1.

 

Cel ćwiczenia

 

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru 
okresu drgań wahadła prostego. 
 

2.

 

Wprowadzenie

 

Przyspieszenie ziemskie „g” jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających w polu 

grawitacyjnym Ziemi, tj. przy braku oporów ruchu. Z prawa powszechnej grawitacji Newtona 
można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem: 
 

 =  ∗

ெ

ೋ

ோ

ೋ

మ

   G – stała grawitacji; M

Z 

– masa Ziemi; R

Z

 – promień Ziemi 

 
Zatem  na  biegunach,  gdzie  promień  naszej  planety  jest  najmniejszy,  będzie  ono 

miało  największą  wartość.  Zamiana  wartości  przyspieszenia  „g”  wraz  z  szerokością 
geograficzną  jest  nie  tylko  wynikiem  kształty  Ziemi.  Na  „g”  wpływa  również  jej  ruch 
obrotowy.  Związane  z  nim  przyspieszenie  odśrodkowe  zmniejsza  mierzone  przyspieszenie 
ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych z wyjątkiem biegunów. 

 
Wartość  przyspieszenia  ziemskiego  możemy  wyznaczyć  wykorzystując  prawa  ruchu 

wahadła  prostego.  Wahadłem  prostym  nazywamy  ciało  o  masie  m  i  o  niezmiernie  małej 
objętości (czyli punkt materialny) zawieszonej na nieważkiej i nie rozciągliwej nici o długości 
l

s

. W praktyce takim wahadłem jest ciało, którego wymiary liniowe są znacznie mniejsze od 

długości nici. W położeniu równowagi ciężar ciała 

 zrównoważony jest siłą reakcji nici 

ோ

. 

Jeśli wychylimy je z położenia równowagi (te dwie siły już się nie równoważą) wtedy podlega 

prawom  ruchu  prostego.  Wypadkowa 

  działająca  na  ciało  o  masie  m  jest  siłą 

sprowadzającą ciało do położenia równowagi (x=0), a więc jest siłą zwróconą przeciwnie do 
wychylenia  z  położenia  równowagi.  Obliczając  wartość  siły  wypadkowej  zakładamy,  że 
odchylona nić tworzy z pionem kąt α. Taki sam kąt znajdziemy w trójkącie sił. Kąty ABC i α są 
równe. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wydział: 

WIEIK 

Nazwisko i imię: 

Stelmach Adrian 

Zespół: 

VIII 

Ocena ostateczna: 

Grupa: 

12E 

Temat ćwiczenia: 

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą 

wahadła matematycznego 

Nr Ćw. 

1 

Data wykonania Ćw. 

24.02.2012 

a)

 

                                                            b) 

 

 

Zatem   

ி

௠௚

=

 →  = 
 

 

Natomiast w przypadku kiedy założymy, że kąt α jest kątem małym, to możemy przyjąć, że 

sinα ≈ α (mierzonym w radianach). Wtedy   

 = 
  

Natomiast okres drgań wahadła prostego wyraża się wzorem 

 = 2 

௟

௚

   

l – długość wahadła; g – przyspieszenie ziemskie 

stąd: 

 =

4

ଶ



ଶ

 

Okres drgań wahadła prostego nie zależy od masy kulki, ani od amplitudy wahań. 
 

3.

 

Ćwiczenie

 

 

Kolejność działania: 



 

Mierzymy miarą metrową długość  



௦

 nici wahadła 



 

Przy pomocy suwmiarki mierzymy średnicę „d” kulki 



 

Wychylamy kulkę z położenia równowagi o niewielki kąt, puszczamy ją 
swobodnie 



 

Jeżeli drgania zachodzą w płaszczyźnie, rozpoczynamy pomiar stoperem 
czasu 10 okresów (10

) 



 

Pomiary wykonujemy kilkakrotnie 

 

Wyniki pomiarów 

 


ଵ

= 73


 = 0,73


ଶ

= 19,7

 = 1,97
 = 0,0197
 – średnica kulki 

 = 

ଵ

+

1

2



ଶ

 

 = 0,73 +

0,0197

2

= 0,73985

 

Δl = 1mm = 0,1cm = 0,001m – błąd pomiaru 
 

Długość wahadła wynosi: 

 =  0,73985 ± 0,001 

 

 
 

Lp. 

10

௜

 

௜

 

 − 

௜

 

 − 

௜



ଶ

 

1 

17,40 

1,740 

-0,0026 

0,00000676 

2 

17,20 

1,720 

0,0174 

0,00030276 

3 

17,77 

1,777 

-0,0396 

0,00156816 

4 

18,00 

1,800 

-0,0626 

0,00391876 

5 

17,18 

1,718 

0,0194 

0,00037636 

6 

17,72 

1,772 

-0,0346 

0,00119716 

7 

17,60 

1,760 

-0,0226 

0,00051076 

8 

16,54 

1,654 

0,0834 

0,00695556 

9 

17,25 

1,725 

0,0124 

0,00015376 

10 

17,08 

1,708 

0,0294 

0,00086436 

 

 

10

 =17,37 

 

 = 1,7374 

 

 

 

 
Zastosowany wzór na średnią: 

 =

ଵ

+

ଶ

+ ⋯ +

ଵ଴

10

 

 
Niepewność standardowa: 

∆

 = 

∑   − 

௜



ଶ

ଵ଴
௜ୀଵ

( − 1) 

n − liczba

pomiarów  

 

∆

 = 

0,0158544

10

10 − 1

= 0,013272528

 ≈ 0,0133  

 

Okres wahadła wynosi 

 =  1,7374 ± 0,0133  

 
 
 
 
 
 
 

4.

 

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego

 

 =

4

ଶ



ଶ

π = 3,14

 

 

 =

4

ଶ



ଶ

=

4 ∗

3,14

ଶ

∗ 0,73985

1,7374

ଶ

= 9,666368145[





ଶ

] ≈ 9,66[





ଶ

] 

 

 

5.

 

Obliczenie niepewności maksymalnej przyspieszenia ziemskiego

 



௠௔௫

=



∆

 

௠௔௫

= 2



∆

 

+



∆



 

 

 



௠௔௫

= 2



0,0133

1,7374

 + 

0,001

0,73985

 ≈ 2 ∗ 0,0077 + 0,0014 ≈ 0,0168 

 

Niepewność procentowa 



%

=



௠௔௫

∗ 100% ≈ 0,0168 ∗ 100% = 1,68% 

 

∆


௠௔௫

=

 ∗ 

௠௔௫

≈ 9,66 ∗ 0,0168







ଶ

 ≈ 0,16228 





ଶ

 

 

6.

 

Wnioski

 

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia: 

 =  9,66 ± 0,16

௠

௦

మ

 

 

g wzięte z tablic fizycznych (dla Krakowa): 

்஺஻

= 9,8105





ଶ

≈ 9,81





ଶ

 

 

Różnica: 

9,81 − 9,66 = 0,15 

Tak   więc,   po   porównaniu   wartości   przyspieszenia   ziemskiego   zmierzonej   w  

laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie  

od wartości tablicowej wynosi : 
 

∆

்஺஻

=

|

்஺஻

−

|

்஺஻

∗ 100% ≈ 1,53%

 

 

Wartość rzeczywista mieści się w oszacowanym maksymalnym błędzie pomiarowym. 

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane: 

•

 

Przyjęciem, że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym 

•

 

Zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici 

•

 

Zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki 

•

 

Niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi.