MECHANIKA BUDOWLI

Wykład 2:

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI

Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber

Twierdzenie o wzajemności prac

Plan wykładu

1. Informacje wstępne
2. Twierdzenie o wzajemności prac
3. Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
4. Twierdzenie o wzajemności reakcji
5. Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń

Twierdzenie o wzajemności prac

Informacje wstępne

W zapisie przemieszczeń i reakcji używamy dwóch indeksów np.
dla ∆

ij

notacja jest następująca:

 pierwszy indeks czyli i określa miejsce gdzie występuje dana

wielkość (przemieszczenie lub reakcja),

 drugi indeks czyli j oznacza przyczynę ją wywołującą

(przemieszczenie lub reakcja).

∆

ij

oznacza przemieszczenie punktu i belki wywołane

siłą P działającą w punkcie j belki.

j

Twierdzenie o wzajemności prac

Informacje wstępne

 Stosowane oznaczenia przemieszczeń i reakcji, które

występują w poniższych wzorach i twierdzeniach.

Twierdzenie o wzajemności prac

Informacje wstępne

 Miejsce i kierunek i, w którym definiowane jest

przemieszczenie lub reakcja może oznaczać konkretne
miejsce i kierunek lub też

sumę określonych

przemieszczeń i reakcji.

Zilustrowano to poniżej:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Informacje wstępne

Zakładamy, że układy prętowe:
 zbudowane są z materiału sprężystego spełniającego prawo

Hooke'a tj. liniowa zależność pomiędzy naprężeniem, a
odkształceniem,

 warunki kinematyczne układu nie ulegają zmianie w trakcie

obciążenia (układ Clapeyrona – liniowo sprężysty)

Twierdzenie o wzajemności prac.

Informacje wstępne

 Podobnie można określić pozostałe odkształcenia:

• kątowe

∆𝒅𝝋 wywołane momentem zginającym M,

• podłużne

∆𝒅𝒔 wywołane siłą podłużną N,

• postaciowe

∆𝒅h wywołane siłą tnącą T.

gdzie potrzebne są następujące dane:

E - moduł Young’a np. E = 205GPa dla stali,

G - moduł Kirchoff’a G = [ E / 2(1+v) ] = 80 GPa dla stali

v – współczynnik Poisson’a v = 0.3 dla stali,

A - pole przekroju poprzecznego pręta,

J - moment bezwładności przekroju pręta względem osi obojętnej.

Twierdzenie o wzajemności prac

Informacje wstępne

 κ to współczynnik uwzględniający

nierównomierności

rozkładu naprężeń stycznych

w przekroju belki

(zależny od kształtu przekroju poprzecznego)

 Wyznacza się ze wzoru:

gdzie:
S - moment statyczny odciętej części przekroju względem osi obojętnej,
b – szerokość pręta (w ogólnym przypadku zmienna po wysokości).

 Współczynnik κ dla różnych kształtów:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

 Podstawowe twierdzenie o wzajemności prac jest tw. Bettiego

(I tw. o wzajemności).

• Rozpatrujemy dwa stany obciążeń działających na układ prętowy.

Pierwszy stan oznaczamy indeksem "i" a drugi stan indeksem "j"

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

• Oznaczmy przez

𝑃

𝑛𝑖

oraz

𝑅

𝑟𝑖

siły i reakcje działające w układzie "i",

a przez

𝑀

𝑖

,

𝑇

𝑖

,

𝑁

𝑖

oraz

∆𝑑𝜑

𝑖

,

∆𝑑ℎ

𝑖

i

∆𝑑𝑠

𝑖

odpowiadające im siły

przekrojowe i odkształcenia. Wielkościami

∆

𝑛𝑗

i

∆

𝑟𝑗

oznaczamy

przemieszczenia w układzie „j” występujące w miejscu i kierunku
siły oraz reakcje układu „i”.

• Oznaczmy przez

𝑃

𝑘𝑗

oraz

𝑅

𝑟𝑗

siły i reakcje działające w układzie

„j", a przez

𝑀

𝑗

,

𝑇

𝑗

,

𝑁

𝑗

oraz

∆𝑑𝜑

𝑗

,

∆𝑑ℎ

𝑗

i

∆𝑑𝑠

𝑗

odpowiadające im siły

przekrojowe i odkształcenia. Wielkościami

∆

𝑘𝑖

i

∆

𝑟𝑖

oznaczamy

przemieszczenia w układzie „i” występujące w miejscu i kierunku
siły oraz reakcje układu „j”.

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

• Traktując układ sił i przemieszczeń układu "i" jako obciążenie i

przemieszczenie wirtualne dla układu "j" z zasady prac wirtualnych

otrzymuje się:

• Równanie pierwsze można traktować jako pracę wirtualnych obciążeń i

sił przekrojowych układu "i" na rzeczywistych przemieszczeniach i

odkształceniach układu "j" (II zasada prac wirtualnych), natomiast

równanie drugie traktujemy jako pracę rzeczywistych obciążeń i sił

przekrojowych układu "j" na wirtualnych przemieszczeniach i

odkształceniach układu "i" (I zasada prac wirtualnych).

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

• Biorąc pod uwagę zależności

powyższe równania przyjmują postać:







Zauważmy, że prawe strony w powyższych równaniach są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

Stąd otrzymuje się tw. Bettiego o wzajemności prac

(I tw. o wzajemności).

Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne od siebie
układy obciążeń, spełniające warunki równowagi, to praca obciążeń
jednego układu wykonywana na przemieszczeniach wywołanych
drugim układem obciążeń jest równa pracy obciążeń drugiego układu
wykonywanej na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem
obciążeń.

Przykłady:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności prac

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń

• Z tw. Bettiego wynika drugie twierdzenie o wzajemności.

Zakłada się, że zarówno w układzie "i" jak i "j" podpory nie
ulegają przesunięciom, a więc

∆

𝑟𝑖

= 0 i ∆

𝑟𝑗

= 0 (dla wszystkich r)

i w obu układach występują tylko siły jednostkowe:

𝑃

𝑛𝑖

= 1

𝑛𝑖

i

𝑃

𝑘𝑗

= 1

𝑘𝑗

.

Wówczas z równania otrzymuje się:

Ponieważ

Zgodnie z wcześniej przyjętymi oznaczeniami ma formę:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń

Zależność:

stanowi

tw. Maxwella o wzajemności przemieszczeń:

Przemieszczenie w miejscu "i" wywołane jednostkowym
obciążeniem działającym w miejscu "j" jest równe przemieszczeniu
w miejscu "j" wywołanemu jednostkowym obciążeniem działąjącym
w miejscu "i".

Przykład nr1:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń

Przykład nr2.

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji

• Z tw. Bettiego wynika trzecie twierdzenie o wzajemności.

Rozpatrzmy sytuację, gdy w obu stanach "i" oraz "j" siły
są równe zeru, a więc

𝑃

𝑛𝑖

= 𝑃

𝑘𝑗

= 0 dla wszystkich n oraz

k, natomiast w obu stanach obciążenie stanowią
jednostkowe przemieszczenia podpór, a więc

∆

𝑟𝑖

= 1

𝑟𝑖

i

∆

𝑟𝑗

= 1

𝑟𝑗

przynajmniej dla niektórych r w każdym stanie.

Z twierdzenie Bettiego orzymuje się:



Zgodnie z wcześniej przyjętymi oznaczeniami ma formę:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji

Zależność:

stanowi

tw. o wzajemności reakcji – tw. Rayleigha

.

Reakcja w miejscu i na kierunku "i" wywołana jednostkowym
przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku "j" jest równa
reakcji w miejscu i na kierunku "j" wywołanej jednostkowym
przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku "i"

.

Przykład nr1:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji

Przykład nr2:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji

Przykład nr3:





Przykład nr4:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń

• Ostatnie twierdzenie o wzajemności. W stanie i obciążenie

stanowią siły jednostkowe

𝑃

𝑛𝑖

= 1

𝑛𝑖

, (przynajmniej dla jednego

n), a

∆

𝑟𝑖

= 0 (dla wszystkich r), zaś w stanie j obciążenie stanowią

jednostkowe przemieszczenia

∆

𝑟𝑗

= 1 (przynajmniej dla jednego

r), a wszystkie

𝑃

𝑛𝑖

= 0.

Z twierdzenie Bettiego otrzymuje się:



Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zależność ma postać:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń

Zależność

Stanowi twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji.
Przemieszczenie w miejscu i na kierunku "i" wywołane
jednostkowym przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku
"j" jest równe ze znakiem przeciwnym reakcji w miejscu i na
kierunku "j" wywołanej jednostkowymi siłami działającymi w
miejscu i na kierunku "i".
Przykład 1:

Twierdzenie o wzajemności prac.

Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń

Przykład 2: