Fizyka kwantowa I

Andrzej Raczy´

nski

Opracowanie niniejsze obejmuje materia l wyk ladu w trzecim semestrze studi´

ow

w roku 2000/2001 i nie wykracza w zasadzie poza ten materia l. D lu˙zsze obliczenia

zosta ly przedstawione w skr´

ocie. Opracowanie ma charakter roboczy i mo˙ze s lu˙zy´

c

jako uzupe lnienie notatek, nie mo˙ze natomiast zast¸

api´

c lektury podr¸

ecznik´

ow

daj¸

acej rozszerzenie informacji przedstawionych na wyk ladzie.

Prezentacja nie jest zupe lnie ´

scis la z matematycznego punktu widzenia.

W

szczeg´

olno´

sci nie zwraca si¸

e uwagi na fakt, ˙ze pojawiaj¸

ace si¸

e operatory nieogranic-

zone okre´

slone s¸

a nie na ca lej przestrzeni lecz na jej g¸

estym podzbiorze.

W

spos´

ob nieformalny rozszerzono przestrze´

n funkcji ca lkowalnych z kwadratem przez

do l¸

aczenie funkcji normowalnych w sensie Diraca. Trzema gwiazdkami oznaczono

formu ly szczeg´

olnie wa˙zne. Zalecane podr¸

eczniki:

1. R.Eisberg, R.Resnick, Fizyka kwantowa, PWN, Warszawa 1983;

2. H.Haken, H.C.Wolf, Atomy i kwanty, PWN, Warszawa 1997;

3. L.Schiff, Mechanika kwantowa, PWN,Warszawa 1977;

4. R.L.Liboff, Wst¸

ep do mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa 1987;

5. G.K.Woodgate, Struktura atomu, PWN, Warszawa, 1974;

6. I.Bia lynicki-Birula, M.Cieplak, J.Kami´

nski, Teoria kwant´

ow, PWN, Warszawa

1971;

7. L.D.Landau, E.M.Lifszyc, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa, 1979;

8. J.Ginter, Wst¸

ep do fizyki atomu, cz¸

asteczki i cia lasta lego, PWN, Warszawa, 1979.

PACS numbers:

I.

WSTE

¸ P I ELEMENTY HISTORII

Fizyka kwantowa jako wyk ladany przedmiot ma specjalne znaczenie. Przede wszystkim

dostarcza j¸ezyka, a wi¸ec aparatury poj¸eciowej i formalizmu, kt´

ore b¸ed¸

a u˙zywane w trakcie

innych wyk lad´

ow. Ma tak˙ze znaczenie og´

olnoksza lc¸

ace, formacyjne, poniewa˙z zmusza do

2

porzucenia ´swiatopogl¸

adu naiwnie realistycznego, a wnioski teorii kwantowej musz¸

a by´

c

brane pod uwag¸e przy tworzeniu wizji ´swiata nawet na prywatny u˙zytek. Histori¸e mechaniki

kwantowej uwa˙za si¸e te˙z za typowy przyk lad powstawania nowej teorii naukowej.

Mechanika kwantowa zmusza do nowego rozumienia poj¸e´

c takich jak cz¸astka, jej ruch,

jej struktura, uk lady rozseparowane, zwi¸

azek przyczynowy czy niezale˙zno´s´

c przedmiotu

poznania od obserwatora. W pewnych warunkach nie mo˙zna stosowa´

c logicznej zasady

wy l¸

aczonego ´srodka (zachodzi ”a” lub ”nie a”).

Jako´sciowo nowe elementy to:

1. Opis probabilistyczny, tzn. typowa odpowied´

z na pytanie, czy wielko´s´

c fizyczna dla

danego uk ladu przyjmuje warto´s´

c z przedzia lu (a, b), brzmi: ”tak” z prawdopodobie´

nstwem

p i ”nie” z prawdopodobie´

nstwem 1 − p. Prawdopodobie´

nstwa dodaj¸

a si¸e z mo˙zliwo´sci¸

a

interferencji;

2. Komplementarno´s´

c, tzn. okre´slaj¸

ac pewne wielko´sci charakteryzuj¸

ace uk lad musimy

zrezygnowa´

c z okre´slenia pewnych innych wielko´sci;

3. Kwantyzacja wielko´sci fizycznych jako regu la, tzn. je´sli wielko´s´

c fizyczna mo˙ze przyj-

mowa´

c warto´sci a i b, to mo˙ze nie by´

c mo˙zliwe, by przyjmowa la dowoln¸

a warto´s´

c rzeczywist¸

a

z przedzia lu (a, b);

4. Istnienie wielko´sci fizycznych nie maj¸

acych klasycznego odpowiednika, np. spinu - mo-

mentu p¸edu nie zwi¸

azanego z ruchem;

5. Nierozr´

o˙znialno´s´

c cz¸

astek identycznych.

Teoria kwantowa stanowi pot¸e˙zne narz¸edzie pozwalaj¸

ace skutecznie przewidzie´

c wyniki

pomiar´

ow. W warstwie j¸ezykowej nie jest natomiast teori¸

a sko´

nczon¸

a - brak jest zar´

owno

pogl¸

adowego, intuicyjnego rozumienia jej poj¸e´

c i praw, jak i pe lnej zgody specjalist´

ow co do

ich interpretacji.

Skala typowych wielko´sci w fizyce atomowej to:

1. rozmiary atom´

ow rz¸edu 10

−10

m, rozmiary j¸

adra atomowego rz¸edu 10

−14

m;

2. masa elektronu 9.11 × 10

−31

kg, masa protonu 1.67 × 10

−27

kg;

3. czasy charakterystyczne w fizyce atomowej rz¸edu 10

−16

s, w fizyce j¸

adrowej o kilka rz¸ed´

ow

kr´

otsze;

4. momenty p¸edu - wielokrotno´sci sta lej Plancka ~ = 1.054 × 10

−34

Js;

5. pr¸edko´s´

c elektronu na pierwszej orbicie (poj¸ecia nie u˙zywane w nowoczesnej teorii) -

rz¸edu 10

6

m/s;

3

6. energia elektronu w stanie podstawowym atomu wodoru 2.18 × 10

−18

J=13.6 eV, energia

spoczynkowa elektronu 0.511 MeV, energia oscylacyjna drobiny - kilkadziesi¸

at meV, energia

rotacji drobiny - dwa rz¸edy mniej.

Pierwszy etap powstawania teorii kwantowej (pierwsze ´

cwier´

cwiecze wieku) polega l na

pr´

obach ratowania fizyki klasycznej przez do l¸

aczanie sztucznych postulat´

ow kwantowych

(postulaty ”ad hoc”) w celu zinterpretowania poszczeg´

olnych do´swiadcze´

n. Najwa˙zniejsze

problemy i wydarzenia z tego okresu to:

1. Promieniowanie cia la doskonale czarnego.

Rozwa˙zmy promieniowanie zamkni¸ete w pudle o doskonale odbijaj¸

acych ´sciankach. Uk lad

jest w r´

ownowadze i jego temperatura wynosi T . Niech ρ(ν) b¸edzie energi¸

a przypadaj¸

ac¸

a

na jednostk¸e obj¸eto´sci i na jednostk¸e cz¸esto´sci ν. Wykres ρ(ν) tworzy charakterystyczny

niesymetryczny ”kapelusz”. Teoria klasyczna odtwarza kszta lt krzywej tylko dla ma lych

cz¸esto´sci. Niech sze´scienne pud lo rozci¸

aga si¸e w ka˙zdym kierunku od 0 do a. Rozwa˙zmy

najpierw fal¸e rozchodz¸

ac¸

a si¸e w jednym wymiarze. Nat¸e˙zenie pola elektrycznego wynosi

E = A cos(kx−ωt), gdzie liczba falowa k =

2π

λ

=

2πν

c

. Po odbiciu od ´scianki (ze skokiem fazy

o π) powstaje fala odbita E = −A cos(−kx − ωt), a w wyniku ich interferencji - fala stoj¸

aca

E = 2A sin kx cos ωt. Na brzegach musi by´

c w¸eze l, czyli sin ka = 0, czyli k =

n

x

π

a

, gdzie n

x

=

1, 2, 3... . Fali rozchodz¸

acej si¸e w dowolnym kierunku mo˙zna przypisa´

c wektor falowy k =

(k

x

, k

y

, k

z

) i dla ka˙zdego z trzech kierunk´

ow mo˙zna przeprowadzi´

c podobne rozumowanie. W

pudle mog¸

a si¸e wi¸ec rozchodzi´

c fale takie, ˙ze k

x

=

n

x

π

a

, k

y

=

n

y

π

a

, k

z

=

n

z

π

a

, n

x,y,z

= 1, 2, 3...

. Na jedn¸

a dozwolon¸

a fal¸e przypada jedna kom´

orka w przestrzeni wektor´

ow falowych, o

obj¸eto´sci (

π

a

)

3

. Ilo´s´

c dozwolonych fal o ko´

ncu wektora k le˙z¸

acym w warstwie o promieniu k

i grubo´sci dk wynosi

1
8

4πk

2

dk

(

π
a

)

3

=

a

3

4πν

2

dν

c

3

= n(ν)dν; (czynnik

1
8

wyst¸epuje, poniewa˙z bierzemy

taki u lamek powierzchni kuli, dla kt´

orego wszystkie wsp´

o lrz¸edne s¸

a dodatnie). Wynik nale˙zy

jeszcze pomno˙zy´

c przez 2 ze wzgl¸edu na 2 mo˙zliwe polaryzacje.

Obliczona klasycznie ´srednia energia przypadaj¸

aca na jedn¸

a fal¸e wynosi

E =

R

∞

0

E exp(−βE)dE

R

∞

0

exp(−βE)dE

=

1

β

,

gdzie β =

1

k

B

T

; k

B

jest sta l¸

a Boltzmanna. Poszukiwana g¸esto´s´

c energii wynosi

ρ(ν) =

1

a

3

n(ν)E =

8πν

2

k

B

T

c

3

.

Wielko´s´

c ta ro´snie nieograniczenie dla du˙zych cz¸esto´sci (katastrofa ultrafioletowa). Planck

4

w 1900 roku zauwa˙zy l, ˙ze wynik zasadniczo si¸e zmienia, je´sli sztucznie za lo˙zy´

c skwantowanie

energii, tzn. E = nhν, gdzie h jest sta l¸

a. Jej warto´s´

c wyznaczono potem jako h = 6.626 ×

10

−34

Js=2π~. Wtedy ´sredni¸a energi¸e nale˙zy liczy´c inaczej

E =

P

∞
n=0

nhν exp(−βnhν)

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

.

Wielko´s´

c ta jest r´

owna

−

d

dβ

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

P

∞
n=0

exp(−βnhν)

=

−

d

dβ

ln

∞

X

n=0

exp(−βnhν) = −

d

dβ

ln

1

1 − exp(−βhν)

=

hν

exp(βhν) − 1

.

W konsekwencji

ρ(ν) =

8πhν

3

c

3

[exp(βhν) − 1]

(∗ ∗ ∗).

Rozk lad energii w zale˙zno´sci od d lugo´sci fali otrzymamy jako

˜

ρ(λ) = ρ(

c

λ

)|

dν

dλ

| = ρ(

c

λ

)

c

λ

2

.

Gdy βhν << 1, exp(βhν) ≈ 1 + βhν i otrzymamy wynik klasyczny.

Ca lkowit¸

a energi¸e na jednostk¸e obj¸eto´sci otrzymamy ca lkuj¸

ac

Z

∞

0

ρ(ν)dν =

8π

5

T

4

15h

3

c

3

k

4

B

.

Jest to prawo Stefana-Boltzmanna. Skorzystano z faktu, ˙ze

Z

∞

0

x

3

dx

exp(x) − 1

=

π

4

15

.

Maksimum funkcji lub ˜

ρ(λ) mo˙zna obliczy´

c k lad¸

ac lub ˜

ρ

0

(λ) = 0). Otrzymuje si¸e warunek

βhcλ

max

= x

0

= 4.965,

gdzie x

0

jest piewiastkiem r´

ownania 1 − exp(−x) =

x

5

. W konsekwencji zachodzi relacja

λ

max

T = 0.29 cm K. Relacja ta znana jest jako prawo przesuni¸e´

c Wiena.

Zdolno´s´

c emisyjna, czyli moc emitowana przez jednostk¸e powierzchni w dowolnym

kierunku przypadaj¸

aca na jednostk¸e cz¸esto´sci, wynosi R(ν) =

c

4

ρ(ν).

2. Zjawisko fotoelektryczne.

Zjawisko fotoelektryczne zewn¸etrzne polega na wybijaniu elektron´

ow z metalu pod wp lywem

promieniowania elektromagnetycznego. Energia wybitych elektron´

ow nie zale˙zy od nat¸e˙zenia

5

´swiat la, zale˙zy natomiast, i to progowo, od cz¸esto´sci fali. Ilo´s´

c fotoeletron´

ow jest proporcjon-

alna do nat¸e˙zenia promieniowania. Einstein w roku 1904 wyja´sni l to zjawisko postuluj¸

ac, ˙ze

energia fali elektromagnetycznej jest skwantowana: E = nhν.

Jeden kwant powoduje wybicie jednego elektronu. Energia kwantu promieniowania jest

zamieniona na pokonanie pracy wyj´scia W i nadanie elektronowi energii kinetycznej

hν = W +

1

2

mv

2

(∗ ∗ ∗).

3. Ciep lo w la´sciwe cia l sta lych (Einstein 1907, Debye 1914).

Wed lug teorii klasycznej ciep lo w la´sciwe cia l sta lych powinno by´

c niezale˙zne od temperatury.

Zgodnie z zasad¸

a ekwipartycji energii na jeden stopie´

n swobody cz¸

astki swobodnej wypada

energia

1
2

k

B

T , dla atomu w sieci krystalicznej - 2

3
2

k

B

T , gdzie czynnik 2 pochodzi st¸

ad, ˙ze dla

oscylatora harmonicznego ´srednia energia potencjalna jest r´

owna ´sredniej energii kinetycznej.

Tymczasem w niskich temperaturach ciep lo w la´sciwe zmierza do zera. Daje si¸e to wyja´sni´

c

dzi¸eki dodatkowemu za lo˙zeniu, ˙ze energia drga´

n atom´

ow w krysztale jest skwantowana.

4. Widma atomowe (Ritz-Rydberg 1908)

Zaobserwowano, ˙ze atomy emituj¸

a lub absorbuj¸

a promieniowanie o ´sci´sle okre´slonych

d lugo´sciach (linie widmowe). Cz¸esto´sci fal dla wodoru spe lniaj¸

a relacj¸e

ν

nm

= Rc(

1

n

2

−

1

m

2

)(∗ ∗ ∗),

gdzie m i n s¸

a liczbami naturalnymi, a R = 109677.581cm

−1

nazywa si¸e sta l¸

a Rydberga.

Dowodzi to skwantowania energii atomu.

Warto´s´

c dozwolonych energii atomu wodoru

wynosi

−Rhc

n

2

.

Linie widmowe uk ladaj¸

a si¸e w serie – dla emisji ci¸

agi linii odpowiadaj¸

acych przej´sciom z

r´

o˙znych poziom´

ow m na ustalony poziom n (n = 1 - seria Lymana, n = 2 - seria Balmera,

n = 3 - seria Paschena,...). Po lo˙zenia linii w serii w funkcji cz¸esto´sci zag¸eszczaj¸

a si¸e ze

wzrostem cz¸esto´sci.

Dla bardziej z lo˙zonych atom´

ow relacje te dadz¸

a si¸e uog´

olni´

c

ν

nln

0

l

0

=

Rc

[n − ∆(n, l)]

2

−

Rc

[n

0

− ∆(n

0

, l

0

)]

2

,

gdzie liczby ∆ (tzw.defekty kwantowe) s¸

a pewnymi u lamkami zale˙znymi przede wszystkim

od dodatkowej liczby kwantowej l.

5. Model Bohra (1911)

Bohr zaproponowa l orbitalny model atomu. Elektron porusza si¸e po orbicie ko lowej, tak ˙ze

6

si la kulombowska gra rol¸e si ly do´srodkowej. Dozwolone s¸

a tylko takie orbity, dla kt´

orych

orbitalny moment p¸edu jest wielokrotno´sci¸

a sta lej ~ =

h

2π

= 1.05459 × 10

−34

Js,

mv

2

r

=

e

2

4π

0

r

2

(∗ ∗ ∗),

mvr = n~(∗ ∗ ∗).

Prowadzi to do wniosku, ˙ze dozwolone s¸

a tylko orbity o promieniu n

2

a, gdzie a =

4π

0

~

2

me

2

,

natomiast dozwolone poziomy energii E

n

= −

e

4

m

32π

2



2

0

~

2

n

2

(∗ ∗ ∗), gdzie n = 1, 2, 3... . Elek-

tron na orbicie nie promieniuje (niezgodnie z zasadami fizyki klasycznej), promieniuje tylko

przeskakuj¸

ac z orbity na orbit¸e. Model ten dobrze t lumaczy obserwacje Rydberga-Ritza.

Model Bohra nic nie m´

owi o energiach dodatnich, nie nadaje si¸e do prostego uog´

olnienia dla

atom´

ow wieloelektronowych.

Model ko lowych orbit uog´

olni l Sommerfeld w latach 1915-16 dopuszczj¸

ac orbity eliptyczne.

6. Do´swiadczenie Francka-Hertza (1913).

W do´swiadczeniu tym mierzono nat¸e˙zenie pr¸

adu elektrycznego przep lywaj¸

acego przez ba´

nk¸e

z parami rt¸eci w zale˙zno´sci od napi¸ecia przy´spieszaj¸

acego. Dla pewnego napi¸ecia U (i jego

wielokrotno´sci) nat¸e˙zenie pr¸

adu spada lo. Oznacza to, ˙ze elektrony w zderzeniach z atomami

trac¸

a energi¸e (a wi¸ec i pr¸edko´s´

c) dopiero, gdy przekracza ona pr´

og eU . Energia w atomie

musi by´

c skwantowana: atom nie mo˙ze zaabsorbowa´

c energii mniejszej ni˙z eU . Elektron

mo˙ze w trakcie swojej drogi od katody do anody kilkakrotnie by´

c przy´spieszonym do energii

wi¸ekszej ni˙z eU i kilkakrotnie j¸

a traci´

c w zderzeniu z atomami. P´

o´

zniej stwierdzono, ˙ze en-

ergia eU potrzebna jest do przej´scia atomu rt¸eci do drugiego stanu wzbudzonego, a przej´scie

do pierwszego stanu wzbudzonego jest ma lo prawdopodobne z innych wzgl¸ed´

ow.

7. Efekt Comptona (1923).

Efekt ten polega na rozproszeniu promieniowania elektromagnetycznego na elektronie. Fala

rozproszona pod k¸

atem θ ma d lugo´s´

c zwi¸ekszon¸

a o ∆λ =

h

mc

(1 − cos θ)(∗ ∗ ∗) (

h

mc

=

0.0243 × 10

−10

m). Efekt ten mo˙zna przewidzie´

c teoretycznie zak ladaj¸

ac, ˙ze promieniowanie

elektromagnetyczne sk lada si¸e z foton´

ow o energii hν i p¸edzie

hν

c

. Za l´

o˙zmy, ˙ze foton pada

wzd lu˙z osi x na nieruchomy elektron. Po zderzeniu foton jest rozproszony pod k¸

atem θ

wzgl¸edem osi x i ma cz¸esto´s´

c ν

0

. Elektron, maj¸

acy pocz¸

atkowo energi¸e spoczynkow¸

a mc

2

i

zerowy p¸ed, przejmuje p¸ed p, ma energi¸e E i biegnie pod k¸

atem φ wzgl¸edem osi x. Z powodu

zachowania momentu p¸edu ruch jest p laski (w p laszczy´

znie xy). Zasady zachowania energii

7

oraz obu sk ladowych p¸edu daj¸

a

mc

2

+ hν = E + hν

0

,

hν

c

=

hν

0

c

cos θ + p cos φ,

0 =

hν

0

c

sin θ − p sin φ,

E

2

= p

2

c

2

+ m

2

c

4

.

Rozwi¸

azuj¸

ac powy˙zszy uk lad r´

owna´

n i wprowadzaj¸

ac d lugo´s´

c fali λ =

c

ν

otrzymujemy cy-

towany wy˙zej wz´

or na przyrost d lugo´sci fali. Efekt jest wa˙zny dla fal kr´

otkich, dla kt´

orych

przyrost d lugo´sci nie jest o wiele rz¸ed´

ow mniejszy ni˙z d lugo´s´

c.

Skuteczno´s´

c takiego opisu jest kolejnym dowodem korpuskularnej natury promieniowania

elektromagnetycznego oraz kwantyzacji jego energii i p¸edu.

8. Do´swiadczenie Sterna-Gerlacha (1922). W do´swiadczeniu tym przepuszczano wi¸

azk¸e

atom´

ow srebra przez niejednorodne pole magnetyczne. Wi¸

azka rozszczepi la si¸e na dwie

wi¸

azki sk ladowe. Liczba tych wi¸

azek mo˙ze by´

c wyja´sniona tylko tak, ˙ze elektrony posiadaj¸

a

spin, czyli wewn¸etrzny (nie zwi¸

azany z ruchem) moment p¸edu. Jest to przyk lad wielko´sci

fizycznej nie maj¸

acej analogii klasycznej. Problem ten b¸edzie om´

owiony szerzej.

9. Hipoteza de Broglie’a (1923). De Broglie postulowa l, aby z ka˙zd¸

a cz¸

astk¸

a o p¸edzie p

zwi¸

aza´

c fal¸e o d lugo´sci λ =

h

p

. By l to wa˙zny krok koncepcyjny w kierunku nowoczesnej teorii

kwantowej opieraj¸

acej si¸e na poj¸eciu fal materii.

10. Do´swiadczenie Davisona-Germera (1927). W do´swiadczeniu tym wi¸

azka elektron´

ow

ulega la ugi¸eciu na sieci krystalicznej, analogicznie do promieni R¨

ontgena. R´

o˙znica dr´

og

elektron´

ow (lub promieni) odbitych od dw´

och warstw atom´

ow odleg lych o d, i padaj¸

acych

pod k¸

atem θ (mierzonym wyj¸

atkowo od p laszczyzny kryszta lu, a nie od prostopad lej) wynosi

2d sin θ. W zale˙zno´sci od k¸

ata, a wi¸ec od r´

o˙znicy dr´

og, obserwuje si¸e pr¸

a˙zki dyfrakcyjne.

Jest to wyra´

zny dow´

od falowej natury cz¸

astek, tak˙ze tych o niezerowej masie spoczynkowej.

Oko lo roku 1926 dzi¸eki pracom Heisenberga, Schr¨

odingera, Diraca, Pauliego, Borna,

Bohra, Wignera i wielu innych stworzono now¸

a, kompletn¸

a, sp´

ojn¸

a teori¸e.

II.

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

Zasady mechaniki kwantowej mo˙zna uj¸

a´

c w czterech postulatach. W ko´

ncowej partii

wyk ladu zostan¸

a one nieco uog´

olnione i uzupe lnione pi¸

atym, dodatkowym. Postulat´

ow tych

8

nie mo˙zna wyprowadzi´

c z jakich´s naturalnych za lo˙ze´

n; nale˙zy je przyj¸

a´

c jako zgadni¸ete i

potwierdzone przez zgodno´s´

c z do´swiadczeniem i wewn¸etrzn¸

a sp´

ojno´s´

c.

Postulat I: Stan cz¸

astki jest w pe lni opisany funkcj¸

a falow¸

a.

Funkcja ta oznaczana ψ = ψ(r, t) jest zespolon¸

a funkcj¸

a rzeczywistych zmiennych: trzech

wsp´

o lrz¸ednych po lo˙zenia r=(x,y,z) (zamiast strza lki pogrubiona litera) i czasu t. Symbol r

oznacza d lugo´s´

c wektora r, tzn. r = |r|.

Interpretacja probabilistyczna funkcji (Borna) m´

owi, ˙ze |ψ(r, t)|

2

jest g¸esto´sci¸

a praw-

dopodobie´

nstwa znalezienia cz¸

astki w punkcie r w chwili t, czyli

Z

V

0

|ψ(r, t)|

2

d

3

r(∗ ∗ ∗)

jest prawdopodobie´

nstwem znalezienia cz¸

astki w chwili t w obj¸eto´sci V

0

; d

3

r = dxdydz. W

zwi¸

azku z tym funkcja powinna by´

c unormowana, tzn.

Z

V =R

3

|ψ(r, t)|

2

d

3

r = 1(∗ ∗ ∗)

(jest to prawdopodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki gdziekolwiek, czyli pewno´s´

c).

Dalej V

b¸edzie oznacza´

c R

3

.

Je´sli funkcja ψ nie jest unormowana, lecz jest normowalna, tzn.

Z

V

|ψ(r, t)|

2

d

3

r = M < ∞,

to mo˙zna j¸

a unormowa´

c, czyli przej´s´

c do funkcji φ = M

−

1
2

ψ, kt´

ora jest ju˙z unormowana.

Dla modeli jednowymiarowych zmienn¸

a r zast¸epuje po prostu x, a ca lka normalizacyjna

jest jednowymiarowa (od −∞ do ∞).

Funkcja falowa okre´slona jest z dok ladno´sci¸

a do czynnika fazowego, tzn. funkcje ψ i

exp[iα]ψ, gdzie α jest dowoln¸

a sta l¸

a rzeczywist¸

a, opisuj¸

a ten sam stan.

Prawdopodobie´

nstwa otrzymania poszczeg´

olnych wynik´

ow pomiar´

ow wielko´sci fizycznych

innych ni˙z po lo˙zenie okre´sli postulat III.

Funkcje mo˙zna mno˙zy´

c przez liczby zespolone i dodawa´

c. Zbi´

or funkcji falowych tworzy

przestrze´

n wektorow¸

a ze wzgl¸edu na te operacje. Obowi¸

azuje zasada superpozycji, kt´

ora

m´

owi, ˙ze je´sli stan mo˙ze by´

c opisany funkcjami ψ i φ, to mo˙ze by´

c te˙z opisany funkcj¸

a

ψ = c

1

ψ + c

2

φ, gdzie c

1,2

s¸

a liczbami zespolonymi.

9

Funkcje mo˙zna mno˙zy´

c skalarnie. Iloczyn skalarny dw´

och funkcji ψ oraz φ jest liczb¸

a

(ψ, φ) =

Z

V

d

3

rψ

∗

(r)φ(r)(∗ ∗ ∗),

gdzie

∗

oznacza sprz¸e˙zenie zespolone. Normalizacja oznacza wi¸ec, ˙ze (ψ, ψ) = 1. D lugo´s´

c

wektora ψ jest to

p(ψ, ψ). Funkcje, kt´orych iloczyn skalarny wynosi 0, nazywamy ortogo-

nalnymi.

Funkcje mo˙zna rozwija´

c w bazach. Najwygodniej, gdy baza {ψ

n

} jest ortonormalna,

tzn.(ψ

n

, ψ

s

) = δ

ns

, gdzie δ

ns

= 1 dla n = s i δ

ns

= 0 dla n 6= s (δ Kroneckera). Je´sli wektory

bazowe ψ

n

, n=1,2,... nie s¸

a ortogonalne, to mo˙zna je zortogonalizowa´

c metod¸

a Schmidta.

Polega ona na zbudowaniu nowej, ortogonalnej bazy {φ

s

}

φ

1

= ψ

1

,

φ

n

= ψ

n

−

n−1

X

j=1

a

nj

φ

j

,

gdzie a

nj

= (φ

j

, ψ

n

)/(φ

j

, φ

j

). Konstrukcja polega na tym, ˙ze ka˙zdy nast¸epny wektor jest

ortogonalny do skonstruowanych poprzednio.

Rozwini¸ecie oznacza, ˙ze

ψ =

X

n

c

n

ψ

n

(∗ ∗ ∗).

Dla bazy ortogonalnej oznacza to, ˙ze c

n

s¸

a rzutami wektora ψ na kierunki ψ

n

, czyli c

n

=

(ψ

n

, ψ)(∗ ∗ ∗).

Przyk ladami baz ortogonalnych (w jednym wymiarze) s¸

a funkcje

ψ

n

(x) = (2l)

−

1
2

exp[i

nπx

l

], n = 0, ±1, ±2...

(baza Fourierowska na odcinku (−l, l) ),

P

l

(x) =

1

2

l

l!

d

l

dx

l

(x

2

− 1)

l

(wielomiany Legendre’a na odcinku (−1, 1) ).

Poj¸ecie ortonormalnych baz mo˙zna uog´

olni´

c dla przypadku uk lad´

ow funkcji nieprzeliczal-

nych (numerowanych liczbami rzeczywistymi). Sumy nale˙zy wtedy zast¸

api´

c ca lkami, a delt¸e-

Kroneckera - delt¸

a Diraca. Ta ostatnia jest uog´

olnion¸

a funkcj¸

a, tak¸

a ˙ze (***)

δ(x) = 0, dla x 6= 0

10

δ(0) = ∞,

ale

Z

∞

−∞

δ(x)dx = 1.

Oznacza to, ˙ze

Z

∞

−∞

f (x)δ(x)dx = f (0)(∗ ∗ ∗).

Powy˙zsza w lasno´s´

c przys luguje ca lce po dowolnym przedziale zawieraj¸

acym zero, tzn.

Z

b

a

f (x)δ(x)dx = f (0),

gdy a < 0 < b. Badaj¸

ac zachowanie si¸e delty Diraca pod ca lk¸

a z dowoln¸

a regularn¸

a funkcj¸

a

f mo˙zna pokaza´

c, ˙ze

Z

∞

−∞

f (x)δ(x − a)dx = f (a),

δ(αx) =

1

|α|

δ(x)

,

δ(F (x)) =

X

j

1

|F

0

(x

j

|

δ(x − x

j

), gdzie F (x

j

) = 0.

Je´sli funkcje ψ

k

stanowi¸

a baz¸e nieprzeliczaln¸

a unormowan¸

a do delty Diraca, to rozwini¸ecie

w bazie ma posta´

c

ψ(r) =

Z

∞

−∞

dkc

k

ψ

k

(r),

gdzie

c

k

=

Z

V

d

3

rψ

∗

k

(r)ψ(r).

Przyk ladem bazy nieprzeliczalnej (w jednym wymiarze) jest zbi´

or funkcji

φ

k

(x) = (2π)

−

1
2

exp(ikx),

tzn.

(φ

k

0

, φ

k

) =

1

2π

Z

∞

−∞

exp[i(k − k

0

)x]dx = δ(k − k

0

).

Rozwini¸ecie w tej bazie nazywa si¸e transformat¸

a Fouriera

ψ(x) = (2π)

−

1
2

Z

∞

−∞

dkg(k) exp(ikx)(∗ ∗ ∗),

gdzie

g(k) = (2π)

−

1
2

Z

∞

−∞

dx exp(−ikx)ψ(x)(∗ ∗ ∗).

11

Postulat II: Wielko´sci fizyczne s¸

a w mechanice kwantowej reprezentowane przez pewne op-

eratory (hermitowskie, posiadaj¸

ace bazowe uk lady funkcji w lasnych).

Operator A jest to ”przepis” pozwalaj¸

acy ka˙zdej funkcji przyporz¸

adkowa´

c pewn¸

a funkcj¸e,tzn.

dla ka˙zdej funkcji ψ istnieje dok ladnie jedna funkcja φ = A(ψ) ≡ Aψ; (w pewnych sytuac-

jach wystarczy, ˙ze okre´slone jest dzia lanie operatora nie na wszystkie funkcje, lecz na funkcje

z pewnego zbioru g¸estego).

Wsp´

o lrz¸ednym (x, y, z) po lo˙zenia odpowiadaj¸

a operatory (ˆ

x, ˆ

y, ˆ

z) mno˙zenia przez

odpowiedni¸

a wsp´

o lrz¸edn¸

a, tzn.

ˆ

xψ = xψ,

itd.(∗ ∗ ∗)

Sk ladowym p¸edu (p

x

, p

y

, p

z

) odpowiadaj¸

a operatory r´

o˙zniczkowe ( ˆ

p

x

, ˆ

p

y

, ˆ

p

z

)

ˆ

p

x

ψ = −i~

∂ψ

∂x

, itd.(∗ ∗ ∗)

Zachowane s¸

a klasyczne zwi¸

azki mi¸edzy wielko´sciami, np.

- operator momentu p¸edu ˆ

L = ˆ

r× ˆ

p, czyli ˆ

L

x

= ˆ

y ˆ

p

z

− ˆ

z ˆ

p

y

(∗∗∗), (mo˙zna przestawi´

c cyklicznie

indeksy);

- operator kwadratu momentu p¸edu ˆ

L

2

= ˆ

L

x

2

+ ˆ

L

y

2

+ ˆ

L

z

2

(***);

- operator energii kinetycznej ˆ

T =

1

2m

( ˆ

p

x

2

+ ˆ

p

y

2

+ ˆ

p

z

2

) = −

~

2

2m

∇

2

(***);

- operator energii potencjalnej ˆ

V = V (ˆ

r), czyli mno˙zenie przez funkcj¸e V (***);

-operator energii ca lkowitej (operator Hamiltona, hamiltonian) ˆ

H = ˆ

T + ˆ

V = −

~

2

2m

∇

2

+

V (∗ ∗ ∗).

(dalej ”daszek” b¸edzie czasem opuszczany).

Wszystkie te operatory s¸

a liniowe, tzn. dla dowolnych funkcji ψ i φ oraz dla dowolnych

liczb zespolonych λ i µ

A(λψ + µφ) = λAψ + µAφ.

Operatory mo˙zna dodawa´

c, mno˙zy´

c przez liczb¸e oraz mno˙zy´

c przez siebie (sk lada´

c), z czego

zrobiono ju˙z u˙zytek konstruuj¸

ac powy˙zsze przyk lady. Og´

olnie mo˙zna napisa´

c dla dowolnych

ψ i dowolnych liczb zespolonych λ

C = A + B, tzn. Cψ = Aψ + Bψ

C = λA, tzn. Cψ = λ(Aψ)

C = AB, tzn. Cψ = A(Bψ)

12

Na og´

o l wynik dzia lania iloczynu zale˙zy od kolejno´sci, tzn. AB 6= BA. Wprowadza si¸e

obiekt zwany komutatorem

[A, B] ≡ AB − BA.

M´

owi si¸e, ˙ze operatory komutuj¸

a, je´sli ich komutator jest r´

owny zeru. Przez bezpo´srednie

obliczenia mo˙zna pokaza´

c, ˙ze

[ˆ

x, ˆ

y] = 0 i analogicznie dla innych wsp´

o lrz¸ednych,

[ ˆ

p

x

, ˆ

p

y

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych p¸edu,

[ˆ

x, ˆ

p

x

] = i~(***),

[ˆ

x, ˆ

p

y

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych,

[ ˆ

L

x

, ˆ

L

y

] = i~ ˆ

L

z

(mo˙zna przestawi´

c cyklicznie indeksy),

[ ˆ

L

z

, ˆ

L

2

] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych,

[ ˆ

p

x

, ˆ

T ] = 0, [ ˆ

L

x

, ˆ

T ] = 0, [ ˆ

L

2

, ˆ

T ] = 0, [ˆ

x, ˆ

V ] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych,

[ ˆ

L

x

, ˆ

V ] = [ ˆ

L

2

, ˆ

V ] = 0 dla V=V(r) (potencja ly sferycznie symetryczne).

Wprowadza si¸e operacj¸e hermitowskiego sprz¸e˙zenia operator´

ow: A

†

jest operatorem

hermitowsko sprz¸e˙zonym do A, je´sli dla dowolnych ψ i φ (ψ, Aφ) = (A

†

ψ, φ), tzn.

Z

V

d

3

rψ

∗

Aφ =

Z

V

d

3

r(A

†

ψ)

∗

φ.

Mo˙zna pokaza´

c korzystaj¸

ac z definicji, ˙ze

(A + B)

†

= A

†

+ B

†

, (λA)

†

= λ

∗

A

†

, (AB)

†

= B

†

A

†

.

Je´sli A = A

†

, to operator nazywamy hermitowskim lub samosprz¸e˙zonym. Wymienione

wy˙zej operatory wielko´sci fizycznych s¸

a samosprz¸e˙zone. Samosprz¸e˙zono´s´

c dla p¸edu pokazuje

si¸e wykonuj¸

ac ca lkowanie przez cz¸e´sci i korzystaj¸

ac ze faktu, ˙ze normowalna funkcja musi

zmierza´

c do zera, gdy kt´

ora´s ze wsp´

o lrz¸ednych zmierza do ±∞.

R´

ownanie w lasne operatora jest to r´

ownanie

Aψ

n

= α

n

ψ

n

(∗ ∗ ∗).

Liczb¸e α

n

nazywamy warto´sci¸

a w lasn¸

a operatora A, funkcj¸e ψ

n

- nale˙z¸

ac¸

a do niej funkcj¸

a

w lasn¸

a. Je´sli istniej¸

a r´

o˙zne funkcje w lasne (tzn. r´

o˙zni¸

ace si¸e wi¸ecej ni˙z o sta ly czynnik) to

tak¸

a warto´s´

c w lasn¸

a nazywamy zdegenerowan¸

a, a ilo´s´

c niezale˙znych funkcji w lasnych do tej

samej warto´sci w lasnej - krotno´sci¸

a degeneracji. Op laca si¸e wtedy zmieni´

c notacj¸e

Aψ

ns

= α

n

ψ

ns

(∗ ∗ ∗),

13

gdzie pierwszy wska´

znik numeruje warto´sci w lasne, a drugi funkcje w lasne nale˙z¸

ace do tej

samej warto´sci w lasnej.

Je´sli warto´sci w lasne tworz¸

a zbi´

or nieprzeliczalny, to funkcje w lasne s¸

a normowalne do

delty Diraca i trzeba je indeksowa´

c liczbami rzeczywistymi α

Aψ

α

= αψ

α

.

Mo˙zna dowie´s´

c, ˙ze warto´sci w lasne operatora hermitowskiego s¸

a rzeczywiste, a funkcje

w lasne nale˙z¸

ace do r´

o˙znych warto´sci w lasnych s¸

a ortogonalne. We´

zmy

(ψ

n

, Aψ

s

) = α

s

(ψ

n

, ψ

s

)

r´

ownocze´snie powy˙zsze wyra˙zenie jest r´

owne

(Aψ

n

, ψ

s

) = (α

n

ψ

n

, ψ

s

) = α

∗
n

(ψ

n

, ψ

s

).

A wi¸ec (α

∗
n

− α

s

)(ψ

n

, ψ

s

) = 0.

Wstawiaj¸

ac kolejno n = s i n 6= s otrzymujemy dow´

od obu cz¸e´sci twierdzenia.

Dla funkcji w lasnych nale˙z¸

acych do tej samej warto´sci w lasnej ortogonalno´s´

c nie musi za-

chodzi´

c; mo˙zna je tak wybra´

c (stosuj¸

ac metod¸e Schmidta), aby tworzy ly baz¸e ortonormaln¸

a.

Postulat III: Dozwolonymi wynikami pomiar´

ow wielko´sci fizycznej A mog¸

a by´

c tylko

warto´sci w lasne reprezentuj¸

acego j¸

a operatora.

Niech uk lad fizyczny (cz¸

astka) opisany

jest aktualnie pewn¸

a funkcj¸

a ψ.

Funkcj¸e t¸e mo˙zna roz lo˙zy´

c w bazie funkcji w lasnych

operatora A, tzn. ψ =

P

n

c

n

ψ

n

, gdzie Aψ

n

= α

n

ψ

n

. Liczby |c

n

|

2

s¸

a prawdopodobie´

nstwami

otrzymania w wyniku pomiaru poszczeg´

olnych warto´sci α

n

(∗ ∗ ∗).

Jest to kluczowy postulat wi¸

a˙z¸

acy formalizm z do´swiadczeniem.

Jego tre´sci¸

a jest

powszechne prawo kwantyzacji i powszechna probabilistyczna interpetacja teorii kwantowej.

Je´sli warto´sciami w lasnymi s¸

a wszystkie liczby rzeczywiste z ca lej prostej rzeczywistej

(lub jej cz¸e´sci), to wielko´s´

c fizyczna nie jest skwantowana. Wtedy postulat nale˙zy nieco

zmodyfikowa´

c. Rozk lad w bazie ma posta´

c

ψ(r) =

Z

∞

−∞

dαc

α

ψ

α

(r)(∗ ∗ ∗),

14

a |c

α

|

2

jest g¸esto´sci¸

a prawdopodobie´

nstwa dla wynik´

ow pomiaru, tzn.

Z

α

2

α

1

dα|c

α

|

2

jest prawdopodobie´

nstwem, ˙ze wynik pomiaru znajdzie si¸e w przedziale (α

1

, α

2

)(∗ ∗ ∗).

W wyniku pomiaru, gdy realizuje si¸e jedna z wielu potencjalnych mo˙zliwo´sci i otrzy-

mujemy w wyniku liczb¸e np.

α

1

, uk lad przechodzi natychmiast do odpowiedniego stanu

w lasnego ψ

1

. Wynik nast¸epnego pomiaru wykonanego natychmiast po poprzednim jest ju˙z

przes¸

adzony i wynosi α

1

.

Znajomo´s´

c rozk ladu prawdopodobie´

nstwa jest idea lem, ale cz¸esto charakteryzuje si¸e

go cz¸e´sciowo podaj¸

ac warto´s´

c ´sredni¸

a i wariancj¸e.

Warto´sci ´srednie dla przypadk´

ow

dyskretnego i ci¸

ag lego wynosz¸

a

A =

X

n

α

n

|c

n

|

2

(∗ ∗ ∗)

lub

A =

Z

∞

−∞

dα|c

α

|

2

α(∗ ∗ ∗).

W obu przypadkach mo˙zna napisa´

c

A =

Z

V

d

3

rψ

∗

Aψ(∗ ∗ ∗).

R´

ownowa˙zno´s´

c obu powy˙zszych wzor´

ow mo˙zna wykaza´

c podstawiaj¸

ac do drugiego

rozwini¸ecia funkcji ψ w bazie i korzystaj¸

ac z r´

ownania w lasnego i ortonormalno´sci funkcji

w lasnych.

Wariancja rozk ladu jest to z definicji

W (A) = (A − A)

2

(∗ ∗ ∗).

´

Srednie odchylenie kwadratowe jest pierwiastkiem z wariancji

∆A =

p

W (A).

Zerowa wariancja oznacza brak rozrzutu, czyli pewno´s´

c otrzymania okre´slonego wyniku

pomiaru

W (A) = (ψ, [A − A]

2

ψ) = ([A − A]ψ, [A − A]ψ).

15

Jest to kwadrat d lugo´sci wektora [A − A]ψ. Jest ona r´

owna zeru wtedy i tylko wtedy, gdy

wektor ten jest zerowy, tzn. Aψ = Aψ. Innymi s lowami oznacza to, ˙ze w rozwini¸eciu na

funkcje w lasne tylko jeden wyraz jest niezerowy (c

m

= 1), a inne c

n

si¸e zeruj¸

a (dla n 6= m).

Wa˙znym przyk ladem jest paczka (funkcja) gaussowska

ψ(x) = (2π)

−

1
4

σ

−

1
2

exp[−

(x − a)

2

4σ

2

+ ikx].

Warto´s´

c ´srednia po lo˙zenia wynosi

x =

Z

∞

−∞

(2π)

−

1
2

σ

−1

exp[−

(x − a)

2

2σ

2

]xdx = a,

a wariancja

W (x) =

Z

∞

−∞

(2π)

−

1
2

σ

−1

exp[−

(x − a)

2

2σ

2

](x − a)

2

dx = σ

2

.

Mo˙zna tak˙ze obliczy´

c analitycznie rozk lad p¸ed´

ow. Funkcje w lasne p¸edu ψ

p

(x) spe lniaj¸

a

r´

ownanie

−i~

d

dx

ψ

p

(x) = pψ

p

(x).

R´

ownanie to daje si¸e rozwi¸

aza´

c przez rozdzielenie zmiennych i funkcja po unormowaniu do

delty Diraca ma posta´

c

ψ

p

(x) = (2π~)

−

1
2

exp(

ipx

~

)(∗ ∗ ∗).

Amplituda rozk ladu p¸ed´

ow ma posta´

c

g(p) =

Z

∞

−∞

dx(2π~)

−

1
2

exp(

−ipx

~

)ψ(x).

Jest to z dok ladno´sci¸

a do wyboru jednostek transformata Fouriera

Dla paczki gaussowskiej po obliczeniu ca lki (na podstawie tablic) otrzymuje si¸e

|g(p)|

2

= (2π)

−

1
2

(

~

2σ

)

−1

exp[

−(p − ~k)

2

2(

~

2σ

)

2

],

czyli otrzymujemy rozk lad Gaussa z centrum w ~k i o szeroko´sci

~

2σ

. W spos´

ob konieczny

precyzyjnej znajomo´sci po lo˙zenia (ma la warto´s´

c σ) odpowiada nieprecyzyjna znajomo´s´

c

p¸edu (du˙za warto´s´

c

~

2σ

) i odwrotnie.

Na mo˙zliwo´s´

c r´

ownoczesnego pomiaru dwu wielko´sci fizycznych A i B istnieje ogranicze-

nie: zasada nieoznaczono´sci (nieokre´slono´sci, niepewno´sci) Heisenberga. M´

owi ona, ˙ze

W (A)W (B) ≥

1

4

|(ψ, [A, B]ψ)|

2

(∗ ∗ ∗).

16

Dow´

od opiera si¸e na nier´

owno´sci Schwarza

(φ, φ)(χ, χ) ≥ |(φ, χ)|

2

.

Nier´

owno´s´

c t¸e otrzymuje si¸e korzystajcac z tego, ˙ze (φ+λχ, φ+λχ) ≥ 0 dla dowolnych funkcji

φ i χ oraz liczby λ = −(χ, φ)/(χ, χ). W nier´

owno´sci tej nale˙zy podstawi´

c φ = (A − A)ψ

oraz χ = (B − B)ψ.

W (A)W (B) = (ψ, [A − A]

2

ψ)(ψ, [B − B]

2

ψ) =

([A − A]ψ, [A − A]ψ) ([B − B]ψ, [B − B]ψ) ≥ |([A − A]ψ, [B − B]ψ)|

2

=

|(ψ, [A − A][B − B]ψ)|

2

=

1

4

|(ψ, {[A − A][B − B] + [B − B][A − A]}ψ) + (ψ, {[A − A][B − B] − [B − B][A − A]}ψ)|

2

≥

1

4

|(ψ, [A, B]ψ)|

2

,

gdzie skorzystano z faktu,

˙ze pierwszy z iloczyn´

ow skalarnych wewn¸

atrz warto´sci

bezwzgl¸ednej jest liczb¸

a rzeczywist¸

a, drugi - urojon¸

a, ˙ze warto´s´

c bezwzgl¸edna z liczby ze-

splonej jest nie mniejsza od warto´sci bezwzgl¸ednej jej cz¸e´sci urojonej oraz ˙ze operator w

drugim iloczynie skalarnym jest po prostu komutatorem.

Dla po lo˙zenia i p¸edu otrzymujemy w szczeg´

olno´sci [x, p

x

] = i~ i dalej W (x)W (p) ≥

~

2

4

,

albo, po wzi¸eciu pierwiastka, ∆x∆p

x

≥

~
2

. Wida´

c, ˙ze dla funkcji Gaussowskiej realizuje si¸e

r´

owno´s´

c.

Je´sli [A, B] = 0, to nie ma ogranicze´

n na dok ladno´s´

c jednoczesnego pomiaru, tzn. mo˙zna

tak przygotowa´

c uk lad, ˙ze wynik pomiaru obu wielko´sci b¸edzie przes¸

adzony. Inaczej mo˙zna

powiedzie´

c, ˙ze komutuj¸

ace operatory maj¸

a wsp´

olny bazowy uk lad funkcji w lasnych.

Istnieje tak˙ze zasada nieoznaczono´sci dla czasu i energii

∆E∆t ≥ ~.

Nie mo˙ze ona jednak by´

c uwa˙zana za szczeg´

olny przyk lad relacji przytoczonej wy˙zej, gdy˙z

czas nie jest tu wielko´sci¸

a fizyczn¸

a: nie ma operatora czasu. Sens tej zasady jest taki, ˙ze

przy dwu kolejnych pomiarach energii wykonanych w bardzo kr´

otkim odst¸epie czasu ∆t

mo˙zna dosta´

c wyniki r´

o˙zni¸

ace si¸e o ∆E. Przy energii spoczynkowej elektronu mc

2

= 0.511

MeV oznacza to mo˙zliwo´s´

c pojawiania si¸e par elektron-pozytron ˙zyj¸

acych kr´

ocej ni˙z 10

−21

17

s.

Postulat IV: Ewolucja uk ladu kwantowego (cz¸

astki), gdy nie dokonuje si¸e pomiaru, jest

opisana r´

ownaniem Schr¨

odingera zale˙znym od czasu:

i~

∂ψ

∂t

= Hψ(∗ ∗ ∗),

gdzie H jest operatorem energii. Jest to fundamentalne r´

ownanie mechaniki kwantowej. Dla

cz¸

astki o masie m w polu o potencjale V (r) ma wi¸ec posta´

c

i~

∂

∂t

ψ(r, t) =

−~

2

2m

∇

2

ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t)(∗ ∗ ∗).

Mo˙zna pokaza´

c, ˙ze przy sensownych za lo˙zeniach dotycz¸

acych potencja lu V, r´

ownanie posiada

jednoznaczne rozwi¸

azanie dla okre´slonych warunk´

ow pocz¸

atkowych ψ(r, t = 0) = f (r).

Wa˙zn¸

a klas¸e rozwi¸

aza´

n tworz¸

a rozwi¸

azania stacjonarne, istniej¸

ace, gdy potencja l V =

V (r), tzn. nie zale˙zy od czasu. Wtedy rozwi¸

azania mo˙zna szuka´

c w postaci iloczynu funkcji

zale˙znej tylko od zmiennych przestrzennych i funkcji zale˙znej tylko od czasu

ψ(r, t) = φ(r)χ(t).

Po podstawieniu do r´

ownania Schr¨

odingera otrzymuje si¸e

i~φ(r)

dχ(t)

dt

= χ(t)Hφ(r),

czyli

i~

1

χ(t)

dχ(t)

dt

=

1

φ(r)

Hφ(r).

Lewa strona powy˙zszego r´

ownania zale˙zy tylko od czasu, prawa tylko od zmiennych

przestrzennych (tu korzysta si¸e z za lo˙zenia o niezale˙zno´sci hamiltonianu od czasu). Oznacza

to, ˙ze obie strony musz¸

a by´

c r´

owna sta lej E

n

. Rozwi¸

azanie r´

ownania dla χ daje

χ(t) = χ

n

(t) = exp(

−iE

n

t

~

),

natomiast φ = φ

n

musi spe lnia´

c r´

ownanie w lasne dla H, zwane r´

ownaniem Schr¨

odingera

niezale˙znym od czasu

Hφ

n

= E

n

φ

n

,

gdzie wprowadzono indeks n numeruj¸

acy rozwi¸

azania w lasne. Dla ci¸

ag lego widma warto´sci

w lasnych energii nale˙zy ten indeks zast¸

api´

c ci¸

ag lym indeksem E.

18

Rozwi¸

azania stacjonarne opisuj¸

a uk lady nie zmieniaj¸

ace si¸e w czasie, tzn. takie ˙ze wyniki

wszystkich mo˙zliwych pomiar´

ow nie zale˙z¸

a od czasu. Rzeczywi´scie, sta ly czynnik fazowy

χ(t), przy czym |χ(t)| = 1, nie zmieni warto´sci bezwzgl¸ednych wsp´

o lczynnik´

ow rozwini¸enia

w ˙zadnej bazie. Uk lad w lo˙zony w stan stacjonarny ”˙zyje” w nim dowolnie d lugo i zawsze

”wygl¸

ada” tak samo.

Rozwi¸

azania niestacjonarne ψ(r, t) mog¸

a zawsze by´

c przedstawione jako superpozycje

(paczki) rozwi¸

aza´

n stacjonarnych, tzn.

ψ(r, t) =

X

n

c

n

φ

n

(r) exp(

−iE

n

t

~

),

lub, dla widma ci¸

ag lego

ψ(r, t) =

Z

dEc

E

φ

E

(r) exp(−

iEt

~

),

gdzie zachodzi Hφ

n

= E

n

φ

n

lub Hφ

E

= Eφ

E

.

Z r´

ownania Schr¨

odingera mo˙zna otrzyma´

c tzw. r´

ownanie ci¸

ag lo´sci. Je´sli wprowadzi´

c

g¸esto´s´

c prawdopodobie´

nstwa ρ(r, t) = ψ

∗

(r, t)ψ(r, t), obliczy´

c pochodn¸

a tego iloczynu

wzgl¸edem czasu i skorzysta´

c z r´

ownania Schr¨

odingera dla funkcji ψ oraz z r´

ownania

sprz¸e˙zonego do niego dla funkcji ψ

∗

otrzymuje si¸e

∂ρ(r, t)

∂t

+ ∇j(r, t) = 0,

gdzie j jest wektorem g¸esto´sci pr¸

adu

j(r, t) =

−i~

2m

[ψ

∗

∇ψ − (∇ψ

∗

)ψ].

Je´sli r´

ownanie to sca lkowa´

c po dowolnej obj¸eto´sci V

0

i zamieni´

c ca lk¸e obj¸eto´sciow¸

a z ∇j na

ca lk¸e powierzchniow¸

a z j po powierzchni zamkni¸etej Σ

0

otaczaj¸

acej obszar V

0

, otrzymuje si¸e

d

dt

Z

v

0

ρd

3

r = −

I

Σ

0

jdσ.

Sens tej r´

owno´sci jest taki, ˙ze zmiana prawdopodobie´

nstwa znalezienia cz¸

astki w obj¸eto´sci

V

0

mo˙ze nast¸

api´

c tylko w wyniku przep lywu cz¸

astki przez powierzchni¸e. Wektor g¸esto´sci

pr¸

adu wyznacza wi¸ec prawdopodobie´

nstwo przep lywu cz¸

astki przez jednostk¸e powierzchni

na jednostk¸e czasu, prostopadle do powierzchni.

Wa˙zne jest tak˙ze wyznaczenie, jak zmienia si¸e w czasie warto´s´

c ´srednia dowolnej wielko´sci

fizycznej A, tzn. obliczenie

d

dt

A =

d

dt

(ψ, Aψ) = (

dψ

dt

, Aψ) + (ψ, A

dψ

dt

) =

19

(

1

i~

Hψ, Aψ) + (ψ, A

1

i~

Hψ) =

1

i~

(ψ, [A, H]ψ).

To czy wielko´s´

c fizyczna jest zachowana, zale˙zy wi¸ec od tego, czy jej operator komutuje z

hamiltonianem.

W szczeg´

olno´sci dla A = ˆ

x i A = ˆ

p

x

mamy relacje komutacji [ˆ

x, H] =

i~
m

ˆ

p

x

oraz [ ˆ

p

x

, V ] =

−i~

∂V

∂x

i w konsekwencji

d

dt

x =

1

m

p

x

d

dt

p

x

= −

∂V

∂x

.

Relacje powy˙zsze stanowi¸

a tre´s´

c twierdzenia Ehrenfesta, kt´

ore m´

owi, ˙ze r´

ownania kwantowe

dla ´srednich s¸

a analogonami r´

owna´

n klasycznych. Rzeczywi´scie, pierwsze z nich przypomina

zwi¸

azek mi¸edzy p¸edem i pr¸edko´sci¸

a, a drugie - r´

ownanie Newtona ruchu:

d

dt

p

x

= F

x

= −

∂V

∂x

.

R´

ownanie ci¸

ag lo´sci i twierdzenie Ehrenfesta uprawomocniaj¸

a interpretacj¸e cz¸

astki

jako rozmytej struktury, w pewnym sensie ”chmury”, g¸estej tam, gdzie jest du˙ze praw-

dopodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki, a rozrzedzonej tam, gdzie to prawdopodobie´

nstwo

jest ma le. ´

Srodek chmury porusza si¸e ruchem analogicznym do ruchu cz¸

astki klasycznej.

Analogia nie jest pe lna, gdy˙z w og´

olno´sci

∂V (x)

∂x)

6=

∂V (x

∂x

; tak jest np. dla cz¸

astki swobodnej

i dla oscylatora harmonicznego. Analogia psuje si¸e te˙z dla cz¸

astki s labo zlokalizowanej,

gdy na przyk lad chmura sk lada si¸e z dwu cz¸e´sci: wtedy ´srodek chmury (´srednie po lo˙zenie)

mo˙ze wypada´

c zupe lnie gdzie indziej ni˙z jej najg¸estsze miejsce (najbardziej prawdopodobne

miejsce znalezienia cz¸

astki).

Sama chmura zmienia w czasie kszta lt, zachowuj¸

ac si¸e

podobnie do klasycznego p lynu. Pomiar powoduje natychmiastow¸

a zmian¸e kszta ltu chmury.

III.

CZA

¸ STKA SWOBODNA

Dla cz¸

astki swobodnej w jednym wymiarze hamiltonian ma prost¸

a posta´

c

H =

−~

2

2m

d

2

dx

2

.

Hamiltonian ten komutuje z operatorem p¸edu −i~

d

dx

. Funkcje w lasne p¸edu do warto´sci

w lasnej p maj¸

a posta´

c

ψ

p

(x) = (2π~)

−

1
2

exp(

ipx

~

)

20

i s¸

a tak˙ze funkcjami w lasnymi energii do warto´sci w lasnej E

p

=

p

2

2m

. Stany stacjonarne

opisane s¸

a wi¸ec funkcjami falowymi

(2π~)

−

1
2

exp(

ipx

~

) exp(

−iE

p

t

~

).

Funkcje te, normowalne do delty Diraca, opisuj¸

a sytuacj¸e idealn¸

a, gdy znamy dok ladnie

p¸ed cz¸

astki p (i jej energi¸e E

p

) i nie posiadamy ˙zadnej informacji o jej po lo˙zeniu. W praktyce

mamy zawsze do czynienia z paczkami falowymi

ψ(x, t) =

Z

∞

−∞

g(p)ψ

p

(x) exp(−

iE

p

t

~

)dp .

Je´sli g(p) znika poza przedzia lem (p

0

− ∆p, p

0

+ ∆p) i jest na tym odcinku funkcj¸

a sta l¸

a

oraz dodatkowo zrobi si¸e przybli˙zenie

E

p

=

p

2

2m

≈ E

p

0

+

dE

p

dp

|

p=p0

(p − p

0

) =

1

2m

[p

2
0

+ 2p

0

(p − p

0

)],

mo˙zna ca lk¸e wykona´

c analitycznie.

Kwadrat warto´sci bezwzgl¸ednej funkcji jest z

dok ladno´sci¸

a do sta lego czynnika r´

owny

sin

2 (x−v

g

t)

~

(x−v

g

t)

2

~

2

,

gdzie v

g

≡

dE

p

dp

|

p=p0

=

p

0

m

.

Maksimum paczki porusza si¸e wi¸ec ruchem jednostajnym z

pr¸edko´sci¸

a v

g

zwan¸

a pr¸edko´sci¸

a grupow¸

a, sama paczka nie zmienia kszta ltu.

´

Scis ly rachunek, mo˙zliwy na przyk lad dla paczki gaussowskiej, pokazuje, ˙ze r´

ownie˙z

kszta lt paczki si¸e zmienia.

Niech funkcja w chwili t=0 ma posta´

c

ψ(x) = (2π)

−

1
4

σ

−

1
2

0

exp[−

(x − a)

2

4σ

2

0

+ ikx].

Mo˙zna j¸

a roz lo˙zy´

c na funkcje w lasne p¸edu

ψ(x) =

Z

∞

−∞

g(p)ψ

p

(x)

(por.przyk lad w dyskusji Postulatu III). Wtedy w dowolnej chwili czasu

ψ(x, t) =

Z

∞

−∞

dpg(p)ψ

p

(x) exp(

−iE

p

t

~

).

21

Po wykonaniu oblicze´

n (za pomoc¸

a tablic) otrzymujemy g¸esto´s´

c prawdopodobie´

nstwa

znalezienia cz¸

astki w postaci r´

ownie˙z funkcji gaussowskiej

|ψ(x, t)|

2

= (2π)

−

1
2

σ(t)

−1

exp[−

(x − a −

~kt

m

)

2

2σ(t)

2

],

gdzie σ(t)

2

= σ

2

0

+

~

2

t

2

4m

2

σ

2

0

. Maksimum przesuwa si¸e wi¸ec ruchem jednostajnym z pr¸edko´sci¸

a

~k

m

, a szeroko´s´

c paczki σ(t) wzrasta.

W przypadku tr´

ojwymiarowym uog´

olnienie jest nast¸epuj¸

ace. Operator energii kinetycznej

(i ca lkowitej) ma posta´

c

H = −

~

2

2m

∇

2

.

Operator ten komutuje z wszystkimi trzema sk ladowymi p¸edu. Wsp´

olne funkcje w lasne tych

czterech operator´

ow maj¸

a posta´

c

ψ

p

(r) = ψ

p

x

(x)ψ

p

y

(y)ψ

p

z

(z) =

(2π~)

−

3
2

exp[

i

~

(p

x

x + p

y

y + p

z

z)] = (2π~)

−

3
2

exp(

i

~

pr).

Rozwi¸

azania stacjonarne maj¸

a posta´

c

ψ

p

(r) exp(−

i

~

E

p

t),

gdzie E

p

=

p

2

2m

=

1

2m

(p

2
x

+ p

2
y

+ p

2
z

).

Paczka falowa ma posta´

c

ψ(r, t) =

Z

d

3

p g(p)ψ

p

(r) exp(−

i

~

E

p

t).

IV.

PROSTOKA

¸ TNE STUDNIE I BARIERY POTENCJA LU

Rozwa˙zmy jednowymiarowy problem, w kt´

orym energia potencjalna jest funkcj¸

a od-

cinkami sta l¸

a

V (x) = V

1

, dla x < 0,

V (x) = V

2

, dla 0 ≤ x ≤ a,

V (x) = V

3

, dla x > a.

Oznacza to, ˙ze klasyczna si la F = −

dV

dx

jest r´

owna zeru we wszystkich punktach z wyj¸

atkiem

x = 0 i x = a. W tych dw´

och punktach si la jest niesko´

nczona, ale poniewa˙z dzia la tylko w

22

punkcie (albo inaczej przez niesko´

nczenie kr´

otki czas), mo˙ze spowodowa´

c sko´

nczony przekaz

p¸edu. Cz¸

astka w tych punktach doznaje niesko´

nczenie silnego i niesko´

nczenie kr´

otkiego

pchni¸ecia. Je´sli pchni¸ecie jest w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu, to z klasycznego

punktu widzenia albo jest ono do´s´

c silne, aby cz¸

astk¸e zawr´

oci´

c (i wtedy mamy z pewno´sci¸

a

odbicie) albo nie jest do´s´

c silne (i wtedy cz¸

astka z pewno´sci¸

a kontynuuje ruch ze zmniejszon¸

a

pr¸edko´sci¸

a).

W podej´sciu kwantowym nale ˙y rozwi¸

aza´

c r´

ownanie Schr¨

odingera

−~

2

2m

d

2

dx

2

ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x).

Niech indeksy 1, 2, 3 odnosz¸

a si¸e odpowiednio do obszr´

ow 1 (x < 0), 2 (0 ≤ x ≤ a) i 3

(x > a). W ka˙zdym obszarze funkcja falowa spe lnia r´

ownanie

−~

2

2m

d

2

dx

2

ψ

j

(x) + V

j

ψ

j

(x) = Eψ

j

(x),

gdzie j = 1, 2, 3. Og´

olne rozwi¸

azanie ma posta´

c

ψ

j

= A

j

exp(ik

j

x) + B

j

exp(−ik

j

x),

gdzie k

j

= [

2m(E−V

j

)

~

2

]

1
2

. Sta le A

j

i B

j

nale˙zy okre´sli´

c dopasowuj¸

ac rozwi¸

azania do warunk´

ow

brzegowych. Funkcja i jej pierwsza pochodna powinny by´

c ci¸

ag le (dla niesko´

nczonego skoku

potencja lu mo˙zna wymusi´

c tylko ci¸

ag lo´s´

c funkcji). Dla punkt´

ow zszycia funkcji, tzn. x = 0

i x = a otrzymuje si¸e

A

1

+ B

1

= A

2

+ B

2

,

ik

1

(A

1

− B

1

) = ik

2

(A

2

− B

2

),

A

2

exp(ik

2

a) + B

2

exp(−ik

2

a) = A

3

exp(ik

3

a) + B

3

exp(−ik

3

a),

ik

2

A

2

exp(ik

2

a) − ik

2

B

2

exp(−ik

2

a) = ik

3

A

3

exp(ik

3

a) − ik

3

B

3

exp(−ik

3

a).

Studni¸

a nazywa si¸e uk lad taki, ˙ze V

2

< V

1

, V

2

< V

3

. Cz¸

astka jest wewn¸

atrz studni,

gdy E < V

1

, E < V

3

, E > V

2

. Wtedy k

1

= iq

1

oraz k

3

= iq

3

s¸

a liczbami urojonymi. W

funkcji ψ

1

pojawia si¸e wyraz A

1

exp(−q

1

x), kt´

orego warto´s´

c bezwzgl¸edna zmierza do ∞ dla

x → −∞. Podobnie dla ψ

3

warto´s´

c bezwzgl¸edna wyrazu B

3

exp(q

3

x) zmierza do ∞ dla

x → ∞. Funkcja mo˙ze opisywa´

c cz¸

astk¸e, tzn. by´

c normowalna w sensie Kroneckera lub

Diraca, tylko gdy te dwa wyrazy usuniemy bior¸

ac A

1

= B

3

= 0. Zostaje nam uk lad czterech

23

r´

owna´

n liniowych, jednorodnych. Ma on rozwi¸

azania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy

zeruje si¸e wyznacznik uk ladu.

B

1

= A

2

+ B

2

,

−ik

1

B

1

= ik

2

(A

2

− B

2

),

A

2

exp(ik

2

a) + B

2

exp(−ik

2

a) = A

3

exp(ik

3

a),

ik

2

A

2

exp(ik

2

a) − ik

2

B

2

exp(−ik

2

a) = ik

3

A

3

exp(ik

3

a).

Jest to w la´sciwie skomplikowane r´

ownanie na energi¸e E, od kt´

orej zale˙z¸

a k

1,2,3

. Rozwi¸

azania

r´

ownania Schr¨

odingera istniej¸

a wi¸ec tylko dla pewnych energii: jest kwantyzacja energii. W

sko´

nczonych studniach istnieje sko´

nczona ilo´s´

c rozwi¸

aza´

n, a wi¸ec i dozwolonych poziom´

ow

energii. Mo˙ze si¸e zdarzy´

c, ˙ze dozwolonych poziom´

ow w og´

ole brak. Dla studni symetrycznej

(tzn.

gdy V

1

= V

3

) zawsze istnieje przynajmniej jeden poziom.

Funkcja falowa jest

r´

o˙zna od zera w obszarach 1 i 3 - maleje tam wyk ladniczo przy oddalaniu si¸e od studni.

Istnieje sko´

nczone prawdodobie´

nstwo znalezienia cz¸

astki w tych obszarach, niedost¸epnych

klasycznie (energia ca lkowita by laby wi¸eksza od potencjalnej).

Barier¸

a potencja lu jest zasadniczo uk lad, w kt´

orym V

1

< V

2

, V

3

< V

2

. Energia cz¸

astki E >

V

1

, E > V

3

. Rozwa˙za si¸e zar´

owno przypadek E < V

2

(bariera klasycznie nieprzepuszczalna)

jak i E > V

2

(klasycznie przepuszczalna). Ten ostatni przypadek obejmuje r´

ownie˙z sytuacj¸e,

gdy wyst¸epuje uk lad potencja l´

ow typowy dla studni, lecz cz¸

astka jest nad ni¸

a. Funkcje w

obszarach 1 i 3 s¸

a teraz oscyluj¸

ace, nie ma powodu odrzuca´

c jakichkolwiek wyraz´

ow ze

wzgl¸edu na normalizacj¸e funkcji. Nale˙zy natomiast zinterpretowa´

c poszczeg´

olne wyrazy.

Latwo obliczy´

c, ˙ze z fal¸

a postaci C exp(ikx) wi¸

a˙ze si¸e g¸esto´s´

c pr¸

adu

~k

m

|C|

2

.

Je´sli ´

zr´

od lo cz¸

astek znajduje si¸e z lewej strony bariery czyli w obszarze 1, to fali A

1

exp(ik

1

x)

odpowiada g¸esto´s´

c pr¸

adu j

A

1

=

~k

1

m

|A

1

|

2

; jest to warto´s´

c dodatnia (cz¸

astki poruszaj¸

a si¸e w

dodatnim kierunku osi x) i fal¸e mo˙zna nazwa´

c padaj¸

ac¸

a. Fali B

1

exp(−ik

1

x) odpowiada

ujemna g¸esto´s´

c pr¸

adu j

B

1

= −

~k

1

m

|B

1

|

2

- jest to fala odbita. Fala A

3

exp(ik

3

x) o dodatniej

g¸esto´sci pr¸

adu j

A

3

=

~k

3

m

|A

3

|

2

jest fal¸

a przepuszczon¸

a. Fala B

3

exp(−ik

3

x) jest fal¸

a biegn¸

ac¸

a

ku barierze z lewej strony; tam nie ma ´

zr´

od la, a fala nie mia la si¸e od czego odbi´

c: nie

powinno jej by´

c, czyli B

3

= 0. Do rozwi¸

azania pozostaj¸

a wi¸ec cztery r´

ownania liniowe

24

jednorodne z pi¸ecioma niewiadomymi. Maj¸

a one zawsze rozwi¸

azania niezerowe, nie ma

wi¸e kwantyzacji. Istnieje jednoparametrowa rodzina rozwi¸

aza´

n, za parametr mo˙zna przyj¸

a´

c

jedn¸

a z niewiadomych, np.A

1

, kt´

or¸

a mo˙zna wyznaczy´

c normalizuj¸

ac ca l¸

a funkcj¸e do delty

Diraca.

Liczba

R = |

j

B

1

j

A

1

|

jest prawdopodobie´

nstwem odbicia, natomiast

T = |

j

A

3

j

A

1

|

jest prawdopodobie´

nstwem przepuszczenia.

Teoria gwarantuje zachowanie prawdopodobie´

nstwa, tzn. R + T = 1. Na og´

o l 0 < R, T <

1, a wi¸ec mamy niezerowe prawdopodobie´

nstwo przej´scia w sytuacji, gdy klasycznie jest to

niemo˙zliwe (efekt tunelowy), oraz niezerowe prawdopodobie´

nstwo odbicia, gdy klasycznie z

pewno´sci¸

a nast¸

api loby przej´scie.

V.

OSCYLATOR HARMONICZNY

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny jest to cz¸

astka w polu o energii potencjalnej

V (x) =

1
2

kx

2

, gdzie k jest sta l¸

a spr¸e˙zysto´sci. Klasycznie jest opisany przez r´

ownanie New-

tona

m

d

2

x

dx

2

= −

dV

dx

= −kx,

kt´

orego rozwi¸

azaniem og´

olnym jest funkcja x(t) = A cos(ωt + φ), gdzie ω

2

=

k

m

, natomiast

A oraz φ s¸

a sta lymi wyznaczanymi z warunk´

ow pocz¸

atkowych.

W ´swiecie kwantowym oscylatorem ze wzgl¸edu na ruch j¸

ader jest na przyk lad drobina

dwuatomowa. Bardziej skomplikowane drobiny lub drgaj¸

ac¸

a sie´

c kryszta lu mo˙zna uwa˙za´

c

za zespo ly oscylator´

ow harmonicznych (przybli˙zenie ma lych drga´

n). Kwantowy oscylator

harmoniczny jest opisany r´

ownaniem Schr¨

odingera

−

~

2

2m

d

2

dx

2

ψ(x) +

1

2

kx

2

ψ(x) = Eψ(x)(∗ ∗ ∗).

Po przej´sciu do jednostek bezwymiarowych x = αy, gdzie α

2

= ~(km)

−

1
2

otrzymuje si¸e

−

1

2

d

2

dy

2

φ(y) +

1

2

y

2

φ(y) = φ(y),

25

gdzie  =

E

~ω

, φ(y) = ψ(αx).

R´

ownanie to mo˙zna rozwi¸

aza´

c metod¸

a wielomian´

ow.

Mo˙zna sprawdzi´

c, ˙ze dla du˙zych |y| ”prawie” dobrym rozwi¸

azaniem jest funkcja exp(−

1
2

y

2

).

Szukamy ´scis lego rozwi¸

azania w postaci f (y) exp(−

1
2

y

2

), a funkcj¸e f (y) przedstawiamy w

postaci szeregu f (y) =

P

∞
j=0

a

j

y

j+s

, przy czym s jest takie, ˙ze a

0

6= 0. Po podstawieniu do

r´

ownania otrzymujemy r´

owno´s´

c to˙zsamo´sciow¸

a szereg´

ow, co mo˙ze zachodzi´

c tylko wtedy,

gdy zachodzi r´

owno´s´

c wsp´

o lczynnik´

ow przy wszystkich pot¸egach zmiennej y. Otrzymuje si¸e

wtedy

s(s − 1)a

0

= 0,

a wi¸ec s = 0 lub s = 1,

(s + 1)sa

1

= 0,

(j + s + 2)(j + s + 1)a

j+2

= [2(j + s) − 2 + 1]a

j

.

Z ostatniego wzoru wynika, ˙ze dla du˙zych j stosunek

a

j+2

a

j

∼

2
j

. To jest zachowanie jak dla

funkcji exp(y

2

) i takie rozwi¸

azania nale˙zy odrzuci´

c. Jedyn¸

a mo˙zliwo´sci¸

a jest urwanie szeregu,

tzn. dla pewnego j

∗

musi zachodzi´

c 2(j

∗

+s)−2+1 = 0. W ten spos´

ob przerwiemy podszereg

o parzystch j. Podszereg o nieparzystych j musimy zlikwidowa´

c przyjmuj¸

ac a

1

= 0; znikaj¸

a

wtedy wszystkie jego wyrazy. Wprowadzaj¸

ac liczb¸e kwantow¸

a n = j

∗

+ s mo˙zemy zauwa˙zy´

c,

˙ze n = 0, 1, 2, 3, 4...., a energia jest skwantowana, tzn.  = n +

1
2

, a

E = E

n

= ~ω(n +

1

2

)(∗ ∗ ∗).

Odst¸epy mi¸edzy s¸

asiednimi poziomami energii s¸

a wi¸ec r´

owne i wynosz¸

a ~ω. Energia poziomu

podstawowego wynosi

1
2

~ω, nie jest wi¸

ec r´

owna zeru.

Funkcja falowa f(y) jest wi¸ec wielomianem. Pokazuje si¸e, ˙ze po unormowaniu funkcje

falowe maj¸

a posta´

c

φ(y) = φ

n

(y) = π

−

1
4

(2

n

n!)

−

1
2

H

n

(y) exp(−

1

2

y

2

),

gdzie H

n

(y) s¸

a wielomianami Hermite’a

H

n

(y) = (−1)

n

exp(y

2

)

d

n

dy

n

exp(−y

2

).

Unormowana funkcja ψ

n

(x) = α

−

1
2

φ

n

(

x

α

).

Wielomian o indeksie n jest stopnia n. Wielomiany stopnia parzystego s¸

a funkcjami

parzystymi, a stopnia nieparzystego - nieparzystymi. Maj¸

a one rzeczywiste pierwiastki.

26

Wielomiany te maj¸

a szereg specyficznych w lasno´sci zebranych w tablicach funkcji specjal-

nych.

Mo˙zna zaobserwowa´

c, ˙ze dla ma lych n otrzymamy najwi¸eksze prawdopodobie´

nstwo

znalezienia cz¸

astki w pobli˙zu minimum potencja lu (x = 0), a dla du˙zych n - w pobli˙zu

klasycznych punkt´

ow zwrotu (tzn. takich w kt´

orych ca la energia kinetyczna zosta la za-

mieniona na potencjaln¸

a). Wed lug klasycznych praw ruchu cz¸

astka przebywa najd lu˙zej w

okolicy punkt´

ow zwrotu, bo tam ma najmniejsz¸

a pr¸edko´s´

c. Mamy tu przyk lad zasady kore-

spondencji, kt´

ora stwierdza, ˙ze dla du˙zych warto´sci liczb kwantowych zachowania uk lad´

ow

kwantowych przypominaj¸

a zachowania ich klasycznych analogon´

ow.

Oscylator harmoniczny mo˙zna inaczej opisa´

c u˙zywaj¸

ac operator´

ow anihilacji a i kreacji

a

†

, gdzie

a = 2

−

1
2

(y +

d

dy

),

a

†

= 2

−

1
2

(y −

d

dy

).

Komutator tych operator´

ow wynosi [a, a

†

] = 1. Hamiltonian daje si¸e zapisa´

c jako

H = ~ω(a

†

a +

1

2

).

Niech φ

ν

b¸ed¸

a funkcjami w lasnymi operatora a

†

a.

a

†

aφ

ν

= νφ

ν

.

Rozpatruj¸

ac wyra˙zenia a

†

aaφ

ν

oraz a

†

aa

†

φ

ν

i korzystaj¸

ac z relacji komutacji dochodzi si¸e

do wniosku, ˙ze aφ

ν

jest funkcj¸

a w lasn¸

a operatora a

†

a do warto´sci w lasnej ν − 1, a a

†

φ

ν

- do

warto´sci w lasnej ν + 1. Z normalizacji funkcji φ

ν

otrzymuje si¸e

aφ

ν

=

√

νφ

ν−1

,

a

†

φ

ν

=

√

ν + 1φ

ν+1

.

Stosuj¸

ac wielokrotnie operator a mo˙zna by skonstruowa´

c stan o dowolnie ma lej energii -

nie istnia lby wi¸ec stan podstawowy, co jest sprzeczne z do´swiadczeniem. To rekurencyjne

post¸epowanie mo˙ze by´

c przerwane, je´sli za lo˙zy´

c, ˙ze dla stanu podstawowego aφ

0

= 0 (wtedy

nie da si¸e utworzy´

c φ

−1

. Warto´sci w lasne operatora a

†

a s¸

a wi¸ec r´

owne ν = n = 0, 1, 2, 3, ....

R´

ownanie

aφ

0

= 2

−

1
2

(y +

d

dy

)φ

0

= 0

27

daje rozwi¸

azanie unormowane

φ

0

(y) = π

−

1
4

exp(−

1

2

y

2

).

Funkcje wy˙zszych stan´

ow mo˙zna otrzyma´

c przez wielokrotne zastosowanie operatora a

†

φ

n+1

=

1

(n + 1)

1
2

1

2

1
2

(y +

d

dy

)φ

n

.

To prowadzi do funkcji opisanych wy˙zej.

VI.

TEORIA MOMENTU PE

¸ DU

Moment p¸edu L jest tr´

ojk¸

a operator´

ow (L

x

, L

y

, L

z

) spe lniaj¸

acych regu ly komutacji

[L

x

, L

y

] = i~L

z

(i relacje otrzymane przez cykliczne przestawienie indeks´

ow).

R´

ownie˙z

[L

x,y,z

, L

2

] = 0. Mo˙zna wi¸ec tak przygotowa´

c uk lad (cz¸

astk¸e), aby wynik pomiaru L

z

i L

2

by l przewidywalny z pewno´sci¸

a, tzn. istniej¸

a wsp´

olne funkcje w lasne tych operator´

ow

L

2

ψ

λµ

= ~

2

λ

2

ψ

λµ

,

L

z

ψ

λµ

= ~µψ

λµ

.

Rol¸e pojedynczego indeksu n w og´

olnych wzorach gra para λ, µ.

Wprowadza si¸e operatory L

±

= L

x

± iL

y

; zachodzi L

†
±

= L

∓

. Latwo pokaza´

c, ˙ze spe lniaj¸

a

one relacje komutacji [L

±

, L

2

] = 0 oraz [L

±

, L

z

] = ∓~L

±

. Badanie element´

ow macierzowych

(ψ

λ

0

µ

0

, [L

±

, L

2

]ψ

λµ

)

oraz

(ψ

λ

0

µ

0

, [L

±

, L

z

]ψ

λµ

)

prowadzi do relacji

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

)(λ

02

− λ

2

) = 0

oraz

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

)(µ

0

− µ ∓ 1) = 0.

Oznacza to, ˙ze element macierzowy (ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

) zeruje si¸e, je´sli λ 6= λ

0

lub µ

0

6= µ ± 1.

Funkcj¸e L

±

ψ

λµ

mo˙zna rozwin¸

a´

c w bazie

L

±

ψ

λµ

=

X

λ

0

µ

0

ψ

λ

0

µ

0

(ψ

λ

0

µ

0

, L

±

ψ

λµ

),

28

ale z powodu zerowania si¸e element´

ow macierzowych ka˙zda z tych sum redukuje si¸e do

pojedynczego wyrazu.

L

±

ψ

λµ

= C

±

λµ

ψ

λµ±1

,

gdzie

C

±

λµ

= (ψ

λµ±1

, L

±

ψ

λµ

).

Sta le C

±

λµ

mo˙zna wyznaczy´

c badaj¸

ac element macierzowy

(ψ

λµ

, L

±

L

∓

ψ

λµ

).

Z jednej strony jest on r´

owny |C

∓

λµ

|

2

, a z drugiej, poniewa˙z

L

±

L

∓

= L

2
x

+ L

2
y

± ~L

z

= L

2

− L

2
z

− ~L

z

,

jest on r´

owny

~

2

(λ

2

− µ

2

± µ).

Ostatecznie

L

±

ψ

λµ

= ~

p

λ

2

− µ(µ ± 1)ψ

λµ±1

.

Wydaje si¸e, ˙ze stosuj¸

ac wielokrotnie operatory L

±

mo˙zna zbudowa´

c stany odpowiadaj¸

ace

momentowi p¸edu o okre´slonej d lugo´sci i dowolnie du˙zym lub dowolnie ma lym rzucie. Tej

absurdalnej mo˙zliwo´sci mo˙zna unikn¸

a´

c tylko wtedy, gdy rekurencja zostanie przerwana, tzn.

istniej¸

a µ

1

= µ

min

, oraz µ

2

= µ

max

, takie ˙ze

λ

2

− µ

1

(µ

1

− 1) = 0,

λ

2

− µ

2

(µ

2

+ 1) = 0;

dodatkowo od warto´sci minimalnej do warto´sci maksymalnej mo˙zna przej´s´

c k skokami o 1,

tzn. µ

2

= µ

1

+ k, k=0,1,2,3,... . St¸

ad

λ

2

= µ

1

(µ

1

− 1) = (µ

1

+ k)(µ

1

+ k + 1),

a st¸

ad µ

1

= −

k
2

oraz µ

2

=

k
2

. Oznaczamy l =

k
2

, oraz zmieniamy indeksacj¸e (λµ) na lm.

Ostatecznie mo˙zna napisa´

c

L

2

ψ

lm

= ~

2

l(l + 1)ψ

lm

(∗ ∗ ∗),

29

L

z

ψ

lm

= ~mψ

lm

(∗ ∗ ∗),

l = 0,

1

2

, 1,

3

2

, 2....(∗ ∗ ∗),

m = −l, −l + 1, −l + 2, ......., l − 1, l(∗ ∗ ∗).

Dla okre´slonej warto´sci liczby l mamy wi¸ec 2l + 1 dozwolonych warto´sci liczby m. S¸

a to

relacje s luszne dla ka˙zdego momentu p¸edu (orbitalny moment p¸edu jednej cz¸

astki, wypad-

kowy orbitalny moment p¸edu wielu cz¸

astek, wewn¸etrzne momenty p¸edu (spiny), ca lkowity

moment p¸edu). Korzystano jedynie z regu l komutacji i samosprz¸e˙zono´sci operator´

ow. Dalej

oka˙ze si¸e, ˙ze dla moment´

ow p¸edu posiadaj¸

acych odpowiednik klasyczny (ruch czego´s wok´

o l

czego´s) realizuj¸

a si¸e tylko ca lkowite warto´sci liczby l; warto´sci po l´

owkowe odpowiadaj¸

a

nieklasycznym momentom p¸edu: spinom.

Pogl¸

adowy obraz kwantowego momentu p¸edu musi z natury rzeczy by´

c u lomny. Pewne

cechy oddaje w la´sciwie model wektora wykonuj¸

acego ruch precesyjny dooko la osi z. D lugo´s´

c

wektora wynosi ~

pl(l + 1), a jego rzut ~m. Tworz¸aca jest nachylona do osi z pod skwan-

towanym k¸

atem α, takim ˙ze cos α =

m

√

l(l+1)

. Sk ladowe L

x

i L

y

nie s¸

a okre´slone w modelu

klasycznym, bo si¸e zmieniaj¸

a w czasie, a w modelu kwantowym z powod´

ow zasadniczych.

Te og´

olne relacje mo˙zna zastosowa´

c w szczeg´

olno´sci dla orbitalnego momentu p¸edu jednej

cz¸

astki r × p. W tym celu operatory momentu p¸edu nale˙zy przedstawi´

c we wsp´

o lrz¸ednych

sferycznch

x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ.

Relacje odwrotne maj¸

a posta´

c

r = (x

2

+ y

2

+ z

2

)

1
2

,

θ = arccos

z

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

1
2

,

φ = arctg

y

x

.

Wyra˙zaj¸

ac pochodne kartezja´

nskie przez pochodne wzgl¸edem wsp´

o lrz¸ednych sferycznych

wg. zasady

∂

∂x

=

∂r

∂x

∂

∂r

+

∂θ

∂x

∂

∂θ

+

∂φ

∂x

∂

∂φ

30

itd., a nast¸epnie podstawiaj¸

ac do definicji momentu p¸edu otrzymuje si¸e

L

x

= −i~(− sin φ

∂

∂θ

− ctgθ cos φ

∂

∂φ

),

L

y

= −i~(cos φ

∂

∂θ

− ctgθ sin φ

∂

∂φ

),

L

z

= −i~

∂

∂φ

,

L

+

= −i~ exp(iφ)(i

∂

∂θ

− ctgθ

∂

∂φ

),

L

−

= −i~ exp(−iφ)(−i

∂

∂θ

− ctgθ

∂

∂φ

).

Przy okazji otrzyma´

c mo˙zna wa˙zne relacje

L

2

= −~

2

Λ

2

= −~

2

[

1

sin θ

∂

∂θ

sin θ

∂

∂θ

+

1

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

],

∇

2

=

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

+

Λ

2

r

2

.

Funkcje w lasne operator´

ow L

2

i L

z

s¸

a funkcjami k¸

at´

ow θ, φ. Mo˙zna spr´

obowa´

c ka˙zd¸

a z nich

przedstawi´

c jako iloczyn cz¸e´sci zale˙znej od θ i cz¸e´sci zale˙znej od φ

ψ

lm

(θ, φ) = Θ

lm

(θ)Φ

m

(φ);

(taka zale˙zno´s´

c od indeks´

ow zostanie potwiedzona dalej). Podstawienie takiej funkcji do

r´

ownania w lasnego dla L

z

prowadzi do r´

ownania na funkcj¸e Φ

−i~

d

dφ

Φ(φ) = ~mΦ,

gdzie skorzystano, ˙ze L

z

nie dzia la na funkcj¸e Θ

lm

(θ) i przez t¸e ostatni¸

a podzielono obie

strony. Rozwi¸

azaniem tego r´

ownania jest funkcja

Φ(φ) = exp(imφ).

Poniewa˙z po obrocie o 2π funkcja przestrzenna nie powinna zmieni´

c warto´sci, tzn.

exp[im(φ + 2π)] = exp(imφ), m musi by´

c liczb¸

a ca lkowit¸

a: m = 0, ±1, ±2.... Tak samo

liczba l musi by´

c ca lkowita (m zmienia si¸e od −l do l. Ca lkowito´s´

c liczb kwantowych l

i m musi zachodzi´

c dla ka˙zdego orbitalnego (tzn. zwi¸

azanego z ruchem) momentu p¸edu;

po l´

owkowe liczby l i m przys luguj¸

a pewnym momentom p¸edu nie maj¸

acym klasycznego

odpowiednika (spinom).

31

Naj latwiej wyznaczy´

c funkcje Θ(θ) dla minimalnej warto´sci m = −l. Wtedy

L

−

Θ

l−l

exp(−ilφ) = 0,

czyli

−(i

∂

∂θ

+ ctgθ

∂

∂φ

)Θ

l−l

exp(−ilφ) = 0

i dalej

dΘ

l−l

dθ

= lctgθΘ

l−l

.

Latwo zgadn¸

a´

c rozwi¸

azanie ostatniego r´

ownania

Θ(θ) = C sin

l

θ,

gdzie C jest sta l¸

a normalizacyjn¸

a (2πC

2

R

π

0

sin

2l+1

θdθ = 4πC

2

(2l)!!

(2l+1)!!

= 1).

Funkcje dla wi¸ekszych m mo˙zna otrzyma´

c dzia laj¸

ac wielokrotnie operatorem L

+

ψ

lm+1

=

1

~

pl(l + 1) − m(m + 1)

L

+

ψ

lm

=

−i

pl(l + 1) − m(m + 1)

exp(iφ)(i

∂

∂θ

−ctgθ

∂

∂φ

)ψ

lm

,

m = −l, −l + 1, −l + 2, ...., l − 1.

Wszystkie te funkcje maj¸

a posta´

c wielomianu od zmiennej cos θ pomno˙zonego przez sin θ w

jakiej´s pot¸edze i przez czynnik exp(imφ). Funkcje ψ

lm

(θ, φ) po unormowaniu s¸

a standardowo

oznaczane symbolem Y

lm

(θ, φ) i nazywaj¸

a si¸e funkcjami sferycznymi lub kulistymi. Og´

olna

ich posta´

c jest

Y

lm

(θ, φ) = [

(2l + 1)(l − |m|)!

4π(l + m|)!

]

1
2

P

|m|

l

(cos θ) exp(imφ),

gdzie P

|m|

l

(x) = (1 − x

2

)

|m|

2

d

|m|

dx

|m|

P

l

(x), nazywaj¸

a si¸e stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a;

P

l

(x) =

1

2

l

l!

d

l

dx

l

(x

2

− 1)

l

s¸

a wielomiamani Legendre’a, a  = 1 dla m < 0 i  = (−1)

m

dla

m ≥ 0. Przy inwersji uk ladu wsp´

o lrz¸ednych, tzn. zamianie r na −r, nast¸epuje zamiana

θ → π − θ i φ → φ + π. Funkcje Y

lm

o parzystej liczbie l nie zmieniaj¸

a si¸e, natomiast te o

nieparzystej liczbie l zmieniaj¸

a znak. Parzysto´s´

c wynosi wi¸ec (−1)

l

.

VII.

ATOM WODORU

Najprostszy model atomu wodoru uwzgl¸ednia punktowe j¸

adro umieszczone w pocz¸

atku

uk ladu i elektron jako kwantow¸

a cz¸

astk¸e o wsp´

o lrz¸ednej r poruszaj¸

ac¸

a si¸e w przestrzeni.

32

Oddzia lywanie mi¸edzy elektronem i j¸

adrem jest kulombowskie. Niech ladunek j¸

adra wynosi

Ze, tzn. rozwa˙zamy te˙z przy okazji jednoelektronowe jony dodatnie. Masa elektronu wynosi

m = 9.109 × 10

−31

kg, a ladunek e = 1.602 × 10

−19

C. Hamiltonian uk ladu ma posta´

c

H = −

~

2

2m

∇

2

−

Ze

2

4π

0

r

(∗ ∗ ∗),

gdzie

jak

zwykle

r

=

|r|,

a

potencja l

kulombowski

napisano

w

jednostkach

mi¸edzynarodowych.

Uproszczenia modelu polegaj¸

a na:

1. nieuwzgl¸ednieniu ruchu j¸

adra - poni˙zsze wyniki mo˙zna poprawi´

c zamieniaj¸

ac mas¸e j¸

adra

na tzw. mas¸e zredukowana µ =

mm

j

m+m

j

, gdzie m

j

jest mas¸

a j¸

adra;

2. nieuwzgl¸ednienie oddzia lywa´

n magnetycznych zwi¸

azanych z istnieniem wewn¸etrznych

moment´

ow magnetycznych elektronu i j¸

adra;

3. nieuwzgl¸ednienie relatywistycznego przyrostu masy;

4. nieuwzgl¸ednienie kwantowej istoty oddzia lywa´

n elektromagnetycznych, jak¸

a jest ustaw-

iczna emisja i absorpcja wirtualnych foton´

ow oraz modyfikacja pola kulombowskiego w

wyniku polaryzacji pr´

o˙zni.

O roli tych efekt´

ow b¸edzie jeszcze mowa dalej.

Hamiltonian komutuje ze wszystkimi sk ladowymi momentu p¸edu i z jego kwadratem (op-

erator energii kinetycznej zawsze komutuje z momentem p¸edu, operator energii potencjalnej

- dzi¸eki jego sferycznej symetrii). Mo˙zna wi¸ec zmierzy´

c r´

ownocze´snie energi¸e, kwadrat mo-

mentu p¸edu i jego rzut na o´s z, czyli znale´

z´

c wsp´

olne funkcje w lasne tych trzech operator´

ow.

We wsp´

o lrz¸ednych sferycznych hamiltonian ma posta´

c

H = −

~

2

2m

[

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

+

Λ

2

r

2

] −

Ze

2

4π

0

r

.

Operator −~

2

Λ

2

jest operatorem kwadratu momentu p¸edu. Wida´

c jeszcze raz spe lnienie

regu l komutacji: cz¸e´s´

c hamiltonianu zale˙zna od k¸

at´

ow stanowi L

2

, kt´

ory komutuje z sob¸

a i

z L

z

. Wsp´

olnych funkcji w lasnych mo˙zna szuka´

c w postaci

ψ(r, θ, φ) = R

nl

(r)Y

lm

(θ, φ);

dalej oka˙ze si¸e, ˙ze funkcja R powinna mie´

c w la´snie te indeksy. Funkcj¸e t¸e nale˙zy wstawi´

c do

r´

ownania, podzia la´

c operatorem L

2

na funkcj¸e kulist¸

a, a potem przez t¸e funkcj¸e skr´

oci´

c. Do-

datkowo nale˙zy podstawi´

c R

nl

=

f (r)

r

(to ostatnie podstawienie ma charakter pomocniczny

33

i indeksy funkcji b¸ed¸

a chwilowo opuszczone). Po tych operacjach otrzymuje si¸e

−

~

2

2m

d

2

f

dr

2

+

~

2

l(l + 1)

2mr

2

f −

Ze

2

4π

0

r

f = Ef.

Mo˙zna przej´s´

c do wsp´

o lrz¸ednych bezwymiarowych r = aρ, gdzie a =

4π

0

~

2

me

2

= 0.529×10

−10

m

jest promieniem pierwszej dozwolonej orbity w modelu Bohra. R´

ownanie w nowej zmiennej

ma posta´

c (podstawiono F (ρ) ≡ f (aρ),  = E

ma

2

~

2

)

−

1

2

d

2

F

dρ

2

+

l(l + 1)

2ρ

2

F −

Z

ρ

F = F.

Dla du˙zych ρ rozwi¸

azanie r´

ownania powinno si¸e zachowywa´

c jak rozwi¸

azanie r´

ownania

F

00

− κ

2

F = 0,

gdzie  = −

κ

2

2

. Oznacza to, ˙ze dla energii ujemnych κ > 0 i funkcja F zachowuje si¸e dla

du˙zych ρ jak exp(−κr).

Dla ρ → 0 rozwi¸

azania zachowuj¸

a si¸e jak rozwi¸

azania r´

ownania

−

1

2

d

2

F

dρ

2

+

l(l + 1)

2ρ

2

F = 0.

Rozwi¸

azania ostatniego r´

ownania maj¸

a posta´

c F = ρ

l+1

lub ρ

−l

, przy czym te ostatnie

odrzucamy, bo prowadz¸

a do nienormowalnych rozwi¸

aza´

n (przypadek rho

0

nale˙zy rozwa˙zy´

c

osobno). Ostatecznie spr´

obujmy poszuka´

c ´scis lego rozwi¸

azania w postaci

F (ρ) = ρ

l+1

exp(−κρ)

∞

X

j=0

a

j

ρ

j

,

przy czym a

0

6= 0. Podstawienie takiej postaci rozwi¸azania do r´

ownania, uporz¸

adkowanie i

por´

ownanie wsp´

o lczynnik´

ow przy tych samych pot¸egach zmiennej ρ prowadzi to relacji

a

j+1

=

2κ(j + l + 1) − 2Z

(j + l + 2)(j + l + 1) − l(l + 1)

a

j

.

Dla du˙zych j oznacza to, ˙ze

a

j+1

a

j

∼

2κ

j

.

Jest to zachowanie typowe dla funkcji exp(2κρ), tzn.

nasze rozwi¸

azanie zmierza do

niesko´

nczono´sci dla du˙zych ρ, nawet po uwzgl¸ednieniu czynnika exp(−κρ). Szereg powy˙zszy

musi wi¸ec si¸e urywa´

c, tzn. dla pewnego j

∗

2κ(j

∗

+ l + 1) = 2Z,

34

j

∗

= 0, 1, 2, ... Wprowad´

zmy oznaczenie n = j

∗

+ l + 1, czyli n = l + 1, l + 2, ..... Wtedy

κ =

Z

n

, czyli  = −

Z

2

2n

2

i otrzymujemy kwantyzacj¸e energii

E = E

n

= −

Z

2

e

4

m

16π

2



2

0

~

2

1

2n

2

(∗ ∗ ∗).

Jest to ten sam wynik, jak dla energii w modelu Bohra.

Bior¸

ac liczb¸e n za zmieniaj¸

ac¸

a si¸e niezale˙znie mo˙zna napisa´

c, ˙ze n = 1, 2, 3, ... . Wtedy

liczba l = 0, 1, 2, ..., n − 1. Liczba m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l. Dla ustalonego n liczba stan´

ow

o energii E

n

czyli krotno´s´

c degeneracji, wynosi

P

n−1
l=0

(2l + 1) = n

2

.

Po wykonaniu oblicze´

n i unormowaniu funkcje radialne R

nl

maj¸

a posta´

c

R

nl

(r) = N

nl

[

2Zr

na

]

l

exp[

−Zr

na

] L

2l+1
n+l

(

2Zr

na

),

gdzie

L

k
s

(x) =

d

k

dx

k

L

s

(x),

nazywaj¸

a si¸e stowarzyszonymi wielomianami Laguerre’a, L

s

(x) = exp(x)

d

s

dx

s

x

s

exp(−x) s¸

a

wielomianami Laguerre’a, a

N

nl

= −(

2Z

na

)

3
2

[

(n − l − 1)!

2n(n + l)!

3

]

1
2

.

Funkcja radialna R

nl

jest wi¸ec iloczynem wielomianu i funkcji wyk ladniczo malej¸

acej. Ma

n − l − 1 w¸ez l´

ow, czyli miejsc zerowych (nie licz¸

ac pocz¸

atku uk ladu). Maksima radialnej

funkcji rozk ladu prawdopodobie´

nstwa r

2

R

2
nl

dla l = n − 1 wypadaj¸

a w r = n

2 a

Z

, czyli tam,

gdzie p´

o lklasyczne orbity Bohra. Dla mniejszych l jest wi¸ecej maksim´

ow i nie wypadaj¸

a

dok ladnie tam, gdzie orbity Bohra. Zale˙zno´s´

c rozk ladu g¸esto´sci chmury elektronowej od

kierunk´

ow tkwi w funkcjach kulistych. Poniewa˙z |Y

lm

(θ φ)| nie zale˙zy of φ, chmura ma

symetri¸e cylindryczn¸

a (obrotow¸

a) wok´

o l osi z. Dla l = 0 funkcja nie zale˙zy od k¸

ata θ i

chmura ma symetri¸e kulist¸

a (izotropowy rozk lad g¸esto´sci). Dla l = 1 i m = ±1 funkcja Y

1±1

jest proporcjonalna do sin θ - najwi¸eksze prawdopodobie´

nstwo znalezienia elektronu jest w

okolicy θ = 0 (”r´

ownik” kuli); analogicznie dla l = 1 i m = 0 Y

10

jest proporcjonalna do

cos θ i maksymalne prawdopodobie´

nstwo znalezienia elektronu jest w okolicy ”biegun´

ow”

kuli (θ = 0 i θ = π). Ze wzrostem l kszta lt chmury staje si¸e coraz bardziej skomplikowany.

Dla energii dodatnich nie ma konieczno´sci przerwania szeregu: κ jest wtedy wielko´sci¸

a

urojon¸

a i funkcja exp(κρ) jest funkcj¸

a oscyluj¸

ac¸

a. Nie ma wi¸ec kwantyzacji. Funkcje falowe,

35

normowalne do delty Diraca, opisuj¸

a elektron po jonizacji atomu (fala padaj¸

aca i rozpros-

zona).

Funkcje stan´

ow stacjonarnych opisuj¸

a chmury elektronowe o kszta lcie niezale˙znym od

czasu.

Mo˙zna rozwa˙za´

c paczki falowe, czyli superpozycje stan´

ow stacjonarnych.

W

szczeg´

olno´sci od niedawna istniej¸

a techniczne mo˙zliwo´sci wprowadzenia atomu wodoru w

stan, kt´

orego funkcja falowa jest superpozycj¸

a stan´

ow o du˙zych n (rz¸edu kilkudziesi¸eciu).

Ruch takiej paczki mo˙ze przypomina´

c ruch klasycznego elektronu w modelu Bohra; cen-

trum chmury wykonuje ruch orbitalny, a sama chmura na zmian¸e rozmywa si¸e i z powrotem

zbiera.

VIII.

UOG ´

OLNIENIE DLA WIELU CZA

¸ STEK

Przedstawiony wy˙zej formalizm daje si¸e latwo uog´

olni´

c dla N cz¸

astek. Funkcja falowa

musi zale˙ze´

c od wszystkich wsp´

o lrz¸ednych wszystkich cz¸

astek, czyli

ψ = ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t),

przy czym r

j

= (x

j

, y

j

, z

j

). Jest wi¸ec funkcj¸

a 3N zmiennych przestrzennych oraz czasu.

Interpretacja probabilistyczna jest teraz taka, ˙ze

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t)|

2

jest g¸esto´sci¸

a rozk ladu po lo˙ze´

n w przestrzeni 3N wymiarowej, tzn.

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, t)|

2

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

jest prawdopodobie´

nstwem ˙ze:

pierwsza wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (x

1

, x

1

+ dx

1

),

druga wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (y

1

, y

1

+ dy

1

),

trzecia wsp´

o lrz¸edna pierwszej cz¸

astki le˙zy w przedziale (z

1

, z

1

+ dz

1

),

pierwsza wsp´

o lrz¸edna drugiej cz¸

astki le˙zy w przedziale (x

2

, x

2

+ dx

2

),

druga wsp´

o lrz¸edna drugiej cz¸

astki le˙zy w przedziale (y

2

, y

2

+ dy

2

),

.............................................. ..............................................

trzecia wsp´

o lrz¸edna N -tej cz¸

astki le˙zy w przedziale (z

N

, z

N

+ dz

N

).

36

Warunek normalizacji wymaga ca lkowania po wszystkich wsp´

o lrz¸ednych wszystkich

cz¸

astek po ca lym zakresie zmienno´sci (we wsp´

o lrz¸ednych kartezja´

nskich od −∞ do ∞),

czyli po przestrzeni V

N

= R

3N

.

Z

V

N

|ψ(r

1

, r

2

, ...r

N

, , t)|

2

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

= 1.

Iloczyn skalarny dw´

och funkcji ψ i φ jest te˙z zdefniowany jako ca lka po ca lej przestrzeni

3N -wymiarowej

(ψ, φ) =

Z

V

N

d

3

r

1

d

3

r

2

...d

3

r

N

ψ

∗

(r

1

, r

2

, ...r

N

)φ(r

1

, r

2

, ...r

N

).

Zasady konstrukcji operator´

ow s¸

a r´

ownie˙z podobne, z tym ˙ze trzeba rozr´

o˙znia´

c indek-

sami wsp´

o lrz¸edne poszczg´

olnych cz¸

astek i zaznacza´

c wzgl¸edem wsp´

o lrz¸ednych kt´

orej cz¸

astki

r´

o˙zniczkujemy, tzn. energia kinetyczna j-tej cz¸

astki jest reprezentowana przez operator

−~

2

2m

j

∇

2
j

, gdzie ∇

j

= (

∂

∂x

j

,

∂

∂y

j

,

∂

∂z

j

). Na przyk lad Hamiltonian atomu helu, przy pomini¸eciu

ruchu j¸

adra i oddzia lywa´

n relatywistycznych, ma posta´

c

H = −

~

2

2m

∇

2
1

−

~

2

2m

∇

2
2

−

2e

2

4π

0

r

1

−

2e

2

4π

0

r

2

+

e

2

4π

0

|r

1

− r

2

|

,

gdzie r

1

i r

2

s¸

a wektorami po lo˙zenia obu elektron´

ow wzgl¸edem j¸

adra po lo˙zonego w pocz¸

atku

uk ladu.

Operatory odnosz¸

ace si¸e do r´

o˙znych cz¸

astek komutuj¸

a, w szczeg´

olno´sci [ ˆ

x

j

, ˆ

p

x

k

] = i~δ

jk

.

Wszystkie zasadnicze twierdzenia przedstawione dla jednej cz¸

astki pozostaj¸

a w mocy,

je´sli pos lu˙zy´

c si¸e zmodyfikowanymi iloczynami skalarnymi.

IX.

FORMALIZM MACIERZOWY

Je´sli znamy funkcj¸e ψ opisuj¸

ac¸

a uk lad i wybierzemy dowoln¸

a´s ortonormaln¸

a baz¸e ψ

n

, to

mo˙zemy rozwin¸

a´

c funkcj¸e ψ w tej bazie

ψ =

X

n

c

n

ψ

n

.

Mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze znajomo´s´

c funkcji ψ jest r´

ownowa˙zna znajomo´sci ci¸

agu liczb ze-

spolonych c

n

i ˙ze stan uk ladu jest jednoznacznie wyznaczony przez liczby c

n

, kt´

ore ustawiamy

37

w wektor (sko´

nczenie lub niesko´

nczenie wymiarowy)

c =













c

1

c

2

...

c

n

...













.

Dodawanie wektor´

ow i ich mno˙zenie przez liczb¸e zespolon¸

a λ przenosi si¸e na dodawanie

wsp´

o lrz¸ednych wektor´

ow i ich mno˙zenie przez λ. Niech ψ =

P

n

c

n

ψ

n

, φ =

P

n

b

n

ψ

n

. Niech

χ = ψ + φ. Wtedy χ =

P

n

(c

n

+ b

n

)ψ

n

i funkcja χ =

P

n

a

n

ψ

n

jest reprezentowana przez

wektor a, taki ˙ze a

n

= c

n

+ b

n

. Podobnie funkcja λψ jest reprezentowana przez wektor o

wsp´

o lrz¸ednych λc

n

.

Iloczyn skalarny (ψ, φ) przyjmuje posta´

c

(ψ, φ) = (

X

n

c

n

ψ

n

,

X

k

b

k

ψ

k

) =

X

n,k

c

∗
n

b

k

(ψ

n

, ψ

k

) =

X

n

c

∗
n

b

n

dzi¸eki ortonormalno´sci bazy. Sum¸e iloczyn´

ow ”po sk ladowych” mo˙zna zapisa´

c macierzowo

(ψ, φ) =



c

∗
1

c

∗
2

... c

∗
n

...















b

1

b

2

...

b

n

...













.

Wektor sprz¸e˙zony do kolumny jest wierszem (czyli jest transponowany) i jest dodatkowo

sprz¸e˙zony w spos´

ob zespolony.

Operatory s¸

a reprezentowane przez macierze kwadratowe (sko´

nczenie lub niesko´

nczenie

wymiarowe). Niech funkcje ψ i φ s¸

a zwi¸

azane relacj¸

a ψ = Aφ, tzn.

X

n

c

n

ψ

n

= A

X

k

b

k

ψ

k

.

Je´sli wzi¸

a´

c iloczyn skalarny obu stron tej r´

owno´sci z funkcj¸

a ψ

s

otrzymujemy

(ψ

s

,

X

n

c

n

ψ

n

) = (ψ

s

, A

X

k

b

k

ψ

k

)

i dalej

c

s

=

X

k

(ψ

s

, Aψ

k

)b

k

=

X

k

A

sk

b

k

.

38

Macierz reprezentuj¸

aca operator A jest wi¸ec tablic¸

a liczb zespolonych A

sk

= (ψ

s

, Aψ

k

).

Ostatni¸

a relacj¸e mo˙zna napisa´

c macierzowo













c

1

c

2

...

c

n

...













=













A

11

A

12

... A

1n

...

A

21

A

22

... A

2n

...

...

... ...

...

...

A

n1

A

n2

... A

nn

...

...

... ...

...

...

























b

1

b

2

...

b

n

...













.

Operator sprz¸e˙zony po hermitowsku ma t¸e w lasno´s´

c, ˙ze

A

†
nk

= (ψ

n

, A

†

ψ

k

) = (Aψ

n

, ψ

k

) = (ψ

k

, Aψ

n

)

∗

= A

∗
kn

,

jest wi¸ec reprezentowany macierz¸

a operatora A dodatkowo transponowan¸

a i sprz¸e˙zon¸

a

w spos´

ob zespolony.

Dla operatora samosprz¸e˙zonego l¸

aczne zastosowanie transpozycji i

sprz¸e˙zenia zespolonego nie zmienia macierzy.

W

bazie

swoich

funkcji

w lasnych

operator

jest

reprezentowany

przez

macierz

A

nk

= (ψ

n

, Aψ

k

) = (ψ

n

, α

k

ψ

k

) = α

k

δ

nk

, a wi¸ec przez macierz diagonaln¸

a, kt´

ora ma

warto´sci w lasne na g l´

ownej przek¸

atnej.

Rozwi¸

azanie r´

ownania w lasnego Aψ = αψ sprowadza si¸e do problemu algebraicznego

X

k

A

jk

c

k

= αc

j

lub

X

k

[A

jk

− αδ

jk

]c

k

= 0.

R´

ownanie to ma rozwi¸

azania niezerowe, gdy zeruje si¸e wyznacznik macierzy uk ladu

det













A

11

− α

A

12

...

A

1n

...

A

21

A

22

− α ...

A

2n

...

...

...

...

...

...

A

n1

A

n2

... A

nn

− α ...

...

...

...

...

...













= 0.

Przy zmianie bazy ulegaj¸

a zmianie zar´

owno wektory stanu jak i operatory. Niech φ

n

stanowi¸

a now¸

a baz¸

a ortonormaln¸

a. Nowe wektory bazowe daj¸

a si¸e oczywi´scie wyrazi´

c przez

39

stare

φ

n

=

X

s

U

ns

ψ

s

.

Poniewa˙z obie bazy s¸

a ortonormalne, mo˙zna napisa´

c

δ

mn

= (φ

m

, φ

n

) = (

X

k

U

mk

ψ

k

,

X

s

U

ns

ψ

s

) =

X

ks

U

∗

mk

U

ns

(ψ

k

, ψ

s

) =

X

ks

U

∗

mk

U

ns

δ

ks

=

X

k

U

nk

U

†

km

= (U U

†

)

mn

,

czyli U U

†

= I albo U

†

= U

−1

. Taka macierz U nazywa si¸e unitarna. Wektor ψ jest okre´slony

w bazie ψ

n

przez wsp´

o lczynniki c

n

, tzn. ψ =

P

n

c

n

ψ

n

. Dalej mo˙zna napisa´

c

ψ =

X

n

c

n

X

s

(U

−1

)

ns

φ

s

=

X

s

X

n

U

∗

sn

c

n

φ

s

=

X

s

c

0
s

φ

s

.

W nowej bazie funkcja ψ jest wi¸ec reprezentowana przez wektor c

0

, gdzie c

0
s

=

P

n

U

∗

sn

c

n

.

Ta sama macierz U s lu˙zy do transformacji operator´

ow. Mo˙zna napisa´

c

A

0
nm

= (φ

n

, Aφ

m

) = (

X

k

U

nk

ψ

k

, A

X

s

U

ms

ψ

s

) =

X

ks

U

∗

nk

U

ms

(ψ

k

, Aψ

s

) =

X

ks

U

∗

nk

A

ks

U

∗†

sm

= (U

∗

AU

∗†

)

nm

.

X.

SPIN

Spin cz¸

astki jest jej wewn¸etrznym momentem p¸edu, czyli nie jest zwi¸

azany z jej ruchem

wok´

o l punktu ani z ruchem jej cz¸e´sci sk ladowych. Nie potrafimy go zinterpretowa´

c klasy-

cznie.

W zwi¸

azku z tym nie potrafimy te˙z opisa´

c go funkcj¸

a zale˙zn¸

a od zmiennych

po lo˙zeniowych ani wyrazi´

c operator´

ow tego momentu p¸edu przez wsp´

o lrz¸edne lub pochodne.

Spin mo˙zna natomiast wygodnie opisa´

c w formalizmie macierzowym.

Istnienie spinu zapostulowano dla wyja´snienia rozszczepienia linii widmowych (struktura

subtelna) oraz szczeg´

o l´

ow ich rozszczepienia w polu magnetycznym (anomalny efekt Zeeem-

ana). Potwierdzone zosta lo w s lawnym do´swiadczeniu Sterna-Gerlacha. Wi¸

azk¸e atom´

ow

srebra przepuszczano przez silnie niejednorodne pole magnetyczne, kt´

ore spowodowa lo

rozszczepienie wi¸

azki na dwie wi¸

azki sk ladowe.

Elementarnym uk ladem oddzia luj¸

acym z polem magnetycznym jest dipolowy moment

magnetyczny, kt´

ory mo˙zna sobie wyobra˙za´

c jako p lask¸

a ramk¸e z pr¸

adem. Wielko´s´

c tego

40

momentu µ = |µ| jest iloczynem nat¸e˙zenia pr¸

adu I i pola powierzchni ramki S. Wektor µ

jest skierowany prostopadle do ramki. Dla pr¸

adu dodatnich ladunk´

ow ma ten sam zwrot

co ich moment p¸edu. W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B si ly dzia laj¸

ace

na ramk¸e si¸e znosz¸

a, pozostaje niezerowy moment si l obracaj¸

acy ramk¸e N = µ × B. W

polu niejednorodnym opr´

ocz momentu obracaj¸

acego pozostaje wypadkowa si la F = (µ∇)B.

Ta w la´snie si la musi powodowa´

c rozszczepienie wi¸

azki. Moment magnetyczny jest propor-

cjonalny do momentu p¸edu. We´

zmy model atomu Bohra. Mo˙zna powiedzie´

c, ˙ze elektron

obiegaj¸

acy j¸

adro po okr¸egu o promieniu r z pr¸edko´sci¸

a v i okresem T =

2πr

v

tworzy pr¸

ad o

nat¸e˙zeniu

−e

T

. Moment magnetyczny wynosi µ = IS =

−ev

2πr

πr

2

=

−e

2m

L. Cz¸

astka na ladowana

i maj¸

aca pewien moment p¸edu ma te˙z pewien moment magnetyczny.

Zachowanie atomu srebra jest determinowane przez w lasno´sci jednego elektronu (na-

jbardziej zewn¸etrznego.

Istnienie dw´

och wi¸

azek oznacza istnienie dw´

och dozwolonych

warto´sci momentu magnetycznego elektronu i tylu samo warto´sci jego momentu p¸edu. Or-

bitalny moment p¸edu o ca lkowitych liczbach l i m posiada dla okre´slonego l nieparzyst¸

a ilo´s´

c

2l + 1 dozwolonych warto´sci m. Na podstawie do´swiadczenia mo˙zna podejrzewa´

c istnienie

momentu p¸edu o liczbie l, oznaczanej tu symbolem s ≡ l =

1
2

. Dozwolone warto´sci rzutu

momentu p¸edu wynosz¸

a m

s

~, gdzie m

s

= ±

1
2

. Okazuje si¸e, ˙ze dla spinu elektronu czyn-

nik proporcjonalno´sci mi¸edzy momentem p¸edu s i momentem magnetycznym µ

s

r´

o˙zni si¸e o

czynnik 2 od analogicznego czynnika dla orbitalnego momentu p¸edu, tzn. µ

s

=

−2e

2m

s.

Funkcje spinowe dla elektronu s¸

a wi¸ec dwusk ladnikowymi kolumnami

ψ =





α

β





(∗ ∗ ∗).

Operatory spinu - macierze 2 × 2 - s¸

a dane jako

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

z

ψ

1
2

m

0

) = ~m

0

(ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

) = ~m

0

δ

mm

0

,

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

+

ψ

1
2

m

0

) = ~

r

1

2

3

2

− m

0

(m

0

+ 1), (ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

+1

) = ~

r

3

4

− m

0

(m

0

+ 1)δ

m,m

0

+1

,

(ψ

1
2

m

, ˆ

s

−

ψ

1
2

m

0

) = ~

r

1

2

3

2

− m

0

(m

0

− 1)(ψ

1
2

m

, ψ

1
2

m

0

−1

) = ~

r

3

4

− m

0

(m

0

− 1)δ

m,m

0

−1

,

gdzie m, m

0

= ±

1
2

i wprowadzono oznaczenie δ

m,m

0

= 1 dla m = m

0

, δ

m,m

0

= 0 dla m 6= m

0

,

m, m

0

±

1
2

. W macierzowej postaci oznacza to

ˆ

s

+

=

~

2





0 1

0 0





, ˆ

s

−

=

~

2





0 0

1 0





, ˆ

s

z

=

~

2





1 0

0 −1





.

41

Poniewa˙z ˆ

s

±

= ˆ

s

x

± iˆ

s

y

, to ˆ

s

x

=

1
2

(ˆ

s

+

+ ˆ

s

−

) i ˆ

s

y

=

1

2i

(ˆ

s

+

− ˆ

s

−

) i otrzymujemy ostatecznie

operatory

ˆ

s

x

=

~

2





0 1

1 0





, ˆ

s

y

=

~

2





0 −i

i

0





, ˆ

s

z

=

~

2





1

0

0 −1





(∗ ∗ ∗).

Trzy ostatnie macierze (bez czynnika

~
2

) znane s¸

a jako macierze Pauliego σ

x

, σ

y

, σ

z

.

Oczywi´scie macierze spinowe ˆ

s

x

, ˆ

s

y

i ˆ

s

z

spe lniaj¸

a regu ly komutacji typowe dla momentu

p¸edu [ˆ

s

x

, ˆ

s

y

] = i~ˆ

s

z

itd.

Cz¸

astki takie jak proton, neutron, miony, neutrina, kwarki (i ich antycz¸

astki) maj¸

a

r´

ownie˙z spin

1
2

i s¸

a opisywane w spos´

ob taki sam jak elektron. Istniej¸

a cz¸

astki o spinie

ca lkowitym (rozmaite mezony, foton, bozony po´srednie W

±

i Z

0

), a tak˙ze cz¸

astki o spinie

3
2

i wi¸ekszym. Og´

olnie funkcje spinowe cz¸

astek o spinie s s¸

a kolumnami o 2s + 1 sk ladnikach,

operatory spinu s¸

a natomiast macierzami (2s + 1) × (2s + 1).

Wektory w lasne operatora ˆ

s

z

otrzymamy rozwi¸

azuj¸

ac r´

ownanie

~

2





1

0

0 −1









a

b





=

~

2

λ





a

b





,

to znaczy a = λa, b = −λb, a wi¸ec albo a 6= 0, λ = 1 i b = 0, albo a = 0, λ = −1 i b 6= 0.

Poniewa˙z wektory maj¸

a by´

c unormowane, czyli |a|

2

+ |b|

2

= 1, maj¸

a one posta´

c

χ

1
2

=





1

0





,

χ

−

1
2

=





0

1





.

Mog¸

a oczywi´scie by´

c pomno˙zone przez dowolny czynnik zespolony o jednostkowej warto´sci

bezwzgl¸ednej.

Rozpatrzmy operator rzutu spinu elektronu na dowolny kierunek okre´slony przez wektor

jednostkowy n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Operator ten ˆ

s

n

= nˆ

s ma posta´

c

~

2

[sin θ cos φσ

x

+ sin θ sin φσ

y

+ cos θσ

z

] =

~

2





cos θ

sin θ exp(−iφ)

sin θ exp(iφ)

− cos θ





.

R´

ownanie w lasne dla tego operatora ma posta´

c

~

2





cos θ

sin θ exp(−iφ)

sin θ exp(iφ)

− cos θ









a

b





=

~

2

λ





a

b





.

42

Ten uk lad r´

owna´

n ma rozwi¸

azania niezerowe, gdy wyznacznik macierzy uk ladu si¸e zeruje,

co zachodzi gdy λ = ±1, czyli dozwolone warto´sci rzutu spinu na dowolny kierunek wynosz¸

a

±

~
2

. Wektory w lasne odpowiadaj¸

ace odpowiednio warto´sciom w lasnym

~
2

i −

~
2

maj¸

a posta´

c





cos

θ
2

exp(−iφ)

sin

θ
2





,





− sin

θ
2

exp(−iφ)

cos

θ
2





.

Wygodnie tu zilustrowa´

c podstawow¸

a w lasno´s´

c uk lad´

ow kwantowych opisanych przez

superpozycj¸e stan´

ow. Niech spin jest w stanie opisanym wektorem





a

b





= a





1

0





+ b





0

1





.

Mo˙zna tak wybra´

c czynnik fazowy, aby b by lo rzeczywiste, dodatnie.

Oznacza to, ˙ze przy pomiarze rzutu spinu na o´s z otrzymamy

~
2

z prawdopodobie´

nstwem

|a|

2

i −

~
2

z prawdopodobie´

nstwem |b|

2

. Nie oznacza to jednak, ˙ze w wi¸

azce s¸

a dwa rodzaje

cz¸

astek!

Istnieje bowiem taki kierunek okre´slony przez k¸

aty θ i φ (takie ˙ze b = sin

θ
2

,

a = cos

θ
2

exp(−iφ)), ˙ze wynik pomiaru rzutu spinu na ten kierunek da z pewno´sci¸

a

~
2

.

XI.

DODAWANIE MOMENT ´

OW PE

¸ DU

Dane s¸

a dwa operatory momentu p¸edu L

1

= (L

1x

, L

1y

, L

1z

) i L

2

= (L

2x

, L

2y

, L

2z

). Mog¸

a

to by´

c dwa orbitalne momenty p¸edu opisane operatorami zale˙znymi od k¸

at´

ow lub dwa spiny

opisane macierzami lub jeden orbitalny moment p¸edu i jeden spin.

Dla ka˙zdego z nich spe lnione s¸

a relacje komutacji typowe dla moment´

ow p¸edu. Ka˙zda ze

sk ladowych L

1

komutuje z ka˙zd¸

a ze sk ladowych L

2

. Mo˙zna skonstruowa´

c operator wypad-

kowego momentu p¸edu L = L

1

+ L

2

. Regu ly komutacji dla wypadkowego momentu p¸edu s¸

a

takie jak dla wszystkich moment´

ow p¸edu

[L

x

, L

y

] = [L

1x

+ L

2x

, L

1y

+ L

2y

] = [L

1x

, L

1y

] + [L

2x

, L

2y

] = i~L

1z

+ i~L

2z

= i~L

z

.

Niech sk ladowe momenty p¸edu opisane s¸

a liczbami kwantowymi l

1

, m

1

i l

2

, m

2

. Wypad-

kowy moment p¸edu opisany jest liczbami kwantowymi l, m, tak ˙ze jego kwadrat wynosi

~

2

l(l + 1), jego rzut na o´s z jest r´

owny ~m, a m = −l, −l + 1, ..., l.

Kluczowa jest obserwacja, ˙ze operator L

2

nie komutuje z L

1z

i z L

2z

, cho´

c komutuje z

ich sum¸

a. Mo˙za zmierzy´

c jednocze´snie wielko´sci fizyczne L

2
1

, L

1z

, L

2
2

, L

2z

, bo ka˙zdy z tych

43

operator´

ow komutuje z ka˙zdym, a wi¸ec mo˙zna znale´

z´

c wsp´

olne funkcje w lasne tych opera-

tor´

ow. Drug¸

a tak¸

a rodzin¸e komutuj¸

acych operator´

ow tworz¸

a L

2
1

, L

2
2

, L

2

, L

z

. Funkcje w lasne

pierwszej rodziny s¸

a po prostu iloczynami funkcji opisuj¸

acych sk ladowe momenty p¸edu, tzn.

ψ

l

1

m

1

l

2

m

2

(1, 2) = ψ

l

1

m

1

(1)ψ

l

2

m

2

(2),

gdzie liczba w nawiasie oznacza, do kt´

orej cz¸

astki odnosi si¸e funkcja.

Funkcje w lasne operator´

ow z drugiej rodziny musz¸

a si¸e da´

c roz lo˙zy´

c w bazie funkcji z pier-

wszej rodziny

ψ

l

1

l

2

lm

(1, 2) =

X

m

1

m

2

(l

1

l

2

m

1

m

2

|lm)ψ

l

1

m

1

(1)ψ

l

2

m

2

(2)(∗ ∗ ∗).

Wsp´

o lczynniki w okr¸

ag lym nawiasie nazywaj¸

a si¸e wsp´

o lczynnikami Clebscha-Gordana, a ich

warto´sci oraz og´

olne w lasno´sci mo˙zna znale´

z´

c w bardziej szczeg´

o lowych ´

zr´

od lach. Sumowanie

musi przebiega´

c po takich indeksach, kt´

ore s¸

a obecne po prawej stronie, a nie ma ich po

lewej stronie.

Zakres zmienno´sci liczb l mo˙zna wyznaczy´

c korzystaj¸

ac z r´

ownoliczno´sci obu baz. Dla

ustalonych l

1

i l

2

funkcji w pierwszej bazie jest (2l

1

+ 1)(2l

2

+ 1). Za l´

o˙zmy, ˙ze liczba l mo˙ze

zmienia´

c si¸e od l

min

do l

max

. Poniewa˙z rzuty dodaj¸

a si¸e algebraicznie, m

max

= m

1max

+

m

2max

= l

1

+ l

2

. Z drugiej strony m

max

musi by´

c r´

owne l

max

. St¸

ad l

max

= l

1

+ l

2

. Dla ka˙zdej

warto´sci l mamy 2l + 1 funkcji o r´

o˙znych m. Oznacza to,.ze

l

max

=l

1

+l

2

X

l=l

min

(2l + 1) = (2l

1

+ 1)(2l

2

+ 1).

Powy˙zsze r´

ownanie mo˙zna rozwi¸

aza´

c ze wzgl¸edu na l

min

. Korzysta si¸e z faktu, ˙ze

P

N
n=0

(2n+1) = (N +1)

2

dla liczb za lkowitych (oraz podobnej relacji dla liczb po l´

owkowych).

Ostatecznie otrzymuje si¸e, ˙ze l

min

= |l

1

− l

2

|. Oznacza to, ˙ze

l = |l

1

− l

2

|, |l

1

− l

2

| + 1, ..., l

1

+ l

2

.

Jest to kwantowy odpowiednik klasycznej relacji m´

owi¸

acej, ˙ze z trzech odcink´

ow a, b, c mo˙zna

zbudowa´

c tr´

ojk¸

at, je´sli |b − c| < a < b + c itd.

Pogl¸

adowy obraz skonstruowany za pomoc¸

a obracaj¸

acych si¸e wektor´

ow jest nast¸epuj¸

acy.

Gdy okre´slone s¸

a wielko´sci z pierwszej rodziny, wektory L

1

i L

2

mo˙zna sobie wyobra˙za´

c jako

wykonuj¸

ace niezale˙znie precesj¸e wok´

o l osi z. Dla drugiej rodziny te dwa wektory wykonuj¸

a

precesj¸e wok´

o l kierunku wektora L, a ten ostatni wykonuje precesj¸e wok´

o l osi z.

44

XII.

RACHUNEK ZABURZE ´

N NIEZALE ˙

ZNY OD CZASU

Rachunek zaburze´

n niezale˙zny od czasu jest metod¸

a przybli˙zonego znajdowania warto´sci

w lasnych i funkcji w lasnych operator´

ow. Na przyk lad dla operatora energii poszukujemy

rozwi¸

aza´

n r´

ownania

Hψ

n

= E

n

ψ

n

.

Metod¸e t¸e mo˙zna stosowa´

c, gdy hamiltonian daje si¸e roz lo˙zy´

c na sum¸e dw´

och operator´

ow

H = H

0

+ λV,

takich ˙ze znamy rozwi¸

azania zagadnienia w lasnego dla H

0

H

0

ψ

0

n

= E

0

n

ψ

0

n

oraz ˙ze operator V jest w pewnym sensie ma l¸

a poprawk¸

a (wyja´snienie pojawi si¸e ni˙zej).

Parametr λ jest miar¸

a ma lo´sci, na ko´

ncu po lo˙zymy λ = 1. Istota metody polega na za lo˙zeniu,

˙ze funkcje w lasne i warto´sci w lasne pe lnego hamiltonianu s¸

a funkcjami parametru λ i mo˙zna

je roz lo˙zy´

c w szereg wzgl¸edem λ

E

n

= E

(0)

n

+ E

(1)

n

λ + E

(2)

n

λ

2

+ ...,

ψ

n

= ψ

(0)

n

+ ψ

(1)

n

λ + ψ

(2)

n

λ

2

+ ....

Po napisaniu r´

ownania w lasnego w formie

(E

n

− H

0

)ψ

n

= λV ψ

n

i podstawieniu rozwini¸e´

c otrzymujemy

[E

(0)

n

+ E

(1)

n

λ + E

(2)

n

λ

2

+ ... − H

0

][ψ

(0)

n

+ ψ

(1)

n

λ + ψ

(2)

n

λ

2

+ ...] = λV [ψ

(0)

n

+ ψ

(1)

n

λ + ψ

(2)

n

λ

2

+ ...].

R´

owno´s´

c szereg´

ow oznacza, ˙ze musz¸

a by´

c odpowiednio r´

owne wsp´

o lczynniki przy tych

samych pot¸egach λ. Przyr´

ownuj¸

ac wsp´

o lczynniki przy λ

0

, λ

1

, λ

2

... otrzymujemy

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(0)

n

= 0,

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(1)

n

+ E

(1)

n

ψ

(0)

n

= V ψ

(0)

n

,

[E

(0)

n

− H

0

]ψ

(2)

n

+ E

(1)

n

ψ

(1)

n

+ E

(2)

n

ψ

(0)

n

= V ψ

(1)

n

.

45

Wida´

c, ˙ze kolejne poprawki ψ

(j)

n

do funkcji nie s¸

a wyznaczone jednoznacznie. Dodanie

do nich funkcji αψ

0

n

z dowolnym czynnikiem α nie zmieni r´

owna´

n. Mo˙zna te funkcje tak

wybra´

c, aby (ψ

0

n

, ψ

(j)

n

) = 0.

Pierwsze z tr´

ojki powy˙zszych r´

owna´

n m´

owi, ˙ze w nieobecno´sci oddzia lywania V

rozwi¸

azania zaburzone sprowadzaj¸

a si¸e do niezaburzonych.

Musi zachodzi´

c E

(0)

n

= E

0

n

.

Je´sli energia E

0

n

nie jest zdegenerowana, to funkcja ψ

(0)

n

, czyli najni˙zszy wyraz rozwini¸ecia

w szereg, musi by´

c to˙zsama z niezaburzon¸

a funkcj¸

a ψ

0

n

. Drugie r´

ownanie zrzutowane na

funkcj¸e ψ

0

s

prowadzi do

(ψ

0

s

, [E

(0)

n

− H

0

]ψ

(1)

n

) + E

(1)

n

(ψ

0

s

, ψ

0

n

) = (ψ

0

s

V ψ

0)

n

,

albo

(E

0

s

− E

0

n

)(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

) + E

(1)

n

δ

ns

= V

sn

,

gdzie wprowadzono oznaczenie V

sn

= (ψ

0

s

, V ψ

0

n

). Dla s = n otrzymujemy

E

(1)

n

= V

nn

(∗ ∗ ∗),

a dla s 6= n

(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

) =

V

sn

E

0

s

− E

0

n

.

Mo˙zna ψ

(1)

n

roz lo˙zy´

c w bazie funkcji niezaburzonych

ψ

(1)

n

=

X

s6=n

ψ

0

s

(ψ

0

s

, ψ

1

n

) =

X

s6=n

V

sn

E

0

s

− E

0

n

ψ

0

s

.

Trzecie z r´

owna´

n zrzutowane na ψ

0

s

daje

(ψ

0

s

, [E

0

n

− H

0

]ψ

(2)

n

) + E

(1)

n

(ψ

0

s

, ψ

(1)

n

)

+E

(2)

n

(ψ

0

s

, ψ

0

n

) = (ψ

0

s

, V ψ

(1)

n

).

Dla n = s otrzymuje si¸e

E

(2)

n

= (ψ

0

n

, V ψ

(1)

n

) =

X

s6=n

V

ns

V

sn

E

0

n

− E

0

s

(∗ ∗ ∗).

T¸e procedur¸e mo˙zna kontynuowa´

c buduj¸

ac coraz wy˙zsze wyrazy szereg´

ow. Na og´

o l nie

da si¸e udowodni´

c zbie˙zno´sci procedury i poprzestaje si¸e na intuicji, ˙ze zachodzi zbie˙zno´s´

c,

gdy kolejne wyrazy malej¸

a. Cz¸esto poprzestaje si¸e na pierwszej niezerowej poprawce.

46

Z powy˙zszych wzor´

ow wida´

c, co znaczy ”ma lo´s´

c” operatora V : funkcj¸e ψ

(1)

n

mo˙zna

traktowa´

c jako poprawk¸e do funkcji ψ

0

n

, je´sli wsp´

o lczynniki

V

sn

E

0

n

−E

0

s

s¸

a ma le, tzn. warto´sci

bezwzgl¸edne element´

ow macierzowych musz¸

a by´

c ma le w por´

ownaniu z r´

o˙znicami energii

stan´

ow niezaburzonych.

Je´sli energia E

0

n

jest zdegenerowana, metoda wymaga modyfikacji: wida´

c na przyk lad,

˙ze pierwsza poprawka do funkcji zawiera laby wyrazy z zerem w mianowniku. Wygodnie

jest wtedy zmieni´

c indeksacj¸e numeruj¸

ac pierwszym wska´

znikiem energi¸e niezaburzon¸

a, a

drugim - r´

o˙zne funkcje w lasne do tej samej warto´sci w lasnej. Otrzymamy w szczeg´

olno´sci

[E

nj

− H

0

]ψ

nj

= λV ψ

nj

i dalej

[E

(0)

nj

− H

0

]ψ

(0)

nj

= 0,

[E

(0)

nj

− H

0

]ψ

(1)

nj

− E

(1)

nj

ψ

(0)

nj

= V ψ

(0)

nj

.

Przy wy l¸

aczeniu oddzia lywania (tzn. gdy λ → 0) energie zaburzone musz¸

a zmierza´

c

do niezaburzoej E

(0)

nj

= E

n

0, a funkcje zaburzone musz¸

a zmierza´

c do specjalnie wybranych

funkcji niezaburzonych, tzn. ψ

(0)

nj

s¸

a kombinacjami liniowymi funkcji ψ

0

nj

. Podstawowy wz´

or

dla pierwszej poprawki do energii mo˙zna otrzyma´

c bez powtarzania ca lego rozumowania.

Zerowanie si¸e mianownik´

ow w rozwini¸eciu ψ

(1)

n

nie szkodzi, je´sli tak wybra´

c funkcje bazowe

ψ

0

nj

, aby elementy macierzowe V

nj,ns

= (ψ

0

nj

, V ψ

0

ns

) zerowa ly si¸e dla j 6= s. Wtedy pierwsze

poprawki do energii s¸

a elementami macierzowymi E

(1)

nj

= V

nj,nj

, czyli warto´sciami w lasnymi

diagonalnej macierzy V

nj,ns

. Poniewa˙z warto´sci w lasne macierzy nie zmieniaj¸

a si¸e przy zmi-

anie bazy (czyli przy tranformacji unitarnej), oznacza to, ˙ze mo˙zna macierz t¸e zbudowa´

c w

dowolnej bazie i wyliczy´

c warto´sci w lasne z r´

ownania

det










V

n1,n1

− E

(1)

nj

V

n1,n2

...

V

n1,nk

n

V

n2,n1

V

n2,n2

− E

(1)

nj

...

V

n2,nk

n

...

...

...

...

V

nk

n

,n1

V

nk

n

,n2

... V

nk

n

,nk

n

− E

(1)

nj










= 0,

gdzie stopie´

n degeneracji k

n

jest rozmiarem macierzy i jednocze´snie stopniem r´

ownania na

E

1

nj

, kt´

ore nale˙zy rozwi¸

aza´

c.

47

XIII.

METODY WARIACYJNE

Metody wariacyjne stanowi¸

a drug¸

a wa˙zn¸

a rodzin¸e metod znajdowania przybli˙zonych

warto´sci w lasnych w szczeg´

olno´sci operatora energii. Rozpatrzmy funkcjona l energii, czyli

operacj¸e przyporz¸

adkowania ka˙zdej funkcji ψ pewnej liczby I[ψ] (rozpatrujemy tylko funkcje

unormowane)

I[ψ] = (ψ, Hψ).

Funkcji w lasnych ψ

n

hamiltonianu, takich ˙ze Hψ

n

= E

n

ψ

n

, nie znamy, lecz wiadomo, ˙ze

istniej¸

a i tworz¸

a baz¸e ortonormaln¸

a. Za l´

o˙zmy, ˙ze energie w lasne s¸

a uporz¸

adkowane E

1

≤

E

2

≤ E

3

≤ ... . Funkcj¸e ψ mo˙zna rozwin¸a´c w tej bazie i rozwini¸ecie ψ =

P

n=1

c

n

ψ

n

podstawi´

c do funkcjona lu otrzymuj¸

ac

I[ψ] =

X

n=1

E

n

|c

n

|

2

,

gdzie skorzystano z normalizacji funkcji ψ, tzn.

P

n

|c

n

|

2

= 1. Suma nie ulegnie zwi¸ekszeniu,

je´sli ka˙zd¸

a z energii E

n

zast¸

api´

c przez najmniejsz¸

a z nich E

1

.

I[ψ] ≥

X

n=1

E

1

|c

n

|

2

= E

1

.

Zauwa˙zy´

c nale˙zy, ˙ze I[ψ

1

] = E

1

.

Oznacza to, ˙ze warto´s´

c E

1

jest minimum funkcjona lu I przy warunku dodatkowym,

jakim jest normalizacja funkcji, i minimum to jest osi¸

agane. Inaczej m´

owi¸

ac, gdyby oblicza´

c

warto´s´

c funkcjona lu kolejno dla wszystkich unormowanych funkcji z ca lej przestrzeni funkcji

normowalnych z kwadratem, to najmniejsza z otrzymanych warto´sci funkcjona lu by laby

r´

owna energii w lasnej E

1

. W praktyce nie da si¸e przeszuka´

c ca lej przestrzeni, ale mo˙zna

przeszuka´

c jej podzbi´

or (tzn.znale´

z´

c minimum funkcjona lu na pewnym podzbiorze). Je´sli

´scis la funkcja ψ

1

nale˙zy do przeszukiwanego pozbioru, otrzymamy ´scis ly wynik. Je´sli tak

nie jest, ale podzbi´

or jest sensownie wybrany (potrzeba jest intuicja i znajomo´s´

c og´

olnych

w lasno´sci ´scis lej funkcji), to mo˙zna osi¸

agn¸

a´

c dobre przybli˙zenie.

Mo˙zna tak˙ze wyznacza´

c energie stan´

ow wzbudzonych, ale jest to bardziej k lopotliwe.

Oszacowanie powy˙zsze mo˙zna powt´

orzy´

c dla energii E

2

pierwszego stanu wzbudzonego przy

dodatkowym za lo˙zeniu, ˙ze badane funkcje ψ s¸

a ortogonalne do funkcji stanu podstawowego,

czyli je´sli c

1

= 0. Wtedy

I[ψ] =

X

n=1

E

n

|c

n

|

2

=

X

n=2

E

n

|c

n

|

2

≥

X

n=2

E

2

|c

n

|

2

= E

2

.

48

Energi¸e pierwszego stanu wzbudzonego otrzymamy wi¸ec jako minimum funkcjona lu I

w zbiorze wszystkich funkcji unormowanych i ortogonalnych do ψ

1

. Dla wy˙zszych stan´

ow

przybywa warunk´

ow dodatkowych: dla stanu n potrzebna jest ortogonalno´s´

c do funkcji

wszystkich ni˙zszych stan´

ow.

XIV.

ATOM WODORU ZE SPINEM

Uwzgl¸ednienie spinu elektronu powoduje konieczno´s´

c uzupe lnienia opisu przez rozszerze-

nie przestrzeni wektor´

ow falowych.

Funkcje wodorowe b¸ed¸

a iloczynami dyskutowanych

wcze´sniej funkcji przestrzennych ψ

nlm

(r) i macierzowych funkcji spinowych (lub kombinac-

jami liniowymi takich iloczyn´

ow). Operatory w reprezentacji po lo˙zeniowej dzia laj¸

a tylko na

funkcje przestrzenne, macierzowe operatory spinowe- tylko na funkcje spinowe. Na przyk lad

funkcje postaci

ψ

nlmm

s

(1) = ψ

nlm

(r)χ

m

s

,

gdzie (1) oznacza skr´

otowo wszystkie wsp´

o lrz¸edne przestrzenne i spin, a

χ

1
2

=





1

0





, χ

−

1
2

=





0

1





s¸

a funkcjami w lasnymi energii, kwadratu orbitalnego momentu p¸edu, jego rzutu na o´s z,

kwadratu spinu (zawsze r´

ownego

3
4

~

2

) i rzutu spinu na o´s z. Mo˙zna te˙z skonstruowa´

c funkcje

w lasne energii, kwadratu orbitalnego momentu p¸edu, kwadratu spinu, kwadratu ca lkowitego

momentu p¸edu ˆj = ˆ

L + ˆ

s o warto´sciach ~

2

j(j + 1) ) i rzutu ca lkowitego momentu p¸edu na

o´s z, r´

ownego ~m

j

ψ

nljm

j

(1) = (l,

1

2

, m

j

−

1

2

,

1

2

|jm

j

)ψ

n,l,m

j

−

1
2

(r)χ

1
2

+ (l,

1

2

, m

j

+

1

2

, −

1

2

|jm

j

)ψ

n,l,m

j

+

1
2

(r)χ

−

1
2

.

Z ca lej sumy zosta ly tylko dwa wyrazy, bo rzuty dodaj¸

a si¸e algebraicznie (m

j

= m + m

s

), a

przy m

s

±

1
2

s¸

a tylko dwie mo˙zliwo´sci. Liczba j mo˙ze przyjmowa´

c warto´sci l ±

1
2

, z wyj¸

atkiem

przypadku l = 0, gdy j =

1
2

.

Po uwzgl¸ednieniu spinu krotno´s´

c degenracji energii wzrasta dwukrotnie i wynosi 2n

2

.

Poziomy energetyczne ulegaj¸

a w og´

olno´sci przesuni¸eciu i rozszczepieniu, je´sli uwzgl¸edni´

c

w hamiltonianie oddzia lywania inne ni˙z elektrostatyczne lub w l¸

aczy´

c zewn¸etrzne pola

(eletryczne lub magnetyczne). Wielko´sci przesuni¸e´

c poziom´

ow liczy si¸e metod¸

a rachunku

49

zaburze´

n, uwzgl¸edniaj¸

ac kolejno oddzia lywania od najsilniejszych do najs labszych. Przy

stosowaniu rachunku zaburze´

n najwygodniej wybiera´

c takie bazy funkcji niezaburzonych,

dla kt´

orych macierze kolejnych zaburze´

n s¸

a diagonalne. Takie funkcje, b¸ed¸

ace funkcjami

w lasnymi operator´

ow komutuj¸

acych z hamiltonianem (uwzgl¸edniaj¸

acym poprawk¸e), nazy-

wamy ”dobrymi” funkcjami w danej sytuacji.

Istnienie spinu zwi¸

azane jest z dodatkow¸

a energi¸e oddzia lywania, kt´

or¸

a powinno si¸e

uwzgl¸edni´

c w hamiltonianie i kt´

ora powoduje rozszczepienie poziom´

ow energetycznych

(struktura subtelna).

Posta´

c tego oddzia lywania zwanego oddzia lywaniem spin-orbita,

mo˙zna wyprowadzi´

c przez analogi¸e klasyczn¸

a. W uk ladzie zwi¸

azanym z elektronem mo˙zna

powiedzie´

c, ˙ze znajduje si¸e on w polu magnetycznym spowodowanym przez ko lowy pr¸

ad

wywo lany przez ruch j¸

adra, o nat¸e˙zeniu I =

Ze

T

=

Zev

2πr

(T jest okresem obiegu, v - pr¸edko´sci¸

a,

r promieniem orbity). Z prawa Biota-Savarta wynika, ˙ze pole magnetyczne w tym punkcie

ma warto´s´

c B =

µ

0

I

2r

=

Zeµ

0

v

4πr

2

. Pole to jest prostopad le do p laszczyzny orbity, a wi¸ec

r´

ownoleg le do orbitalnego momentu p¸edu L = r × mv elektronu. Z uwzgl¸ednieniem zwrot´

ow

B =

Zeµ

0

4πr

3

m

L. Powr´

ot do uk ladu spoczywaj¸

acego j¸

adra wymaga formalnego przetransfor-

mowania p´

ol zgodnie z teori¸

a wzgl¸edno´sci, a wynikiem do´s´

c skomplikowanych oblicze´

n jest

pojawienie dodatkowego czynnika

1
2

(efekt Thomasa). Spinowy moment magnetyczny elek-

tronu µ

s

=

−e

m

s powoduje energi¸e oddzia lywania

V = −µB =

Ze

2

µ

0

8πm

2

r

3

ˆ

Lˆ

s =

Ze

2

µ

0

8πm

2

r

3

1

2

(ˆ

j

2

− ˆ

L

2

− ˆ

s

2

),

gdzie skorzystano z relacji ˆj = ˆ

L+ˆ

s podniesionej do kwadratu. Ten ostatni operator powinien

pojawi´

c si¸e w hamiltonianie, a jego wp lyw na energie w lasne mo˙zna obliczy´

c metod¸

a

rachunku zaburze´

n. Dobrymi funkcjami bazowymi, tzn. takimi, ˙ze operator zaburzenia

jest w tej bazie diagonalny, s¸

a funkcje ψ

nljm

j

. Poprawka do energii wynosi

E

(1)

0

nlj

=

Ze

2

µ

0

~

2

8πm

2

1

2

[j(j + 1) − l(l + 1) −

3

4

](ψ

nljm

j

, ˆ

r

−3

ψ

nljm

j

).

Ostatni iloczyn skalarny - ca lka z funkcji wodorowych oraz r

−3

wynosi

Z

3

a

3

n

3

l(l+

1
2

)(l+1)

, gdzie

a =

4π

0

~

2

e

2

m

= 0.529 × 10

−10

m. Po podstawieniu otrzymuje si¸e ostatecznie (dla l > 0)

E

(1)

0

nlj

= −

α

2

Z

2

2n

j(j + 1) − l(l + 1) −

3
4

l(l +

1
2

)(l + 1)

E

n

,

gdzie α =

e

2

4π

0

~c

≈

1

137

jest sta l¸

a struktury subtelnej, a E

n

jest energi¸

a niezaburzon¸

a. Dla

wodoru (Z = 1) poprawka jest o 4 rz¸edy mniejsza od energii niezaburzonej. Poprawka

50

maleje ze wzrostem g l´

ownej liczby kwantowej n i ro´snie ze wzrostem ladunku j¸

adra. Dla

l = 0 ta poprawka jest r´

owna zeru, bo j =

1
2

i zeruje si¸e licznik poprawki.

Dla wodoru r´

ownie istotna jest poprawka wynikaj¸

aca z relatywistycznego przyrostu masy.

Zwi¸

azek mi¸edzy energi¸

a i p¸edem powinien by´

c napisany jako

E = [p

2

c

2

+ m

2

c

4

]

1
2

= mc

2

r

1 +

p

2

m

2

c

2

≈ mc

2

[1 +

p

2

2m

2

c

2

−

p

4

8m

4

c

4

+ ...]

Najni˙zsza poprawka wynosi wi¸ec

−p

4

8m

3

c

2

, a perturbacyjna poprawka do energii wynosi

E

(1)

00

nl

= (ψ

nljm

j

,

−p

4

8m

3

c

2

ψ

nljm

j

) = −

1

2mc

2

(ψ

nljm

j

, [H

0

+

Ze

2

4π

0

r

]

2

ψ

nljm

j

) =

−

1

2mc

2

[E

2

n

+ 2E

n

Ze

2

4π

0

r

−1

+

Z

2

e

4

(4π

0

)

2

r

−2

],

gdzie jak zwykle kreska oznacza warto´s´

c ´sredni¸

a. ´

Srednie te, b¸ed¸

ace zn´

ow ca lkami z funkcji

wodorowych, wynosz¸

a

r

−1

=

Z

n

2

a

,

r

−2

=

Z

2

(l +

1
2

)n

3

a

2

.

Po uporz¸

adkowaniu otrzymuje si¸e

E

(1)

00

nl

= −

α

2

Z

2

n

2

[

3

4

−

n

l +

1
2

]E

n

.

Istnieje jeszcze trzecia poprawka tego samego rz¸edu, mianowicie tzw. poprawka Darwina,

kt´

ora nie ma klasycznego odpowiednika. Daje ona wk lad tylko dla stan´

ow z l = 0. Ma

zwi¸

azek z faktem, ˙ze tylko dla stan´

ow z zerowym mometem p¸edu funkcja falowa nie znika w

r = 0, a w tym obszarze energia potencjalna mo˙ze by´

c por´

ownywalna z energi¸

a spoczynkow¸

a.

Wk lad poprawki Darwina wynosi

E

(1)

000

nl

= −

α

2

Z

2

n

E

n

δ

l0

.

Po dodaniu tych trzech poprawek zale˙znych od liczb kwantowych n, l, j otrzymuje si¸e wynik

niezale˙zny od l

E

(1)

nj

= −

α

2

Z

2

n

2

E

n

(

3

4

−

n

j +

1
2

)(∗ ∗ ∗).

Obecno´s´

c poprawki Darwina oraz fakt, ˙ze nie ma ju˙z wi¸ecej poprawek rz¸edu α

2

wynika

z formalnej teorii relatywistycznej cz¸

astki o spinie

1
2

i kluczowego dla niej r´

ownania Diraca,

kt´

ore jest w pewnym sensie uog´

olnieniem r´

ownania Schr¨

odingera.

51

Zdegenerowane 2n

2

-krotnie poziomy energii o okre´slonej g l´

ownej liczbie kwantowej n

zostaj¸

a wi¸ec rozszczepione na podpoziomy o okre´slonym ca lkowitym momencie p¸edu. Dla

wodoru (Z = 1) rozszepienie jest rz¸edu

1

20000

warto´sci energii niezaburzonej. Dla jon´

ow

wodoropodobnych o wi¸ekszych Z jest odpowiednio wi¸eksze. W szczeg´

olno´sci stan podsta-

wowy (n = 1, l = 0, s =

1
2

, j =

1
2

, m

j

= ±

1
2

) pozostaje dwukrotnie zdegenerowany, lecz

zostaje obni˙zony na osi energii. O´smiu stanom o n = 2 odpowiadaj¸

a dwa obni˙zone poziomy

energii, oba czterokrotnie zdegenerowane: j =

1
2

( m

j

= ±

1
2

, l = 0 lub l = 1) i j =

3
2

(m

j

= ±

1
2

, ±

3
2

, l = 1).

Utrzymuj¸

aca si¸e jeszcze degeneracja ze wzgl¸edu na l zostaje usuni¸eta w wyniku odd-

zia lywania z wirtualnymi fotonami oraz polaryzacji pr´

o˙zni. Wynikaj¸

aca z tych oddzia lywa´

n

r´

o˙znica poziom´

ow 2

2

S

1
2

i 2

2

P

1
2

wynosi 4.4µ eV (ok.10

−6

warto´sci energii niezaburzonej. Za-

stosowano tu u˙zywan¸

a w fizyce atomowej notacj¸e: liczba 2 na pocz¸

atku oznacza warto´s´

c

g l´

ownej liczby kwantowej, orbitalny moment p¸edu okre´slany jest liter¸

a (S-0, P-1, D-2, F-3,

G-4...), lewy g´

orny indeks oznacza liczb¸e 2s + 1 (tu s =

1
2

), a dolny indeks jest r´

owny licz-

bie j. W niekt´

orych podr¸ecznikach dla pojedynczego elektronu rezerwuje si¸e ma le litery, a

wypadkowych orbitalnych i spinowych moment´

ow p¸edu - du˙ze.

Kolejne poprawki do energii zwi¸

azane s¸

a z oddzia lywaniami z j¸

adrem, innymi ni˙z elek-

trostatyczne.

Nale˙zy wzia´

c pod uwag¸e oddzia lywanie momentu magnetycznego jdra

¸

z

polem magnetycznym wytwarzanym przez elektrony oraz kwadrupolowego momentu mag-

netycznego j¸

adra z gradientem pola elektrycznego elektron´

ow. Podobnego rz¸edu wielko´sci

mog¸

a by´

c przesuni¸ecia izotopowe: poprawki zwi¸

azane ze sko´

nczon¸

a mas¸

a j¸

adra i rozk ladem

ladunku w j¸

adrze.

Mo˙zna wyr´

o˙zni´

c normalny efekt masy (r´

o˙zne izotopy maj¸

a r´

o˙zne

masy zredukowane elektron´

ow), specyficzny efekt masowy (dla atmo´

ow woeloelektronowych

sprz¸e˙zenie ruchu elektron´

ow przez oddzial ywanie z j¸

adrem) oraz efekt pola (zmiany w

rozk ladzie ladunku j¸

adra w zale˙zno´sci od izotopu, np.

efekt obj¸etø’sciowy zwic¸

azany z

zale˙zno´scica rozmiar´

ow j¸

adra od liczby masowej. Post¸epowanie jest podobne jak w opisanym

wy˙zej przypadku rozszczepienia subtelnego, w szczeg´

olno´sci nale˙zy wprowadzi´

c ca lkowity

moment p¸edu atomu (ca lkowity moment p¸edu elektronu + spin j¸

adra) i jego funkcje w lasne.

Efekty te powoduj¸

a tzw. nadsubtelne rozszczepienie poziom´

ow, np. stan podstawowy

atomu wodoru ma struktur¸e dubletu o r´

o˙znicy energii ok. 5.9 µeV, co odpowiada emisji

promieniowania o d lugo´sci 21 cm.

Utrzymuje si¸e przez ca ly czas degeneracja energii ze wzgl¸edu na liczby kwantowe m.

52

XV.

ATOM WODORU W POLU MAGNETYCZNYM

Elektron posiada moment magnetyczny

µ = −

e

2m

L −

e

m

s = −

e

2m

(L + 2s) = −

e

2m

(j + s)

zwi¸

azany zar´

owno z jego ruchem orbitalnym jak i ze spinem.

Istotna komplikacja jest

zwi¸

azana z faktem, ˙ze wsp´

o lczynniki proporcjonalno´sci mi¸edzy ka˙zdym z tych moment´

ow

magnetycznych a odpowiednim momentem p¸edu r´

o˙zni¸

a si¸e o czynnik 2. Gdy atom wodoru

znajdzie si¸e w zewn¸etrznym sta lym polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym wzd lu˙z

osi z, pojawia si¸e dodatkowa energia oddzia lywania

V = −µB =

e

2m

B(ˆ

j

z

+ ˆ

s

z

).

Gdy pole magnetyczne jest s labe, tzn. powoduje rozszczepienie znacznie mniejsze od

rozszczepienia subtelnego, oddzia lywanie V mo˙zna traktowa´

c jako kolejn¸

a poprawk¸e pertur-

bacyjn¸

a do hamiltonianu niezaburzonego, uwzgl¸edniaj¸

acego ju˙z oddzia lywanie spin-orbita,

poprawk¸e relatywistyczn¸

a do masy i poprawk¸e Darwina. W pierwszym rz¸edzie rachunku

zaburze´

n potrzebne b¸ed¸

a elementy macierzowe (ψ

nljm

j

, V ψ

nljm

j0

), gdy˙z latwo pokaza´

c, ˙ze

jest to macierz diagonalna w m

j

, cho´

c nie w j. Poprawki do energii dane s¸

a przez elementy

macierzowe o tych samych l i j

E

(1)

nljm

j

= (ψ

nljm

j

, V ψ

nljm

j

) =

e

2m

B(ψ

nljm

j

, [ˆ

j

z

+ ˆ

s

z

]ψ

nljm

j

).

Funkcje w tych elementach macierzowych s¸

a funkcjami w lasnymi operatora ˆ

j

z

ale nie ˆ

s

z

.

´

Srednie warto´sci tego ostatniego operatora mo˙zna obliczy´

c formalnie korzystaj¸

ac z og´

olnych

w lasno´sci transformacyjnych momentu p¸edu, ale mo˙zna je wydedukowa´

c na podstawie mod-

elu wektorowego. Nale˙zy sobie wyobrazi´

c ˙ze momenty p¸edu L i s wykonuj¸

a precesj¸e wok´

o l

kierunku wektora j, a ten ostatni wykonuje precesj¸e wok´

o l osi z. ´

Srednia warto´s´

c s

z

b¸edzie

wi¸ec r´

owna ´sredniej rzutu s na kierunek j, rzutowanego nast¸epnie na o´s z

s

z

= (s

j

j

2

)j

z

.

Operator js mo˙zna wyliczy´

c korzystaj¸

ac z relacji L = j − s podniesionej do kwadratu

ˆjˆs =

1

2

(ˆ

j

2

− ˆ

L

2

+ ˆ

s

2

).

53

Poprawka przyjmuje wi¸ec posta´

c

E

(1)

nljm

j

=

e

2m

B(ψ

nljm

j

, [1 +

ˆ

j

2

− ˆ

L

2

+ ˆ

s

2

2ˆ

j

2

]ˆ

j

z

ψ

nljm

j

).

Funkcje ψ

nljm

j

s¸

a funkcjami w lasnymi wszystkich wyst¸epuj¸

acych tu operator´

ow. Ostatecznie

otrzymujemy

E

(1)

nljm

j

=

e

2m

B~gm

j

(∗ ∗ ∗),

gdzie

g = 1 +

j(j + 1) − L(L + 1) +

3
4

2j(j + 1)

(∗ ∗ ∗)

nazywa si¸e czynnikem Land´

ego.

Poziom o okre´slonej liczbie kwantowej j zostaje rozszczepiony na 2j + 1 r´

owno odleg lych

podpoziom´

ow r´

o˙zni¸

acych si¸e liczbami magnetycznymi m

j

. Wielko´s´

c rozszczepienia jest pro-

porcjonalna do pola i zale˙zy od liczb kwantowych L i j przez czynnik Land´

ego. Rozszczepi-

enie to nazywa si¸e efektem Zeemana.

Gdy pole magnetyczne jest silne, oddzia lywanie z tym polem musi by´

c rozwa˙zane przed

uwzgl¸ednieniem oddzia lywania spin-orbita (kolejne poprawki powinny by´

c coraz mniejsze).

Ca lkowity moment p¸edu przestaje by´

c zachowany, a liczba j przestaje by´

c u˙zyteczna. Nale˙zy

najpierw za hamiltonian niezaburzony przyj¸

a´

c operator zawieraj¸

acy tylko oddzia lywanie

kulombowskie. Najwa˙zniejsze zaburzenie

V = −µB =

e

2m

B( ˆ

L

z

+ 2ˆ

s

z

).

Rachunek zaburze´

n najwygodniej przeprowadzi´

c teraz w bazie funkcji ψ

nlmm

s

, bo zaburzenie

jest w tej bazie diagonalne. Poprawka do energii pochodz¸

aca od pola magnetycznego wynosi

E

(1)

nlmm

s

= (ψ

nlmm

s

,

e

2m

B[ ˆ

L

z

+ 2ˆ

s

z

]ψ

nlmm

s

) =

e~

2m

B(m + 2m

s

).

Ten efekt rozszczepienia poziom´

ow energii nosi nazw¸e efektu Paschena-Backa. Jako kolejne

mniejsze zaburzenie mo˙zna dalej bada´

c oddzia lywanie spinowo-orbitalne.

XVI.

ATOM WODORU W POLU ELEKTRYCZNYM

Niech b¸edzie w l¸

aczone jednorodne sta le pole elektryczne o nat¸e˙zeniu E, skierowane wzd lu˙z

osi z. Powoduje ono, ˙ze energia oddzia lywania, w przybli˙zeniu nierelatywistycznym czyli

54

uwzgl¸edniaj¸

aca tylko oddzia lywanie kulombowskie, jest wzbogacona o dodatkowy cz lon V =

−Ed, gdzie d = −er jest operatorem momentu dipolowego. Funkcje niezaburzone mo˙zna

przyj¸

a´

c w postaci ψ

nlm

(operator oddzia lywania nie zale˙zy od spinu, a wi¸ec funkcje spinowe

nie nic nie zmieni¸

a: ich elementy macierzowe dadz¸

a tylko delty Kroneckera). Dla stanu

podstawowego, kt´

ory nie jest zdegenerowany (pomijaj¸

ac spin) mo˙zna liczy´

c kolejne poprawki

E

(1)

1

= (ψ

100

, −Eˆ

dψ

100

) = 0.

Zerowanie si¸e elementu macierzowego wynika z faktu, ˙ze przy inwersji uk ladu wsp´

o lrz¸ednych,

tzn.

transformacji r → −r, iloczyn funkcji falowych (tu nawet ka˙zda z nich) jest

parzysty, a operator jest nieparzysty. W lasno´s´

c ta przys luguje wszystkim ca lkom postaci

(ψ

nlm

, −Edψ

n

0

lm

), poniewa˙z parzysto´s´

c funkcji kulistych jest okre´slona i wynosi (−1)

l

.

Druga poprawka do energii wynosi

E

(2)

1

= e

2

E

2

X

(nlm)6=(100)

|(ψ

100

, ˆ

zψ

nlm

|

2

E

1

− E

n

,

jest wi¸ec proporcjonalna do kwadratu pola elektrycznego i efekt nazywa si¸e kwadratowym

efektem Starka. Z w lasno´sci funkcji kulistych wynika, ˙ze niezerowy wk lad do sumy daj¸

a

tylko wyrazy z l = 1, m = 0. Symboliczna suma po n zawiera tak˙ze ca lk¸e po widmie

ci¸

ag lym.

Dla pierwszego stanu wzbudzonego (n=2) istnieje degeneracja czterokrotna. W pier-

wszym rz¸edzie rachunku zaburze´

n poprawki b¸ed¸

a warto´sciami w lasnymi macierzy 4 × 4.

Niech liczby 1,2,3,4 indeksuj¸

a kolejno stany ψ

200

, ψ

211

, ψ

210

, ψ

21−1

.

Latwo policzy´

c

bezpo´srednim rachunkiem, ˙ze nie zeruje si¸e tylko element macierzowy V

13

= V

31

=

−3ea|E| ≡ U . Poprawki do energii otrzymamy rozwi¸azuj¸ac r´

ownanie

det










−E

(1)

2

0

U

0

0

−E

(1)

2

0

0

U

0

−E

(1)

2

0

0

0

0

−E

(1)

2










= 0.

Otrzymujemy cztery warto´sci: E

(1)

21

= U , E

(2)

22

= −U , E

(1)

23

= E

(1)

24

= 0. Mamy wi¸ec

cz¸e´sciowe zniesienie degeneracji, a przesuni¸ecie poziomu jest proprocjonalne do pierwszej

pot¸egi nat¸e˙zenia pola (liniowy efekt Starka).

55

XVII.

UK LADY CZA

¸ STEK IDENTYCZNYCH

Uk lad dw´

och cz¸

astek o spinie

1
2

jest opisany albo funkcj¸

a typu

ψ(1, 2) = φ

1

(r

1

)





a

1

b

1





1

· φ

2

(r

2

)





a

2

b

2





2

,

albo kombinacj¸

a liniow¸

a takich funkcji. Indeks przy funkcji spinowej oznacza, do kt´

orej

cz¸

astki si¸e ona odnosi. Obliczj¸

ac iloczyn skalarny nale˙zy mno˙zy´

c macierze spinowe z tym

samym indeksem. Macierze spinowe r´

o˙znych cz¸

astek s¸

a mno˙zone w sensie iloczynu ten-

sorowego.

Gdy cz¸

astki s¸

a identyczne i ich chmury prawdopodobie´

nstwa znajd¸

a si¸e w tym samym

obszarze przestrzennym, a potem si¸e rozbiegn¸

a, tracimy mo˙zliwo´sci ich rozr´

o˙znienia. Proces

zderzenia, w kt´

orym pierwsza cz¸

astka poleci w prawo, a druga w lewo, nie da si¸e odr´

o˙zni´

c

od procesu, w kt´

orym pierwsza cz¸

astka poleci w lewo, a druga w prawo. Oba procesy musz¸

a

by´

c wzi¸ete pod uwag¸e jako r´

ownowa˙zne. Prawdopodobie´

nstwa obu tych proces´

ow musz¸

a

by´

c z lo˙zone poprzez dodawanie funkcji, a wi¸ec z mo˙zliwo´sci¸

a intereferencji.

Formalnym wyrazem nierozr´

o˙znialno´sci cz¸

astek i r´

ownoprawno´sci obu takich proces´

ow

jest ˙z¸

adanie, aby opisuj¸

aca uk lad funkcja by la r´

ownocze´snie funkcj¸

a w lasn¸

a operatora per-

mutacji cz¸

astek P zdefiniowanego tak, ˙ze

P ψ(1, 2) = ψ(2, 1).

Operator P komutuje z hamiltonianem, albo inaczej

H(1, 2) = H(2, 1).

R´

ownanie w lasne dla P

P ψ(1, 2) = λψ(1, 2),

prowadzi do

P

2

ψ(1, 2) = λ

2

ψ(1, 2).

Operator P

2

powoduje dwukrotn¸

a zamian¸e cz¸

astek, czyli powr´

ot do konfiguracji pocz¸

atkowej

P

2

ψ(1, 2) = P ψ(2, 1) = ψ(1, 2).

St¸

ad λ

2

= 1, a λ = ±1.

56

Funkcj¸e spe lniaj¸

ac¸

a relacj¸e ψ(2, 1) = ψ(1, 2) nazywamy symetryczn¸

a, a relacj¸e ψ(2, 1) =

−ψ(1, 2) - antysymetryczn¸a.

Dla uk lad´

ow N cz¸

astek rozumowanie takie mo˙zna powt´

orzy´

c dla dowolnej pary. Funkcja

symetryczna nie zmienia si¸e przy przestawieniu dowolnej pary cz¸

astek, a funkcja an-

tysymetryczna zmienia znak przy takim przestawieniu.

Dodatkowy postulat teorii kwantowej m´

owi:

Postulat V: Uk lady identycznych cz¸

astek o spinie ca lkowitym (bozony) opisywane s¸

a funkc-

jami symetrycznymi, a uk lady cz¸

astek o spinie po l´

owkowym (fermiony) - funkcjami an-

tysymetrycznymi. Dowoln¸

a funkcj¸e latwo zsymetryzowa´

c lub zantysymetryzowa´

c. Niech

funkcja ψ(1, 2, ..., N ) jest dowolna. Wtedy funkcja

ψ

s

(1, 2, ..., N ) = C

s

X

P

ψ(i

1

, i

2

, ..., i

N

)

jest symetryczna, a funkcja

ψ

a

(1, 2, ..., N ) = C

a

X

P

(−1)

P

ψ(i

1

, i

2

, ..., i

N

)

jest antysymetryczna. Sumowanie przebiega po wszystkich permutacjach i

1

, i

2

, ..., i

N

(w

ilo´sci N !) liczb 1, 2, ..., N , a (−1)

P

jest parzysto´sci¸

a permutacji, tzn. wynosi +1, gdy per-

mutacj¸e mo˙zna otrzyma´

c przez parzyst¸

a liczb¸e przestawie´

n, oraz −1, gdy ilo´s´

c przestawie´

n

jest nieparzysta. Po takiej operacji funkcj¸e trzeba na nowo unormowa´

c przez dob´

or sta lych

C

s

i C

a

. Specjalnie wa˙zny jest przyk lad antysymetryzacji funkcji b¸ed¸

acej iloczynem unor-

mowanych funkcji jednocz¸

astkowych, tzn.

ψ(1, 2, ...N ) = ψ

1

(1)ψ

2

(2)...ψ

N

(N ).

Wtedy

ψ

a

(1, 2, ..., N ) = C

a

X

P

ψ

1

(i

1

)ψ

2

(i

2

)...ψ

N

(i

N

) =

1

N !

1
2

det










ψ

1

(1) ψ

1

(2) ... ψ

1

(N )

ψ

2

(1) ψ

2

(2) ... ψ

2

(N )

...

...

...

...

ψ

N

(1) ψ

N

(2) ... ψ

N

(N )










.

Konsekwencj¸

a antysymetrii funkcji jest zakaz Pauliego m´

owi¸

acy, ˙ze dwa fermiony nie

mog¸

a znale´

z´

c si¸e w tym samym stanie. Rzeczywo´scie, je´sli wyst¸epuje identyczno´s´

c zespo l´

ow

57

argument´

ow przestrzenych i spinowych (1)=(2), czyli r

1

= r

2

i stany spinowe s¸

a identyczne,

to przy zamianie argument´

ow (1) → (2) i (2) → (1) z jednej strony nic si¸e nie zmieni,

a z drugiej funkcja musi zmieni´

c znak. Funkcja jest wi¸ec r´

owna zeru. Taka konfiguracja

przestrzenna, ˙ze dwa elektrony o tym samym spinie s¸

a w otoczeniu tego samego punktu

przestrzeni jest wi¸ec nieprawodopodobna, nie tylko dlatego, ˙ze si¸e one odpychaj¸

a.

Je´sli za lo˙zy´

c, ˙ze funkcje elektron´

ow w atomie wieloelektronowym chrakteryzowane s¸

a

takimi samymi liczbami kwantowymi jak w atomie wodoru (n, l, m, m

s

), czyli ψ

j

=

ψ

n

j

,l

j

,m

j

,m

sj

i dwa zestawy tych liczb kwantowych jest s¸

a identyczne, to wyznacznik zbu-

dowany z takich funkcji zeruje si¸e i zn´

ow taki stan jest zakazany.

W dalszej cz¸e´sci wyk ladu w nast¸epnym semestrze przedstawiony wy˙zej aparat zastosowany

b¸edzie do obliczania (przybli˙zonego) dozwolonych stan´

ow atom´

ow wieloelektronowych,

drobin i cia la sta lego, a tak˙ze do obliczania prawdopodobie´

nstw indukowanych przej´s´

c

mi¸edzy stanami stacjonarnymi