Zad.9
Zad.6
Zasada Fermata (zasada najkrótszego czasu)
Światło wybiera taką trajektorię, dla której czas przelotu jest elementarny (najkrótszy)
Prawo odbicia światła
Gdy światło ma za zadanie przejść między punktami A i B „dotykając” po drodze zwierciadła, rozchodzi się w
jednorodnym ośrodku ze stałą prędkością v (c w próżni, przezroczystym ośrodku dielektrycznym v≤c i 𝑣 =
𝑐
√µ𝜀
gdzie ε,µ - względne przenikalności ośrodka – dielektryczna i magnetyczna). Czas przelotu światła po takiej
drodze
𝑡 =
√𝑥
2
+ℎ
2
𝑣
+
�𝐻
2
+(𝑑−𝑥)
2
𝑣
z warunku ekstremum
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 0 , x to zmienna określająca punkt, w którym światło „dotyka” zwierciadła. Z
ostatniego równania otrzymujemy więc
𝑥
√ℎ
2
+𝑥
2
=
𝑑−𝑥
�𝐻
2
+(𝑑−𝑥)
2
co jest równoważne z sinα=sinß, skąd znajdujemy
prawo odbicia: α=ß
Prawo załamania światła
Rozpatrujemy dwa przezroczyste ośrodki z różnymi prędkościami rozchodzenia światła 𝑣
1
𝑖 𝑣
2
. Zadaniem jest
znalezienie minimalnej trajektorii łączącej punkty A i B w obu ośrodkach. Trajektoria A-B będzie miała kształt
łamanej. Czas ruchu światła dla takiej trajektorii (w funkcji zmiennej x) wynosi 𝑡 =
√𝑥
2
+ℎ
2
𝑣
1
+
�𝐻
2
+(𝑑−𝑥)
2
𝑣
2
, z
warunku ekstremum
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 0 znajdujemy
𝑥
𝑣
1
√ℎ
2
+𝑥
2
=
𝑑−𝑥
𝑣
2
�𝐻
2
+(𝑑−𝑥)
2
, czyli znaną nam postać prawa załamania
światła
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑣
1
𝑣
2
= 𝑛
1,2
gdzie n
1,2
=v
1
/v
2
nazywamy współczynnikiem załamania światła ośrodka II względem I.
BOZONY
FERMIONY
NIE ODDZIAŁUJĄCE
SILNIE
Pośredniczące oddziaływań
-elektromagnetycznych (foton)
-słabych (cząstki Z i W)
-grawitacyjnych (grawiton)
elektron
Leptony cząstka µ (mion)
cząstka τ (taon)
neutrina elektronowe
mionowe
taonowe
ODDZIAŁUJĄCE SILNIE
Pośredniczące oddziaływań
- silnych (między kwarkami – gluony)
Górny, dolny
Kwarki dziwny, powabny
piękny, prawdziwy
hadrony
Mezony (po 2 kwarki)
Bariony (po 3 kwarki)
zad. 1 𝑑𝑖𝑣𝐸 =
𝜌
𝜀
0
𝑟𝑜𝑡𝐸 = 0
� 𝐸 𝑑𝑠 = 4𝜋𝑟
2
𝐸 =
1
𝜀
0
� 𝜌𝑑𝑉 =
𝑄
𝜀
0
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
F=qE
𝐹 =
1
4𝜋𝜀
0
𝑄𝑞
𝑟
2
Zad.4
Potencjał pola elektrostatycznego pochodzącego od ciągłego rozkładu ładunku w danym punkcie jest równy
𝜑(1) =
1
4𝜋𝜀
0
�
𝜌(2)𝑑𝑉
2
𝑟
12
Związek natężenia z potencjałem:
𝐸 = −∇𝜑
Wektor indukcji magnetycznej możemy przedstawić jako rotację pewnego wektora
𝐵 = ∇𝑥𝐴
Przez analogię do pola elektrostatycznego nazwiemy go POTENCJAŁEM WEKTOROWYM. Prawo Gaussa dla
magnetyzmu jest spełnione:
∇𝐵 = 0 → ∇(∇𝑥𝐴) = 0
Ponieważ ∇𝑥𝐵 = µ
0
𝑗 → ∇(∇𝑥𝐴) = µ
0
𝑗
Po wykonaniu iloczynu wektorowego i różniczkowania otrzymujemy równanie:
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑦
2
+
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑧
2
+
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑥
2
= −µ
0
𝑗
𝑥
Równanie to ma postać taką jak równanie Poissona dla potencjału pola elektrostatycznego:
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑧
2
= −
𝜌
𝜀
0
𝜑(1) =
1
4𝜋𝜀
0
∫
𝜌(2)𝑑𝑉
2
𝑟
12
Składowa x potencjału wektorowego musi spełniać zależność:
𝐴(𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
) =
µ
0
4𝜋
∫
𝑗
𝑥
(𝑥
2
,𝑦
2
,𝑧
2
)𝑑𝑉
2
𝑟
12
Dla pozostałych składowych otrzymamy podobne związki. Potencjał wektorowy możemy zapisać w postaci
wektorowej:
𝐴⃗(𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
) =
µ
0
4𝜋 �
𝑗(𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑧
2
)𝑑𝑉
2
𝑟
12
Zad.3
Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym (𝑑𝑖𝑣𝐸 =
𝜌
𝜀
0
) i potencjalnym(𝑟𝑜𝑡𝐸 = 0).Linie sił muszą więc
wychodzić ze źródeł – ładunków i zachować symetrię rozkładu ρ. Dla ładunku punktowego (także naładowanej
sfery, kuli lub warstwy sferycznej) nie może być zatem wyróżniony żaden kierunek, dlatego E musi być centralne
. W przypadku symetrii sferycznej można łatwo obliczyć strumień E przez sferę o promieniu r. Wówczas
∮ 𝐸𝑑𝑠 = 4𝜋𝑟
2
𝐸 =
1
𝜀
0
∫ 𝜌𝑑𝑉 =
𝑄
𝜀
0
(z równania Maxwella i twierdzenia Gaussa). Stąd 𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
(odnajdujemy
postać prawa Coulomba).F działająca na ładunek punktowy q w polu E to F=qE i dla pola od punktowego
ładunku Q wynosi 𝐹 =
1
4𝜋𝜀
0
𝑄𝑞
𝑟
2
.
Dokładnie takie samo pole E otrzymujemy dla naładowanej kuli (sfery, powłoki sferycznej) dla r>R (R-promień
sfery lub powłoki). Jeśli r<R, to możemy mieć do czynienia z następującymi przypadkami:
a)Naładowana kula metalowa
Ładunki gromadzą się na powierzchni- chcą być jak najdalej od siebie. Strumień pola E przez sferę o r<R jest
równy zero, ponieważ wewnątrz sfery o tym promieniu nie ma ładunków. Pole elektrostatyczne wewnątrz
naładowanej metalowej kuli znika. Ogólniej- pole elektrostatyczne wewnątrz kawałka przewodnika znika
niezależnie od jego kształtu, ponieważ ładunek gromadzi się na powierzchni i strumień pola wewnątrz
przewodnika jest równy zeru.
b)naładowana kula izolatorowa
Gdy kula jest izolatorem o równomiernie rozłożonym ładunku Q w całej objętości znajdujemy dla r<R
4𝜋𝑟
2
𝐸 =
4𝜋𝑟
3
3𝜀
0
𝑄
4
3
𝜋𝑅
3
stąd 𝐸 =
1
4𝜋𝜀
0
𝑄𝑟
𝑅
3
. Konsekwencją wyrównywania potencjału w przewodnikach jest powstanie
silnych pól elektrostatycznych w pobliżu ostrzy. Rozpatrując połączone kule 1 i 2 mamy 𝑉
1
=
𝑄
1
4𝜋𝜀
0
𝑟
1
= 𝑉
2
=
𝑄
2
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
stąd
𝑄
1
𝑄
2
=
𝑟
1
𝑟
2
Po obliczeniu stosunku natężeń pól obu kul otrzymamy
𝐸
1
𝐸
2
=
𝑟
2
𝑟
1
c)płaszczyzna naładowana
Linie sił nie mogą preferować żadnego kierunku na płaszczyźnie, wiec są skierowane prostopadle do niej. Gdy
gęstość powierzchniowa ładunku 𝜎 =
𝑑𝑄
𝑑𝑆
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, to ∮ 𝐸𝑑𝑠 = 2𝑆𝐸 =
𝑄
𝜀
0
=
𝜎𝑆
𝜀
0
, 𝐸 =
𝜎
2𝜀
0
Zad.8
Cząstka swobodna
𝑖ℎ�
𝜕𝛹
𝜕𝑡
= 𝐻́𝛹 𝐻́ =
𝑝́
2
2𝑚
+ 𝑉(𝑟) V(r)=0
𝑝́ = −𝑖ℎ�∇
𝑖ℎ�
𝜕𝛹
𝜕𝑡 = −
ℎ
2
́
2𝑚 (
𝜕
2
𝛹
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝛹
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝛹
𝜕𝑧
2
)
𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒳(𝑡)
𝑖ℎ�
𝜕𝛹
𝜕𝑡 = 𝐸𝛹
𝑑𝛹
𝛹 =
𝐸
𝑖ℎ�
𝑑𝑡
𝛹 = 𝐶(𝑟)𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ℎ
𝒳(𝑡) = 𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ℎ
𝜑(𝑟) = 𝐶(𝑟)
𝐻́𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟)
−
ℎ
2
́
2𝑚 �
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑧
2
� = 𝐸𝜑
ℎ
2
𝑘
2
́
2𝑚 𝜑 = 𝐸𝜑
ℎ
2
𝑘
2
́
2𝑚 = 𝐸
𝛹(𝑟, 𝑡) = 𝐶𝑒
𝑖(𝑝𝑟−𝐸𝑡)
ℎ
Studnia
𝑖ℎ�
𝜕𝛹
𝜕𝑡
= 𝐸𝛹 = −
ℎ
2
𝑑
2
𝛹
2𝑚𝑑𝑥
2
, 𝛹(0) = 𝛹(𝑎) = 0
𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝒳(𝑡), 𝒳(𝑡) = 𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ℎ
−
ℎ
2
́
2𝑚
𝑑
2
𝜑(𝑥)
𝑑𝑥
2
= 𝐸𝜑(𝑥)
𝜑(0) = 𝜑(𝑎) = 0 rozwiązania mają postać dla 0≤x≤a
𝜑
𝑘
(𝑥) = 𝐶𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) oraz 𝐸
𝑘
=
ℎ
2
𝑘
2
́
2𝑚
𝜑(0) = 𝜑(𝑎) = 0 ka=nπ nϵC
𝜑
𝑛
(𝑥) = 𝐶
𝑛
𝑠𝑖𝑛 �
𝑛𝜋
𝑎 𝑥� , 𝐸
𝑛
=
ℎ
2
𝑛
2
𝜋
2
2𝑚𝑎
2
𝐶
𝑛
= �
2
𝑎
Zad.5
𝑑𝑖𝑣𝐸 = 0
𝑟𝑜𝑡𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝑑𝑖𝑣𝐵 = 0
𝑟𝑜𝑡𝐵 =
1
𝑐
2
𝜕𝐸
𝜕𝑡
𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐸) = −
𝜕𝑟𝑜𝑡𝐵
𝜕𝑡 = −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑡
2
∇
2
𝐸 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑡
2
= 0
∇
2
𝐸 = (∇∇)𝐸 = �
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
� 𝐸
𝜕
2
𝐸
𝑥
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝐸
𝑥
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝐸
𝑥
𝜕𝑧
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐸
𝑥
𝜕𝑡
2
= 0
𝐸 = �0, 𝐸
𝑦
(𝑥, 𝑡), 0�
𝜕
2
𝐸
𝑦
𝜕𝑥
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝐸
𝑦
𝜕𝑡
2
= 0
𝐸
𝑦
= 𝐶𝑅𝑒𝑒
𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
= 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Jeśli równanie rozwiążemy na funkcjach zespolonych, to dowiemy się że prędkość rozchodzenia się fali jest
prędkością światła.
Zad.7
𝑥� − 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑎
𝑝̂ − 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑝ę𝑑𝑢
𝑥�Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑥Ψ(𝑥, 𝑡)
𝑝̂Ψ(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℎ
𝑑
𝑑𝑥 Ψ
(𝑥, 𝑡)
𝑥�𝑝̂ ≠ 𝑝𝑥�
�
𝑥𝑖ℎ
𝑑
𝑑𝑥 Ψ
(𝑥, 𝑡) ≠ 𝑖ℎ
𝑑
𝑑𝑥 Ψ
(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℎΨ(𝑥, 𝑡) + 𝑥𝑖ℎ
𝑑
𝑑𝑥 Ψ
(𝑥, 𝑡)