1.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru
okresu drgań wahadła prostego.

2.

Wprowadzenie

Przyspieszenie ziemskie „g” jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających w polu

grawitacyjnym Ziemi, tj. przy braku oporów ruchu. Z prawa powszechnej grawitacji Newtona
można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

=  ∗

ெ

ೋ

ோ

ೋ

మ

G – stała grawitacji; M

Z

– masa Ziemi; R

Z

– promień Ziemi

Zatem na biegunach, gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono

miało największą wartość. Zamiana wartości przyspieszenia „g” wraz z szerokością
geograficzną jest nie tylko wynikiem kształty Ziemi. Na „g” wpływa również jej ruch
obrotowy. Związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie
ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych z wyjątkiem biegunów.

Wartość przyspieszenia ziemskiego możemy wyznaczyć wykorzystując prawa ruchu

wahadła prostego. Wahadłem prostym nazywamy ciało o masie m i o niezmiernie małej
objętości (czyli punkt materialny) zawieszonej na nieważkiej i nie rozciągliwej nici o długości
l

s

. W praktyce takim wahadłem jest ciało, którego wymiary liniowe są znacznie mniejsze od

długości nici. W położeniu równowagi ciężar ciała

 zrównoważony jest siłą reakcji nici 

ோ

.

Jeśli wychylimy je z położenia równowagi (te dwie siły już się nie równoważą) wtedy podlega

prawom ruchu prostego. Wypadkowa

 działająca na ciało o masie m jest siłą

sprowadzającą ciało do położenia równowagi (x=0), a więc jest siłą zwróconą przeciwnie do
wychylenia z położenia równowagi. Obliczając wartość siły wypadkowej zakładamy, że
odchylona nić tworzy z pionem kąt α. Taki sam kąt znajdziemy w trójkącie sił. Kąty ABC i α są
równe.

Wydział:

WIEIK

Nazwisko i imię:

Stelmach Adrian

Zespół:

VIII

Ocena ostateczna:

Grupa:

12E

Temat ćwiczenia:

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą

wahadła matematycznego

Nr Ćw.

1

Data wykonania Ćw.

24.02.2012

a)

b)

Zatem

ி

௠௚

=

 →  = 


Natomiast w przypadku kiedy założymy, że kąt α jest kątem małym, to możemy przyjąć, że

sinα ≈ α (mierzonym w radianach). Wtedy

 = 


Natomiast okres drgań wahadła prostego wyraża się wzorem

= 2 

௟

௚

l – długość wahadła; g – przyspieszenie ziemskie

stąd:

=

4

ଶ



ଶ

Okres drgań wahadła prostego nie zależy od masy kulki, ani od amplitudy wahań.

3.

Ćwiczenie

Kolejność działania:



Mierzymy miarą metrową długość



௦

nici wahadła



Przy pomocy suwmiarki mierzymy średnicę „d” kulki



Wychylamy kulkę z położenia równowagi o niewielki kąt, puszczamy ją
swobodnie



Jeżeli drgania zachodzą w płaszczyźnie, rozpoczynamy pomiar stoperem
czasu 10 okresów (10

)



Pomiary wykonujemy kilkakrotnie

Wyniki pomiarów



ଵ

= 73


= 0,73


ଶ

= 19,7

= 1,97
= 0,0197
– średnica kulki

 = 

ଵ

+

1

2



ଶ

 = 0,73 +

0,0197

2

= 0,73985

Δl = 1mm = 0,1cm = 0,001m – błąd pomiaru

Długość wahadła wynosi:

 = 0,73985 ± 0,001 

Lp.

10

௜



௜



 −

௜

 −

௜



ଶ

1

17,40

1,740

-0,0026

0,00000676

2

17,20

1,720

0,0174

0,00030276

3

17,77

1,777

-0,0396

0,00156816

4

18,00

1,800

-0,0626

0,00391876

5

17,18

1,718

0,0194

0,00037636

6

17,72

1,772

-0,0346

0,00119716

7

17,60

1,760

-0,0226

0,00051076

8

16,54

1,654

0,0834

0,00695556

9

17,25

1,725

0,0124

0,00015376

10

17,08

1,708

0,0294

0,00086436

10

 =17,37

 = 1,7374

Zastosowany wzór na średnią:

 =

ଵ

+

ଶ

+ ⋯ +

ଵ଴

10

Niepewność standardowa:

∆

= 

∑  −

௜



ଶ

ଵ଴
௜ୀଵ

( − 1) 

n − liczba

pomiarów

∆

= 

0,0158544

10

10 − 1

= 0,013272528

 ≈ 0,0133 

Okres wahadła wynosi

= 1,7374 ± 0,0133 

4.

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego

=

4

ଶ



ଶ

π = 3,14

=

4

ଶ



ଶ

=

4 ∗

3,14

ଶ

∗ 0,73985

1,7374

ଶ

= 9,666368145[





ଶ

] ≈ 9,66[





ଶ

]

5.

Obliczenie niepewności maksymalnej przyspieszenia ziemskiego



௠௔௫

=



∆



௠௔௫

= 2



∆

 

+



∆



 



௠௔௫

= 2



0,0133

1,7374

 + 

0,001

0,73985

 ≈ 2 ∗ 0,0077 + 0,0014 ≈ 0,0168

Niepewność procentowa



%

=



௠௔௫

∗ 100% ≈ 0,0168 ∗ 100% = 1,68%

∆


௠௔௫

=

∗ 

௠௔௫

≈ 9,66 ∗ 0,0168







ଶ

 ≈ 0,16228 





ଶ



6.

Wnioski

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia:

= 9,66 ± 0,16

௠

௦

మ

g wzięte z tablic fizycznych (dla Krakowa):

்஺஻

= 9,8105





ଶ

≈ 9,81





ଶ

Różnica:

9,81 − 9,66 = 0,15

Tak więc, po porównaniu wartości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej w

laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie

od wartości tablicowej wynosi :

∆

்஺஻

=

|

்஺஻

−

|

்஺஻

∗ 100% ≈ 1,53%

Wartość rzeczywista mieści się w oszacowanym maksymalnym błędzie pomiarowym.

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane:

•

Przyjęciem, że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym

•

Zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici

•

Zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki

•

Niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi.