MECHANIKA BUDOWLI

Wykład:

ZASADY PRAC WIRTUALNYCH

Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber

Fragmenty opracowane na podstawie wykładów Prof. P. Śniadego

Zasady prac wirtualnych

Plan wykładu

1. Informacje podstawowe nt. płaskich ustrojów prętowych,
2. I zasada prac wirtualnych,
3. II zasada prac wirtualnych,
4. Wnioski

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• Pręt jest takim dźwigarem, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie

większy w porównaniu z pozostałymi,

• Konstrukcja (ustrój) składający się z prętów nazywamy prętowym.
• Gdy pręty leżą w jednej płaszczyźnie to nazywamy go płaskim ustrojem

prętowym. Rozważania ograniczymy do płaskich układów prętowych.

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• Układy prętowe dzielimy na:

kratownice

układy ramowe

(belki, ramy, łuki)

• W kratownicach:
 wszystkie pręty połączone są przegubowo,
 siły zew. i ciężar własny w węzłach,
 w prętach występują siły osiowe.

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• W układach ramowych:

 wszystkie pręty prostoliniowe lub zakrzywione,
 siły zew. i ciężar własny w węzłach i na prętach,
 w prętach występują momenty zginające, siły podłużne (osiowe) i

poprzeczne (tnące).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• Siły powierzchniowe:

 czynne (działające na układ niezależne siły zewnętrzne),
 bierne (reakcje, będące wynikiem działania sił czynnych).

• Obciążenia:

 rozłożone (ciągłe),
 skupione (punktowe) - obciążenie na małym obszarze

.

• Natura obciążeń:

 mechaniczne – (ciężar własny, siły, momenty),
 niemechaniczne – (temperatura, osiadanie, błędy montażu).

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• W ramach mechaniki budowli będziemy wyznaczać siły przekrojowe -

wewnętrzne (momenty zginające, sił poprzeczne i podłużne), reakcje
podporowe oraz przemieszczenia.

• Ustroje prętowe które rozważamy są geometrycznie niezmienne (GN) –

nie są mechanizmami.

Układy prętowe dzielimy na:
 statycznie wyznaczalne (SW),
Układy prętowe SW można rozwiązać wyznaczając reakcje podporowe i
siły przekrojowe z warunków równowagi.
 statycznie niewyznaczalne (SN).
Układy prętowe SN nie można rozwiązać korzystając z warunków równowagi.
Konieczne jest zastosowanie specjalnych metod
np. Metoda sił, Metoda przemieszczeń, MES itd.

Zasady prac wirtualnych

Informacje podstawowe

• Przykłady a) belki, b) ramy, c) kratownicy - SW i SN.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtulalnych

 Zasady prac wirtualnych są podstawowymi zasadami mechaniki

budowli.

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych (ZPW) dla płaskich
odkształcalnych ustrojów prętowych.

 zasada o pracy rzeczywistych obciążeń na wirtualnych

przemieszczeniach,

 zasada o pracy wirtualnych obciążeń na rzeczywistych

przemieszczeniach.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

• Rozpatruje się dowolny płaski ustrój prętowy SW lub SN. Ustrój jest

poddany działaniu obciążeń rzeczywistych (mechaniczne np. siły
skupione, momenty skupione, obciążenia rozłożone oraz niemechaniczne
np. przemieszczenia podpór, temperatura, imperfekcje geometryczne),

• Oznaczamy działające w miejscu i obciążenie P

i

, reakcje w miejscu

k jako R

k

.

• Działające obciążenie P

i

wywołuje przemieszczenia i odkształcenia.

Wskutek tego powstają rzeczywiste siły przekrojowe (siły
wewnętrzne).

 Linia przerywana –
rzeczywiste
przemieszczenie,

 Linia pełna -
wirtualne
przemieszczenie

.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac przygotowanych

W płaskim układzie prętowym pod obciążeniem powstają:

• siły przekrojowe:
M(moment zginający), N(siła podłużna), T(lub V siła poprzeczna).

• odkształcenia:

- kątowe ∆

dφ

(wydłużenie i skrócenie

przeciwległych krawędzi),

- wzdłuż osi pręta ∆

ds

(wydłużenie, skrócenie),

- prostopadłe do osi pręta ∆

dh

(poprzeczne).

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac przygotowanych

Przemieszczenie wirtualne musi spełniać warunki:

• jest założone jako dowolne, ale możliwe, tzn. kinematycznie

dopuszczalne,

• jest niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),
• jest bardzo małe w porównaniu z wymiarami ustroju,
• jest niezależne od czasu,
• jest ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).

Przypominamy, że praca L to iloczyn siły P i przemieszczenia ∆
tj:

L = P * ∆

Np. L = P * ∆ lub L = M * φ

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

•

∆

𝑃𝑖

oraz

∆

𝑅𝑘

oznaczają

przemieszczenia wirtualne

odpowiednio w miejscu

działającego obciążenia

P

i

i reakcji R

k

.

• Równanie pracy wirtualnej obciążeń rzeczywistych i

odpowiadających im sił przekrojowych na wirtualnych

przemieszczeniach i odpowiadających im wirtualnych

odkształceniach

ma postać:

• W wypadku obciążeń ciągłych sumę po lewej stronie równania

należy zastąpić całką. Całkowania po prawej stronie równania

należy dokonać po całym ustroju prętowym.

Zasady prac wirtualnych

I zasada prac wirtualnych

I ZASADA PRACY WIRTUALNEJ

Rzeczywiste obciążenia wykonują pracę na wirtualnych
przemieszczeniach równą pracy uogólnionych sił przekrojowych
(wewnętrznych) na wirtualnych odkształceniach.

Zasady prac wirtualnych

II zasada prac wirtualnych

• Niech ustrój pod wpływem działającego obciążenia zewnętrznego

dozna rzeczywistych przemieszczeń

∆

𝑃

(przemieszczeń podpór

∆

𝑟

)

oraz odkształceń

Ustrój został obciążony układem sił wirtualnych

𝑃

𝑖

wywołujących reakcje

𝑅

𝑘

i

wirtualne siły przekrojowe

𝑀, 𝑇, 𝑁.

Zasady prac wirtualnych

II zasada prac wirtualnych

ZASADA II PRACY WIRTUALNEJ

Praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach
jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych
odkształceniach

1) Powyższe zasady prac wirtualnych są słuszne niezależnie od tego

czy ustrój prętowy jest wykonany z materiału sprężystego czy nie,

2) Często w literaturze zamiast terminu „wirtualne” używa się

„przygotowane” np. przemieszczenie przygotowane, obciążenie
przygotowane.

Zasady prac wirtualnych

Wnioski

• Wniosek ogólny

– wstęp do twierdzeń o wzajemności

Jeżeli dane są dwa stany obciążenia
(określone przez obciążenia czynne, reakcje i siły przekrojowe)
oraz
odpowiadające im dwa stany przemieszczeń
(określone przez stany przemieszczenia i odkształcenia)
oraz
jeżeli jeden z nich jest stanem rzeczywistym
to praca obciążeń czynnych i reakcji jednego stanu na
przemieszczeniach drugiego stanu
jest równa
pracy sił przekrojowych jednego stanu na odkształceniach drugiego
stanu.