 Opracowanie wyników pomiarów.

1.

Obliczy

ć

ś

rednie arytmetyczne wyznaczonych okresów drga

ń

i ich

ś

rednie bł

ę

dy kwadratowe

2.

Na podstawie zale

ż

no

ś

ci (44.9) obliczy

ć

momenty bezwładno

ś

ci J dla 5 serii pomiarowych

oraz bł

ę

dy pomiarów.

3.

Wykona

ć

wykres

)

(

2

d

f

J

=

.W eksperymencie d przyjmuje kolejno warto

ś

ci: 0, 3, 6,9, 12

[cm]. Nanie

ść

punkty pomiarowe wraz z bł

ę

dami i poprowadzi

ć

przez nie optymaln

ą

prost

ą

najlepiej stosuj

ą

c metod

ę

najmniejszych kwadratów Gaussa. Reprezentuje ona twierdzenie

Steinera (wzór (44.8)). Wyci

ą

gn

ąć

odpowiednie wnioski.

4.

Z teoretycznego wzoru

2

2

1

MR

J

=

obliczy

ć

moment bezwładno

ś

ci tarczy (R = 15 cm,

M = 0,4 kg) i porówna

ć

go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem przeci

ę

cia prostej

z punktu 3 z osi

ą

rz

ę

dnych). Wyci

ą

gn

ąć

odpowiednie wnioski.

5.

Obliczy

ć

moment bezwładno

ś

ci tarczy wzgl

ę

dem osi stycznej i prostopadłej do niej.

44.5. Pytania kontrolne

1.

Wyja

ś

ni

ć

poj

ę

cie

ś

rodka masy ciała.

2.

Zdefiniowa

ć

moment bezwładno

ś

ci bryły. Od czego on zale

ż

y?.

3.

Wyprowadzi

ć

wzór na moment bezwładno

ś

ci walca o promieniu R wzgl

ę

dem osi obrotu.

4.

Wyprowadzi

ć

wzór na okres wahadła torsyjnego.

L i t e r a t u r a

[1] Leyko J. :. :Mechanika ogólna . PWN W-wa 1995-r

[2] Kittel.C. , Knight W.D. , Ruderman M.A. : Mechanika. PWN W-wa 1973r.