Vitalii Dugaev

Katedra Fizyki

Politechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2009/2010

Lekcja 1 Strona 2

[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.

[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.

[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny

[4] Berkley Physics Course.

[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.

[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.

Lekcja 1 Strona 3

Lekcja 1 Strona 4

Lekcja 1 Strona 5

Lekcja 1 Strona 6

Błędy i niepewności pomiarów

Lekcja 1 Strona 7

Błąd pomiaru

- różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej

wielkości fizycznej. Bywa też nazywany

błędem bezwzględnym

pomiaru.

Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest

w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się
poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest
wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub
kwantowa).

Błąd przypadkowy

- różnica między wynikiem pomiaru a średnią

arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy
jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników
wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut
wyników.

Lekcja 1 Strona 8

Błąd systematyczny

- różnica między średnią arytmetyczną

nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością
wielkości mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem
czynników wpływających na pomiar, ale czynniki te można rozpoznać.
Obowiązkiem eksperymentatora jest wprowadzenie poprawki
kompensującej błąd systematyczny.

Błąd względny

- stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości

mierzonej.

Lekcja 1 Strona 9

Niepewność pomiaru

- parametr związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie
przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdo-
podobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o
jej pomiarach, wykorzystanych przyrządach pomiarowych lub
przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.

Niepewność pomiaru wielkości x oznaczamy literą u(x) (od
angielskiego słowa ”uncertainty”)

Lekcja 1 Strona 10

Pomiary bezpośrednie

Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A

• dysponujemy zestawem pomiarów powtarzanych w jednakowych
warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy
statystycznej

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru

jest miarą

średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości
mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)

)

1

(

)

(

1

2

−

−

=

∑

=

n

x

x

s

n

i

i

x

Lekcja 1 Strona 11

Stanowi ono niepewność standardową obliczoną metodą typu A.
Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia chociaż, tak jak
wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to
jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.

Odchylenie standardowe średniej

jest mniejsze niż odchylenie

standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem

)

(

)

1

(

)

(

1

2

x

u

n

n

x

x

n

s

s

n

i

i

x

x

=

−

−

=

=

∑

=

)

(x

u

x

Lekcja 1 Strona 12

Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B

• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie
wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie
można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na
podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu
pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o
przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.

W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania
niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności
maksymalnej

∆

x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim

zmierzone wartości powinny się mieścić

3

Δ

)

(

x

x

u

=

Lekcja 1 Strona 13

Jeżeli obydwa typy niepewności występują

równocześnie

, należy

posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do
następującej zależności na niepewność standardową łączną:

( )

(

) (

)

2

B

2

A

)

(

)

(

x

u

x

u

x

u

+

=

Lekcja 1 Strona 14

(

)

N

x

x

x

f

y

...

,

,

2

1

=

(

)

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(









∂

∂

+

+









∂

∂

+









∂

∂

=















∂

∂

=

∑

=

N

N

N

j

j

j

x

u

x

f

x

u

x

f

x

u

x

f

x

u

x

f

y

u



Obliczanie niepewności wielkości złożonej

Lekcja 1 Strona 15

Przykład

Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy
10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.
Wartości tych czasów są następujące

23.3

23.5

23.6

23.2

23.4

23.5

23.4

23.3

23.4

23.7

23.1

23.6

23.5

23.7

23.2

23.3

23.2

23.7

23.3

23.4

Wartość średnia t

śr

= 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.

Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z
dokładnością

∆

l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.

3

)

(

l

l

u

∆

=

)

(

)

1

20

(

20

)

(

1

2

t

u

t

t

n

i

i

=

−

−

∑

=

Lekcja 1 Strona 16

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

04

.

0

039

.

0

004

.

0

34

.

2

35

.

1

2

003

.

0

34

.

2

1

4

)

(

2

)

(

1

4

)

(

)

(

)

(

s

m

T

u

T

l

l

u

T

T

u

T

g

l

u

l

g

g

u

≈

=













⋅

⋅

−

+













⋅

=

=











 −

+













=













∂

∂

+













∂

∂

=

π

π

2

2

2

2

2

733337674

.

9

35

.

1

34

.

2

4

4

2

s

m

l

T

g

g

l

T

=

⋅

=

=

→

=

π

π

π

(

)

2

04

.

0

73

.

9

s

m

g

±

=

Lekcja 1 Strona 17

%

42

.

0

%

100

73

.

9

04

.

0

%

100

)

(

≈

⋅

=

⋅

g

g

u

Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s

2

.

Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową

9.81 - 9.73 = 0.08 m/s

2

Lekcja 1 Strona 18

Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi

m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg,  to
najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi
u(m) = 0.0038 kg,  a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do
czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg.  Razem wynik
zapiszemy jako:

m = (0.0214 ± 0.0038) kg

lub jeszcze lepiej:

m = (21.4 ± 3.8)∙10

-3

 kg

Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z

fizycznie niepoprawne:

m = (0.0214 ± 0.00375) kg

źle

m = (0.02145 ± 0.0038) kg

źle

m = (0.021 ± 0.0038) kg

źle

Zaokrąglanie wyników pomiaru

Lekcja 1 Strona 19

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

w

w

x

x

1

1

Średnia ważona

)

(

1

i

i

x

u

w

=

wagą jest odwrotność
niepewności standardowej

n

x

nw

x

w

w

w

x

x

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

średnia arytmetyczna

Lekcja 1 Strona 20

y

x

2U(x)

2U(y)

prostokąt niepewności

Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostok

ą

tów

niepewno

ś

ci i krzywej do

ś

wiadczalnej

x

x

Lekcja 1 Strona 21

[

]

min

)

(

1

2

∑

=

=

−

n

i

i

i

y

x

y

Metoda najmniejszych kwadratów

(

)

(

)












=

−

+

=

−

+

∑

∑

=

=

0

2

0

2

1

1

n

i

i

i

n

i

i

i

i

y

b

x

a

y

b

x

a

x

(

)

min

1

2

∑

=

=

−

+

n

i

i

i

y

b

x

a

)

(x

y

y

=

b

ax

x

y

+

=

)

(

Lekcja 1 Strona 22

2

1

1

2

1

1

1









−

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

x

x

n

y

x

y

x

n

a

2

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1













−

−

=

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

x

n

y

x

x

x

y

n

x

a

n

y

b

Lekcja 1 Strona 23

2

1

1

2

1

2

)

(









−

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

x

n

x

b

u

σ

(

)

2

2

1

1

1

2

1

2

−

−

−

=

−

−

+

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

n

y

b

y

x

a

y

n

y

b

x

a

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

σ

2

1

1

2

)

(









−

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

x

x

n

n

a

u

σ

estymator jednakowych odchyłek
standardowych zmierzonych wartości y

i

 

Lekcja 1 Strona 24

p(x)

Lekcja 1 Strona 25

Rozkład Gaussa

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

X

p(

x)

p1(x)
p2(x)
p3(x)

P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)
P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)

∞

<

<

∞

−

=

−

−

x

x

p

x

x

dla

,

e

2

1

)

(

2

2

2

)

(

σ

π

σ

Lekcja 1 Strona 26

Lekcja 1 Strona 27

Lekcja 1 Strona 28

Lekcja 1 Strona 29