Wydział: WIEIK	Nazwisko i imię: Stelmach Adrian	Zespół: VIII	Ocena ostateczna:
Grupa: 12E	Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego	Nr Ćw. 1	Data wykonania Ćw. 24.02.2012

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru okresu drgań wahadła prostego.

1. Wprowadzenie

Przyspieszenie ziemskie „g” jest to przyspieszenie ciał swobodnie spadających w polu grawitacyjnym Ziemi, tj. przy braku oporów ruchu. Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

$g = G*\frac{M_{Z}}{{R_{Z}}^{2}}$ G – stała grawitacji; M_Z – masa Ziemi; R_Z – promień Ziemi

Zatem na biegunach, gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono miało największą wartość. Zamiana wartości przyspieszenia „g” wraz z szerokością geograficzną jest nie tylko wynikiem kształty Ziemi. Na „g” wpływa również jej ruch obrotowy. Związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych z wyjątkiem biegunów.

Wartość przyspieszenia ziemskiego możemy wyznaczyć wykorzystując prawa ruchu wahadła prostego. Wahadłem prostym nazywamy ciało o masie m i o niezmiernie małej objętości (czyli punkt materialny) zawieszonej na nieważkiej i nie rozciągliwej nici o długości l_s. W praktyce takim wahadłem jest ciało, którego wymiary liniowe są znacznie mniejsze od długości nici. W położeniu równowagi ciężar ciała $m\overrightarrow{g}$ zrównoważony jest siłą reakcji nici $\overrightarrow{F_{R}}$. Jeśli wychylimy je z położenia równowagi (te dwie siły już się nie równoważą) wtedy podlega prawom ruchu prostego. Wypadkowa $\overrightarrow{F}$ działająca na ciało o masie m jest siłą sprowadzającą ciało do położenia równowagi (x=0), a więc jest siłą zwróconą przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi. Obliczając wartość siły wypadkowej zakładamy, że odchylona nić tworzy z pionem kąt α. Taki sam kąt znajdziemy w trójkącie sił. Kąty ABC i α są równe.

1. b)

Zatem $\frac{F}{\text{mg}} = sin\alpha \rightarrow F = mgsin\alpha$

Natomiast w przypadku kiedy założymy, że kąt α jest kątem małym, to możemy przyjąć, że sinα ≈ α (mierzonym w radianach). Wtedy F = mgα

Natomiast okres drgań wahadła prostego wyraża się wzorem

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ l – długość wahadła; g – przyspieszenie ziemskie

$$g = \frac{{4\pi}^{2}l}{T^{2}}$$

Okres drgań wahadła prostego nie zależy od masy kulki, ani od amplitudy wahań.

1. Ćwiczenie

• Kolejność działania:

• Mierzymy miarą metrową długość l_s nici wahadła

• Przy pomocy suwmiarki mierzymy średnicę „d” kulki

• Wychylamy kulkę z położenia równowagi o niewielki kąt, puszczamy ją swobodnie

• Jeżeli drgania zachodzą w płaszczyźnie, rozpoczynamy pomiar stoperem czasu 10 okresów (10T)

• Pomiary wykonujemy kilkakrotnie

• Wyniki pomiarów

l₁ = 73cm = 0, 73m  l₂ = 19, 7mm = 1, 97cm = 0, 0197m – średnica kulki

$$l = l_{1} + \frac{1}{2}l_{2}$$

$$l = 0,73 + \frac{0,0197}{2} = 0,73985m$$

Δl = 1mm = 0, 1cm = 0, 001m – błąd pomiaru

Długość wahadła wynosi: l = (0,73985±0,001) m

Lp.	10Ti [s]	Ti [s]	$$\overset{\overline{}}{T} - T_{i}$$	$$\left( \overset{\overline{}}{T} - T_{i} \right)^{2}$$
1	17,40	1,740	-0,0026	0,00000676
2	17,20	1,720	0,0174	0,00030276
3	17,77	1,777	-0,0396	0,00156816
4	18,00	1,800	-0,0626	0,00391876
5	17,18	1,718	0,0194	0,00037636
6	17,72	1,772	-0,0346	0,00119716
7	17,60	1,760	-0,0226	0,00051076
8	16,54	1,654	0,0834	0,00695556
9	17,25	1,725	0,0124	0,00015376
10	17,08	1,708	0,0294	0,00086436
	$10\overset{\overline{}}{T} =$17,37	$$\overset{\overline{}}{T} = 1,7374$$

Zastosowany wzór na średnią:

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{T_{1} + T_{2} + \ldots + T_{10}}{10}$$

Niepewność standardowa:

$$T = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}\left( \overset{\overline{}}{T} - T_{i} \right)^{2}}{n(n - 1)}}\left\lbrack s \right\rbrack\text{\ \ \ \ }n - liczba\ pomiarow\text{\ \ }$$

$$T = \sqrt{\frac{0,0158544}{10\left( 10 - 1 \right)}} = 0,013272528\ s \approx 0,0133\ s$$

Okres wahadła wynosi T = (1,7374±0,0133) s

1. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego

$$g = \frac{{4\pi}^{2}l}{T^{2}}\text{\ \ \ }\ \pi = 3,14\ $$

$$g = \frac{{4\pi}^{2}l}{T^{2}} = \frac{4*\left( 3,14 \right)^{2}*0,73985}{\left( 1,7374 \right)^{2}} = 9,666368145\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack \approx 9,66\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$$

1. Obliczenie niepewności maksymalnej przyspieszenia ziemskiego

$$\delta_{\max} = \left( \frac{g}{g} \right)_{\max} = 2\left| \frac{T}{\overset{\overline{}}{T}} \right| + \left| \frac{l}{l} \right|$$

$$\delta_{\max} = 2\left| \frac{0,0133\ }{1,7374} \right| + \left| \frac{0,001}{0,73985} \right| \approx 2*0,0077 + 0,0014 \approx 0,0168$$

Niepewność procentowa

δ_% = δ_max * 100%≈0, 0168 * 100%=1, 68%

$$\left( g \right)_{\max} = g*\delta_{\max} \approx 9,66*0,0168\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack \approx 0,16228\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

1. Wnioski

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia: $g = \left( 9,66 \pm 0,16 \right)\ \frac{m}{s^{2}}$

g wzięte z tablic fizycznych (dla Krakowa):

$$g_{\text{TAB}} = 9,8105\frac{m}{s^{2}} \approx 9,81\frac{m}{s^{2}}$$

Różnica: 9, 81 − 9, 66 = 0, 15

Tak więc, po porównaniu wartości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej w

laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie

od wartości tablicowej wynosi :

$$g_{\text{TAB}} = \frac{\left| g_{\text{TAB}} - g \right|}{g_{\text{TAB}}}*100\% \approx 1,53\%$$

Wartość rzeczywista mieści się w oszacowanym maksymalnym błędzie pomiarowym.

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane:

• Przyjęciem, że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym

• Zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici

• Zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki

• Niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi.