2010-10-05

1

EKONOMETRIA 1

wykład 1

dr Beata Madras-Kobus

Zaliczenia na 4+ i 5 są równoważne 

ze zdanym egzaminem z taką sama 

oceną.

Do egzaminu nie są dopuszczone 

b któ

i

k ł

li

i

osoby, które nie uzyskały zaliczenia 

ćwiczeń!

Egzamin odbędzie się w formie 

testu. Pytania zamknięte i otwarte.

2

Literatura

¾Anholcer M., Gaspars H., Owczarkowski A., Przykłady i zadania z

badań operacyjnych i ekonometrii, Wyd. AE w Poznaniu, Poznań
2003.

¾Buga J., Nykowski I., Zagadnienie transportowe w programowaniu

liniowym, PWN, Warszawa 1974.

¾Busłowski

A.,

Stabilność

rozwiązania

optymalnego

zadania

programowania liniowego, UwB, Białystok 2000.

3

p g

g ,

,

y

¾Gruszczyński M., Podgórska M. (red.), Ekonometria, SGH, Warszawa

2004.

¾Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska M., Ekonometria i badania

operacyjne. Podręcznik dla studiów licencjackich., PWN, Warszawa
2009.

¾Jędrzejczak Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania

operacyjne w przykładach i zadaniach., PWN, Warszawa 2006.

¾Nowak E., Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań., PWN, Warszawa

2006.

Ekonometria ‐ definicje

•

Nauka społeczna, w której narzędzia teorii ekonomii,
matematyki

i

wnioskowania

statystycznego

są

wykorzystywane

do

analizy

zjawisk

ekonomicznych

(Goldberger [1975]).

•

Nauka

zajmująca

się

empiryczną

weryfikacją

praw

ekonomicznych (Theil [1979]).
N

k

i

t k

t

i

t d

t t t

h d

•

Nauka i sztuka stosowania metod statystycznych do
mierzenia relacji ekonomicznych (Chow [1995]).

•

Nauka zajmująca się specyficznymi metodami statystycznymi
pozwalającymi badać związki, jakie występują między
różnymi wielkościami ekonomicznymi, tj. popyt, podaż,
cena, dochód itp. (Sadowski [1997]).

•

Podstawowym

pojęciem

w

ekonometrii

jest

model

ekonometryczny (Frisch [1926]).

4

Ekonometria a inne dziedziny

Z określenia ekonometrii wynika, że stanowi ona

połączenie teorii ekonomii, ekonomii matematycznej,
statystyki ekonomicznej i statystyki matematycznej.
Jest to jednak dziedzina odrębna. Mimo znacznego
związku z teorią i metodami wypracowanymi w innych
dyscyplinach ekonometria posiada własną teorię i

dyscyplinach, ekonometria posiada własną teorię i
metodologię.

Podstawy

klasycznej

ekonometrii

powstały w latach 40 i 50‐tych minionego wieku.
Współczesna ekonometria rozwija się nadal, starając
się odpowiadać na najpilniejsze pytania nauki
ekonomii i praktyki gospodarczej

Model ekonometryczny

Podstawowym narzędziem ekonometrii jest

model ekonometryczny. Jest to równanie lub
zestaw równań opisujących relacje między
wybranymi

zmiennymi

(kategoriami)

ekonomicznymi Co najmniej jedno z równań

ekonomicznymi. Co najmniej jedno z równań
modelu ekonometrycznego jest równaniem
stochastycznym,

czyli

zawierającym

tzw.

składnik losowy.

2010-10-05

2

MODELE

deterministyczne

stochastyczne

programowanie

matematyczne

e

yc e

programowanie

liniowe

wnioskowanie

statystyczne

Formułowanie problemów decyzyjnych

W zależności od rodzaju działalności jednostka podejmująca

decyzje, może się znaleźć w różnych sytuacjach, w których
musi ustalić np.:

™ taki plan produkcji uzyskanej z wykorzystaniem dostępnych

środków, przy którym przychód uzyskany ze sprzedaży

bó b d i j k

j i k

wyrobów będzie jak największy;

™ taki plan rozwozu produktów, aby przy możliwie niskim

koszcie wykorzystać podaż dostawców i zaspokoić popyt
odbiorców;

™ taki harmonogram prac, aby – przy zachowaniu pewnej

kolejności wykonywania czynności – całe przedsięwzięcie
zakończyć w możliwie krótkim czasie.

Nie dysponując dowolną, lecz ograniczoną

ilością

środków,

powinniśmy

tak

nimi

dysponować, aby cel, na którym nam zależy,
zrealizować w jak najwyższym stopniu.
Podjęcie decyzji sprowadza się więc do

t l

i

któ

ś dki i

j ki h il ś i h

ustalenia, które środki i w jakich ilościach
należy zaangażować. Gdy istnieje więcej niż
jeden wariant decyzji, mamy do czynienia z
problemem decyzyjnym.

Decyzję najlepszą do podjęcia w danej

sytuacji, to znaczy najlepszą z punktu
widzenia przyjętego celu i przy uwzględnieniu
istniejących ograniczeń nazywamy decyzją

istniejących ograniczeń, nazywamy decyzją
optymalną.

W każdej sytuacji decyzyjnej pewne decyzje są

możliwe do realizacji, takie decyzje będą nazywane
dopuszczalnymi. Pewne inne decyzje zaś są
niemożliwe do realizacji, takie decyzje będą
nazywane niedopuszczalnymi. Decyzje dopuszczalne
tworzą zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych

ą

ą

(

y j )

p

y

(ZRD). To czy dana decyzja jest dopuszczalna czy jest
niedopuszczalna

zależy

od

warunków

ograniczających

narzuconych

przez

sytuację

decyzyjną.

Po

odpowiednim

„przetłumaczeniu”

problemu

decyzyjnego

na

język

matematyczny otrzymujemy model tego
problemu i na jego podstawie wyznaczamy
decyzję optymalną. Taki model nazywa się

d l

d

j

l b

d l

modelem

decyzyjnym

lub

modelem

optymalizacyjnym. Kryterium według którego
ocenia się decyzje nosi nazwę kryterium
wyboru.

2010-10-05

3

Metody wyznaczania optymalnych decyzji

należą do dziedziny, która nosi nazwę badań
operacyjnych.

Badania

operacyjne

wykorzystują

modele

programowania

matematycznego (PM), a szczególnie ich

matematycznego (PM), a szczególnie ich
podklasę,

mianowicie

zadania

programowania liniowego (PL).

Modelowanie decyzji

Warunki, w jakich podejmowane są decyzje,

nie pozwalają na wybór dowolnej decyzji,
ponieważ musi być ona zgodna z warunkami
ograniczającymi. W świetle celów, jakie sobie
stawia decydent jedne decyzje mogą być

stawia decydent, jedne decyzje mogą być
lepsze,

a

inne

gorsze.

Wybór

decyzji

optymalnej wymaga przyjęcia określonego
kryterium, według którego oceniamy decyzje
jako lepsze lub gorsze.

Programowanie matematyczne

k  zmiennych decyzyjnych  x

1

, ..., x

k 

(

)

max

,...,

1

→

k

x

x

f

przy ogr.

(

)

0

,...,

1

1

≤

k

x

x

g

(

)

( )

max

f

→

x

( )

0

1

≤

x

g

przy ogr.

15

(

)

0

,...,

1

2

≤

k

x

x

g

(

)

0

,...,

1

≤

k

m

x

x

g

( )

1

g

( )

0

2

≤

x

g

( )

0

≤

x

m

g

( )

( )

{

}

0

,...,

0

:

1

≥

≥

ℜ

∈

=

x

x

x

m

k

g

g

D

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych: 

Rodzaje rozwiązań

¾program sprzeczny: D= ∅ (nie ma z czego wybierać)

¾rozwiązanie nieskończone: (D ≠ ∅ oraz dla każdej 

liczby r istnieje x ∈

D t.że f(x)>r, czyli funkcja 

celu nie posiada maksimum na zbiorze rozwiązań 
dopuszczalnych (dąży do + ∞) –

D jest za mało 

ograniczony)

¾

i

i j d

(j d

)

¾rozwiązanie jednoznaczne (jedyne)
¾rozwiązanie niejednoznaczne (istnieje więcej niż

jedno rozwiązanie optymalne – dla nich wszystkich
wartość funkcji celu jest taka sama).

Uwaga: Szukanie najmniejszej wartości funkcji celu f jest 
równoważne szukaniu największej wartości funkcji –f:

( )

( )

max

f

min

f

→

−

⇔

→

x

x

16

Program liniowy ‐ PL

PL jest to program matematyczny, w którym funkcja celu i 
wszystkie ograniczenia są funkcjami liniowymi:

max

x

c

...

x

c

k

k

1

1

→

+

+

przy ogr.

1

k

k

1

1

11

b

x

a

...

x

a

≤≥=

+

+

17

m

k

mk

1

1

m

1

k

k

1

1

11

b

x

a

...

x

a

≤≥=

+

+

0

x

,...,

0

x

k

1

≥

≥

[

]

k

1

x

,...,

x

=

T

x

wektor zmiennych decyzyjnych

[

]

k

1

c

,...,

c

=

T

c

wektor parametrów funkcji celu

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎡

=

k

1

11

a

...

a

A

macierz parametrów 

ograniczeń stojących przy

⎥

⎥
⎦

⎢

⎢
⎣

=

kk

1

k

a

...

a

A

ograniczeń stojących przy 

zmiennych decyzyjnych

[

]

m

1

b

,...,

b

=

T

b

wektor wyrazów wolnych ograniczeń

2010-10-05

4

Przykład

Możemy podjąć jedną z trzech decyzji

inwestycyjnych. Nakłady inwestycyjne oraz
oczekiwany roczny zysk osiągnięty z tych
inwestycji przedstawiono poniżej Która z

inwestycji przedstawiono poniżej. Która z
trzech decyzji jest optymalna?

Decyzje

A

B

C

Nakłady inwestycyjne
(w mln zł)

40

50

30

Zyski (w mln zł)

8

4

6

Na pytanie to nie możemy odpowiedzieć, gdyż

nie

zostało

określone

żadne

kryterium

wyboru. Natomiast gdy kryterium oceny
będzie minimalizacja nakładów, to najlepszą
decyzją jest decyzja C. Gdy jako kryterium

b

j i

k

li

j

k

t

wyboru przyjmiemy maksymalizację zysku, to
najlepszą decyzją jest decyzja A. W przypadku
maksymalizacji stopy zysku najlepsze są
decyzje A i C.

Budowanie zadania PL

Proces budowy modelu służącego do wyznaczania decyzji

optymalnej przy ograniczonej swobodzie wyboru można ująć
w następujące etapy:

™ zdefiniowanie pojęcia decyzji (c);
™ zdefiniowanie zbioru D decyzji możliwych do podjęcia –

decyzje dopuszczalne;

™ określenie sposobu oceny poziomu realizacji celu przez każdą

decyzję, jakiemu mają służyć te decyzje;

™ określenie pojęcia decyzji optymalnej ze względu na zadany

cel i ustalony sposób oceny poziomu jego realizacji;

™ wybór decyzji optymalnej.

Przykład

Przedsiębiorstwo

może

wytwarzać

dwa

wyroby,

używając

w

tym

celu

dwóch

surowców. Normy zużycia, limity surowca,
ceny produktów podaje tabela

ceny produktów podaje tabela.

Wyroby

Surowiec

Ceny

I

II

1
2

8
4

6
9

18
15

Limit

52

69

2010-10-05

5

Decydent ma określić, produkcję których

wyrobów i w jakiej wysokości podjąć, aby
przychód uzyskany ze sprzedaży był możliwie
wysoki Sformułować odpowiednie zadanie

wysoki. Sformułować odpowiednie zadanie
decyzyjne.

Zmienne decyzyjne

:

¾x

1

– ilość wyrobu 1;

¾x

2

– ilość wyrobu 2.

Parametry:

Wszystkie parametry zadania podane są w 

tabeli.

Warunki ograniczające

:

¾ Dwa czynniki (surowce) ograniczają rozmiary produkcji.

Weźmy surowiec I. Jeżeli przedsiębiorstwo wytworzy x

1

jednostek wyrobu 1 oraz x

2

jednostek wyrobu 2, to łączne

zużycie surowca 1 wyniesie: 8x

1

+ 4x

2

jednostek. Z uwagi na

to, że limit surowca I wynosi 52 jednostki, odpowiedni

warunek ograniczający ma postać nierówności:

8x

1

+ 4x

2

≤ 52.

1

2

¾ Podobne rozważania w odniesieniu do surowca II prowadzą

do nierówności:

6x

1

+ 9x

2

≤ 69.

¾ Oczywiście, przedsiębiorstwo albo będzie wytwarzać wyrób

1, albo nie będzie go wytwarzać wcale.

¾ Zatem x

1

≥ 0.

¾ Analogicznie x

2

≥0.

Funkcja kryterium:

Przy

założeniu,

że

cała

produkcja

jest

sprzedawana,

przychód

ze

sprzedaży

x

1

jednostek wyrobu 1 oraz x

2

jednostek wyrobu

2 wynosi 18x

1

+ 15x

2

złotych. Celem

y

1

2

y

decydenta jest maksymalizacja przychodu.

Zadanie decyzyjne:

Zadanie ma następującą postać:

f

c

: 18x

1

+ 15x

2

→ max

p.o.: 8x

1

+ 4x

2

≤ 52

p.o.: 8x

1

+ 4x

2

≤ 52

6x

1

+ 9x

2

≤ 69

x

1

≥ 0; x

2

≥ 0

W

sformułowanym

zadaniu

zarówno

warunki

ograniczające jak i funkcja celu są liniowe. Jest to
więc liniowe zadanie decyzyjne

2010-10-05

6

Matematyczny

model

problemu

optymalnego

wyboru jest

zadaniem programowania liniowego,

jeśli spełnia następujące warunki:

•

dowolną decyzję można wyrazić za pomocą wektora x o „k”

składowych

x=[x

1

x

2

... x

k

]

T

∈ R

k

i k

≥ 2

składowe x

1

, ... , x

k

decyzji c nazywamy zmiennymi

1

k

y j

y

y

y

decyzyjnymi;

•

zmienne decyzyjne muszą być liczbami nieujemnymi (spełniać

warunki nieujemności)

x

1

≥ 0, ... , x

k

≥ 0

•

ocena jakości decyzji dokonuje się za pomocą tzw. funkcji celu,
która

jest

funkcją

liniową

zmiennych

decyzyjnych

(składowych decyzji c)

f

c

: c

1

x

1

+ c

2

x

2

+ ... + c

k

x

k

•

każdy z warunków ograniczający swobodę wyboru

(definiujący zbiór D) różny od warunku nieujemności jest

nierównością lub równaniem liniowym nałożonym na

zmienne decyzyjne:

a

i1

x

1

+ a

i2

x

2

+ ... + a

ik

x

k

(

≤=) b

i

dla i=1, ... , m;

gdzie „m” oznacza liczbę tych warunków

•

w zbiorze D szukamy decyzji co wyznaczającej największą
(maksymalną) albo najmniejszą (minimalną) wartość
funkcji celu f w zależności od sformułowanego problemu.
Taką decyzję, o ile istnieje, nazywamy decyzją optymalną i
stanowi ona rozwiązanie sformułowanego problemu
wyboru.

Zadania programowania liniowego dotyczą

najczęściej

następujących

przejawów

działalności ekonomicznej:

™ustalenia wielkości i struktury produkcji
™problemu diety

p

y

™zagadnienia transportowego
™problemu rozkroju itp.