dr hab. H. Gacki

Materiały pomocnicze Wykład 8,9 i 10

Matematyka stosowana , I rok Geologia 2012/13

Całka nieoznaczona i oznaczona - zastosowania

Niech x ∈ U ⊂ R

m

i niech ~

v ∈ R

m

, ||~

v|| = 1.

Definicja 1. Pochodn¸

a kierunkow¸

a funkcji f : U ⊂ R

m

→ R

k

w punkcie x w kierunku wektora

~

v nazywamy granic¸

e.

(1)

lim

t→0

f (x + t~

v) − f (x)

t

,

(o ile istnieje). Przyjmujemy oznaczenia

∂ f

∂~

v

(x),

∂

~

v

f (x)

lub

D

~

v

f (x).

Wniosek 1. Dla f : U ⊂ R

m

→ R pochodna cząstkowa względem i-tej zmiennej jest pochodną kierunkową

względem ~

e

i

= (0, . . . , 1

(i)

, . . . , 0) tzn.

∂ f

∂ ~

e

i

(x) =

∂ f

∂x

i

(x)

Przykład 1. Korzystając z definicji obliczyć pochodną kierunkową funkcji

f (x, y) = x

2

+ y

2

w punkcie

P

0

= (0, 0)

w kierunku wersora

~

v = (

1
2

, −

√

3

2

)

lim

t→0

f (x + t~

v) − f (x)

t

= lim

t→0



1
2

t



2

+



−

√

3

2

t



2

− 0

t

= lim

t→0

t

2

t

= 0.

Twierdzenie 1. Niech f : U ⊂ R

m

→ R

k

. Jeżeli wszystkie pochodne cz¸

astkowe

∂ f

i

∂x

j

, i = 1, . . . k, j = 1, . . . m

s¸

a ci¸

agłe w punkcie x, to dla dowolnego wersora v ∈ R

m

istnieje pochodna kierunkowa

∂ f

∂v

(x) oraz

∂ f

∂~

v

(x) =







∂ f

1

∂x

1

...

∂ f

1

∂x

m

...

...

...

∂ f

k

∂x

1

...

∂ f

k

∂x

m







~

v.

W naszym przykładzie

∂ f

∂x

(x, y) = 2x,

∂ f

∂y

(x, y) = 2y

Stąd

[

∂ f

∂x

(0, 0),

∂ f

∂y

(0, 0)]

"

1
2

−

√

3

2

#

= [0, 0]

"

1
2

−

√

3

2

#

= 0

Twierdzenie 2. Niech f : U ⊂ R

m

→ R

k

. Jeżeli wszystkie pochodne cz¸

astkowe

∂ f

i

∂x

j

, i = 1, . . . k, j = 1, . . . m

s¸

a ci¸

agłe w punkcie x, to odwzorowanie liniowe A : U ⊂ R

m

→ R

k

postaci

A h =







∂ f

1

∂x

1

...

∂ f

1

∂x

m

...

...

...

∂ f

k

∂x

1

...

∂ f

k

∂x

m







h.

1

nazywamy pochodna F r´

echeta funkcji f w punkcie x.

(2)

Pokazuje się, że

f (x + h) − f (x) − Ah = o(h),

gdzie

lim

h→0

||o(h)||

||h||

= 0,

lub

lim

h→0

||f (x + h) − f (x) − Ah||

||h||

= 0.

Uwaga 1. Rozważmy funkcję f : U ⊂ R

m

→ R i niech f będzie różniczkowalna w x. Oznaczmy przez

4x = (4x

1

, . . . 4x

m

) przyrost argumentu funkcji f . Zgodnie z definicją pochodnej Frecheta przyrost

wartości funkcji 4f wyraża się wzorem

4f = f (x + 4x) − f (x) ≈

∂ f

∂x

1

(x)4x

1

+ ... +

∂ f

∂x

m

(x)4x

m

,

a wyrażenie

df (x)(4x) =

∂ f

∂x

1

(x)4x

1

+ ... +

∂ f

∂x

m

(x)4x

m

nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x odpowiadającą przyrostowi argumentu 4x.

Niech wielkości fizyczne x

1

, . . . , x

m

będą związane zależnością z = f (x

1

, . . . , x

m

), gdzie funkcja f ma

ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Ponadto niech 4x

1

, ..., 4x

m

oznaczają odpowiednio błędy

bezwzględne pomiaru wielkości x

1

, ..., x

m

. Wtedy błąd bezwzględny 4

z

obliczeń wielkości z wyraża się

wzorem przybliżonym :

4

z

=





∂ f

∂x

1

(x)





4x

1

+ ... +





∂ f

∂x

m

(x)





4x

m

.

Przykład 2. Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością 4

V

= 0.1cm

3

, a przy

pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością 4

M

= 1g. Objętość ciała zmierzona

tym sposobem wynosi V = 25cm

3

, a masa M = 200g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć

gęstość γ tego ciała ?

W tym przypadku x

1

= M,

x

2

= V,

x = (200, 25) oraz

z(M, V ) =

M

V

,

∂ f

∂M

=

1

V

,

∂ f

∂V

= −

M

V

2

4

z

=





∂ f

∂M

(x)





4

M

+





∂ f

∂V

(x)





4

V

=

4

z

=





1

V

(x)





4

M

+





M

−V

2

(x)





4

V

=

4

z

=





1

25





· 1 +





200

−25

2





· 0.1 = 0.072

Uwaga 2. W przypadku funkcji f : U ⊂ R

m

→ R,

A =

h

∂ f

∂x

1

(x), ...,

∂ f

∂x

n

(x)

i

Macierz tę nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem Grad

x

f . W szczególności

z własności iloczynu skalarnego dla v ∈ R

m

, kvk = 1 mamy

(3)





∂ f

∂~

v

(x)





=





Grad

x

f ? ~

v





¬ kGrad

x

f k · k~

vk ¬ kGrad

x

f k.

Wniosek 2. Dla ~

v =

Grad

x

f

kGrad

x

f k

otrzymamy |

∂ f

∂~

v

(x)| = |Grad

x

f ? ~

v| = ||Grad

x

f ||||~

v|| = ||Grad

x

f ||.

Wniosek 3. .

1. Pochodna kierunkowa w kierunku wektora gradientu jest najwi¸

ekszą liczbą co do wartości

bezwzględnej lub inaczej Kierunek gradientu jest kierunkiem najszybszego wzrostu funkcji.

2

Zakładamy, że dana jest powierzchnia S o równaniu

S =

n

(x, y, z) ∈ U ⊂ R

3

: z = f (x, y),

(x, y) ∈ U ⊂ R

2

o

Ustalmy punkt P

0

(x

0

, y

0

) ∈ U i niech z

0

= f (x

0

, y

0

) , M

0

(x

0

, y

0

, z

0

). Zakładamy że funkcja f jest

różniczkowalna w P

0

.

Definicja 2. Płaszczyzn¸

e o równaniu:

z − z

0

=

∂ f

∂x

(x

0

, y

0

)(x − x

0

) +

∂ f

∂y

(x

0

, y

0

)(y − y

0

)

nazywamy płaszczyzn¸

a styczn¸

a do powierzchni S w punkcie M

0

.

Wniosek 4. Wektor [

∂ f
∂x

(x

0

, y

0

),

∂ f
∂y

(x

0

, y

0

), −1] jest wektorem normalnym tej płaszczyzny w punkcie M

0

.

Rachunek całkowy - wprowadzenie

Niech f : U ⊂ R → R, b¸edzie funkcj¸a określon¸a w przedziale otwartym U = (a, b), −∞ ¬ a < b ¬ ∞.

Każd¸

a funkcj¸

e różniczkowaln¸

a F : U ⊂ R → R tak¸a, że

(4)

F

0

(x) = f (x)

dla

x ∈ U

nazywamy funkcj¸

a pierwotn¸

a do funkcji f .

Jeżeli funkcja f : U ⊂ R → R, ma funkcj¸e pierwotn¸a F w przedziale U = (a, b) to rodzin¸e wszystkich

funkcji pierwotnych dla f (x) nazywamy całk¸

a nieoznaczon¸

a i oznaczamy za Leibnitzem symbolem.

Z

f (x)dx = F(x) + C

gdzie

C ∈ R

Bezpośrednio z liniowości operacji różniczkowania wynika że operacja całkowania jest też operacj¸

a

liniow¸

a tzn.;

Z



αf (x) + βg(x)



dx = α

Z

f (x)dx + β

Z

g(x)dx

gdzie, α, β ∈ R



o ile f , g posiadaj¸

a całki nieoznaczone



.

R

f

0

(x)dx = f (x) + C, gdzie C ∈ R.

Każda funkcja f ci¸

agła w przedziale U = (a, b) ⊂ R posiada w tym przedziale funkcj¸e pierwotn¸a F.

Pokazuje si¸e, że t¸

a funkcj¸

a pierwotn¸

a jest przyrost pola od a do x pod wykresem funkcji f (x).

Niech f , g b¸ed¸

a funkcjami różniczkowalnymi w przedziale U. Zakładamy, że funkcja fg

0

ma funkcj¸e

pierwotn¸

a. Wtedy funkcja f

0

g ma funkcj¸e pierwotn¸

a oraz

(5)

Z

f

0

(x)g(x)dx = f (x)g(x) −

Z

f (x)g

0

(x)dx

Przykład 3.

Z

xe

x

dx = xe

x

−

Z

e

x

dx = xe

x

− e

x

+ C,

gdzie

f

0

(x) = e

x

g(x) = x

f (x) = e

x

g

0

(x) = 1

3

Twierdzenie 3.

Jeżeli funkcja f : (a, b) ⊂ R → R ma funkcj¸e pierwotn¸a F, a funkcja φ : (α, β) ⊂ R → (a, b) ⊂ R jest

różniczkowalna, to funkcj¸

a pierwotn¸

a funkcji f (φ(x))φ

0

(x) jest funkcja F ◦ φ oraz

(6)

Z

f (φ(x))φ

0

(x)dx =

Z

f (y)dy,

gdzie y = φ(x).

Przykład 4.

Z

ln x

x

dx

Dokonamy podstawienia wg. wzoru (6) postaci:

y = φ(x) = ln x

f (x) = x,

i otrzymamy

Z

ln x

x

dx =

Z

ydy =

y

2

2

+ C =



ln x



2

2

+ C

Jeżeli funkcja f jest ci¸

agła w [a, b] ⊂ R , natomiast Φ : [a, b] ⊂ R → R jest dowoln¸a funkcj¸a pierwotn¸a

to symbolem

b

R

a

f (x)dx będziemy oznaczać

(7)

b

Z

a

f (x)dx := Φ(b) − Φ(a)

Liczbę oznaczoną symbolem

b

R

a

f (x)dx nazywamy całką oznaczoną z funkcji f na przedziale [a, b]

1. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] ⊆ R to :

(8)

m(b − a) ¬

Z

b

a

f (x)dx ¬ M(b − a),

dla

x ∈ [a, b],

gdzie

M = sup

x∈[a,b]

f (x)

m = inf

x∈[a,b]

f (x)

2. Każda funkcja ci¸

agła i monotoniczna jest całkowalna.

3. Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] ⊆ R, to |f | jest też całkowalna na [a, b] oraz:





Z

b

a

f (x)dx





¬

Z

b

a

|f (x)|dx

Całka oznaczona - interpretacja fizyczna

• Niech punkt materialny porusza si¸e po płaszczyźnie lub w przestrzeni ze zmienn¸a szybkości¸a

V(t) = | ~

V(t)|. Wtedy droga przebyta przez ten punkt w przedziale czasowym [t

1

, t

2

] wyraża si¸e

wzorem :

Z

t

2

t

1

V(t) dt.

4

• Jeżeli na przedziale [a, b] określona jest funkcja F (x) opisuj¸aca zmienność siły F w trakcie przesu-

wania si¸e punktu jej działania P (x, F (x)) to praca jak¸

a wykona ta siła na odcinku [a, b] jest równa:

Z

b

a

F(x)dx.

Przykład 5. Jaką pracę należy wykonać, aby ciało o masie m podnieść z powierzchni Ziemi na wysokość
h ?

Na wysokości x nad powierzchnią Ziemi na ciało o masie m działa siła grawitacyjna

F (x) =

G · m · M

(R + x)

2

,

gdzie M oznacza masę Ziemi, R jej promień, a G jest stałą grawitacyjną. Zatem praca przy podnoszeniu
ciała na wysokość h wyraża się wzorem

P

h

=

Z

h

0

F(x)dx = G · m · M

Z

h

0

dx

(R + x)

2

= G · m · M

"

−

1

R + x

#

h

0

= G · m · M

1

R

−

1

R + h

!

.

Zastosowanie w chemii

Przykład 6.

Przebieg reakcji chemicznej można opisać nast¸epuj¸

acym równaniem

x

Z

x

0

du

(80 − u)(60 − u)

= kt,

k − stała.

W równaniu tym x = x(t) oznacza ilość kilogramów produktu reakcji po t- minutach oraz x

0

= x(0).

Zakładamy,że w reakcji bior¸

a udział dwie substancje w ilości 80 kg. i 60kg.

1. Przy założeniu, że x = 0 dla t = 0 wyznacz zależność x = x(t).

2. Ile produktu reakcji powstanie po 15 minutach, jeżeli x=20 dla t=10.

Wyznaczamy całkę z funkcji wymiernej rozbijając na ułamki proste

1

(80 − u)(60 − u)

=

−

1

20

(80 − u)

+

1

20

(60 − u)

.

Stąd

Z

du

(80 − u)(60 − u)

= −

1

20

Z

1

(80 − u)

−

1

(60 − u)

!

du

=

1

20

ln





80 − u

60 − u





+ C

1. Ponieważ x(0) = 0 więc

x

Z

0

du

(80 − u)(60 − u)

=

1

20

ln





80 − x

60 − x





−

1

20

ln





4

3





5

Zgodnie z opisem reakcji daje to równanie postaci:

1

20

ln





80 − x

60 − x





−

1

20

ln





4

3





= k · t.

Z równania tego wyznaczamy funkcję x(t)

x(t) =

240(e

20·k·t

− 1)

4e

20·k·t

− 3

.

2. Ponieważ x(10) = 20, więc z powyższej równości dostajemy

k =

1

200

ln

9

8

.

Stąd x(15) ∼

= 26.2 kg.

Zastosowanie całek w statystyce

Każd¸

a funkcj¸e f : R → R spełniającą warunki:

(9)

f (x) ­ 0,

dla

x ∈ R

oraz

+∞

Z

−∞

f (x)dx = 1,

nazywamy gęstością rozkładu.

Jeżeli f jest g¸

estości¸

a to funkcj¸e określon¸

a wzorem

(10)

F(x) =

x

Z

−∞

f (x)dx,

nazywamy dystrybuant¸

a lub rozkładem o g¸

estości f (x) .

Jeżeli badamy określon¸

a zbiorowość (populacj¸

e) ze wzgl¸edu na jak¸

aś cech¸e ( zmienna losowa) X to

używaj¸

ac określenia, że cecha ( zmienna losowa) ma rozkład opisany dystrybuat¸

a F zakładamy, że

wartości cechy ( zmiennej losowej) X mniejsze od x przyjmowane s¸

a w F(x) cz¸eści populacji co zapisujemy

w postaci

F(x) = Pr



X < x



.

Własności funkcji gęstości 1.

Jeżeli gęstość f jest funkcją ciągłą w punkcie x to dystrybuanta F jest funkcją różniczkowalną w tym

punkcie i zachodzi wzór

(11)

F

0

(x) = f (x),

dla

x ∈ R.

Jeżeli zmienna losowa X ma gęstość f , to

Pr(a ¬ X ¬ b) = Pr(a ¬ X < b) = Pr(a < X ¬ b) =

= F(b) − F(a) =

Z

b

a

f (x)dx

oraz

Pr(X = x

0

) = 0

dla

x

0

∈ R.

6

Graficzny obraz związku pomiędzy gęstością a dystrybuantą 1.

.

Zmienna losowa o rozkładzie normalnym 1.

Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład normalny, jeśli

gęstością f tej zmiennej jest funkcja

(12)

f (x) =

1

√

2πσ

e

−

(x−µ)2

2σ2

,

gdzie

σ > 0, µ ∈ R.

Wykresy dystrybuant i gęstości dla różnych wartości parametrów σ i m:

¡5-¿

,

Przykład 7.

Dokonujemy pomiaru pewnej nieznanej wielkości (np.masy, długości, wydajności procesu technolo-

gicznego). Pomiar X zwykle jest obarczony pewnym błędem . Oznaczmy ten błąd przez ε. Najczęściej
pomiar danej wielkości przedstawia się w postaci:

(13)

X = a + ε,

gdzie,

a ∈ R.

W metrologi uzasadnia się, że za błąd ε można przyjąć zmienną losową o rozkładzie normalnym o

gęstości

f

ε

(x) =

1

√

2πσ

e

−

x2

2σ2

,

gdzie parametr σ

2

jest związany z klasą dokładności przyrządu pomiarowego.

Ponieważ pomysł by

pomiar zapisywać w postaci (13) pochodzi od Gaussa dlatego też czasami f

ε

(x) nazywa się funkcją Gaussa.

Przykład 8.

Wyznaczymy stałą A tak, aby funkcja

f (x) =







0

dla

x ¬ 0

5e

−Ax

dla

x > 0

,

była gęstością prawdopodobieństwa.

7

Znajdziemy dystrybuantę F.
Obliczymy prawdopodobieństwo Pr



X > 1



.

1 =

+∞

Z

−∞

f (x) dx = 5

+∞

Z

0

e

−At

dt =

h

−

5

A

e

−At





+∞

0

i

=

5

A

.

Zatem

5

A

= 1

czyli

A = 5.

Mając gęstość łatwo wyznaczamy dystrybuantę F :

F(x) =

x

Z

−∞

f (t) dt = 5

x

Z

0

e

−5t

dt

= 5

h

−

1

5

e

−5t





x

0

i

= −e

−5x

−

h

− e

−5·0

i

= 1 − e

−5 x

Z kolei z własności dystrybuanty otrzymamy:

Pr



X > 1



= 1 − F

X

(1) = 1 −



1 − e

−5·1



= e

−5·1

= e

−5

.

Przykład 9.

Pearson i Lee badali dziedziczenie wybranych cech fizycznych w rodzinach w 1903 roku. W wyniku

tych badań ustalili, że

Pr(τ ) =

1

√

2π

τ −µ

σ

Z

−∞

e

−

x2

2

dx,

gdzie Pr(τ ) informuje o tym jaką część danej populacji rodzin stanowią rodziny w których wzrost matki
nie przekroczy τ cali (1 cal=2.5cm). Przybliżone wartości µ, σ dla danej populacji wynoszą odpowiednio:
µ = 62.484, σ

2

= 5.714 cal

2

.

Jaka przeciętna liczba matek na 100 nie będzie miała wzrostu większego niż 63 cale?

Ponieważ µ = 62.484, σ

2

= 5.714 cal

2

, τ = 63, więc

τ − µ

σ

=

63 − 62.484

√

5.714

= 0.2159.

Z warunków zadania - po dokonaniu odczytu w tablicach dystrybuanty rozkładu normalnego - wynika,

że

Pr(63) =

1

√

2π

0.2159

Z

−∞

e

−

x2

2

dx = 0.587.

Interpretacja: Przeciętnie 59 matek na 100 ma wzrost nie większy niż 63 cale (=157.5 cm.)

Przykład 10. Badając zjawisko trzęsienia ziemi, zaobserwowano, że zachodzi następujący związek :

Y = ce

X

,

gdzie Y jest intensywnością drgań ziemi w pewnym miejscu, X - siłą trzęsienia ziemi, c - współczynnikiem
zależnym od odległości danego miejsca od epicentrum trzęsienia i od doboru jednostki. Zakładając, że X
jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości:

f (x) =







λ e

−λx

dla

x > 0,

0

dla pozostałych

x,

wyznaczyć dystrybuantę intensywności drgań ziemi.

8

Rozpoczniemy od wyznaczenia dystrybuanty zmiennej losowej X ( siły trzęsienia ziemi)

F

X

(x) = λ

x

R

0

e

−λt

dt = λ

h

−

1

λ

e

−λt





x

0

i

=

−e

−λx

− lim

t→0

−e

−λt

= 1 − e

−λx

.

Interpretacja: Prawdopodobieństwo, że siła trzęsienia ziemi w danym miejscu nie przekroczy 3 jednostek

w ustalonej skali (np. Richtera) obliczamy wstawiając do wzoru na dystrybuantę wartość x = 3

F

X

(3) = 1 − e

−3∗λ

.

Zajmiemy się teraz wyznaczeniem dystrybuanty intensywności drgań ziemi. Korzystając z definicji

dystrybuanty dostajemy

F

Y

(x) = Pr



Y < x



= Pr



c · e

X

< x



=

= Pr



ln c + ln



e

X



< ln x



= Pr



X < ln x − ln c



=

= Pr



X < ln

x

c



= F

X



ln

x

c



= 1 − e

−λ·ln



x

c



,

dla x ­ c. Zatem

F

Y

(x) = Pr



Y < x



=







1 −



c

x



λ

dla

x ­ c,

0

dla

x < c,

Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] 1.

Rozkład ten opisany jest za pomocą funkcji gęstości oraz dystrybuanty danych wzorami:

f (x) =







1

b−a

dla

x ∈ [a, b],

0

dla

x 6∈ [a, b].

F(x) =















0

dla

x ¬ a,

x−a

b−a

dla

x ∈ (a, b],

1

dla

x > b.

.

Rozkład ten opisany jest za pomocą funkcji gęstości oraz dystrybuanty danych wzorami:

f (x) =







1

b−a

dla

x ∈ [a, b],

0

dla

x 6∈ [a, b].

F(x) =















0

dla

x ¬ a,

x−a

b−a

dla

x ∈ (a, b],

1

dla

x > b.

Przykład 11. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Zakładamy, że F jest

dystrybuantą ciągła i różnowartościową na zbiorze

n

x ; 0 < F (x) < 1

o

. Pokazać, że zmienna losowa

Y = F

−1



X



ma dystrybuantę równą F (x).

9

F

Y

(y) = Pr



Y < y



= Pr



F

−1

(X) < y



= Pr



X < F (y)



= F (y).

Ten prosty rachunek opisuje metodę generowania liczb pseudolosowych zwaną metodą odwróconej

dystrybuanty . Wyobraźmy sobie, że mamy liczby pseudolosowe x

1

, . . . , x

n

wygenerowane z rozkładu jed-

nostajnego na odcinku [0, 1], to wtedy liczby postaci

y

1

= F

−1



x

1



, . . . , y

n

= F

−1



x

n



są liczbami pseudolosowymi wygenerowanymi z rozkładu F .

ZADANIE 1. Wyznacz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji;

y = x

2

oraz

y = x

1
2

Rozwi¸

azuj¸

ac układ równań

(

y − x

2

= 0

y

2

− x = 0

otrzymamy P

1

(0, 0), P

2

(1, 1). St¸

ad pole jest równe:

Z

1

0

x

1
2

dx −

Z

1

0

x

2

dx =

h

2

3

x

3
2

i




1

0

−

h

1

3

x

3

i




1

0

=

h

2

3

(1)

3
2

−

2

3

(0)

3
2

i

−

h

1

3

(1)

3

−

1

3

(0)

3

i

=

2

3

−

1

3

=

1

3

ZADANIE 2. Obliczyć obj¸

etość kuli .

Objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji ciągłej y = f (x) tzn. {(x, y) : y = f (x)

x ∈

[a, b]} dookoła osi 0X wyraża się wzorem

V = π

Z

a

b

[f (x)]

2

dx.

U nas obracamy wykresem funkcji f (x) =

√

R

2

− x

2

V

= π

Z

R

−R



√

R

2

− x

2



2

dx = π

Z

R

−R



R

2

− x

2



dx

= π



R

2

x −

x

3

3






R

−R

= 2



πR

3

−

πR

3

3



=

4

3

πR

3

.

ZADANIE 3. Obliczyć długość łuku krzywej

y =

√

1 − x

2

,

gdzie

x ∈

h

0,

1

2

i

.

Długość krzywej Γ = {(x, y) : y = f (x)

x ∈ [a, b]} wyraża się wzorem

|Γ| =

b

R

a

q

1 + [f

0

(x)]

2

dx. U nas f

0

(x) =

−x

√

1−x

2

zatem

|Γ| =

1
2

Z

0

v
u
u
t

1 +

−x

√

1 − x

2

!

2

dx

1
2

Z

0

dx

√

1 − x

2

=

h

arc sin x

i

1
2

0

=

π

6

.

10

Całka podwójna

Wstęp 1. Niech dana b¸

edzie funkcja f (x, y) w obszarze domkni¸

etym D ⊂ R

2

. Dzielimy obszar

D na n podobszarów D

1

, D

2

, . . . , D

n

domkni¸

etych, z których każda para nie ma wspólnych punktów

wewn¸

etrznych. Pola tych obszarów oznaczamy odpowiednio przez ∆

1

, ∆

2

, . . . , ∆

n

. Wybieramy dowolne

punkty

(a

1

, b

1

) ∈ D

1

, (a

2

, b

2

) ∈ D

2

, . . . , (a

n

, b

n

) ∈ D

n

.

Tworzymy sum¸

e całkow¸

a

σ

n

= f (a

1

, b

1

)∆

1

+ f (a

2

, b

2

)∆

2

+ . . . + f (a

n

, b

n

)∆

n

.

Uwaga 3. Suma całkowa jest przybliżeniem obj¸

etości bryły B leż¸

acej w cz¸

eści walca o podstawie D

ograniczonej od góry powierzchni¸

a z = f (x, y).

Niech

δ

n

= max



δ(D

1

), δ(D

2

), . . . , δ(D

n

)



,

gdzie symbol δ oznacza średnic¸

e. Liczb¸

e δ

n

nazywamy średnic¸

a podziału obszaru D na podobszary

D

1

, D

2

, . . . , D

n

.

Definicja

3. Jeżeli istnieje lim

n→∞

σ

n

przy średnicy podziału d¸

aż¸

acej do 0 i nie zależy od sposobu

podziału obszaru D na podobszary oraz od wyboru punktów (a

i

, b

i

) w tych podobszarach , to t¸

e

granic¸

e nazywamy całk¸

a podwójn¸

a z funkcji f w obszarze D i oznaczamy symbolem

Z Z

D

f (x, y)dxdy

Twierdzenie 4.

• Funkcja ci¸

agła w obszarze domkni¸

etym i ograniczonym jest całkowalna w tym ob-

szarze.

• Jeżeli obszar D jest sum¸

a obszarów domkni¸

etych D

0

i D

00

nie maj¸

acych wspólnych punktów wew-

n¸

etrznych, to

(14)

ZZ

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

D

0

f (x, y)dxdy +

Z Z

D

00

f (x, y)dxdy

Twierdzenia Fubiniego; Całki iterowane

Definicja 4. Obszar D

x

nazywamy normalnym wzgl¸

edem osi 0X, jeżeli można go zapisać w postaci:

D

x

= {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}

Twierdzenie 5. Niech f (x, y) b¸

edzie funkcj¸

a ci¸

agł¸

a w obszarze D

x

. Wtedy

ZZ

D

x

f (x, y)dxdy =

b

Z

a

h(x)

Z

g(x)

f (x, y)dy

!

dx

Definicja 5. Obszar D

y

nazywamy normalnym wzgl¸

edem osi 0Y , jeżeli można go zapisać w postaci:

D

y

= {(x, y) : c ¬ y ¬ d, r(y) ¬ x ¬ s(y)}

Twierdzenie 6. Niech f (x, y) b¸

edzie funkcj¸

a ci¸

agł¸

a w obszarze D

y

. Wtedy

Z Z

D

y

f (x, y)dxdy =

d

Z

c

s(y)

Z

r(y)

f (x, y)dx

!

dy.

11

Uwaga 4. Obszar, który jest sum¸

a skończonej ilości obszarów normalnych nazywamy obszarem

regularnym

ZADANIE 4. Obliczyć

ZZ

D

2y dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe

y =

√

x, y = 0, x + y = 2.

D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, y

2

¬ x ¬ 2 − y}

Z Z

D

2y dxdy = 2

1

Z

0

2−y

Z

y

2

y dx

!

dy = 2

1

Z

0

yx





2−y

y

2

!

dy =

2

1

Z

0

y(2 − y) − yy

2

!

dy = 2

1

Z

0

2y − y

2

− y

3

!

dy =

2

y

2

−

1

3

y

3

−

1

4

y

4

!






1

0

=

5

6

ZADANIE 5. Obliczyć obj¸

etość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 0, y = 1, z = x

2

+ y

2

, y = x

2

.

U nas f (x, y) = x

2

+ y

2

. Z kolei obszarem całkowania to

D = {(x, y) : −1 ¬ x ¬ 1, x

2

¬ y ¬ 1}

RR

D

(x

2

+ y

2

) dxdy =

1

R

−1

1

R

x

2

(x

2

+ y

2

) dy

!

dx =

1

R

−1

x

2

y +

1
3

y

3





1

x

2

!

dx =

1

R

−1

x

2

+

1
3

− x

4

−

1
3

x

6

!

dx =

"

−

1

21

x

7

−

1
5

x

5

+

1
3

x

3

+

1
3

x

#






1

−1

=

"

−

1

21

−

1
5

+

1
3

+

1
3

#

−

"

1

21

+

1
5

−

1
3

−

1
3

#

=

88

105

.

Zamiana zmiennych w całce podwójnej

Definicja 6. Jeżeli funkcje x = x(u, v) oraz y = y(u, v) posiadaj¸

a pochodne cz¸

astkowe

∂x
∂u

,

∂x
∂v

,

∂y
∂u

,

∂y
∂v

, to

jakobianem nazywamy wyrażenie

J(u, v) = det

"

∂x
∂u

,

∂x
∂v

∂y
∂u

,

∂y
∂v

#

Twierdzenie 7. Niech funkcje x = x(u, v), y = y(u, v) s¸

a określone w zbiorze A ⊂ R

2

. Załóżmy, że od-

wzorowanie (u, v) → (x(u, v), y(u, v)) jest różnowartościowe, obrazem obszaru A poprzez to odwzorowanie
jest obszar D oraz J(u, v) 6= 0. Jeżeli dodatkowo założymy, że pochodne cz¸

astkowe

∂x
∂u

,

∂x
∂v

,

∂y
∂u

,

∂y
∂v

, s¸

a ci¸

agłe

wewn¸

atrz obszaru A, to dla funkcji f (x, y) ci¸

agłej w obszarze regularnym D zachodzi nast¸

epuj¸

acy wzór

ZZ

D

f (x, y)dxdy =

ZZ

A

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv

12

ZADANIE 6. Obliczyć:

Z Z

D

x

2

q

x

2

+ y

2

dσ

na obszarze

D = {(x, y) : 0 ¬ x ∧ 0 ¬ y ∧

q

x

2

+ y

2

¬ R}

Wprowadźmy nowe zmienne (przekształcenie)

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ

|J(ϕ, r)| = r.

Przekształcenie odwzorowuje 1 − 1 wn¸etrze prostok¸

ata

A =

(

(r, ϕ) : 0 ¬ r ¬ R ∧ 0 ¬ ϕ ¬

π

2

)

na obszar

D.

RR

D

x

2

√

x

2

+ y

2

dxdy =

RR

A

r

2

cos

2

ϕ

√

r

2

cos

2

ϕ + r

2

sin ϕ r drdϕ =

=

RR

A

r

4

cos

2

ϕ drdϕ =

R

R

0

r

4

π

2

R

0

cos

2

ϕ dϕ

!

dr =

R

R

0

r

4

"

ϕ

2

+

1
4

sin 2ϕ

#






π

2

0

dr =

=

π

4

R

R

0

r

4

dr =

πR

5

20

13