Iloczynem skalarnym dwoch wektorow a i b, zapisywanym jako a*b, jest skalar o wartosci a*b=abcosFI

Iloczynem wektorowym dwoch wektorow a i b, zapisywany jako axb jest wektor c o dlugosci c=absinFI

Ruch jednostajny prostoliniowy

Droga, a także wartość przesunięcia, wynosi w tym ruchu

gdzie:

s – droga, pokonana przez ciało

s

0

– droga początkowa ciała

v – wartość prędkości ciała

v

0

– wartość prędkości początkowej ciała

t – czas trwania ruchu jednostajnie przyspieszonego

a – wartość przyspieszenia.

I zasada dynamiki Newtona – Jeśli działająca na ciało siła wypadkowa jest równa zeru, to ciało pozostaje w spoczynku, o ile spoczywało w chwili początkowej lub

porusza sie po linii prostej z prędkością o stałej wartości, o ile w chwili początkowej znajdowało sie w ruchu.

II zasada dynamiki Newtona – Siła wypadkowa F działającą na ciało o masie m jest związana z przyspieszeniem a tego ciała, a związek ten opisuje równanie

F=ma, które można zapisać dla składowych w postaci Fx=ma(x)

III zasada dynamiki Newtona – gdy ciało C działa na ciało B Siła Fbc, ciało b działa na ciało C siła Fcb. Siły te są sobie równe co do wartości bezwzględnej i maja

przeciwne kierunki Fbc=-Fcb

Zachowanie pędu – jeśli układ jest izolowany, tzn. Wypadkowa działających na niego sil zewnętrznych jest równa zeru, to pęd układu P pozostaje stały P=const.

Stwierdzenie to można także zapisać w postaci: P=pocz=Pkonc przy czym wskaźniki pocz. Konc. odnoszą sie do wartości P w pewnej chwili przyjętej za

początkowa i w pewnej chwili późniejszej, która przyjęliśmy za końcowa.

Środek masy układu punktów materialnych - średnie położenie, przy czym masa jest czynnikiem ważącym (średnia ważona – wagami są masy).

dla dwóch mas (n = 2) dla n – mas (mi)

Prawo ruchu środka masy

Środek masy układu punktów materialnych (ciała) porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne

nań działały.

Prawo zachowania środka masy

Jeżeli suma sił zewnętrznych jest równa zeru czyli siły zewnętrzne nie działają (układ izolowany), to położenie środka masy nie ulega zmianie.

Ruch jednostajny po okręgu – jeśli cząstka porusza sie po okręgu lub luku okręgu o promieniu R z prędkością o stałej wartości v, to mówimy, ze porusza sie ona

ruchem jednostajnym po okręgu. Ma ona wówczas przyspieszenie dośrodkowe a: a=v^2/R Źródłem tego przyspieszenia jest wypadkowa siła dośrodkowa

działająca na ciało, której wartość wynosi F=mv^2/R gdzie m jest masa ciała. Wektory a i F są skierowane do środka krzywizny toru ciała.

Prędkość w ruchu prostoliniowym - Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten

przyrost, dla malejących odcinków czasu. Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej na podstawie

dłuższego odcinka czasu i drogi.

Prędkość kątowa - wielkość opisująca ruch obrotowy. Jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli

współrzędna kątowa ciała określa kąt θ to wartość prędkości kątowej ω jest równa:

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden radian przez sekundę.

Zależność chwilowej prędkości liniowej v, ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r, od chwilowej prędkości kątowej ω tego ciała dana jest wzorem:

gdzie s jest długością łuku zakreślanego w czasie t. W zapisie wektorowym zależność przyjmuje postać:

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α a wartośćprędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest radian przez sekundę do kwadratu.

Siła dośrodkowa - siła powodująca zakrzywianie toru ruchu ciała, skierowana wzdłuż normalnej (prostopadle) do toru, w stronę środka jego krzywizny. Wartość siły

określa wzór:

Moment pędu to iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Wektora położenia i wektora pędu. Oznacza to tyle, że wartość momentu pędu jest to iloczyn wartosci

wspomnianych wektorów i sinusa kąta między nimi. Wektor momentu pędu jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektor położenia i pędu (czyli predkości).

Zwrot określamy reguła sruby prawoskręnej chyba. Dla bryły szatywnej moment pędu to iloczyn prękośći kątowej i momentu bezwładności bryły

.

Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie

przyłożenia siły, oraz siły F:

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do

kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor F i promień wodzący r.

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar

.

Zwykle mierzy się go w kg*m². Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

– masa punktu;

– odległość punktu od osi obrotu.

Moment bezwładności ciała składającego się z

punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi

obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe
elementy o masach

, oraz niech

oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości

ciała.

Twierdzenie Steinera podaje zwiazek miedzy momentem bezwladnosci I ciala wzgledem dowolnej osi a jego momentem bezwladnosci wzgledem osi rownoleglej

do danej i przechodzacej przez srodek masy ciala. (d-odleglosc tych dwoch osi)

Zasada zachowania pedu – jesli na uklad czastek nie dzialaja sily zewnetrzne lub ich wypadkowa jesr rowna zeru, to całkowity ped P ukladu nie ulega zmianie.

Ppocz=Pkońc Słownie oznacza to ze dla ukladu zamknietego i izolwanego: (calkowity ped ukladu w pewnej chwili poczatkowej t[pocz])=(calkowity ped ukladu w

dowolnej chwili pozniejszej t[konc])

Zasady dynamiki dla ruchu obrotwego – odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona, odnaszacym sie do ruchu obrotowego jest zwiazek:

Mwyp=Ialfa

Gdzie Mwyp jest wypadkowym momentem sily dzialjacym na cialo sztywne, I – momentem bezwladnosci ciala wzgledem osi obrotu, a alfa – przyspieszeniem

katowym ruchu obrtowoego ciala wokol tej osi.

Układ inercjalny – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się

bez przyspieszenia. Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie

inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.

Nieinercjalny układ – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia. Transformacja równań

ruchu z układu inercjalnego do układu nieinercjalnego powoduje, że w równaniu ruchu zapisanym w układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe wyrazy,

których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego. Wyrazy te mają wymiar siły i dlatego mówimy, że w takim układzie występują

pozorne siły. Przykładem takich sił jest siła bezwładności i siła Coriolisa.

Praca sily stalej – praca wykonana nad czastka przez sile stala F(wektor), podczas gdy czastka doznaje przemieszczenia d(wektor), jest rowna:

W=Fdcos(FI)=F(wektor)*d(wektor) przy czym (FI) jest stalym katem miedzy kierunkami wektorow Fi d. Prace nad cialem wykonuje jedynie skladowa sily F,

skierowana wzdluz kierunku przemieszczenia d. Gdy na cialo dziala wiecej niz jedna sila, calkowita praca wykonana nad cialem jest suma prac wykonanych przez

poszczegolne sily.

Praca sily zmiennej – gdy sila F dzialajaca na cailo o wlasciowsiach czastki zalezy od polozenia ciala, praca wykonana przez te sile nad cialem w czasie jego

ruchu z punktu poczatkowego do punktu koncowego musi by wyznaczona przez calkowanie sily.

(zamiast Lo X(konc) a zamiast O x(pocz))

Energia potencjalna układu jest formą nagromadzonej energii, która może być zamieniona na energię kinetyczną. Zależy ona od położenia punktu materialnego i

wyraża się wzorem:

E=mgh gdzie: m- masa, g- przyspieszenie ziemskie, h- wysokość.

Moc – moc zwiazana z dzialaniem sily, jest to szybkosc, z jaka sila wykonuje prace nad cialem. Jesli sila wykonuje prace W w przedziale czasu dt, to moc srednia w

tym przedziale czasu jest rowna

(delta)

Energia kinetyczna – zwiazana z ruchem czastki o masie i wartosci predkosci v, przy czym v jest znacznie mniejsze od predkosci swiatla wynosi: Ek=1/2mv^2

Praca, jaką wykona siła F działająca na ciało o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała. Jest to twierdzenie o pracy i energii.

Pierwsze prawo Keplera - Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której w jednym z ognisk jest Słońce. Elipsę można opisać

na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś (a) oraz mimośród (e), który określa stopień spłaszczenia elipsy (im e bliższe

zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Mimośród elipsy e jest równy stosunkowi długość odcinka c między środkiem, a jednym z ognisk do długości wielkiej półosi:

Drugie prawo Keplera - W równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Wynika stąd, że w peryhelium (w

pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca), czyli planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę (ΔS) w

pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Trzecie prawo Keplera - tosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały

dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym. Można to zapisać wzorem:

gdzie:

T

1

, T

2

– okresy obiegu dwóch planet,

a

1

, a

2

– wielkie półosie orbit tych planet.

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia

orbity (dla orbity kołowej).

Prawo powszechnej grawitacji

Centralne pole grawitacyjne

Potencjał pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek energii potencjalnej, jaką ma w tym punkcie umieszczone tam ciała, do masy tego ciała.

W polu centralnym wzór ma postać:

po podstawieniu wzoru:

Postulaty Einsteina

Zasadzie względności

Zasada głosząca, że prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych — musi obowiązywać dla wszystkich praw zarówno mechaniki jak i

elektrodynamiki.

Niezmienność prędkości światła

Prędkość światła w próżni jest taka sama dla wszystkich obserwatorów, taka sama we wszystkich kierunkach i nie zależy od prędkości źródła światła.

Z połączenia postulatów 1 i 2 wynika, że światło nie potrzebuje jakiegokolwiek ośrodka (eteru) do rozchodzenia się.

Transformacja czasoprzestrzeni

Dylatacja czasu — czas jaki mija pomiędzy dwoma zdarzeniami nie jest jednoznacznie określony, lecz zależy od obserwatora. Skutkiem interpretacji zjawiska w

kontekście zawracającego układu inercjalnego jest Paradoks bliźniąt, jakkolwiek bardziej poprawnie tłumaczy to teoria ogólna. Czas trwania zjawiska,

zachodzącego w punkcie przestrzeni, obserwowany z punktów poruszających się względem tego punktu, jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie

odniesienia, w którym punkt ten spoczywa.

Kontrakcja przestrzeni — odległości między punktami zależą od układu. Wszystkie poruszające się przedmioty obserwujemy jako krótsze. Zjawisko prowadzi do

paradoksu drabiny o długości większej niż długość stodoły, która zmieści się w niej w całości, jeżeli będzie poruszała się odpowiednio szybko. Nie zmieściłaby się,

gdyby okazało się, że kontrakcja i dylatacja nie są równoczesne.

Dodawanie prędkości wg. Einsteina - Transformacja Lorentza prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza).

Definiując

i

Jeżeli obserwator S, widzi ciało poruszające się wzdłuż osi x, zgodnie z jej zwrotem, z prędkością u , obserwator S' porusza się względem niego z prędkością v w

tym samym kierunku x, to prędkość u' tego ciała określona przez obserwatora S' wyniesie:

Prędkość tę dla obserwatora S można wyrazić wzorem

Równoważność masy i energii jest jednym z najważniejszych wniosków ze szczególnej teorii względności. Wyraża się on przez jeden z najsłynniejszych wzorów

w historii ludzkości:

gdzie: E – energia, m – masa, c – prędkość światła w próżni.

Wahadło matematyczne - Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.Ważną cechą wahadła

fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.Analiza ruchu wahadła - w wahadle

matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji.

Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w

kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady

dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

Wahadło fizyczne – bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła l

0

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyspieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

Zasada zachowania ładunku- zasada ta sformułowana przez Franklina mówi, że zachowanie ładunku elektrycznego wynika z niezmienniczości

względem transformacji cechowania funkcji falowej cząstki naładowanej (np. elektronu)

Prawo Coulomba

Sformulowanie skalarne - Siła F oddziaływania dwóch ładunków punktowych q

1

i q

2

jest wprost proporcjonalna do wielkości każdego z ładunków i odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi r. Można to przedstawić za pomocą wzoru:

,

w którym:

k – współczynnik proporcjonalności wyrażany w układzie SI przez:

gdzie:

– przenikalność elektryczna ośrodka;

– względna przenikalność elektryczna ośrodka;

– przenikalność elektryczna próżni.

Sformulowanie wektorowe - Kierunek działania siły oddziaływania ładunków wyznacza prosta przechodząca przez oba te ładunki, natomiast zwrot określają znaki

ładunków. Jeżeli są one jednoimienne, oddziaływanie jest odpychaniem. W przypadku ładunków różnoimiennych ładunki przyciągają się. Siłę oddziaływania ładunku

A na ładunek B można przedstawić wzorem wektorowym:

gdzie poszczególne wielkości pokazane są na rysunku. Jeżeli przez

i

oznaczymy wektory wodzące odpowiednio

ładunków Q

A

i Q

B

wtedy

i otrzymujemy

Prawo Coulomba dla układu ładunków punktowych - Z wykorzystaniem zasady superpozycji możemy znaleźć siłę, z którą układ N ładunków

punktowych q

i

działa na ładunek punktowy q:

gdzie

to położenie ładunku q

i

Prawo Coulomba dla ładunków rozciągłych - Prawo Coulomba umożliwia obliczenie siły oddziaływania nie tylko ładunków punktowych, ale również dowolnego

rozkładu ładunków elektrycznych. Obliczenie oddziaływania dwóch ciał o ciągłym rozkładzie ładunków wymaga całkowania po oddziaływaniach cząstkowych

Prawo Gaussa - Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q

1

i Q

2

. Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q

1

i Q

2

jest równa

ò

ò

ò

ò

+

=

+

=

=

S

E

S

E

S

E

E

S

E

d

d

d

)

(

d

1

1

2

1

µ k

ca

f

gdzie E

1

jest wytwarzane przez Q

1

, a E

2

przez Q

2

. Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy

f

całk

= (Q

1

/

e

0

) + (Q

2

/

e

0

) = (Q

1

+ Q

2

)/

e

0

Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez

e

0

. Podobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.

Otrzymujemy więc prawo Gaussa

0

.

.

4

d

e

p

wewn

wewn

Q

kQ

=

=

ò

S

E

Prawo Ohma

Drugie prawo Ohma

Opór odcinka przewodnika o stałym przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do długości tego odcinka i odwrotnie proporcjonalny do pola powierzchni przekroju

Siła elektromotoryczna (SEM)

Siła elektromotoryczna źródła jest zdefiniowana jako iloraz pracy wykonanej przez źródło do wartości przenoszonego ładunku

2

1

2

2

1

1

m

m

r

m

r

m

r

śrm

+

+

=

r

å

å

=

i

i

i

i

i

śrm

m

r

m

r

r

r

zew

i

i

i

śrm

F

a

m

a

M

r

r

=

=

å

Pierwsze prawo Kirchhoffa – prawo dotyczące przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego, sformułowane w 1845 roku przez Gustawa Kirchhoffa.

Prawo to wynika z zasady zachowania ładunku czylirównania ciągłości. Wraz z drugim prawem Kirchhoffa umożliwia określenie wartości i kierunków prądów w

obwodach elektrycznych.

Obwody elektryczne

Dla węzła w obwodzie elektrycznym prawo to brzmi:

Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna natężeń prądów wpływających(+) i wypływających(–) jest równa 0 (znak prądu wynika z przyjętej

konwencji)

lub

Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

Dla przypadku przedstawionego na rysunku I prawo Kirchhoffa można więc zapisać w postaci:

przyjmując konwencję, że prądy wpływające do węzła są dodatnie, zaś wypływające są ujemne i traktując je jak wielkości algebraiczne lub w postaci:

biorąc pod uwagę tylko wartości prądów i zapisując prądy wpływające po jednej, a prądy wypływające po drugiej stronie równania.

W ogólnym przypadku wielu prądów prawo ma postać:

przy czym należy pamiętać, że prądom wypływającym przypisuje się ujemną wartość natężenia.

Ciągły rozkład prądów

Dla ciągłego rozkładu prądów prawo przyjmuje postać: całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu jest równa zero:

J – gęstość prądu (w A/m

2

)

– wektor powierzchni dS małego fragmentu powierzchni S w m

2

Drugie prawo Kirchhoffa – w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć na oporach równa jest sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie.

Przy czym obwód ten może być elementem większej sieci. Wówczas nosi on nazwę oczka sieci. Prawo to zapisane równaniem ma postać

gdzie

– SEM k-tego źródła napięcia;

– spadek napięcia na i-tym elemencie oczka.

Dla oporów omowych

gdzie I

i

jest natężeniem prądu płynącego przez opornik o oporze R

i

.

Zarówno spadki napięcia jak i siły elektromotoryczne mogą przybierać wartości ujemne i dodatnie. Ich znak ustala się w sposób:

ustala się kierunek obiegu obwodu (np zgodnie z ruchem wskazówek zegara

gdy kierunek prądu jest zgodny z kierunkiem obiegu, spadek napięcia jest dodatni (w przypadku niezgodności – ujemny)

gdy SEM jest spolaryzowana zgodnie z kierunkiem obiegu, jej wartość jest dodatnia

Prawo to można wywieść z faktu, że krążenie wektora pola elektrycznego po zamkniętym konturze ma wartość 0, jeżeli kontur ten zawarty jest w obwodzie prądu

stałego przy braku zmian pola magnetycznego przepływającego przez ten obwód, czyli

Prawo Ampère'a

Wektor Poyntinga – wektor określający strumień energii przenoszonej przez pole elektromagnetyczne. Nazwany na cześć odkrywcy Johna Henry'ego

Poyntinga (1852–1914).

Wektor jest określony jako iloczyn wektorowy wektorów natężeń pola elektrycznego i magnetycznego.

gdzie

– wektor Poyntinga,

– natężenie pola elektrycznego,

– natężenie pola magnetycznego.

Wektor Poyntinga dla ośrodka magnetycznie liniowego można wyrazić wzorem

Jednostką wektora Poyntinga w układzie SI jest

Prawo Biota-Savarta

Przewodnik z prądem

Przyczynek

do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości

przewodnika z prądem o natężeniu I.

gdzie

zwana stałą magnetyczną

- natężenie prądu, wyrażone w amperach

- skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długość elementu

przewodnika

- wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola

- odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya - w zamkniętym obwodzie znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym, pojawia się siła elektromotoryczna

indukcji równa szybkości zmian strumienia indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. Prawo to można wyrazić

wzorem

gdzie

- strumień indukcji magnetycznej,

- szybkość zmiany strumienia indukcji magnetycznej

Ruch harmoniczny prosty

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest

to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia

równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

gdzie:

to częstość kołowa drgań,

stałe zależne od warunków początkowych.

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Wprowadzając oznaczenie:

Powyższe równanie można wyrazić:

Rozwiązanie równania można wyrazić w postaci:

Przy czym przyjęto oznaczenie:

Ruch harmonijny wymuszony (rownanie) - stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła

wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

gdzie:

ω

0

- częstość drgań własnych

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych cos(ωt).

Dlatego analizę równania można ograniczyć do:

gdzie:

ω - częstość siły wymuszającej,

A - amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,

β - współczynnik tłumienia

Lp. Postać różniczkowa

Postać całkowa

Nazwa

Zjawisko fizyczne opisywane

przez równanie

1.

prawo Faradaya

Zmienne w czasie pole

magnetyczne wytwarza pole

elektryczne.

2.

prawo

Ampère'a rozszerzone

przez Maxwella

Przepływający prąd oraz zmienne

pole elektryczne wytwarzają

wirowe pole magnetyczne.

3.

prawo Gaussa dla

elektryczności

Źródłem pola elektrycznego są

ładunki.

4.

prawo Gaussa dla

magnetyzmu

Pole magnetyczne jest

bezźródłowe, linie pola

magnetycznego są zamknięte.