Wykªad 9

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

02 12 2008

c

Mariusz Krasi«ski 2008

Spis tre±ci

1 Fale elektromagnetyczne

1

1.1 Wªasno±ci fali elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Fala elektromagnetyczna w o±rodku materialnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Polaryzacja

3

2.1 Podczas rozpraszania ±wiatªo ulega polaryzacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2 Aktywno±¢ optyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Polaryzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4 Dwójªomno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.5 Polaryzacja pomaga zobaczy¢ napr¦»enia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.6 Zjawiska na granicy dwóch o±rodków. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Elementy optyki geometrycznej

9

3.1 Prawo zaªamania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Zasada Huygensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Zaªamanie falowo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Odchylenie promienia... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«! Wyliczenia zamieszczone w

ramkach stanowi¡ materiaª uzupeªniaj¡cy.

Lektura uzupeªniaj¡ca:
M. Krasi«ski, Fale rozdziaª 11 (strony 267-300) w skrypcie pt. Wst¦p do analizy matematycznej i wybranych

dziaªów zyki, red. A. Just, Wyd. Polit. Šódzkiej, Šód¹ 2007.

1 Fale elektromagnetyczne

1.1 Wªasno±ci fali elektromagnetycznej

Wymie«my kilka cech fali elektromagnetycznej, które b¦d¡ przydatne przy omawianiu zagadnie« z optyki.

•

™ródªem fali elektromagnetycznej jest przyspieszaj¡cy ªadunek (na przykªad ªadunek poruszaj¡cy si¦

ruchem harmonicznym ale tak»e ªadunek poruszaj¡cy si¦ ze staª¡ co do warto±ci pr¦dko±ci¡ po okr¦gu!)

•

Fala elektromagnetyczna jest fal¡ poprzeczn¡

•

W punkcie, do którego dociera fala, nat¦»enie pola elektrycznego zmienia si¦ zgodnie z relacj¡

E = E

0

cos(ωt − kx)

(1.1)

(a dokªadniej zmienia si¦ zarówno warto±¢ jak i zwrot). Wynika z tego, »e ka»dy punkt do którego dociera

fala mo»na sobie wyobrazi¢ jako punkt znajduj¡cy si¦ pomi¦dzy okªadkami kondensatora, na których

periodycznie zamieniamy ªadunki: dodatnie-ujemne.

1

1.1 Wªasno±ci fali elektromagnetycznej

1 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

•

Drgaj¡cy ªadunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. W kierunku, w którym drga

ªadunek, fala elektromagnetyczna nie rozchodzi si¦.

•

G¦sto±¢ strumienia energii (ilo±¢ energii przez jednostk¦ powierzchni, w jednostce czasu) przenoszonej

przez pªask¡ fal¦ elektromagnetyczn¡, rozchodz¡c¡ si¦ w kierunku osi z, wynosi

S = c

0

E

2

0

cos

2

(kz − ωt + δ)ˆ

z

(1.2)

Z uwagi na du»¡ cz¦stotliwo±¢ fali ±wietlnej (T ∼ 10

−15

s), w praktycznych zastosowaniach, znacznie

wa»niejsze s¡ dla nas warto±ci ±rednie po caªym cyklu (okresie). ‘rednia warto±¢ kwadratu cosinusa

po caªym okresie wynosi 1/2. Z równania (1.2) wynika wi¦c, »e ±rednia moc na jednostk¦ powierzchni

przenoszona przez fal¦ elektromagnetyczn¡ (nazywana nat¦»eniem fali I) wynosi

I ≡ hSi =

1

2

c

0

E

2

0

(1.3)

1.1.1 Fala elektromagnetyczna w pró»ni
Je±li nie rozumiesz przeksztaªce« matematycznych, nie przejmuj si¦. Wªa±ciwie nie

powiniene± ich rozumie¢ i nie b¦d¡ wymagane na egzaminie. Postaraj si¦ jednak zrozumie¢

chocia» ogóln¡ ide¦ tego wyprowadzenia

Równania Maxwella w pró»ni maj¡ nast¦puj¡c¡ posta¢

~

∇ · ~

E = 0

(1.4)

~

∇ · ~

B = 0

(1.5)

~

∇ × ~

E = −

∂ ~

B

∂t

(1.6)

~

∇ × ~

B = µ

0



0

∂ ~

E

∂t

(1.7)

Je±li wykonamy rotacj¦ obu stron równania (1.6) wtedy otrzymamy

~

∇ × (~

∇ × ~

E) = ~

∇ ×

−

∂ ~

B

∂t

!

(1.8)

Po zastosowaniu to»samo±ci, któr¡ mo»na znale¹¢ w podr¦cznikach matematyki, równanie

(1.8) przyjmie posta¢

~

∇(~

∇ · ~

E) − ∇

2

~

E = −

∂

∂t

( ~

∇ × ~

B)

(1.9)

Je±li w równaniu (1.9) wykorzystamy dwa z równa« Maxwella (1.4) i (1.7) wtedy otrzy-

mamy

−∇

2

~

E = −

∂

∂t

µ

0



0

∂ ~

E

∂t

!

albo, po wyª¡czeniu staªych przed symbol pochodnej

∇

2

~

E = µ

0



0

∂

2

~

E

∂t

2

(1.10)

Równanie (1.10) to oczywi±cie równanie falowe. W takim razie w pró»ni mog¡ si¦ roz-

chodzi¢ fale elektromagnetyczne. Z poprzednich wykªadów wiemy, »e staªa po prawej

stronie równania (1.10) jest odwrotno±ci¡ kwadratu pr¦dko±ci fazowej takiej fali

1

v

2

= µ

0



0

St¡d pr¦dko±¢ fazowa fali elektromagnetycznej w pró»ni ma warto±¢

v =

1

√

µ

0



0

c

Mariusz Krasi«ski 2008

2

1.2 Fala elektromagnetyczna w o±rodku materialnym

2 POLARYZACJA

1.2 Fala elektromagnetyczna w o±rodku materialnym

Dla opisu rozchodzenia si¦ fali w o±rodku materialnym stosujemy cz¦sto tak zwany oscylatorowy model o±rodka.

Przechodz¡ca przez o±rodek fala napotyka na swej drodze ªadunki, które usiªuje wprawi¢ w drgania harmoniczne.

Te drgaj¡ce ªadunki traktujemy jako oscylatorki. Mo»emy opisa¢ ruch tych oscylatorków jako ruch harmoniczny

wymuszony z tªumieniem.

Rysunek 1: Oscylatorowy model o±rodka

Oscylatorki same staj¡ si¦ ¹ródªami fal elektromagnetycznych, które nakªadaj¡ si¦ na fal¦ oryginaln¡. Pami¦ta-

jmy jednak, »e w przypadku ruchu harmonicznego wymuszonego z tªumieniem, pomi¦dzy faz¡ siªy wymuszaj¡cej

a faz¡ wymuszanego drgania wyst¦puje przesuni¦cie fazowe. W takim razie, pomi¦dzy faz¡ fali oryginalnej i

wtórnej (generowanej przez oscylatorek) tak»e wyst¦puje przesuni¦cie fazowe.
Ostatecznie takie nakªadanie si¦ fal prowadzi do efektu rejestrowanego jako zmiana pr¦dko±ci rozchodzenia si¦

fali ±wietlnej w o±rodku. Dokªadniejsze omówienie tego efektu mo»na znale¹¢ w podr¦cznikach optyki. Dla

naszych celów, na razie wystarczy nam tylko infomacja, »e pr¦dko±¢ ulega zmianie. T¦ zmian¦ pr¦dko±ci opisuje

wielko±¢ zwan¡ wspóªczynnikiem zaªamania ±wiatªa w danym o±rodku. Jest on deniowany jako

n =

c

v

(1.11)

gdzie c jest pr¦dko±ci¡ ±wiatªa w pró»ni, za± v pr¦dko±ci¡ ±wiatªa w o±rodku.

2 Polaryzacja

Poniewa» fala elektromagnetyczna jest fal¡ poprzeczn¡, to opisuj¡c j¡ trzeba okre±li¢ kierunek (a dokªadniej

pªaszczyzn¦) drga«. Podanie polaryzacji fali oznacza wªa±nie podanie pªaszczyzny jej drga«. (Uwaga! Dla fali

podªu»nej jest tylko jedna mo»liwo±¢ drga«, wi¦c poj¦cie polaryzacji wªa±ciwie nie ma sensu)

•

‘wiatªo niespolaryzowane to wiele fal (które nie musz¡ by¢ w fazie) posiadaj¡cych ró»ne pªaszczyzny

polaryzacji. ›aden kierunek drga« nie jest wyró»niony.

•

‘wiatªo spolaryzowane. Wszystkie fale maj¡ t¦ sa m¡ pªaszczyzn¦ drga«.

Stopie« polaryzacji

s =

I

max

− I

min

I

max

+ I

min

(2.1)

gdzie......................

2.1 Podczas rozpraszania ±wiatªo ulega polaryzacji

Kiedy ±wiatªo rozprasza si¦, na przykªad na cz¡stkach kurzu w powietrzu, wtedy ulega polaryzacji. Dodatkowo,

polaryzacja ±wiatªa rozproszonego zale»y od kierunku rozproszenia.

c

Mariusz Krasi«ski 2008

3

2.2 Aktywno±¢ optyczna

2 POLARYZACJA

Rysunek 2: ‘wiatªo rozproszone jest spolaryzowane

2.1.1 Dlaczego wida¢ promie« ±wiatªa

Tylko dzi¦ki rozpraszaniu.

2.1.2 Dlaczego niebo jest niebieskie?

Im mniejsza dªugo±¢ fali, tym bardziej rozprasza si¦ ona na obiektach w atmosferze. Wynika z tego, »e ±wiatªo

niebieskie znacznie bardziej si¦ rozprasza ni» czerwone. A kiedy patrzymy w niebo to wªa±nie widzimy ±wiatªo

rozproszone. (Na Ksi¦»ycu niebo jest czarne bo ±wiatªo nie ma si¦ na czym rozproszy¢!)

2.2 Aktywno±¢ optyczna

Niektóre substancje (na przykªad roztwór cukru) s¡ w stanie skr¦ca¢ pªaszczyzn¦ polaryzacji fali, która przez

nie przechodzi. Nazywamy je substancjami aktywnymi optycznie. Takie zjawisko przedstawione jest na rysunku

poni»ej.

Rysunek 3: Podczas przechodzenia przez o±rodek aktywny optycznie pªaszczyzna polaryzacji ulega stopniowemu

obrotowi.

W przypadku roztworów aktywnych optycznie, k¡t skr¦cenia α jest proporcjonalny do drogi przebytej w o±rodku

(d) oraz st¦»enia roztworu C .

α = kαC

gdzie k jest tak zwanym wspóªczynnikiem skr¦calno±ci (skr¦calno±ci¡ wªa±ciw¡) substancji.
Cz¡steczki substancji aktywnych optycznie maj¡ specyczn¡ budow¦ a dokªadniej specyczny brak symetrii

(chiralno±¢). Je±li starczy czasu, omówimy to troch¦ dokªadniej na wykªadzie.

2.3 Polaryzator

2.3.1 Która polaryzacja jest przepuszczana?

Jeden z najbardziej popularnych typów polaryzatorów wygl¡da jak szara pªytka szklana. W rzeczywisto±ci,

najcz¦±ciej s¡ to dwie pªytki szklane, pomi¦dzy którymi znajduje si¦ folia polaryzacyjna. Jej dziaªanie opiera

si¦ na pochªanianiu fal o niewªa±ciwej polaryzacji. Budulcem tej folii s¡ dªugie, uªo»one równolegle cz¡steczki,

w których elektrony maj¡ znacznie wi¦ksz¡ swobod¦ poruszania si¦ wzdªu» dªugiej osi cz¡steczek. Wªa±nie fale

o polaryzacji równolegªej do tych cz¡steczek s¡ silnie pochªaniane. Fale o polaryzacji prostopadªej do cz¡steczek

przechodz¡ bez przeszkód (prawie).

c

Mariusz Krasi«ski 2008

4

2.4 Dwójªomno±¢

2 POLARYZACJA

Rysunek 4: Zasada dziaªania polaryzatora foliowego

2.3.2 Prawo Malusa

Na rysunku poni»ej, ±wiatªo o pionowej polaryzacji wychodzi z kartki do naszego oka. Czarny prostok¡t oznacza

kraw¦d¹ pªaszczyzny przepuszczania polaryzatora (polaryzator le»y na kartce).

Rysunek 5: Ilustracja do prawa Malusa. Dopisz obja±nienia na wykªadzie.

Wektor nat¦»enia pola elektrycznego ~

E

0

fali oryginalnej mo»emy rozªo»y¢ na skªadowe: równolegª¡ i prostopadª¡

do pªaszczyzny przepuszczania polaryzatora. Oczywi±cie tylko skªadowa równolegªa przejdzie przez polaryzator.

Jej amplituda, zgodnie z rysunkiem powy»ej, b¦dzie wynosi¢:

E = E

0

cos(φ)

(2.2)

Poniewa» z wcze±niejszych fragmentów wykªadu (równanie 1.3) wiemy, »e nat¦»enie fali jest proporcjonalne do

kwadratu jej amplitudy

I ∝ E

2

(2.3)

wi¦c z (2.2) i (2.3) otrzymujemy

I = I

0

cos

2

(φ)

(2.4)

Stosuj¡c to prawo pami¦taj, »e ±wiatªo o nat¦»eniu I

0

musi by¢ caªkowicie spolaryzowane. Je±li ±wiatªo caªkowicie

niespolaryzowane pada na idealny polaryzator to nat¦»enie wi¡zki wychodz¡cej wynosi I =

1
2

I

0

. Dlatego wªa±nie

taki polaryzator wydaje si¦ szary.

2.4 Dwójªomno±¢

Gdy ±wiatªo przechodzi przez niektóre krysztaªy (na przykªad krysztaª kalcytu) zaobserwowa¢ mo»na dziwne

zjawisko zwane dwójªomno±ci¡. Promie« ±wiatªa rozdziela si¦ na dwa promienie biegn¡ce ró»nymi drogami.

Promienie te s¡ spolaryzowane. Plaszczyzny ich polaryzacji s¡ prostopadªe.

Rysunek 6: Bieg promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego w krysztale dwójªomnym.

c

Mariusz Krasi«ski 2008

5

2.5 Polaryzacja pomaga zobaczy¢ napr¦»enia.

2 POLARYZACJA

Efekt wyst¦puje w o±rodkach, w których wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa jest anizotropowy. To oznacza, »e

pr¦dko±¢ rozchodzenia si¦ ±wiatla w ró»nych kierunkach jest ró»na. Dodatkowo charakterystyka rozchodzenia

si¦ ±wiatªa musi zale»e¢ od polaryzacji ±wiatªa. ‘wiatªo musi pada¢ na krysztaª w szczególny sposób. Kierunek

padania ±wiatla musi by¢ uko±ny do kierunku osi optycznej krysztaªu (patrz rysunek poni»ej). O± optyczna to

kierunek, w którym wspóªczynniki zaªamania ±wiatªa dla obu polaryzacji s¡ jednakowe.

Rysunek 7: Ilustracja do wyja±nienia zjawiska dwójªomno±ci. Szczegóªowy opis powy»szego rysunku podany

zostanie na wykªadzie. Dodaj opisy samodzielnie.

Aby wyja±ni¢ sposób rozchodzenia si¦ promienia nadzwyczajnego musimy znowu przypomnie¢ sobie zasad¦

Huygensa

Ka»dy punkt, do którego dociera fala staje si¦ ¹ródªem fali kulistej.

Rysunek 8: Rysunek wyja±nia dlaczego dwa promienie pod¡»aj¡ innymi drogami, a jeden z nich zdaje si¦ nie

stosowa¢ do reguª rozchodzenia si¦ ±wiatªa. D

odaj opisy.

2.5 Polaryzacja pomaga zobaczy¢ napr¦»enia.

Dzi¦ki zastosowaniu metod polaryzacyjnych (elastooptyka) mo»emy zobaczy¢ napr¦»enia wyst¦puj¡ce w ciaªach

przezroczystych. W tym celu mo»emy wykorzysta¢ dwa zjawiska zyczne, które wyst¦puj¡ gdy w ciele wyst¡pi¡

napr¦»enia.

2.5.1 Wymuszona aktywno±¢ optyczna

Niektóre materiaªy na skutek wyst¦puj¡cych w nich napr¦»e« staj¡ si¦ aktywne optycznie.

c

Mariusz Krasi«ski 2008

6

2.6 Zjawiska na granicy dwóch o±rodków.

2 POLARYZACJA

Rysunek 9: Wymuszona aktywno±¢ optyczna. Dodaj opisy na wykªadzie.

2.5.2 Wymuszona dwójªomno±¢ optyczna

Niektóre materiaªy na skutek wyst¦puj¡cych w nich napr¦»e« staj¡ si¦ dwójªomne optycznie.

Rysunek 10: Wymuszona dwójªomno±¢ optyczna. Dodaj opisy na wykªadzie.

2.6 Zjawiska na granicy dwóch o±rodków.

2.6.1 Okulary polaryzacyjne

W sklepach mo»na kupi¢ okulary polaryzacyjne. Okulary te pomagaj¡ likwidowa¢ odbªyski od wody, lodu czy

innych gªadkich powierzchni.

Rysunek 11: Dlaczego okulary polaryzacyjne likwiduj¡ odblaski?

Aby zrozumie¢ dlaczego takie okulary likwiduj¡ odbªyski musimy najpierw zrozumie¢ co si¦ dzieje kiedy ±wiatªo

odbija si¦ od granicy o±rodków przezroczystych.

2.6.2 Odbicie ±wiatªa od o±rodków przezroczystych

Kiedy fala elektromagnetyczna pada na granic¦ dwóch o±rodków, cz¦±¢ fali si¦ odbija a cz¦±¢ zaªamuje. Je±li

wykorzystamy warunki ci¡gªo±ci nat¦»enia pola elektrycznego i magnetycznego na granicy o±rodków wtedy

mo»emy wyliczy¢ amplitud¦ fali odbitej i zaªamanej w zale»no±ci od pªaszczyzny polaryzacji fali.
Gdy wektor pola elektrycznego zawiera si¦ w pªaszczy¹nie padania

c

Mariusz Krasi«ski 2008

7

2.6 Zjawiska na granicy dwóch o±rodków.

2 POLARYZACJA

Rysunek 12: Wektor pola elektrycznego fali padaj¡cej zawiera si¦ w pªaszczy¹nie padania. Dopisz opisy do tego

rysunku na wykªadzie.

wtedy otrzymamy:

E

odb

=

n cos α −

q

1 −

sin

2

α

n

2

n cos α +

q

1 −

sin

2

α

n

2

E

pad

(2.5)

Zauwa»my, »e E

odb

mo»e si¦ równa¢ zero. (Zobacz te» rysunek 13).

Mo»na pokaza¢ (Dodatek 2.6.3), »e E

odb

b¦dzie równe zero je±li speªniony b¦dzie warunek

α + β =

π

2

(2.6)

To jest znany warunek na k¡t Brewstera (α)!
Dla pola elektrycznego równolegªego do powierzchni odbijaj¡cej

E

0

odb

=

cos α −

p

n

2

− sin

2

α

cos α +

p

n

2

− sin

2

α

E

0

pad

(2.7)

Mo»na wykaza¢, »e nie ma takiego k¡ta padania dla którego E

0

odb

= 0

. Tak wi¦c ta skªadowa polaryzacji nigdy

nie znika w ±wietle odbitym.

Rysunek 13: Nat¦»enie i stopie« polaryzacji ±wiatªa odbitego w funkcji k¡ta padania fali ±wietlnej. Dodaj opisy

na wykªadzie.

Mo»emy wi¦c zaobserwowa¢, »e je±li ±wiatªo pada na granic¦ o±rodków pod k¡tem Brewstera, wtedy odbite

±wiatªo jest caªkowicie spolaryzowane w jednej pªaszczy±nie

c

Mariusz Krasi«ski 2008

8

3 ELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

2.6.3 Dodatek (K¡t Brewstera)

Aby E

odb

, wyst¦puj¡ce w równaniu (2.5) byªo równe zero, licznik wyra»enia (2.5) musi

by¢ równy zero co b¦dzie miaªo miejsce gdy speªniony b¦dzie warunek:

n cos α =

s

1 −

sin

2

α

n

2

(2.8)

Poniewa» z prawa zaªamania

n =

sin α

sin β

(2.9)

wi¦c po podstawieniu (2.9) do (2.8) otrzymamy:

n cos α = cos β

(2.10)

Korzystaj¡c ponownie z prawa zaªamania i równania (2.10) mamy:

n =

sin α

sin β

=

cos β

cos α

sin α cos α = sin β cos β

2 sin α cos α = 2 sin β cos β

sin(2α) = sin(2β)

(2.11)

Rozwi¡zanie równania (2.11) postaci α = β nie jest dobrym rozwi¡zaniem gdy» wtedy

z (2.10) otrzymujemy

n cos α = cos α

i

n = 1

Dlaczego to jest bez sensu?

Lepsze rozwi¡zanie równania (2.11) to:

2α = π − 2β

czyli

α + β =

π

2

(2.12)

To jest wªa±nie warunek na k¡t Brewstera!

Rozpatrzmy na koniec przypadek ±wiatªa padaj¡cego prostopadle na granic¦ o±rodków

α = β = 0

(2.13)

Podstawiaj¡c relacj¦ (2.13) do równa« (2.5) i (2.7) i pami¦taj¡¢, »e I ∼ E

2

otrzymamy:

I

odb

=

 n − 1

n + 1



2

I

pad

(2.14)

Na podstawie (2.14) wspóªczynnik odbicia R dla promienia padaj¡cego prostopadle na granic¦ o±rodków wynosi:

R =

I

odb

I

pad

=

 n − 1

n + 1



2

(2.15)

Podstawiaj¡c do (2.15) typowe dane dla szkªa (n ≈ 1, 5), otrzymamy

R =

 1, 5 − 1

1, 5 + 1



2

=

 0, 5

2, 5



2

= 0, 04

3 Elementy optyki geometrycznej (materiaª powtórzeniowy i dodatkowy)

3.1 Prawo zaªamania

Rysunek 14: Prawo zaªamania.

c

Mariusz Krasi«ski 2008

9

3.2 Zasada Huygensa

3 ELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

sin α

sin β

=

v

1

v

2

=

n

2

n

1

Aby uzasadni¢ to prawo musimy rozpatrywa¢ ±wiatªo jako fal¦

3.2 Zasada Huygensa

Ka»dy punkt do którego dociera fala staje si¦ ±ródªem fali kulistej.

3.3 Zaªamanie falowo

Przypomnij sobie jak skr¦ca czoªg albo ci¡gnik g¡siennicowy.

Rysunek 15: Falowe wyja±nienie prawa zaªamania.

Odcinki AA

0

oraz BB

0

przebywane s¡ w jednakowym czasie (czoªo fali ª¡czy punkty fali posiadaj¡ce jednakow¡

faz¦) ale z ró»n¡ pr¦dko±ci¡ (ró»ne o±rodki)

AA

0

= v

2

t

(3.1)

BB

0

= v

1

t

(3.2)

Na podstawie rysunku powy»ej i równa«: (3.1), (3.2) mo»emy zapisa¢

sin α =

BB

0

AB

0

=

v

1

t

AB

0

(3.3)

sin β =

AA

0

AB

0

=

v

2

t

AB

0

(3.4)

Po podzieleniu równa« (3.3) oraz (3.4) stronami otrzymamy prawo zaªamania

sin α

sin β

=



v

1

t

AB

0





v

2

t

AB

0



=

v

1

v

2

=

c/n

1

c/n

2

=

n

2

n

1

3.4 Odchylenie promienia w o±rodku o zmiennym wspóªczynniku zaªamania

Rysunek 16: Je±li w naczyniu znajduje si¦ substancja, w której wyst¡puje pionowy gradient wspóªczynnika zaªa-

mania wtedy nawet promie« ±wiatªa padaj¡cy prostopadle na granic¦ powietrze-substancja ulega zakrzywieniu.

K¡t o jaki odchyli si¦ promie« ±wiatªa mo»na wyliczy¢ z zale»no±ci:

tgα = L

dn

dy

(3.5)

gdzie L jest grubosci¡ o±rodka za± o± y jest pionowa. Wzór obowi¡zuje dla maªych k¡tów α

c

Mariusz Krasi«ski 2008

10

3.4 Odchylenie promienia...

3 ELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

Wyprowadzenie zale»no±ci (3.5)

Rysunek 17: Rysunek ilustruj¡cy wyprowadzenie wzoru (3.5).

Na podstawie rysunku 17, ªatwo zauwa»y¢, »e

tgα =

BD

BF

(3.6)

FD jest czoªem fali wi¦c

t

AD

= t

EF

Czas t

EF

mo»na zapisa¢ jako

t

AB

+ t

BD

= t

EF

czyli

L

v

A

+

BD

c

=

L

v

E

(3.7)

gdzie

AB = EF = L

(3.8)

Korzystaj¡c z denicji wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa n = c/v mo»emy równanie (3.7) zapisa¢

w postaci

Ln

A

c

+

BD

c

=

Ln

E

c

(3.9)

Z równania (3.9) mo»emy wyliczy¢ dªugo±¢ odcinka BD. Wynosi ona

BD = L(n

E

− n

A

)

(3.10)

Podstawiaj¡c do równania (3.6) wyliczon¡ z równania (3.10) warto±¢ BD oraz bior¡c pod

uwag¦ zale»no±¢ (3.8), otrzymujemy

tgα =

BD

BF

=

L(n

E

− n

A

)

EA

(3.11)

Ostatecznie, wzór (3.11) mo»emy zapisa¢ w ogólnej postaci

tgα = L

dn

dy

(3.12)

gdzie o± y, na rysunku 17 jest pionowa. Pami¦taj, »e wzór (3.12) obowi¡zuje wyª¡cznie dla maªych
k¡tów α.

Rysunek 18: Metoda cieniowa wykorzystuje zagi¦cie promienia ±wiatªa w o±rodku o zmiennym wspóªczynniku

zaªamania.

c

Mariusz Krasi«ski 2008

11