MECHANIKA BUDOWLI

Wykład 1:

ZASADY PRAC WIRTUALNYCH

Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber

Zasady prac wirtualnych

Plan wykładu

1. Informacje podstawowe nt. płaskich ustrojów prętowych,
2. I zasada prac wirtualnych,
3. II zasada prac wirtualnych,
4. Wnioski

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

 Pręt jest takim dźwigarem, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie

większy w porównaniu z pozostałymi L>b,h.

 Konstrukcja (ustrój) składający się z prętów nazywamy prętowym.
 Gdy pręty leżą w jednej płaszczyźnie to nazywamy go płaskim ustrojem

prętowym.

Materiał zawarty w zakresie wykładów ograniczony jest do płaskich układów
prętowych.

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

Układy prętowe dzielimy na:

kratownice

układy ramowe (belki, ramy, łuki)

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

W kratownicach:

 wszystkie pręty połączone są przegubowo,
 siły zew. i ciężar własny w węzłach,
 w prętach występują siły podłużne (osiowe).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

W układach ramowych:

 wszystkie pręty prostoliniowe lub zakrzywione,
 siły zew. i ciężar własny w węzłach i na prętach,
 w prętach występują momenty zginające, siły podłużne (osiowe) i

poprzeczne (tnące).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• Siły powierzchniowe:

 czynne (działające na układ niezależne

siły zewnętrzne),

 bierne

(reakcje, będące wynikiem
działania sił czynnych).

• Obciążenia:

 rozłożone (ciągłe),
 skupione (punktowe)

- obciążenie na małym obszarze

.

• Natura obciążeń:

 mechaniczne

– (ciężar własny, siły, momenty),

 niemechaniczne

– (temperatura, osiadanie,

błędy montażu).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

W zakresie przedmiotu mechanika budowli jest wyznaczanie dla układów
konstrukcyjnych będących idealizacją rzeczywistych konstrukcji podanych
działaniu obciążeń mechanicznych i nie mechanicznych:

 sił przekrojowych - wewnętrznych w konstrukcji (momenty

zginające, sił poprzeczne i podłużne) oraz reakcji podporowych
od działającego obciążenia,

 przemieszczeń konstrukcji od działającego obciążenia

Schemat statyczny

Wykres przemieszczeń


Wykres momentów zginających

Ustroje prętowe, które rozważamy w MB i jakie projektujemy jako
konstrukcje budowlane są geometrycznie niezmienne (GN) – nie są
mechanizmami. Mogą być SW i SN (przesztywnione).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

Układy prętowe dzielimy na:

 statycznie wyznaczalne (SW),

Układy prętowe SW można rozwiązać wyznaczając reakcje podporowe i
siły przekrojowe z warunków równowagi.

 statycznie niewyznaczalne (SN).

Układy prętowe SN nie można rozwiązać korzystając z warunków równowagi.

Konieczne jest zastosowanie specjalnych metod
np. Metoda sił, Metoda przemieszczeń, Metoda Elementów Skończonych itd.

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

 Przykłady układów SW i SN a) belki, b) ramy, c) kratownicy.

SW

SN

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtulalnych

Zasady prac wirtualnych są podstawowymi zasadami mechaniki
budowli, które stanowią fundament innych zasad.

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych (ZPW) dla płaskich
odkształcalnych ustrojów prętowych.

 zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych

przemieszczeniach,

 zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych

przemieszczeniach.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac przygotowanych

W płaskim układzie prętowym pod obciążeniem powstają:

• siły przekrojowe:
M(moment zginający), N(siła podłużna), T(lub V siła poprzeczna).

• odkształcenia:

- kątowe ∆

dφ

(wydłużenie i skrócenie

przeciwległych krawędzi),
- wzdłuż osi pręta ∆

ds

(wydłużenie, skrócenie),

- prostopadłe do osi pręta ∆

dh

(poprzeczne).

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

Rozpatruje się dowolny płaski ustrój prętowy SW lub SN. Ustrój jest poddany
działaniu obciążeń rzeczywistych (mechaniczne np. siły skupione, momenty
skupione, obciążenia rozłożone oraz niemechaniczne np. przemieszczenia
podpór, temperatura, imperfekcje geometryczne).

• Oznaczamy działające w miejscu i obciążenie P

i

, reakcje w miejscu

k jako R

k

.

• Działające obciążenie P

i

wywołuje przemieszczenia i odkształcenia.

Wskutek tego powstają rzeczywiste siły przekrojowe (siły
wewnętrzne).

 Linia przerywana –
rzeczywiste
przemieszczenie,

 Linia pełna -
wirtualne
przemieszczenie

.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac przygotowanych

Przemieszczenie wirtualne musi spełniać warunki:

• jest założone jako dowolne, ale możliwe, tzn. kinematycznie

dopuszczalne,

• jest niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),
• jest bardzo małe w porównaniu z wymiarami ustroju,
• jest niezależne od czasu,
• jest ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).

Przypominamy, że praca L to iloczyn siły P i przemieszczenia ∆
tj:

L = P * ∆

Np. L = P * ∆ lub
L = M * φ

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

•

∆

𝑃𝑖

oraz

∆

𝑅𝑘

oznaczają

przemieszczenia wirtualne

odpowiednio w miejscu

działającego obciążenia

P

i

i reakcji R

k

.

• Równanie pracy wirtualnej obciążeń rzeczywistych i

odpowiadających im sił przekrojowych na wirtualnych

przemieszczeniach i odpowiadających im wirtualnych

odkształceniach

ma postać:

• W wypadku obciążeń ciągłych sumę po lewej stronie równania

należy zastąpić całką. Całkowania po prawej stronie równania

należy dokonać po całym ustroju prętowym.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

I ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

Rzeczywiste obciążenia wykonują pracę na wirtualnych
przemieszczeniach równą pracy uogólnionych sił przekrojowych
(wewnętrznych) na wirtualnych odkształceniach.

Zasady prac wirtualnych

II zasada prac wirtualnych

• Niech ustrój pod wpływem działającego obciążenia zewnętrznego

dozna rzeczywistych przemieszczeń

∆

𝑃

(przemieszczeń podpór

∆

𝑟

)

oraz odkształceń

Ustrój został obciążony układem sił wirtualnych

𝑃

𝑖

wywołujących reakcje

𝑅

𝑘

i

wirtualne siły przekrojowe

𝑀, 𝑇, 𝑁.

Zasady prac wirtualnych

II zasada prac wirtualnych

ZASADA II PRACY WIRTUALNEJ

Praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach
jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych
odkształceniach

1) Powyższe zasady prac wirtualnych są słuszne niezależnie od tego

czy ustrój prętowy jest wykonany z materiału sprężystego czy nie,

2) Często w literaturze zamiast terminu „wirtualne” używa się

„przygotowane” np. przemieszczenie przygotowane, obciążenie
przygotowane.

Zasady prac wirtualnych

Wnioski

Wniosek ogólny

– wstęp do twierdzeń o wzajemności

Jeżeli dane są

(określone przez obciążenia czynne, reakcje i siły przekrojowe)
oraz
odpowiadające im
(określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia)
oraz
jeżeli jeden z nich jest stanem rzeczywistym

jest równa