fizyka 2 2 id 175863 Nieznany

background image

Zad.9


Zad.6
Zasada Fermata (zasada najkrótszego czasu)

Światło wybiera taką trajektorię, dla której czas przelotu jest elementarny (najkrótszy)

Prawo odbicia światła

Gdy światło ma za zadanie przejść między punktami A i B „dotykając” po drodze zwierciadła, rozchodzi się w
jednorodnym ośrodku ze stałą prędkością v (c w próżni, przezroczystym ośrodku dielektrycznym v≤c i 𝑣 =

𝑐

√µ𝜀

gdzie ε,µ - względne przenikalności ośrodka – dielektryczna i magnetyczna). Czas przelotu światła po takiej

drodze

𝑡 =

√𝑥

2

+ℎ

2

𝑣

+

�𝐻

2

+(𝑑−𝑥)

2

𝑣

z warunku ekstremum

𝑑𝑡

𝑑𝑥

= 0 , x to zmienna określająca punkt, w którym światło „dotyka” zwierciadła. Z

ostatniego równania otrzymujemy więc

𝑥

√ℎ

2

+𝑥

2

=

𝑑−𝑥

�𝐻

2

+(𝑑−𝑥)

2

co jest równoważne z sinα=sinß, skąd znajdujemy

prawo odbicia: α=ß



Prawo załamania światła
Rozpatrujemy dwa przezroczyste ośrodki z różnymi prędkościami rozchodzenia światła 𝑣

1

𝑖 𝑣

2

. Zadaniem jest

znalezienie minimalnej trajektorii łączącej punkty A i B w obu ośrodkach. Trajektoria A-B będzie miała kształt
łamanej. Czas ruchu światła dla takiej trajektorii (w funkcji zmiennej x) wynosi 𝑡 =

√𝑥

2

+ℎ

2

𝑣

1

+

�𝐻

2

+(𝑑−𝑥)

2

𝑣

2

, z

warunku ekstremum

𝑑𝑡

𝑑𝑥

= 0 znajdujemy

𝑥

𝑣

1

√ℎ

2

+𝑥

2

=

𝑑−𝑥

𝑣

2

�𝐻

2

+(𝑑−𝑥)

2

, czyli znaną nam postać prawa załamania

światła

𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛽

=

𝑣

1

𝑣

2

= 𝑛

1,2

gdzie n

1,2

=v

1

/v

2

nazywamy współczynnikiem załamania światła ośrodka II względem I.

BOZONY

FERMIONY


NIE ODDZIAŁUJĄCE

SILNIE

Pośredniczące oddziaływań
-elektromagnetycznych (foton)
-słabych (cząstki Z i W)
-grawitacyjnych (grawiton)

elektron

Leptony cząstka µ (mion)
cząstka τ (taon)
neutrina elektronowe

mionowe

taonowe


ODDZIAŁUJĄCE SILNIE

Pośredniczące oddziaływań

- silnych (między kwarkami – gluony)

Górny, dolny
Kwarki dziwny, powabny

piękny, prawdziwy

hadrony

Mezony (po 2 kwarki)

Bariony (po 3 kwarki)

background image


zad. 1 𝑑𝑖𝑣𝐸 =

𝜌

𝜀

0

𝑟𝑜𝑡𝐸 = 0

� 𝐸 𝑑𝑠 = 4𝜋𝑟

2

𝐸 =

1

𝜀

0

� 𝜌𝑑𝑉 =

𝑄

𝜀

0

𝐸 =

𝑄

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

F=qE

𝐹 =

1

4𝜋𝜀

0

𝑄𝑞

𝑟

2

Zad.4
Potencjał pola elektrostatycznego pochodzącego od ciągłego rozkładu ładunku w danym punkcie jest równy

𝜑(1) =

1

4𝜋𝜀

0

𝜌(2)𝑑𝑉

2

𝑟

12

Związek natężenia z potencjałem:

𝐸 = −∇𝜑

Wektor indukcji magnetycznej możemy przedstawić jako rotację pewnego wektora

𝐵 = ∇𝑥𝐴

Przez analogię do pola elektrostatycznego nazwiemy go POTENCJAŁEM WEKTOROWYM. Prawo Gaussa dla

magnetyzmu jest spełnione:

∇𝐵 = 0 → ∇(∇𝑥𝐴) = 0

Ponieważ ∇𝑥𝐵 = µ

0

𝑗 → ∇(∇𝑥𝐴) = µ

0

𝑗

Po wykonaniu iloczynu wektorowego i różniczkowania otrzymujemy równanie:

𝜕𝐴

𝑥

𝜕𝑦

2

+

𝜕𝐴

𝑥

𝜕𝑧

2

+

𝜕𝐴

𝑥

𝜕𝑥

2

= −µ

0

𝑗

𝑥

Równanie to ma postać taką jak równanie Poissona dla potencjału pola elektrostatycznego:

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑥

2

+

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑦

2

+

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑧

2

= −

𝜌

𝜀

0

𝜑(1) =

1

4𝜋𝜀

0

𝜌(2)𝑑𝑉

2

𝑟

12

Składowa x potencjału wektorowego musi spełniać zależność:
𝐴(𝑥

1

, 𝑦

1

, 𝑧

1

) =

µ

0

4𝜋

𝑗

𝑥

(𝑥

2

,𝑦

2

,𝑧

2

)𝑑𝑉

2

𝑟

12

Dla pozostałych składowych otrzymamy podobne związki. Potencjał wektorowy możemy zapisać w postaci

wektorowej:

𝐴⃗(𝑥

1

, 𝑦

1

, 𝑧

1

) =

µ

0

4𝜋 �

𝑗(𝑥

2

, 𝑦

2

, 𝑧

2

)𝑑𝑉

2

𝑟

12

Zad.3
Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym (𝑑𝑖𝑣𝐸 =

𝜌

𝜀

0

) i potencjalnym(𝑟𝑜𝑡𝐸 = 0).Linie sił muszą więc

wychodzić ze źródeł – ładunków i zachować symetrię rozkładu ρ. Dla ładunku punktowego (także naładowanej

sfery, kuli lub warstwy sferycznej) nie może być zatem wyróżniony żaden kierunek, dlatego E musi być centralne

. W przypadku symetrii sferycznej można łatwo obliczyć strumień E przez sferę o promieniu r. Wówczas
∮ 𝐸𝑑𝑠 = 4𝜋𝑟

2

𝐸 =

1

𝜀

0

∫ 𝜌𝑑𝑉 =

𝑄

𝜀

0

(z równania Maxwella i twierdzenia Gaussa). Stąd 𝐸 =

𝑄

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

(odnajdujemy

postać prawa Coulomba).F działająca na ładunek punktowy q w polu E to F=qE i dla pola od punktowego
ładunku Q wynosi 𝐹 =

1

4𝜋𝜀

0

𝑄𝑞

𝑟

2

.

Dokładnie takie samo pole E otrzymujemy dla naładowanej kuli (sfery, powłoki sferycznej) dla r>R (R-promień

sfery lub powłoki). Jeśli r<R, to możemy mieć do czynienia z następującymi przypadkami:

a)Naładowana kula metalowa

Ładunki gromadzą się na powierzchni- chcą być jak najdalej od siebie. Strumień pola E przez sferę o r<R jest

równy zero, ponieważ wewnątrz sfery o tym promieniu nie ma ładunków. Pole elektrostatyczne wewnątrz

naładowanej metalowej kuli znika. Ogólniej- pole elektrostatyczne wewnątrz kawałka przewodnika znika

background image

niezależnie od jego kształtu, ponieważ ładunek gromadzi się na powierzchni i strumień pola wewnątrz

przewodnika jest równy zeru.
b)naładowana kula izolatorowa

Gdy kula jest izolatorem o równomiernie rozłożonym ładunku Q w całej objętości znajdujemy dla r<R
4𝜋𝑟

2

𝐸 =

4𝜋𝑟

3

3𝜀

0

𝑄

4
3

𝜋𝑅

3

stąd 𝐸 =

1

4𝜋𝜀

0

𝑄𝑟
𝑅

3

. Konsekwencją wyrównywania potencjału w przewodnikach jest powstanie

silnych pól elektrostatycznych w pobliżu ostrzy. Rozpatrując połączone kule 1 i 2 mamy 𝑉

1

=

𝑄

1

4𝜋𝜀

0

𝑟

1

= 𝑉

2

=

𝑄

2

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

stąd

𝑄

1

𝑄

2

=

𝑟

1

𝑟

2

Po obliczeniu stosunku natężeń pól obu kul otrzymamy

𝐸

1

𝐸

2

=

𝑟

2

𝑟

1

c)płaszczyzna naładowana
Linie sił nie mogą preferować żadnego kierunku na płaszczyźnie, wiec są skierowane prostopadle do niej. Gdy
gęstość powierzchniowa ładunku 𝜎 =

𝑑𝑄

𝑑𝑆

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, to ∮ 𝐸𝑑𝑠 = 2𝑆𝐸 =

𝑄

𝜀

0

=

𝜎𝑆

𝜀

0

, 𝐸 =

𝜎

2𝜀

0


Zad.8
Cząstka swobodna

𝑖ℎ�

𝜕𝛹

𝜕𝑡

= 𝐻́𝛹 𝐻́ =

𝑝́

2

2𝑚

+ 𝑉(𝑟) V(r)=0

𝑝́ = −𝑖ℎ�∇

𝑖ℎ�

𝜕𝛹

𝜕𝑡 = −

2

́

2𝑚 (

𝜕

2

𝛹

𝜕𝑥

2

+

𝜕

2

𝛹

𝜕𝑦

2

+

𝜕

2

𝛹

𝜕𝑧

2

)

𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒳(𝑡)

𝑖ℎ�

𝜕𝛹

𝜕𝑡 = 𝐸𝛹

𝑑𝛹

𝛹 =

𝐸

𝑖ℎ�

𝑑𝑡

𝛹 = 𝐶(𝑟)𝑒

−𝑖𝐸𝑡

𝒳(𝑡) = 𝑒

−𝑖𝐸𝑡

𝜑(𝑟) = 𝐶(𝑟)
𝐻́𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟)

2

́

2𝑚 �

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑥

2

+

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑦

2

+

𝜕

2

𝜑

𝜕𝑧

2

� = 𝐸𝜑

2

𝑘

2

́

2𝑚 𝜑 = 𝐸𝜑

2

𝑘

2

́

2𝑚 = 𝐸

𝛹(𝑟, 𝑡) = 𝐶𝑒

𝑖(𝑝𝑟−𝐸𝑡)

Studnia

𝑖ℎ�

𝜕𝛹

𝜕𝑡

= 𝐸𝛹 = −

2

𝑑

2

𝛹

2𝑚𝑑𝑥

2

, 𝛹(0) = 𝛹(𝑎) = 0

𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝒳(𝑡), 𝒳(𝑡) = 𝑒

−𝑖𝐸𝑡

2

́

2𝑚

𝑑

2

𝜑(𝑥)

𝑑𝑥

2

= 𝐸𝜑(𝑥)

𝜑(0) = 𝜑(𝑎) = 0 rozwiązania mają postać dla 0≤x≤a

𝜑

𝑘

(𝑥) = 𝐶𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) oraz 𝐸

𝑘

=

2

𝑘

2

́

2𝑚

background image

𝜑(0) = 𝜑(𝑎) = 0 ka=nπ nϵC

𝜑

𝑛

(𝑥) = 𝐶

𝑛

𝑠𝑖𝑛 �

𝑛𝜋

𝑎 𝑥� , 𝐸

𝑛

=

2

𝑛

2

𝜋

2

2𝑚𝑎

2

𝐶

𝑛

= �

2
𝑎

Zad.5

𝑑𝑖𝑣𝐸 = 0

𝑟𝑜𝑡𝐸 = −

𝜕𝐵

𝜕𝑡

𝑑𝑖𝑣𝐵 = 0

𝑟𝑜𝑡𝐵 =

1

𝑐

2

𝜕𝐸

𝜕𝑡

𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐸) = −

𝜕𝑟𝑜𝑡𝐵

𝜕𝑡 = −

1

𝑐

2

𝜕

2

𝐸

𝜕𝑡

2

2

𝐸 −

1

𝑐

2

𝜕

2

𝐸

𝜕𝑡

2

= 0

2

𝐸 = (∇∇)𝐸 = �

𝜕

2

𝜕𝑥

2

+

𝜕

2

𝜕𝑦

2

+

𝜕

2

𝜕𝑧

2

� 𝐸

𝜕

2

𝐸

𝑥

𝜕𝑥

2

+

𝜕

2

𝐸

𝑥

𝜕𝑦

2

+

𝜕

2

𝐸

𝑥

𝜕𝑧

2

1

𝑐

2

𝜕

2

𝐸

𝑥

𝜕𝑡

2

= 0

𝐸 = �0, 𝐸

𝑦

(𝑥, 𝑡), 0�

𝜕

2

𝐸

𝑦

𝜕𝑥

2

1

𝑐

2

𝜕

2

𝐸

𝑦

𝜕𝑡

2

= 0

𝐸

𝑦

= 𝐶𝑅𝑒𝑒

𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

= 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Jeśli równanie rozwiążemy na funkcjach zespolonych, to dowiemy się że prędkość rozchodzenia się fali jest

prędkością światła.

Zad.7
𝑥� − 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑎

𝑝̂ − 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑝ę𝑑𝑢

𝑥�Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑥Ψ(𝑥, 𝑡)

𝑝̂Ψ(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℎ

𝑑

𝑑𝑥 Ψ

(𝑥, 𝑡)

𝑥�𝑝̂ ≠ 𝑝𝑥�

𝑥𝑖ℎ

𝑑

𝑑𝑥 Ψ

(𝑥, 𝑡) ≠ 𝑖ℎ

𝑑

𝑑𝑥 Ψ

(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℎΨ(𝑥, 𝑡) + 𝑥𝑖ℎ

𝑑

𝑑𝑥 Ψ

(𝑥, 𝑡)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka 1 id 175686 Nieznany
Fizyka 5 id 175251 Nieznany
Moje fizyka id 306511 Nieznany
fizyka 2 (7) id 177430 Nieznany
poprawione fizyka id 375462 Nieznany
Fizyka 2 id 175872 Nieznany
ODPOWIEDZI FIZYKA id 332483 Nieznany
fizyka 5 id 176263 Nieznany
fizyka id 175204 Nieznany
fizyka 1 id 177549 Nieznany
fizykaa id 177700 Nieznany
cw 23 fizyka id 100377 Nieznany
FIZYKAIIegzamin id 177729 Nieznany

więcej podobnych podstron