Wydział: WIEIK	Nazwisko i imię: Stelmach Adrian	Zespół: VIII	Ocena ostateczna:
Grupa: 12E	Temat ćwiczenia: Wyznaczanie współczynnika lepkości dynamicznej cieczy	Nr Ćw. 7	Data wykonania Ćw. 30.03.2012

1. Wstęp do ćwiczenia:

Lepkość (inaczej: tarcie wewnętrzne) to właściwość ciał stałych, cieczy, ciekłych kryształów, gazów lub plazmy, która wynika z oddziaływań występujących przy wzajemnym przesuwaniu się elementów tego samego ciała.

W celu scharakteryzowania tych oddziaływań wprowadzono następujące wielkości:

• współczynniki lepkości – charakteryzują ogólne właściwości danej substancji,

• siły lepkości – są miarą tych oddziaływań w konkretnym, fizycznym przypadku.

Większość cieczy (tzw. ciecze newtonowskie) i gazów spełnia doświadczalnie wyznaczone równanie:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{R}}\mathbf{= \eta S}\left| \frac{\mathbf{\text{dv}}}{\mathbf{\text{dx}}} \right|$$

gdzie F_R jest siłą oporu lepkiego, S to pole powierzchni płytki (cienkiej i doskonale zwilżalnej), przesuwanej równolegle do powierzchni cieczy ze stałą prędkością, dv to przyrost prędkości warstewek cieczy pozostających w odległości dx, natomiast η jest współczynnikiem lepkości dynamicznej o wymiarze [Pa·s].

Współczynnik lepkości w przypadku cieczy maleje wraz ze wzrostem temperatury (gdyż maleją siły spójności).

Ważną kwestią z punktu widzenia metody pomiaru współczynnika lepkości dynamicznej jest charakter przepływu:

• laminarny – ciecz płynie równoległymi warstwami z różnymi prędkościami,

• burzliwy (turbulentny) – wektor prędkości elementów cieczy zmienia się chaotycznie.

Aby w łatwy sposób określić charakter konkretnego przepływu, wprowadzono bezwymiarową wielkość zwaną liczbą Reynoldsa:

$$\mathbf{Re =}\frac{\mathbf{\text{ρvl}}}{\mathbf{\eta}}$$

gdzie: ρ to gęstość cieczy, v – średnia prędkość strugi w przekroju poprzecznym, η – współczynnik lepkości, a l jest charakterystycznym rozmiarem liniowym przekroju poprzecznego strugi cieczy lub ciała poruszającego się w cieczy.

Poniżej określonej wartości liczby Reynoldsa, zwanej wartością krytyczną, przepływ ma charakter laminarny.

1. Metody pomiaru

• Metoda oparta na prawie Stokesa:

W metodzie tej wykorzystuje się pomiar prędkości kulki spadającej w nieruchomej cieczy o Re << 1. W wyniku działania sił międzycząsteczkowych spadająca kulka pociąga za sobą sąsiadujące z nią warstwy cieczy. Warstwy te posiadają różne prędkości i ślizgają się po sobie. Istotne, z punktu widzenia pomiaru, są trzy siły działające w kierunku pionowym na kulkę wraz z przyległą do niej warstewką cieczy:

• siła oporu lepkiego F₀ – o zwrocie w górę,

• siła ciężkości G – o zwrocie w dół,

• siła wyporu P, dana prawem Archimedesa – o zwrocie w górę.

Dla kulki o promieniu r i Re < 0,4 wartość siły oporu lepkiego określona jest prawem Stokesa:

F₀=6πηrv

Wrzucona do cieczy kulka po pewnym czasie będzie się poruszać ruchem jednostajnym, zatem zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona spełnione będzie równanie:

G + P+F_o=0

$$\mathbf{G}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{g}$$

$$\mathbf{P}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{g}$$

Po przyjęciu zmiennych: ρ_k – gęstość kulki, a ρ_c – gęstość cieczy i podstawieniu do powyższego równania, przyjmuje ono postać:

$$\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{g -}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{g - 6}\mathbf{\text{πηrv}}\mathbf{= 0}$$

które po uproszczeniu wygląda następująco:

$$\mathbf{\eta =}\frac{\mathbf{2}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{g}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{9}\mathbf{v}}$$

natomiast liczba Reynoldsa dla kulki wyniesie:

$$\mathbf{Re =}\frac{\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{\text{vr}}}{\mathbf{\eta}}$$

Prawo Stokesa nie uwzględnia wpływu ścian cylindra o promieniu R na prędkość spadającej kulki, gdyż wyprowadzone zostało dla cieczy rozciągającej się nieograniczenie. W związku z tym należy uwzględnić w obliczeniach poprawkę według Ladenburga. Prędkość kulki i współczynnik lepkości po skorygowaniu przyjmą wartości:

$$\tilde{\mathbf{v}}\mathbf{= v}\left( \mathbf{1 + 2,4}\frac{\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{2}\mathbf{R}} \right)\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }}\tilde{\mathbf{\eta}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\eta}}{\mathbf{1 + 2,4}\frac{\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$$

gdzie 2r to średnica kulki, 2R – średnica cylindra, a v i η to wielkości zmierzone.

• Metoda oparta na prawie Hagena-Poiseuille’a:

Prawo to odnosi się do przepływu laminarnego cieczy przez rurki lub kapilary. W takim przypadku prędkość ruchu laminarnego danej warstewki cieczy jest kwadratową funkcją odległości od osi rurki i spełniona jest zależność:

$$\mathbf{V =}\frac{\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}\mathbf{\tau p}}{\mathbf{8}\mathbf{\text{ηl}}}$$

gdzie R – promień kapilary, l – długość kapilary, Δp – różnica ciśnień na końcach kapilary, τ – czas przepływu przez kapilarę cieczy (lub gazu) o objętości V.

W praktyce za pomocą prawa Hagena-Poiseuille’a wyznacza się zazwyczaj względny współczynnik lepkości, czyli stosunek współczynnika lepkości danej cieczy do współczynnika lepkości wody destylowanej, pozostających w tej samej temperaturze. W tym celu wykorzystuje się wiskozymetry z kapilarą pionową.

1. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZEŃ