Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Opis statystyczny struktury zbiorowości cz.2

Asymetria mówi do nas,
czy jest równo po obu stronach.

Asymetria
charakteryzuje równomierność (a raczej brak równomierności) rozproszenia danych wokół
przeciętnej.

Określenie tendencji centralnej i zmienności rozkładu analizowanej zmiennej nie

wyczerpuje opisu tegoż rozkładu. Czasem interesuje nas nie tylko wielkość rozproszenia lecz
również na ile rozproszenie danych wokół przeciętnej jest równomierne. Jedną z miar
asymetrii rozkładu jest współczynnik asymetrii A.

Gdy rozkład jest symetryczny współczynnik asymetrii A przyjmuje wartość zero (A=0).

Wartość dodatnia (A>0), wskazuje na asymetrię prawostronną. Wartość ujemna
współczynnika (A<0), na asymetrię lewostronną. Większa wartość bezwzględna
współczynnika odpowiada silniejszej asymetrii.

M=Me=Mo

Mo<Me<M

M<Me<Mo

Rozkład symetryczny

Rozkład prawostronnie

Rozkład lewostronnie

asymetryczny

asymetryczny

Rys.25. Rozkład symetryczny, prawostronnie asymetryczny i lewostronnie asymetryczny

W przypadku rozkładów umiarkowanie asymetrycznych jako przybliżoną miarę asymetrii można

przyjąć różnicę między średnią arytmetyczną M a modą Mo, nazywaną wskaźnikiem skośności: M –
Mo.

Rozkład jest symetryczny, gdy M – Mo = 0.
Rozkład jest prawostronnie asymetryczny, gdy M – Mo > 0.
Rozkład jest lewostronnie asymetryczny, gdy M – Mo < 0.
Bezwzględny współczynnik skośności określa kierunek asymetrii, ale nic nie mówi o jej sile.

Zarówno kierunek jak i siłę asymetrii wskazuje względny współczynnik skośności A

S

:

S

Mo

M

A

S

−

=

,

gdzie M – średnia arytmetyczna, Mo – moda, S – odchylenie standardowe. Im większa, co do

modułu, wartość współczynnika A

S

, tym bardziej asymetryczny jest rozkład.

A = 0

A>0

A<0

Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Kwantyle rozkładu

Do opisu rozkładu wykorzystywane są też miary pozycyjne zwane kwantylami.

Kwantyle rozkładu to wartości zmiennej, które dzielą uporządkowaną według wartości zmiennej

zbiorowość w określonym stosunku liczbowym. Kwantylem rzędu q rozkładu zmiennej X w
N-elementowej zbiorowości jest taka wartość x

k

, że w uporządkowanej rosnąco ze względu na

zmienną X zbiorowości q*100% jednostek zajmuje pozycję nie dalszą niż x

k

, a pozostały procent

zbiorowości pozycję nie bliższą.

Najczęściej stosowane w opisie rozkładu kwantyle to:

kwantyl rzędu q=0,5 nazwany medianą; jest wartością zmiennej dzielącej uporządkowaną

zbiorowość na dwie równoliczne części;

kwantyle rzędu q=0,25; 0,50; 0,75, kwartyle;

trzy kwartyle dzielą uporządkowaną zbiorowość na

cztery równoliczne części;

kwantyle rzędu q=0,1; 0,2; ... 0,9, czyli decyle;

dziewięć decyli dzieli uporządkowaną zbiorowość

na dziesięć równolicznych części;

kwantyle rzędu q=0,01; 0,02; 0,50; ... 0,99, czyli centyle

lub percentyle; 99 centyli dzieli

uporządkowaną zbiorowość na 100 równolicznych części (stosowane są w przypadku opisu dużych
zbiorowości, N>100).

Za pomocą kwartyli konstruowane są miary kwantylowe opisu rozkładu zmiennej, zatem
przyjrzyjmy się im bliżej.

Kwartyl pierwszy
to jest miara,
co zbiorowość dzieli zaraz:
niższych jest wartości
ćwiartka,
wyższych będzie ze trzy
czwarte.

(Emilia Kozierkiewicz)

Kwartyl drugi
jak mediana dzieli szereg na
połówki i choć nazwa nie ta
sama wbij ją do swej ślicznej
główki.

(

Tomasz

Osyra

)

Kwartyl trzeci
dla twardzieli na te części
szereg dzieli: wyższych jest
wartości ćwiartka, niższych
będzie ze trzy czwarte.

(

Justyna

Kozierkiewicz

)

Q

1

- kwartyl pierwszy (dolny): dzieli uporządkowany zbiór danych w stosunku 1 : 4 tak,

że 25% danych zajmuje pozycję nie dalszą niż Q

1

a 75% danych pozycję nie bliższą; kwartyl

pierwszy jest kwantylem rzędu 0,25.

Q

2

- kwartyl drugi (mediana) dzieli uporządkowany zbiór danych w stosunku 1 : 2 tak, że

50% danych zajmuje pozycję nie dalszą niż Q

2

a 50% danych pozycję nie bliższą; mediana

jest kwantylem rzędu 0,5.

Q

3

- kwartyl trzeci (górny): dzieli uporządkowany zbiór danych w stosunku 3 : 4 tak, że

75% danych zajmuje pozycję nie dalszą niż Q

3

a 25% danych pozycję nie bliższą; kwartyl

trzeci jest kwantylem rzędu 0,75.

Miarą tendencji centralnej rozkładu określoną przy użyciu miar kwantylowych jest

mediana, czyli drugi kwartyl.

Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Miarą rozproszenia rozkładu określoną przy użyciu miar kwantylowych jest różnica

1

3

Q

Q

−

nazywana rozstępem kwartylowym, gdzie: Q

3

- kwartyl trzeci (górny), Q

1

- kwartyl

pierwszy

Rozstęp kwartylowy określa zakres zmienności „środkowych” 50% danych zajmujących

w uporządkowanym ich zbiorze pozycje między pierwszym a trzecim kwartylem.

W praktyce stosowane jest też jako miara zmienności rozkładu odchylenie ćwiartkowe

(połówkowy rozstęp kwartylowy) Q:

2

1

3

Q

Q

Q

−

=

,

Względną miarę rozproszenia w opisie pozycyjnym określa współczynnik zmienności V

Q,

zdefiniowany jako stosunek odchylenia ćwiartkowego do mediany:

Me

Q

V

Q

=

,

gdzie Q - odchylenie ćwiartkowe, a Me - mediana.

Aby wyznaczyć pozycyjną miarę zmienności należy znaleźć wartość pierwszego i trzeciego

kwartyla.

118cm, 118cm, 119cm, 121cm, 123cm, 125cm, 126cm, 126cm, 126cm, 127cm, 130cm
x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

11

Pierwszym kwartylem jest wartość

4

1

+

N

x

, czyli w naszym przykładzie x

3

, stąd Q

1

= 119cm. Trzeci

kwartyl to wartość

(

)

4

1

3

+

N

x

, czyli x

9

, stąd Q

3

= 126cm. Rozstęp kwartylowy wynosi Q

3

- Q

1

= 7cm, co

oznacza, że gdy pominiemy grupę 25% dzieci niższych i 25% dzieci wyższych to w pozostałej grupie
50% dzieci różnią się wzrostem nie więcej niż o 7cm.
Odchylenie ćwiartkowe równe jest:

cm

cm

cm

Q

Q

Q

5

,

3

2

119

126

2

1

3

=

−

=

−

=

,

a względne rozproszenie mierzone współczynnikiem

Me

Q

V

Q

=

028

,

0

125

5

,

3

=

=

Q

V

, co świadczy o dużej jednorodności zbioru danych.

Współczynnik asymetrii A

Q

zbudowany na miarach kwantylowych zdefiniowany jest

następująco:

(

) (

)

1

3

1

3

Q

Q

Q

Me

Me

Q

A

Q

−

−

−

−

=

,

lub w postaci równoważnej powyższej równości:

Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Q

Me

Q

Q

A

Q

2

2

1

3

−

+

=

,

gdzie Q

1

i Q

3

to odpowiednio pierwszy i trzeci kwartyl, Me – mediana, Q – odchylenie

ćwiartkowe.

Większa, co do modułu, wartość współczynnika A

Q

wskazuje na silniejszą asymetrię

rozkładu. Współczynniki asymetrii są liczbami niemianowanymi.

Liczbowy opis rozkładu można uzupełnić wykresem pudełkowym (ramkowym). W

opisie z wykorzystaniem kwartyli wykres ten składa się z prostokąta o dowolnej szerokości,
którego wysokość wyznaczają pierwszy Q

1

i trzeci Q

3

kwartyl. Wewnątrz prostokąta

zaznaczana jest mediana. Prostokąt uzupełniają dwa odcinki (wąsy): jeden łączy bok
prostokąta na poziomie Q

1

z wartością minimalną zbioru danych, drugi zaś łączy Q

3

z

wartością maksymalną. Położenie mediany względem kwartyli pozwala ocenić symetrię
rozkładu; gdy odległość miedzy medianą a Q

1

jest większa niż między medianą a Q

3

, rozkład

jest lewostronnie asymetryczny, gdy jest odwrotnie otrzymany rozkład charakteryzuje się
asymetrią prawostronną.

Wykres ramkowy charakterystyk pozycyjnych rozkładu zmiennej wzrost (tabela 3).

przedstawiony jest na rysunku 26.

Maks = 170 cm
Min = 136 cm
75% = 157 cm
25% = 150 cm

Mediana:
Med = 153 cm

Wykres ramkowy

130

135

140

145

150

155

160

165

170

175

Wzrost

Rys. 26. Wykres ramkowy (pudełkowy) obrazujący graficznie położenie mediany, kwartyli

oraz wartości minimalnej i maksymalnej zbioru danych

W legendzie obok wykresu podane są: wartość maksymalna x

max

= 170 cm, wartość

minimalna x

min

= 136 cm, kwartyl dolny Q

1

= 150 cm, kwartyl górny Q

3

= 157 cm, oraz

mediana Me = 153 cm. Położenie mediany (kwadracik wewnątrz prostokąta) względem
boków prostokąta na poziomie kwartyli wskazuje na słabą asymetrię prawostronną rozkładu.

Współczynnik asymetrii A

Q

jest równy w tym przypadku:

14

,

0

7

1

150

157

153

2

150

157

≈

=

−

⋅

−

+

=

Q

A

.

Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Dwa zastosowania odchylenia standardowego

W zastosowaniach praktycznych odchylenie standardowe wykorzystywane jest do określania

obszaru wartości typowych dla danego rozkładu symetrycznego (w praktyce również rozkładu o
niewielkiej asymetrii) według zależności:

M – S < x

typ

< M + S

Obserwacje (dane) należące do tego obszaru, to wartości zmiennej typowe w badanej zbiorowości.

Jeżeli rozkład można uznać za rozkład normalny (w sensie zgodności badanego rozkładu
empirycznego z teoretycznym rozkładem normalnym wykazanej w procedurze weryfikacji
odpowiedniej hipotezy zgodności), poza obszarem typowym znajdzie się tylko około 32%
zbiorowości. Zatem typowe wartości analizowanej zmiennej to te, które zaobserwowano u ok. 68%
badanej zbiorowości.

Równie ważną rolę w praktyce statystycznej odgrywa mająca swe podstawy w nierówności

Czebyszewa tzw. reguła trzech sigm, w której odchylenie standardowe wykorzystuje się do
określenia obszaru wartości bardzo mało prawdopodobnych. Mówi ona o tym, że
prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennej różniącej się o więcej niż trzy odchylenia
standardowe od średniej rozkładu tej zmiennej w populacji, wynosi mniej niż 0,001. Stosując tę
regułę możemy „wyłapać” takie dane, które pojawiły się w analizowanym zbiorze danych
przypadkowo.

Statystyka w badaniach. Opis statystyczny struktury danych. część 2

Urszula Augustyńska

Ćwiczenia i zadania

Zadanie 1.(T. Zimny, Metody statystyczne w badaniach i diagnostyce pedagogicznej. Wyd. Nauk.
Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 2007)
W oddziałach „a” i „b” IV klasy pewnej szkoły podstawowej przeprowadzono test zdolności
manualnych. Otrzymane rozkłady wyników testowych charakteryzują następujące miary:

Dolny

kwartyl

Mediana

Średnia

arytmetyczna

Odchylenie

standardowe

Oddział „a”

47 p

52 p

55 p

10 p

Oddział „b”

48 p

54 p

54 p

8 p

Na podstawie podanych charakterystyk rozkładów wyników testowych w oddziale „a” i oddziale „b”
określ prawdziwość stwierdzeń:

a) Połowa uczniów klasy IV oddziału „a” uzyskała nie więcej niż 52 punkty

Tak

Nie

b) Przeciętnie zdolności uczniów oddziału „a” są wyższe niż zdolności
uczniów oddziału „b”

Tak

Nie

c) W oddziale „a” jest kilku wyjątkowo zdolnych uczniów

Tak

Nie

d) W oddziale „b” 25% uczniów uzyskało nie więcej niż 48 punktów

Tak

Nie

e) Rozkład wyników testu zdolności w oddziale „a” jest symetryczny

Tak

Nie

f) Rozproszenie wyników testu jest większe w oddziale „a”

Tak

Nie

g) 75% uczniów oddziału „b” uzyskało wynik nie niższy niż 48 punktów

Tak

Nie

Wyniki typowe testu w oddziele „b” to wyniki od 46 punktów do . ........

Zadanie 2.
a) Jeżeli wzrost dziecka odpowiada 70 centylowi, to jaki procent dzieci jest od niego niewyższych?

b) Jeżeli masa ciała Jasia odpowiada 8 decylowi, to jaki procent dzieci ma masę ciała większą niż Jaś?

c) Jeżeli wzrost Jasia odpowiada 9 decylowi a masa ciała 30 centylowi to możemy się spodziewać, że
Jaś jest stosunkowo:

- niski i masywny
- wysoki i masywny
- niski i szczupły
- wysoki i szczupły

Zadanie 3
a) Ustal relację między miarami opisującymi ten sam rozkład (wstaw w miejsce kropek znak „<”, „>”
lub „=”):

Me ...... Q

1

Q

1

......... D

1

C

30

........ D

3

Q

1

....... C

30

b) Uzupełnij tak aby równość była prawdziwa w analizowanym rozkładzie (w miejsce kropek wpisz
odpowiedni numer centyla lub decyla):

Me = Q..... = D..... = C ......
Q

1

= C.....

C

30

= C.....