WYNIKI POMIARÓW – OBJAŚNIENIA OGÓLNE

1. Pomiar jest zbiorem operacji mających na celu wyznaczenie wartości wielkości.
2. Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z wartością tej wielkości przyjętą za

jednostkę. Porównanie to może być przeprowadzone różnymi metodami.

3. Stosując różne metody pomiaru można uzyskiwać wyższą lub niższą dokładność

pomiaru, przez co rozumie się różny stopień zgodności wyniku pomiaru z wartością
prawdziwą mierzonej wielkości.

4. Wartości prawdziwej (rzeczywistej) mierzonej wielkości nie można nigdy wyznaczyć

dokładnie z powodu występowania czynników zakłócających pomiar. W związku z tym
używa się pojęcia wartości zmierzonej.

5. Wartość zmierzona x jest estymatą wartości prawdziwej x

p

mierzonej wielkości X.

6. Wynik pomiaru wielkości X jest zmienną losową X

w

, przybierającą wartości x

w

z

przedziału określonego przez wartość zmierzoną x i niepewność pomiaru U(x), przy czym
jest to przedział o szerokości 2

U(x), z wartością w środku równą x

:

X

w

= x

± U(x) ≡ [ ( x – U(x) ) , ( x + U(x) ) ] = {x

w

} ; x

p

∈ X

w

7. Wynik pomiaru wyznacza przedział, w którym – z określonym prawdopodobieństwem

(zwykle 0,95) – znajduje się wartość prawdziwa.

8. Niepewność pomiaru U(x) jest estymatą błędu granicznego (graniczną wartością

bezwzględną błędu), występującego przy pomiarze wartości x

p

, której estymatą jest

wartość x.

9. Niepewność pojedynczego pomiaru na określonym poziomie ufności jest większa od

niepewności wielokrotnego pomiaru tej samej wielkości (średniego wyniku serii
pomiarów wykonanych w warunkach powtarzalności), na tym samym poziomie ufności.

10. Błąd pomiaru wielkości mierzonej X jest zmienną losową

∆

X przybierającą wartości

∆

x,

określone jako różnice między wartościami wyniku pomiaru x

w

i wartością prawdziwą x

p

:

∆

x = x

w

– x

p

11. Wynik pomiaru jest obarczony błędami o różnym charakterze. Błędy pomiarów dzieli się

tradycyjnie na nadmierne (inaczej: grube), systematyczne oraz przypadkowe.

12. Błędy nadmierne powstają zwykle na skutek nieuwagi lub niestaranności obserwatora

przy odczytywaniu lub zapisywaniu wyników, albo w wyniku nagłej zmiany warunków
pomiaru (np. wystąpienia wstrząsów). Błędy nadmierne łatwo jest wykryć, zaś obarczone
nimi wyniki pomiarów można usunąć albo czasem „naprawić”, np. przesuwając
przecinek. Poznanie przyczyn powstawania błędów nadmiernych pozwala dokonywać
zmian w celu polepszenia procesu pomiarowego.

13. Błędy systematyczne przyjmują stałe wartości w określonych warunkach lub zmieniają

się w sposób znany, tzn. opisany znanymi zależnościami. Błędy te mogą być wyznaczane i
usuwane przy zastosowaniu poprawek. Często się jednak tego w ogóle nie robi, zakładając
niewielki wpływ na niepewność pomiaru. Nierozpoznane błędy systematyczne tworzą
specjalną klasę błędów quasi-losowych, tzn. z natury systematycznych, lecz nie
traktowanych jak one z braku informacji potrzebnej do obliczenia poprawki.

14. Błędy przypadkowe wynikają z różnych przypadkowych i nie dających się uwzględnić

czynników (np. wahań temperatury, ruchu powietrza, niezgodności przyjętego modelu i
rzeczywistego obiektu badań). Wpływ obserwowanych błędów przypadkowych na
niepewność pomiaru można zmniejszyć wykonując serię pomiarów zamiast pomiaru
pojedynczego, albo zwiększając liczbę pomiarów w serii. Błędy przypadkowe występują
zawsze, lecz – podobnie jak systematyczne – nie zawsze są rozpoznawalne.

15. Wartość zmierzona bezpośrednio (wartość odczytana na przyrządzie) lub pośrednio

(obliczona na podstawie wartości zmierzonych bezpośrednio) to tzw. surowy wynik
pomiaru.

16. Przyjmuje się (pomijając błędy nadmierne), że surowy wynik pomiaru jest obarczony

błędem systematycznym

∆

sys

x i błędem przypadkowym

∆

prz

x .

17. Surowy wynik pomiaru x

s

skorygowany o wartość błędu systematycznego

∆

sys

x nazywa

się wynikiem poprawionym

x

pop

= x

s

–

∆

sys

x

18. Zamiast odejmowania błędu systematycznego

∆

sys

x od surowego wyniku pomiaru x

s

,

można dodać do niego poprawkę

∆

pop

x = –

∆

sys

x , tzn.

x

pop

= x

s

+

∆

pop

x

19. Za wartość zmierzoną x uważa się przy pojedynczym pomiarze wynik poprawiony

pomiaru, zaś przy serii pomiarów wykonanych w warunkach powtarzalności
(powtarzanych w tych samych praktycznie warunkach) – średnią arytmetyczną wyników
poprawionych.

20. Ponieważ wartość prawdziwa pozostaje nieznana do końca procesu pomiarowego, używa

się niekiedy pojęcia wartości umownie prawdziwej, inaczej: wartości poprawnej, tj.
wartości wyznaczonej z akceptowalną niepewnością pomiaru w danym zastosowaniu.

21. Surowym wynikom pomiarów przyznaje się w codziennej praktyce rangę wartości

poprawnych (zastrzegając, kiedy trzeba, kontrolę nieprzekraczania niepewności pomiaru).

22. Wynik pomiaru podaje się zawsze w pełnej postaci liczbowej (wartość zmierzona

±

niepewność pomiaru) i z jednostką. Ostatnie cyfry wartości zmierzonej i niepewności
pomiaru powinny należeć do tego samego rzędu dziesiętnego. Wartość zmierzoną
zaokrągla się w sposób ogólnie przyjęty w matematyce.

23. Niepewność pomiaru jest podawana w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących. Jeśli

trzecią cyfrą przed zaokrągleniem jest 5, to druga cyfra po zaokrągleniu powinna być
parzysta, np. 0,0125 zaokrągla się do 0,012, zaś 0,0135 daje w przybliżeniu 0,014.
Wyjątkowo można niepewność pomiaru zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej, ale
zaokrąglenie to nie powinno zmieniać pierwotnej wartości o więcej niż 20 %, np. 0,778
można zaokrąglić do 0,8, ale 0,132 – już tylko do 0,13 (nie można do 0,1).

24. Omawiana dotąd niepewność U(x) to tzw. niepewność rozszerzona pomiaru. Wartość ta

zależy od odchylenia standardowego i funkcji gęstości błędów przypadkowych pomiaru.

25. Odchylenie standardowe błędów pomiaru jest nazywane niepewnością standardową

pomiaru i oznaczane symbolem u(x).

26. Symbol u(x) odnosi się do pomiarów bezpośrednich. W wypadku pomiarów pośrednich

występuje tzw. złożona niepewność standardowa o symbolu u

c

(x).

27. Symbole niepewności pomiaru u(x), U(x) oraz u

c

(x) są dla elektryka dość kłopotliwe, gdyż

u i U kojarzą się ogólnie z napięciem, u

c

– np. z napięciem na kondensatorze, a mogą to

być mierzone wielkości X. Aby uniknąć niejednoznaczności oznaczeń, można w
konkretnej sytuacji zmienić symbol główny lub zmodyfikować indeksy niepewności
pomiaru.

28. Litery u i U można by zastąpić np. literami b i B , lub też znakiem zapytania i dopisaniem

indeksu do u, dostając: ?

s

(x) – zamiast u(x), ?(x) – zamiast U(x), ?

c

(x) – zamiast u

c

(x).

29. Symbole literowe niepewności pomiaru pochodzą od pierwszych liter słów angielskich:

uncertainty (niepewność), combined (łączny, wspólny). Można by zatem do symbolu u(x)
niepewności standardowej pomiaru bezpośredniego, tj. (kolokwialnie) niepewności
prostej, dopisać indeks sim od simple (prosty), do symbolu niepewności rozszerzonej
U(x) – indeks exp od expanded (rozszerzony), zaś w symbolu niepewności złożonej
(standardowej) u

c

(x) wydłużyć indeks do trzech liter com, pisząc kolejno: u

sim

(x), U

exp

(x),

u

com

(x).

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW BEZPOŚREDNICH

30. Punktem wyjścia do wyznaczenia niepewności pomiaru bezpośredniego są informacje:

a) o rozrzucie wyników w serii pomiarów (tj. w pomiarze wielokrotnym),

b) o niedokładności stosowanej aparatury pomiarowej,
c) o niedokładności odczytywania wskazań przyrządów pomiarowych.

31. Rozrzut wyników w serii pomiarów wskazuje na występowanie składnika typu A

niepewności pomiaru. Dysponując wynikami poprawionymi serii co najmniej 30
pomiarów (powtarzanych w tych samych praktycznie warunkach), można obliczyć:
- wartość zmierzoną jako średnią arytmetyczną wyników poprawionych serii pomiarów

n

x

x

n

i

i

pop

∑

=

=

1

.

- składnik typu A niepewności standardowej pomiaru jako odchylenie średnie

kwadratowe (średniokwadratowe) wyniku poprawionego każdego pomiaru w serii od
średniej arytmetycznej tych wyników

(

)

1

)

(

1

2

.

−

−

=

∑

=

n

x

x

x

u

n

i

i

pop

A

gdzie: x

pop.i

– wynik poprawiony i-tego pomiaru, n – liczba pomiarów w serii (liczność

próby).

Wartość u

A

(x) jest tu obliczona na podstawie wyników serii pomiarów i wyraża

niepewność wyniku x

pop.i

każdego pomiaru tej serii (a nie średniej), albowiem ma posłużyć

do szacowania niepewności innych pomiarów, wykonywanych już pojedynczo.

32. Niepewność aparatury pomiarowej wyraża się zwykle wartością błędu granicznego przy

pojedynczym odczycie w określonym przedziale wartości mierzonych na ustawionym
zakresie. Stanowi ona podstawowy składnik typu B niepewności pomiaru.
Niedokładność (błąd graniczny) przyrządu pomiarowego można uznać za „pierwszy”
składnik typu B

niepewności rozszerzonej pomiaru. Oblicza się go ze wzorów:

- dla

przyrządu analogowego

100

)

(

max

max

1

δ

⋅

= x

x

U

B

- dla

przyrządu cyfrowego

ost

s

B

x

x

U

∆

δ

+

⋅

=

100

)

(

max

1

gdzie: x

max

– używany zakres pomiarowy (wyrażony w jednostkach mierzonej wielkości),

x

s

– wartość odczytana (surowy wynik pomiaru),

δ

max

– klasa dokładności

(przyrząd analogowy) lub jej odpowiednik (przyrząd cyfrowy) dla używanego
zakresu pomiarowego,

∆

ost

– stały składnik niedokładności na używanym zakresie

pomiarowym, podany jako liczba rzędu ostatniej pozycji na wyświetlaczu
przyrządu cyfrowego.

Założenie jednostajnego rozkładu błędów związanych z niedokładnością przyrządu
pomiarowego pozwala obliczyć „pierwszy” składnik typu B niepewności standardowej
pomiaru:

3

)

(

)

(

1

1

x

U

x

u

B

B

=

33.

Pospieszne, niestaranne odczytywanie wskazań przyrządu analogowego może

wywoływać wystąpienie dodatkowego składnika typu B niepewności pomiaru.
Przyjąwszy, że powstająca wskutek tego niedokładność wyznaczania położeń wskazówki
przy pomiarach jest wyrażona błędem granicznym odczytu równym 1/2 działki
elementarnej, otrzymuje się wzór na „drugi” składnik typu B niepewności rozszerzonej
pomiaru:

max

max

2

2

)

(

α

⋅

=

x

x

U

B

gdzie: x

max

– używany zakres pomiarowy (wyrażony w jednostkach mierzonej wielkości),

α

max

– liczba działek na całym zakresie pomiarowym.

Założenie rozkładu normalnego błędów związanych z niedokładnością odczytów,
określoną na poziomie ufności 0,95, pozwala obliczyć „drugi” składnik typu B
niepewności standardowej pomiaru

2

)

(

)

(

2

2

x

U

x

u

B

B

=

34. Przyjmując, że zmienne losowe, związane z poszczególnymi składnikami niepewności

pomiaru wielkości X, są od siebie niezależne, wynikową niedokładność standardową
pomiaru bezpośredniego

oblicza się ze wzoru

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

2

x

u

x

u

x

u

x

u

B

B

A

+

+

=

35. Zakładając z kolei rozkład normalny błędu sumarycznego, otrzymuje się (określoną na

poziomie ufności 0,95) wynikową niedokładność rozszerzoną pomiaru bezpośredniego

)

(

)

(

3

4

)

(

4

)

(

2

)

(

2

2

2

1

2

x

U

x

U

x

u

x

u

x

U

B

B

A

+

+

⋅

=

⋅

=

36. Różniące się zauważalnie wyniki w serii pomiarów, powtarzanych w tych samych

praktycznie warunkach, mogą występować w badaniach obwodów elektrycznych
zasilanych bezpośrednio z sieci elektroenergetycznej. W takich sytuacjach pobierana
będzie z jednej serii pomiarów wartość zmierzona x

o

i obliczany składnik typu A

niepewności standardowej pomiaru w tej serii u

A

(x

o

).

W pozostałych pojedynczych pomiarach, wykonywanych na tym samym zakresie
przyrządu, otrzymywać się będzie różne wartości zmierzone x. Składniki typu A
niepewności standardowej tych pomiarów można obliczać – na zasadzie
proporcjonalności – ze wzoru:

)

(

)

(

o

A

o

A

x

u

x

x

x

u

=

37. Jeśli występują przypadkowe zmiany wskazań analogowego przyrządu pomiarowego,

to na podstawie obserwacji ruchów wskazówki w dłuższym czasie, przy możliwie dużej
wartości zmierzonej x = x

o

, można oszacować rozrzut wskazań, przyjąć rozkład normalny

(w przedziale ograniczonym do

m

2

σ) i określić wartość składnika typu A niepewności

standardowej pomiaru jako czwartą część różnicy wskazań skrajnych.
Dla każdego z zakresów przyrządu analogowego składniki typu B niepewności
standardowej pomiaru są stałe. Przy obliczeniu niepewności rozszerzonej pojedynczego
pomiaru o wartości zmierzonej x trzeba korzystać z następujących wzorów:

)

(

)

(

3

4

)

(

4

)

(

2

2

2

1

2

x

U

x

U

x

u

x

U

B

B

A

+

+

⋅

=

,

4

)

(

min

.

max

.

o

o

o

A

x

x

x

u

−

=

,

)

(

)

(

o

A

o

A

x

u

x

x

x

u

=

,

100

)

(

max

max

1

δ

⋅

= x

x

U

B

,

max

max

2

2

)

(

α

⋅

=

x

x

U

B

.

38. W wypadku cyfrowego przyrządu pomiarowego „drugi” składnik typu B niepewności

pomiaru nie występuje, zaś pozostałe zależą od wartości zmierzonej x

. Niepewność

rozszerzoną pojedynczego pomiaru można obliczyć ze wzorów:

)

(

3

1

)

(

2

)

(

2

1

2

x

U

x

u

x

U

B

A

+

⋅

=

,

)

(

)

(

o

A

o

A

x

u

x

x

x

u

=

,

ost

B

x

x

U

∆

δ

+

⋅

=

100

)

(

max

1

,

gdzie x

o

i u

A

(x

o

) – wartość zmierzona i wartość składnika typu A niepewności

standardowej pomiaru, obliczone na podstawie wyników pomiaru wielokrotnego.

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH

39. Zależność wartości zmierzonej x (wielkości mierzonej pośrednio X) od wartości

zmierzonych x

1

, x

2

, ... (wielkości mierzonych bezpośrednio: X

1

, X

2

, ...) ma postać

ogólną:

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

40. Gdy wielkości X

1

, X

2

, ... nie są skorelowane, to przy obliczaniu złożonej niepewności

standardowej pomiaru X na podstawie formuły

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

korzysta się ze wzoru:

( )

∑

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

i

i

i

c

x

u

x

f

x

u

2

2

)

(

41. Jeśli X

1

, X

2

, ... nie są skorelowane, a funkcja

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

jest liniowa:

...

2

2

1

1

0

+

⋅

+

⋅

+

=

x

a

x

a

a

x

,

to oblicza się wynikową niepewność standardową bezwzględną

...

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

1

2

2

1

+

⋅

+

⋅

=

x

u

a

x

u

a

x

u

c

42. Jeśli X

1

, X

2

, ... , Y

1

, Y

2

, ... nie są skorelowane, a funkcja

...)

,

,

,

...

,

,

(

2

1

2

1

y

y

x

x

f

z

=

ma

postać iloczynowo-ilorazową:

...

...

2

1

2

1

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

y

y

x

x

a

z

,

to oblicza się wynikową niepewność standardową względną

...

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

y

y

u

y

y

u

x

x

u

x

x

u

z

z

u

c

43. Jeśli X

1

, X

2

, ... nie są skorelowane, a funkcja

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

ma postać iloczynowo-

potęgową:

...

2

1

⋅

⋅

⋅

=

β

α

x

x

a

x

,

to oblicza się wynikową niepewność standardową względną

...

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

1

1

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

x

x

u

x

x

u

x

x

u

c

β

α

44. Gdy współczynniki występujące w wyrażeniach funkcyjnych

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

zawierają

niepewności, to formalnie są też zmiennymi (nieskorelowanymi).

45. Przy „mieszanym” typie zależności x = f (x

i

) z nieskorelowanymi wielkościami X

1

,

X

2

, ... (oraz współczynników) można obliczać u

c

(x) etapami, przechodząc od wyrażeń z

niepewnościami bezwzględnymi do wyrażeń z niepewnościami względnymi, i na odwrót.

46. Wielkości X

1

, X

2

, .. , X

m

, występujące w tym samym doświadczeniu, na tym samym

stanowisku laboratoryjnym, są skorelowane. Dotyczy to m.in. pomiarów elektrycznych w
laboratoriach dla studentów.

47. Jeśli wielkości X

1

, X

2

, .. , X

m

są skorelowane, to przy pomiarze X na podstawie zależności

funkcyjnej

,

złożone niepewności standardowe oblicza się ze wzoru:

)

,

...

,

,

(

2

1

m

x

x

x

f

x

=

( )

(

)

∑ ∑

∑

−

=

+

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

1

1

i

1

1

2

2

,

2

)

(

m

m

i

j

j

i

j

i

m

i

i

i

c

x

x

u

x

f

x

f

x

u

x

f

x

u

gdzie u(x

i

, x

j

) – kowariancje par zmiennych.

48. Przy silnej korelacji wielkości mierzonych bezpośrednio X

i

i X

j

, wartość bezwzględna

współczynnika korelacji (dla wartości x

i

i x

j

)

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

j

i

j

i

j

i

x

u

x

u

x

x

u

x

x

r

⋅

=

jest bliska 1, to kowariancja u(x

i

, x

j

) może wpływać w znacznym stopniu na wartość

złożonej niepewności standardowej u

c

(x).

49. Jeśli nie prowadzi się pomiarów wielokrotnych (pomiarów tych samych wielkości,

wykonywanych w stałych praktycznie warunkach), to oszacowanie korelacji zmiennych
nie jest możliwe. Często nie rozważa się w ogóle ich korelacji, jak też istnienia składnika
A niepewności pomiaru. W każdym pomiarze odczytuje się po prostu jedno „średnie”
wskazanie, które wraz z ewentualnie uwzględnioną poprawką staje się automatycznie
wartością zmierzoną. Złożoną niepewność standardową pomiaru X wyznacza się w takiej
sytuacji na podstawie formuły

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

, gdzie X

1

, X

2

, ... są wielkościami

mierzonymi bezpośrednio, ze wzoru:

( )

∑

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

≅

i

i

B

i

c

B

c

x

u

x

f

x

u

x

u

2

2

.

)

(

)

(

przy czym

są składnikami typu B (sumarycznymi) niepewności standardowych

pomiarów bezpośrednich wielkości X

)

(

2

i

B

x

u

i

.

50. Zaniedbanie składników typu A niepewności standardowych pomiarów u

A

(x

i

) wielkości

X

i

odbija się na wyniku obliczenia złożonej niepewności standardowej pomiaru u

c

(x)

wielkości X. Popełniany błąd zależy nie tylko od wartości u

A

(x

i

), ale też od kowariancji

u(x

i

, x

j

) i formuły obliczeniowej

...)

,

,

(

2

1

x

x

f

x

=

. O poprawności otrzymanego wyniku

można być przekonanym jedynie wówczas, jeśli nie występują zauważalne fluktuacje
wartości wskazań przyrządów w czasie odczytów.

Cezary Łucyk, luty 2006 r.

Więcej informacji:
Arendarski J.: Niepewność pomiarów. OWPW, Warszawa 2003
Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1999
Instrukcja oceny niepewności pomiarów... http://pracownia.ifd. uni.wroc.pl/html/ONP.doc