Dynamika
Pierwsza zasada dynamiki (zasada bezwładności) –
Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa
działających sił jest równa zeru, to we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia ciało to będzie
spoczywać lub poruszać się ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia – Układy
w których obowiązuje I zas. dyn. są układami
inercjalnymi. Układy odniesienia znajdujące się w
spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym
prostoliniowym względem układu inercjalnego są
układami inercjalnymi. Układy odniesienia poruszające
się ze zmienną prędkością lub obracające się względem
układu inercjalnego nazywamy nieinercjalnymi. Zasada
Galileusza wszystkie układy inercjalne są sobie
równoważne każde zjawisko przebiega identycznie w
dowolnym U.I. W układzie nie inercjalnym można
stosować zasady dynamiki jeżeli uwzględnimy siłę
unoszenia np.: siła bezwładności, odśrodkowa, Coriolisa.
Układ związany z Ziemią jest U.NI. efektem tego jest siła
coriolisa która działa na ciało poruszające się na
powierzchni. Np.: niże na półkuli N kręcą się w lewo.
Druga zasada dynamiki – Jeżeli na ciało o masie m
zadziała siła F (lub wypadkowa kilku sił działających na
ciało wynosi F) to ciało to będzie poruszać się z
przyspieszeniem proporcjonalnym do działającej siły, a
współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność

masy ciała, na które działa siła.

m

F

a



Druga zasada

dynamiki w przypadku raeatywistycznym

d t

d p

F



,

pochodna pedu do pochodnej czasu.
Trzecia zasada dynamiki – (zasada akcji i reakcji)
Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F (siła akcji) to
równocześnie na ciało A zadziała pochodząca od ciała B
siła F’ (siła reakcji) o tej samej wartości, co siła akcji lecz
o przeciwnym kierunku.
Bryła sztywna – to takie ciało, w którym odległości
pomiędzy poszczególnymi jego elementami nie
zmieniają się, niezależnie od działających sił. Jeżeli bryła
sztywna wiruje wokół osi obrotu to prędkość kątowa

s

rad

t









i przyspieszenie kątowe



wszystkich jej elementów są jednakowe.
Moment bezwładności punktu materialnego – (punkt
materialny jest to ciało potraktowane jako punkt który ma
masę tego ciała) Załóżmy że ciało punktowe o masie m
zawieszono na nieważkim sznurku o długości r i
wprowadzono w ruch wokół nieruchomego pręta.
Moment bezwładności I względem pręta wynosi:

2

mr

I



.

Moment bezwładności bryły sztywnej – Jeżeli ciało
składa się z wielu punktów materialnych to moment
bezwładności ciała jest suma momentów bezwładności
poszczególnych punktów materialnych. Należy pamiętać
o tym że moment bezw. ciała wyznaczamy zawsze
względem pewnej osi. W ruchu obrotowym m.b.
odgrywa taką samą role jak masa w ruchu postępowym.

Momenty wybranych ciał pręt-

2

12

1

Ml

I

p



, obręcz

2

0

MR

I



walec

2

2

1

MR

I

w



,

kula

2

5

2

MR

I

k



.

Twierdzenie Steinera – jeżeli znamy moment
bezwładności I

0

ciała przechodzący przez środek masy

ciała to możemy wyznaczyć moment I względem innej
osi obrotu pod warunkiem że jest ona równoległa do

pierwszej osi.

2

0

Md

I

I





M masa ciała, d odległość

pomiędzy osiami.
Moment siły – zmiana prędkości kontowej ciała
następuje pod wpływem działania momentów sił.
Wartość

momentu

M

siły

F

definiuje

się



sin

rF

M



, r odległość punktu przyłożenia od osi

obrotu



sin

F

jest wartością



F

siły składowej

prostopadłej do r.
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego –
zmiana prędkości kontowej



bryły sztywnej

obracającej się wokół nieruchomej osi dokonuje się

zgodnie z II zas dyn dla ruchu obrotowego



I

M



gdzie

t











oznacza przyspieszenie kątowe

wywołane działaniem siły o momencie M, I jest
momentem bezwładności bryły sztywnej względem danej
osi.
Moment pędu – jest odpowiednikiem pędu w ruchu
postępowym. Moment pędu K ciała punktowego o masie
m obracającego się z prędkością v względem stałej osi
obrotu w odległości r od niej wynosi:

rmv

rp

K





,

wiedząc że

r

v





gdzie



jest prędkością kontową

dostajemy





I

mr

K





2

. Moment pędu bryły

sztywnej jest sumą momentów poszczególnych jej
punktów.
Zasada zachowania momentu pędu – Jeżeli moment sił
zewnętrznych względem danej osi obrotu jest równy zeru
to moment pędu ciała (lub układu ciał) względem tej osi
jest stały K=const.

2

2

1

1





I

I



.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego – każde
obracające się ciało posiada energię kinetyczną. Energia
kinetyczna obracającego się ciała jest sumą energii
kinetycznych

poszczególnych

jego

elementów.

2

2

,



I

E

obr

K



.

Energia kinetyczna przy toczeniu się – Ruch toczącego
ciała jest zbliżony do ruchu postępowego ciała i ruchu
obrotowego wokół jego osi symetrii. Całkowita energia
kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu
obrotowego i energii kinetycznej ruchu postępowego

2

2

2

2

mv

I

E

Kc







Para sił i moment obrotowy – Ruch obrotowy jest
powodowany parą sił, są to 2 siły przeciwnie skierowane
o jednakowej wartości przyłożone w różnych punktach
ciała. Moment pary sił nie zależy od punktu względem
którego moment ten liczymy.
Porównanie

wzorów

w

ruchu

postępowym

prostoliniowym i ruch obrotowy

Pole Grawitacyjne

Prawo powszechnego ciążenia – Każde 2 ciała
przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji (ciążenia)
wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie
prop. do kwadratu odległości pomiędzy nimi (środki ich).

2

r

mM

G

F

g





G-stała grawitacji 6,67x10

-11

Nm

2

/kg

2

.

Masa Ziemi – korzystając z prawa powszechnego
ciążenia

można

wyznaczyć

masę

Ziemi.

kg

G

gR

M

Z

z

24

2

10

9742

,

5







,

bo

2

80665

.

9

,

s

m

g

mg

F

g





.

Pole grawitacyjne – Dwie masy przyciągają się siłami
grawitacji, jest to oddziaływanie na odległość. Ciało
posiadające masę modyfikuje przestrzeń go otaczającą,
wytwarza tzw. pole grawitacyjne. Pole to działa na każde
ciało znajdujące się w jego zasięgu siłą przyciągania
grawit. Linie sił pola (umowne linie) wskazują w
przestrzeni wokół źródła pola kierunek siły graw.
(pokazują kierunek siły graw. w każdym jej punkcie)
jaka zadziała na ciało o masie m umieszczone w danym
polu.
Natężenie pola grawitacyjnego – w każdym punkcie
pol. graw. można zdefiniować wielkość wektorową,
oznaczającą siłę grawitacji działającą w danym punkcie
na jednostkę masy (jest to natężenie p.g.)

2

2

r

M

G

m

r

mM

G

m

F

g









. Natężenie p.g. nie

zależy od masy ciała znajdującego się w polu a jedynie
od masy ciała będącego źródłem pola.
Przyspieszenie w polu grawitacyjnym –jeżeli w p.g.
znajdzie się swobodnie spadające ciało o masie m to jego

przyspieszenie

wyniesie:







m

F

g

g

,

2

r

GM

g



czyli

natężenie

p.g.

określa

także

przyspieszenie z jakim porusza się ciało w danym
punkcie p.g.
Praca w polu grawitacyjnym – Załóżmy że
przemieszczamy ciało o masie m z punktu A do B w p.g.
wytworzonym przez masę M. Aby przemieścić ciało
pomiędzy tymi punktami musimy działać na siłą F

z

która

z każdej chwili będzie równoważyć siłę grawitacji. Jej
wartość jest taka sam jak siły graw. lecz kierunek jest

przeciwny.





















B

A

B

z A

r

r

GMm

W

1

1

, praca ta nie

zależy od drogi tylko od położenia początkowego r

A

i

końcowego r

B.

Energia potencjalna w polu sił grawitacji -

r

mM

G

E

r

p





)

(

, energia ta zależy jedynie od

odległości od środka ciała o masie M.
Potencjał pola grawitacyjnego – Stosunek energii
potencjalnej w odległości r od źródła pola graw. do jej

jednostkowej masy

r

GM

m

r

E

V

p

r







)

(

)

(

. Potęcjał

podobnie jak natężenie nie zależy od masy ciała
znajdującego się w polu.
Ruch satelity po orbicie kołowej – Siła grawitacji
spełnia w takim ruchu rolę siły dośrodkowej i sprawia że
satelita jest przyciągany w kierunku planety.

g

dośo

F

r

Mm

G

r

v

m

F







2

2

, prędkość kontowa lotu

satelity

3

r

GM

r

v







, r – promień orbity,

GM

r

T

3

2





- okres obiegu planety przez satelitę.

Prawa Keplera – Ip.K orbita każdej planety jest elipsą
przy czym słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.
IIp.K Prędkość polow planety jest stała jest ona polem
zakreślonym w jednostce czasu przez promień wodzący
planety. Im dalej jest planet od słońca tym wolniej się
porusza. II uogólnione prawo Kepllera moment pędu
planety jest stały.L=pr=mVr=const. IIIpK. Drugie potęgi
okresu obiegu planet wokół Słońca są wprost
proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości

od słońca

3

2

1

2

2

1

)

(

)

(

a

a

T

T



. III uogólnione pK.

2

2

3

4



m

M

G

T

a





Prędkości kosmiczne – Pierwsza prędkość kosmiczna
jest to prędkość którą trzeba nadać ciału równolegle do
powierzchni Ziemi ażeby okrążała kulę ziemską po
orbicie kołowej wynosi ona dla orbity tuż nad

powierzchnią 7,9km/s.

R

km

r

r

GM

V







6372

,

Druga prędkość kosmiczna jest to tzw. prędkość
kosmiczna to prędkość którą trzeba nadać ciału na pow.
Ziemi aby opuściło strefę przyciągania ziemskiego
(teoretycznie żeby poleciało do nieskończoności) w
praktyce zostanie ono przez siłę grawitacji Słońca i

stanie się jego satelitą.

s

km

R

GM

V

/

2

,

11

2





.

Trzecia prędkość kosmiczna jest to prędkość którą
trzeba nadać ciału na pow. Ziemi żeby opuściło układ

słoneczny

Ziemi

or b

s ońoń

R

GM

V

.



ok.. 161k/s

Termodynamika
Równanie stanu gazu doskonałego (równanie
Clapeyrona) – pV=nRT Stan danej ilości gazu jest
określony przez 3 parametry: ciśnienie, temperaturę i

objętość.





,

,

31

,

8

m

n

K

mol

J

R







-masa

molowa. Tylko dla gazu doskonałego spełnione jest to
równanie.
Podstawowy wzór teorii molekularno-kinetycznej

gazów:

2

,

3

2

2

0

v

m

E

E

V

N

p

K

K





, gdzie m

0

-masa

jednej cząsteczki, v-średnia prędkość cząsteczki.
Przemiany gazowe – zależność pomiędzy parametrami
stanu w przemianie stałej masy gazu dosk.

2

2

2

1

1

1

T

V

p

T

V

p



. Praca w przemianach gazowych –

w przemianie gazowej praca wykonana nad gazem W

z

jest równa pracy wykonanej przez gaz W ze znakiem -.
Przemiana izobaryczna: w tej przemianie spełniony jest

warunek stałego ciśnienia p=const.

2

2

1

1

T

V

T

V



,

.

const

T

V



-

prawo

Gay-Lussaca.

T

nC

T

mc

Q

p

p









c

p

- ciepło właściwe gazu przy

stały ciśnieniu, Cp- ciepło molowe gazu przy stałym
ciśnieniu. Praca wykonana przez gaz wynosi

)

(

1

2

V

V

p

V

p

W









natomiast praca wykonana

nad gazem wynosi

)

(

2

1

V

V

p

V

p

W

z











.

Przemiana izotermiczna – w tej przemianie T=const.

2

2

1

1

V

p

V

p



,

.

const

pV



prawo Boyle’a –

Marriote’a.
Przemiana izochoryczna – w tej przemianie V=const.

2

2

1

1

T

p

T

p



,

co n st

T

p



prawo

Charles’a.

T

nC

T

mc

Q

V

V









.

Przemiana adiabatyczna – brak wymiany ciepła z
otoczeniem, Równanie adiabaty zwane równaniem

Poissona

.

const

pV





,

v

p

C

C





Elektrostatyka

Ładunki elektryczne – niektóre ciała oprócz masy mają
także ładunek elektryczny , dodatni lub ujemny.
Umówiono się że szkło pocierane ładuje się dodatnio a
ebonit ujemnie. Ładunków nie umiemy wytwarzać
umiemy tylko rozdzielać ładunki dodatnie i ujemne
występujące w przyrodzie tak aby była spełniona zasada
zachowania ładunku (w izolowany układzie ładunki
elektryczne mogą powstawać i zanikać ale ich suma
algebraiczna musi pozostać stała).
Ładunek elementarny – wartość bezwzględna
dowolnego ładunku jest wielokrotnością ładunku
elementarnego ma on wartość e=1,602x10

-19

C., q-

wartość ładunku elektrycznego q=ne.
Prawo Culomba – Jest to prawo określające siłę
wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków Q

1

i Q

2

odległych od siebie o r. Siła oddziaływania dwóch
ładunków punktowych jest wprost prop. do iloczynu tych
ładunków a odwrotnie prop. do kw. Ich odległosci.

2

2

1

r

Q

Q

k

F



w

przypadku

ładunków

jednoimiennych siła ma charakter siły odpychającej, a w
przypadku

różnoimiennych

przyciągającej

się.

Współczynnik

prop.

0

4

1





k

gdzie

stała

2

2

12

0

10

85

,

8

Nm

C









to przenikalność elektryczna

próżni dla powietrza wynosi 1, a dla wody 81.
Pole elektryczne – Oddziaływanie miedzy ładunkami
elektrycznymi jest oddziaływaniem na odległość.
Ładunek elektryczny Q zmienia przestrzeń wokół siebie
w taki sposób że każdy inny ładunek q który znajdzie się
w tej przestrzeni dozna działania siły kulombowskiej.
Ładunek Q wytwarzający pole elektryczne nazywamy
źródłem pola , jeżeli ładunek wytwarzający pole nie
zmienia swej wartości ani nie porusza się to muwimy o
polu elektrostatycznym.
Natężenie pola elektrostatycznego –Oddziaływanie
miedzy ładunkami odbywa się za pośrednictwem pola
elektrycznego. Ładunek Q wytwarza w otaczającej go
przestrzeni pole elektryczne o natężeniu równym:

2

r

Q

k

E



. Wektor natężenia pola elektrycznego ma

kierunek od ładunku gdy Q>0 lub do ładunku gdy Q<0.
Na ładunek umieszczony w polu działa siła F=qE. Siła
działająca na ładunek dodatni ma taki sam kierunek jak
wektor natężenia pola elektrycznego a na ładunek
ujemny przeciwny.
Linie pola elektrycznego – graficznym obrazem pola
elektrycznego są linie wyznaczone w tali sposób ze
styczne do nich w dowolnym punkcie mają kierunek
wektora natężenia pola. Zakłada się że gęstość linii sił
pola jest wprost proporcjonalna do natężenia pola. Linie
pola zaczynają się w miejscach położenia ładunków
dodatnich (lub w nieskończoności) a kończą się na
ładunkach ujemnych (lub też w nieskończoności). Linie
sił pola to linie wyznaczające w danym miejscu kierunek
i wartość siły, która zadziała na ładunek próbny. Tak
wektor tej siły jak i wektor natężenia pola są styczne do
linii sił pola.

Zasada superpozycji pól. Pole pochodzące od układu

ładunków. Superpozycja pól to własność polegająca na
tym że pole wypadkowe jest sumą pól składowych. Jeżeli
pole elektrostatyczne jest scharakteryzowane przez
wektor natężenia pola to podobnie jak siła wypadkowa,
wypadkowe natężenia jest sumą wektorową natężeń pół
od poszczególnych ładunków. Dla układu N ładunków

wektor natężenia wypadkowego wynosi:







N

i

i

E

E

1

.

Pole pochodzące od 2 ładunków: ładunek q znajduje się
w polu pochodzącym od 2 ładunków punktowych Q

1

i

Q

2.

Zgodnie z zasadą superpozycji wektor natężenia

wypadkowego będzie sumą wektorów natężeń pół

składowych:

q

F

E

E

E







2

1

i równy jest stosunkowi

wypadkowej siły działającej na ładunek próbny to tego
ładunku.
Strumień pola elektrycznego – jest wielkością skalarną
prpo. do liczby linii pola przechodzących przez daną
powierzchnię.





cos

ES



gdzie E jest wartością

natężenia pola elek. na pow. S, a



jest kątem

pomiędzy kierunkiem wektora natężenia pola elek. i
wektorem prostopadłym do rozpatrywanej pow.S.
Prawo Gaussa – całkowity strumień wektora natężenia

pola elektrycznego



przez powierzchnię zamkniętą

dowolnego kształtu jest wprost prop. algebraicznej sumy
ładunków Q zamkniętych wewnątrz tej powierzchni i nie
zależy od ładunków położonych na zewnątrz tej
powierzchni.

Q

q

S

E

i

i

i

i

i

i

0

0

1

1

cos





















gdzie

współczynnikiem prop. jest odwrotność iloczynu
przenikalności dielektrycznej próżni i względnej
przenikalności dielektrycznej ośrodka.
Praca

w

polu

elektrostatycznym

-





















A

B

B

z A

r

r

kqQ

W

1

1

,

praca

sił

pola

elektrostatycznego nie zależy od drogi po jakiej ładunek
q jest przesuwany z punktu A do B.
Energia potencjalna w polu elektrostatycznym -

r

qQ

r

Qq

k

E

p

0

4







Ponieważ

pole

elektrostayczne podobnie jak pole graw. jest polem
zachowawczym to można wprowadzić w nim energię
potencjalną. Gdy ładunki są różnoimienne to E

p

<0, gdy

ładunki są równoimienne to E

p

>0. Pracę siły zewnętrznej

można zapisać jako różnicę e.p. w punkcie A i B:

p

pA

pB

B

zA

E

E

E

W











natomiast praca sił pola

elektrostatycznego wyniesie –E

p

.

Potencjał

pola

elektrostatycznego

–

Pole

elektrostatyczne można opisać zarówno za pomocą
wektora natężenia pola jak i wielkości skalarnej jaką jest
potencjał p.e. V. Jest on równy stosunkowi energii
potencjalnej ładunku próbnego q umieszczonego w
danym punkcie pola do wartości tego ładunku

q

E

V

p



.(ładunek próbny naładowany dodatnio).

Różnicę potencjałów w punktach A i B p.e. nazywamy
napięciem U

AB

. Pracę sił pola elektrycznego przy

przesuwaniu ładunku z punktu A do B można zapisać:

AB

B

A

pB

pA

B

A

qU

qV

qV

E

E

W













.

Elektronowolt – to praca sił pola które powoduje
przesuniecie ładunku elementarnego z punktu A do B
przy czym różnica potencjałów między tymi punktami
wynosi 1V. 1eV=e1V=1,6x10

-19

CV=1,6x10

-19

J.

Prąd elektryczny

Prądem elektrycznym - nazywamy uporządkowany
ruch ładunków elektrycznych (dodatnich lub ujemnych)
zwanych nośnikami prądu.
Natężenie prądu – I stosunek ilości ładunku ΔQ
przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika

w nieskończenie małym przedziale czasu Δt.

t

Q

I







Jeżeli natężenie prądu nie ulega zmianie w czasie to prąd
taki nazywamy p.stałym.
Prawo Ohma – Prąd I w jednorodnym przewodniku jest
wprost prop. do napięcia U na końcach przewodnika
I=GU współczynnik prop. G nazywa się przewodnością
przewodnika. Wartość odwrotna do przewodności to

opór R.

U

R

I

1



.

Opór przewodnika – dla jednorodnego przewodnika
cylindrycznego jego opór R jest wprost prop. do jego
długości a odwrotnie prop. do pow. Przekroju

poprzecznego.

S

l

R





, współczynnik



nazywa

się elektrycznym oporem właściwym materiału.
Siła elektromotoryczna – (SEM) dla podtrzymywania
stałej różnicy potencjałów na końcach przewodnika a
zatem i prądu konieczne jest istnienie sił zewnętrznych
natury nieelektrycznej, powodujących rozdział ładunków
elektrycznych. W generatorach prądu rozdział ładunków
dokonywany jest siłami pola magnetycznego, w bateriach
dzięki procesom chemicznym. SEM źródła prądu jest to
praca sił zewnętrznych które źródło prądu wykonuje nad
jednostkowym ładunkiem dodatnim.
I prawo Kirchhoffa – Algebraiczna suma prądów
schodzących się w węźle jest równa zeru przy czym
prądy wpływające do węzła są + a wypływające z -.
I

1

+I

2

=i

1

+i

2

II prawo Kirchhoffa – suma iloczynów prądów i
oporów (łącznie z oporami wewnętrznymi) równa się
sumie sił elektromotorycznych działających w obwodzie
zamkniętym (oczku).

2

2

1

1

2

1

R

I

R

I











Drgania i Fale
Drgania –są to procesy fizyczne w których dana
wielkość na przemian rośnie i maleje. W przypadku
ruchu drgającego tą wielkością jest wychylenie z
położenia rów. Ruch drgający nazywamy harmonicznym
gdy wychylenia ciała z położenia równowagi a położenie
ciała opisywane jest funkcją harmoniczna.(sin lub cos).
Ruch harmoniczny x=Asin(ωt), ω=2πf=2π/T gdzie A-
ampituda drgań, f- częstotliwość drgań (ilość drgań w
czasie 1s), T- okres drgań (czas jednego drgania), ω-
częstość drgań.
Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym –
V=ωAcos(ωt), a=-ω

2

Asin(ωt). Prędkość i przyspieszenie

cząstki w r.h. równe są rzutom na oś OX wektorów
prędkości i przyspieszenia w ruchu po okregu.
Siła w ruchu harmonicznym – F=ma=-mω

2

x=-kx gdzie

m-masa cząsteczki, k-stała sprężystości. Przykłady ruchu
harmonicznego 1. drganie ciężarka na sprężynie okres

drgań wynosi:

k

m

T



2



Wahadło matematyczne – jest to punkt materialny o
masie m zawieszony na nieważkiej nici o długości l.
Ruch odbywa się pod wpływem składowej siły ciężkości
mgsinα stycznej do łuku po którym porusza się ciało i

skierowanej przeciwnie do wychylenia z położenia
równowagi. Jeżeli wychylenia z położenie równowagi są

niewielkie to

l

x



 

sin

. Siła powodująca ruch

przyjmuje postać

kx

l

x

mg

F









gdzie

l

mg

k



więc

okres

drgań

wahadła

wynoci:

g

l

T







2

2





.

Wahadło fizyczne – jest to ciało które może obracać się
wokół pewnej nieruchomej osi. Jeżeli wychylenia z
położenia równowagi są niewielkie to porusza się ono
ruchem harmonicznym. Okres drgań w.f. o momencie
bezwładności I względem osi obrotu wynosi:

mg d

l

T



2



gdzie d jest odległością osi obrotu od

środka masy.
Energia potencjalna drgań harmonicznych – energia
potencjalna rozciągniętej sprężyny jest to praca jaką musi
wykonać siła zewnętrzna F

z

, gdy ciężarek pozostaje w

położeniu równowagi to e.p. sprężyny jest zero.

p

E

kx

W





2

2

1

Całkowita energia drgań – jest równa sumie energii
potencjalnej

i

kinetycznej

2

2

2

2

1

2

1

A

m

kA

E

E

E

p

k











Fale mechaniczne – nazywamy zaburzenie w postaci
ruchu drgającego cząsteczek ośrodka rozchodzące się ze
skończoną prędkością v. np. fale na wodzie, fale
akustyczne.
Równanie fali harmonicznej – równaniem fali nazywa
się wyrażenie przedstawiające wychylenie drgającej
cząstki w funkcji jej współrzędnych przestrzennych x,y,z,
oraz

czasu

t.

Równanie

fali

ma

postać

)]

(

sin[



 



t

A

u

gdzie τ=x/v , u- wychylenie

punktu sznura w odległości x, punkt ten powtarza drgania
źródła po czasie τ. Prędkość rozchodzenia się fali to

f

T

v









gdzie λ to długość fali.

Drgania tłumione – w przyrodzie zawsze występują siły
tarcia które zmniejszają energię drgań, dlatego w realnym
ośrodku występują drgania tłumione a nie harmoniczne.
Aby otrzymać drgania harmoniczne (o stałej amplitudzie)
trzeba uzupełniać straty energii w kazdym okresie.
Zjawisko Dopplera – jest to efekt, w którym zmienia się
częstotliwość fal odbieranych przez obserwatora, w
wyniku przemieszczania się obserwatora lub ośrodka
względem ośrodka w którym rozchodzą się fale.

z

v

v

v

v

f

f







0

'

v

0

prędkość obserwatora, v

z

prędkość

źródła „-„ gdy źródło się przybliża , „+” gdy źródło się
oddala , f- czest. źródła.
Pole magnetyczne
Indukcja magnetyczna wokół przewodników z
prądem – Linie pola magnetycznego pochodzące od
przewodu prostoliniowego, przez który płynie prąd
stanowią układ obejmujących przewód koncentrycznych
okręgów. Gdy przez przewód płynie prąd o natężeniu I to
w odległości r od niego wartość indukcji magnetycznej B

wynosi

r

I

B





2

0



gdzie

2

7

0

10

4

A

N











i jest to

przenikalność magnetyczna próżni. Wektor indukcji
magnetycznej ma kierunek styczny do okręgów
wyznaczających linie pola, a zwrot określa reguła prawej
ręki (kciuk wskazuje kierunek prądu) lub reguła śruby
prawoskrętnej wkręcanej tak aby jej ruch był zgodny z
kierunkiem prądu. Pole magnetyczne wewnątrz
nieskończenie długiego solenoidu możemy uważać za

jednorodne.

I

l

N

B

0





gdzie N – to ilość zwojów, l

długość solenoidu.
Siła Lorentza – na cząstkę o ładunku q poruszającą się z
prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B działa

siła magnetyczna (siła Lorentza)



sin

vB

q

F

L



α-

kąt pomiędzy kierunkiem prędkości i pola mag. Wektor
siły ma kierunek prostopadły do płaszczyzny, na której
leżą wektory v i B. Jego kierunek zależy od znaku
ładunku q>0 kierunek określa reguła śruby prawoskrętnej
wkręcanej od v do B lub reguła prawej dłoni, w której
gdzy zginamy palce od v do B to kciuk pokazuje nam
kierunek siły lorentza. Gdy q<0 to kierunek wektora jest
przeciwny do kierunku dla ładunku dodatniego. Gdy
cząstka porusza się wzdłuż linii pola to nie działa no nią
żadna siła.
Siła elektrodynamiczna (siła Ampere’a) – na
prostoliniowy przewodnik z prądem znajdujący się w
polu

mag.

O indukcji mag. B działa siła



sin

lB

I

F





gdzie I – natężenie prądu, l- długość

przewodnika, α- kąt pomiędzy kierunkiem płynącego
prądu a kierunkiem indukcji magn.
Siły działające miedzy dwoma przewodnikami –

wartość tej siły określa wzór

l

d

I

I

F

2

1

0

2

4









Amper – jednostka natężenia prądu. Jest to natężenie
prądu który płynąc w 2 nieskończenie długich
prostoliniowych przewodnikach o zaniedbywanie małym
przekroju umieszczonych względem siebie w odległości

1 metra wytwarza siłę równą

N

7

0

10

2

2











na

każdy metr tych przewodników.
Moment siły działający na ramkę z prądem –
M=BIScosα S- pole pow. ramki,



Przewodnictwo cieplne– Równanie przewodnictwa

cieplnego

t

A

d

T

Q











gdzie λ- współczynnik

przewodnictwa ciepła

mK

W

, A- powierzchnia, t- czas,

d-szerokość przegrody. U – współczynnik przenikania

ciepła

K

m

W

d

U

2





,

R-

opór

cieplny

W

K

m

d

R

2





, Opory cieplne możemy sumować.

Opór cieplny jest to odwrotność wsp. Przenikania ciepła
U. Temperatura mierzy nam energię wewnętrzną ciała.
Q- jest to ciepło, q- jest to strumień ciepła [J/s=W]
Współczynnik λ jest największy dla ciał stałych, a
najmniejszy dla gazów. Ze wzrostem temperatury
współczynnik przewodnictwa maleje- wyjątkiem jest
woda, a gazów rośnie. W przypadków ciał stałych λ
zależy liniowo od temperatury dlatego można łatwo

Ruch postępowy

Ruch
obrotowy

droga

s[m]



[rad]

prędkość

t

s

v







,

t

s

v

śr



,

d t

d r

v



t











,

t

śr



 

,

d t

d



 

Przyspiesz
enie

t

V

a







t











Ruch
jednostajn
y

V=const.,

s=vt,

F=0



=const.,

t









,

M=0

Ruch jed.
Przys

const

F



,

const

a



,

2

,

2

0

0

at

t

V

s

at

V

V









.

const

M



,

.

const





,

2

,

2

0

0

t

t





















Masa/mo
m.bez

m







2

i

i

r

m

I

Siła/mom
siły

F

M=Fr

II

zas.

Dyn.

F=ma



I

M



Pęd/mom
pędu

P=mV



I

K



Energi
kinetyczn
a

2

2

mV

E

k



2

2



I

E

kobr



Zas zach
pędu

Gdy

F=0

to

p=const.

Gdy M=0 to
K=const

Związki

między

ruchami

r

a

r

V

r

s













,

,

obliczyć jego średnią wartość. O przewodzeniu ciepła
decyduje warstwa o największym oporze cieplnym.
Konwekcja - jest to przenoszenie ciepła zachodzące z
równoczesnym

przemieszczaniem

się

mas:

a).

Konwekcja naturalna- różna gęstość cieczy lub gazu
spowodowana różną temperaturze; b). Konwekcja
wymuszona- wentylatory, pompy. Strumień ciepła
przenoszony drogą konwekcji określa równanie Newtona

T

A

q









Prawa promieniowania ciała doskonale czarnego:
Promieniowanie cieplne – każde ciało znajdujące się w
temp. T powyżej zera bezwzględnego wysyła (emituje)
energię w postaci fal elektromagnetycznych. Ilość energii
wysyłana w jednostce czasu czyli moc z jednostki

powierzchni to całkowita zdolność emisyjna

S t

E

R



.

Ciało doskonale czarne – szczególnym przypadkiem
promieniowania cieplnego jest p.c.d.c. C.d.c. jest to ciało
które całkowicie pochłania padające na niego
promieniowanie. Współczynnik absorpcji wynosi 1 dla
innych ciał jest mniejszy od 1. Prawo Stefana-
Boltzmana – ilość energii wysyłana przez ciało jest
proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury.

4

T

R





, gdzie σ-stała S-B =5,67x10

-8

W/m

2

K

4

Prawo

Wiena – długość fali dla której występuje maksimum
promieniowania jest odwrotnie prop. do temperatury

ciała

T

b

MAX





, gdzie b- stała Wiena =2,897x10

-

3

mK

Falowe Własności Światła. Światło jest falą
elektromagnetyczną o długości od 0,38 do 0,76 nm.,
posiada cechy falowe jak i korpuskularne (kwantowe).
1.Interferencja- zjawisko nakładania się dwóch lub
więcej fal harmonicznych o tej samej długości
prowadzące do powstania ustalonego w czasie rozkładu
przestrzennego obszarów wzmocnienia i osłabienia fali.
Maż wzmocnienie występuje gdy fale nakładają się
fazami zgodnymi wygaszenie gdy przeciwnymi. Jeżeli
ulegają częściowemu wzmocnieniu lub wygaszeniu
nazywa się to nakładanie superpozycją 2.Dyfrakcja –
czyli ujęcie występuje wtedy gdy fala napotyka na swojej
drodze przeszkodę lub szczelinę o rozmiarach
porównywalnych z długością fali.
3.Polaryzacja – dotyczy wyłącznie fal poprzecznych i
polega na uporządkowaniu drgań ośrodka. Światło jest
falą elektromagnetyczną więc ma charakter fali
poprzecznej.

Kierunek

polaryzacji

fali

elektromagnetycznych jest taki jak kierunek pola
elektrycznego E

→

(przez płaszczyznę polaryzacji należy

rozumieć płaszczyznę zawierającą wektor E oraz
kierunek rozchodzenia się fali). Światło może być
spolaryzowane: a)liniowo- drgania pola elektrycznego
odbywają się tylko w jednym kierunku; b)kołowo-
kierunek drgań obraca się cyklicznie. Polaryzacja światła
zachodzi podczas: załamania, rozproszenia, odbicia.

Zjawisko fotoelektryczne. Kwantowe własności

światła Dowodem na kwantową naturę światła jest
zjawisko fotoelektryczne. Polega ono na wybiciu
elektronu przez foton z powierzchni metalu. Tego
zjawiska nie można wytłumaczyć przyjmując że światło
jest falą, wyjaśnia to teoria kwantowa. Foton świetlny o
E=hf E=hC/λ gdzie E- energia, h- stała Planca h=
6,63x10

-34

Js, f- częstotliwość, zdarza się z elektronem na

powierzchni metalu i oddaje mu całą swoją energię,
cześć tej energii zostaje zużyta na wyrwanie elektronu z
pow. metalu, jest to tzw. praca wyjścia W pozostała część
energii nadaje prędkość początkową, czyli zamienia się w
energie kinetyczną elektronu. Aby zjawisko mogło
zaistnieć energia fotonu musi być przynajmniej równa
pracy wyjścia W<=hf. Graniczna częstotliwość
promieniowania określona jest przez wzór f

0

h=W

Zjawisko to zostało wykorzystane w fotokomórkach.

Hipoteza de Broglie’a. Każda cząstka posiadająca m i
poruszająca się z prędkością v może być traktowana jako
fala. Czyli coś co jest uważane za cząstkę np. elektron w
pewnych warunkach będzie okazywać własności falowe
(dyfrakcja, interferencja, polaryzacja). Przez analogie z
fotonami DeB przyjął że długość fali związanej z cząstką

powinna wynosić

mv

h

p

h







gdzie p- pęd cząstki,

m-masa cząstki, v- prędkość cząstki. Dowodem na to, że
fale materii istnieją jest np. dyfrakcja elektronów.
Wiązka elektronów po przejściu przez warstwę grafitu
tworzy obraz dyfrakcyjny.

Budowa i zasada działania lasera. W Lasery
wykorzystuje się zjawiska emisji wymuszonej wywołanej
w ośrodku w którym doszło do inwersji obsadzeń.
Inwersją obsadzeń nazywamy stan w którym większość
atomów ośrodka jest w stanie wzbudzenia. W ośrodku w
którym doszło do inwersji obsadzeń możliwa jest tzw.
akcja laserowa. Akcją laserową nazywamy wymuszenie
przejść emisyjnych w ośrodku o inwersji obsadzeń w
wyniku czego tworzy się lawina kwantów poruszających
się po torach równoległych. Laser zbudowany jest:
a)układu zasilającego (układ pompujący); b)ośrodek
laserujący; c)rezystor optyczny (zwiększa przejścia
kwantów wymuszające emisję i wygasza fale o długości
innych do żądanych. Typy laserów: a)o działaniu ciągłym
(energia jest ciągle ładowana i ciągle oddają energię), są
małej mocy; b)lasery impulsowe-są ładowane przez
pewien czas a następnie dochodzi do krótko trwałego
wyładowania.

Budowa atomu Bohra Model atomu wg. Bohra był
oparty na modelu Rutheforda, jednak został uzupełniony
założeniami (postulaty Bohra), które wyjaśniały
niezgodności z elektrodynamiką klasyczną. Bohr
zakładał że atom wodoru jest zbudowany z protonu
spełniającego rolę jądra i z elektronu krążącego wokół
niego.

Uzupełniające

to

założenie

postulaty

Bohra:a)elektron w atomie wodoru może krążyć tylko po
takich orbitach, dla których jego moment pędu jest
całkowitą wielokrotnością stałej Planca h podzielonej
przez 2П b)jeżeli elektron, który porusza się po
wpływem siły Kolumbowskiej i zgodnie z prawem
Newtona spełnia powyższy warunek stacjonarnych orbit
kwantowych, to w trakcie tego ruchu nie wypromieniuje
energii elektromagnetycznej. Emisja lub absorpcja
promieniowania występuje wyłącznie przy przejściu
elektronu z jednej dozwolonej orbity na inną atom
przechodząc ze stanu stacjonarnego o energii wyższej do
stanu stacjonarnego o energii niższej emituje energię w
postaci kwantów promieniowania elektromagnetycznego
i o energii równej różnicy energii w stanie początkowym
i końcowym. Analogicznie podczas przejścia ze stanu o
energii niższej do stanu o energii wyższej, atom
pochłonie kwant promieniowania o energii równej
różnicy energii obu stanów. h٧= E

n

–E

k.

Budowa jądra atomu to centralna część atomu
zbudowana z jednego lub więcej protonów i neutronów
zwanych nukleonami. Jądro stanowi bardzo niewielki
ułamek objętości całego atomu, jednak to w jądrze
skupiona jest cała masa atomu.

Promieniowanie

Rentgena

(promieniowanie

X)

uzyskujemy w lampach rentgenowskich Elektrony
emitowane są z katody na skutek zjawiska termoemisji.
Polega ono na tym podgrzewanie (żarzenie) katody
zwiększa kinetyczne energie znajdujące się w niej
swobodnych elektronów. Część z nich uzyskuje na tyle

duże energie że pozwalają one pokonać pracę wyjścia z
katody, (zjawisko fotoelektryczne). Następnie elektrony
są rozpędzane napięciem U przez co uzyskują energię
kinetyczną mv

2

/2=eU i uderzają w anodę zamieniając

energie

kinetyczną

na

energię promieniowania

rentgenowskiego X o długościach fal od 0,1 do 10nm.
Jest to promieniowanie bardzo przenikliwe i jest
wykorzystywane do prześwietleń a także do badania
struktury krystalicznej ciała stałych. Minimalna długość

fali emitowanego fotonu prom reng.

eU

h c



min



.

Własności promieniowania X: nie mają ładunku
elektrycznego więc nie odchylają się w polu elek. ani
mag., jonizują powietrze i oddziałują na kliszę
fotograficzną.
Prawo Rozpadu Promieniotwórczego w wyniku
promieniotwórczego rozpadu liczba jąder w próbce
maleje wykładniczo z upływem czasu. Ilość jąder
pierwiastka izotopu promieniotwórczego jaka zostaje po
czasie (t) z początkowej liczby jąder dana jest wzorem:
N= No·e

- λt

. Rozpady promieniotwórcze dzielimy na

typy, których nazwy promieniowania emitowanego
podczas rozpadu. Najczęściej występującymi rozpadami
promieniotwórczymi są rozpady α, β i γ.

Promieniowanie α polega na emisji z jądra cząstki α
(cząstką α jest jądro He chelu). W wyniku tej przemiany
liczba masowa jądra zmniejsza się o cztery, a liczba

atomowa o dwa.



4

2

4

2









Y

X

A

Z

A

Z

Przemiana β

-

. W czasie tej przemiany emitowane są z

jądra elektrony pojawiające się w wyniku rozpadu
neutronu na proton, elektron i antyneutrino elektronowe

1

0

n→

1

1

p+

0

-

1

e

+

0

0

γe.

W wyniku przemian β

-

liczba masowa jądra nie zmienia

się, natomiast liczba atomowa rośnie o jeden.

A

Z

X→

A

Z+1

Y+

0

-1

β+

0

0

γe.

Przemiana β

+

- Podczas tej przemiany emitowane są

pozytony (dod. elektrony) powstające w wyniku
przemiany protonu w neutron, pozyton i neutrino
elektronowe.

1

1

p→

1

0

n+

0

+1

ẽ+

0

0

γe.

W czasie przemiany β

+

liczba masowa jądra nie ulega

zmianie, natomiast liczba atomowa zmniejsza się o jeden.

A

Z

X→

A

Z-1

Y+

0

+1

β+

0

0

γe.

Rozpadowi jąder pierwiastków promieniotwórczych
towarzyszy promieniowanie γ. Promieniowanie γ
emitowane

podczas

przejścia

jądra

ze

stanu

wzbudzonego do stanu podstawowego albo do stanu o
niższej energii, więc pojawia

się gdy jądro pochodne

otrzymane w wyniku przemiany α lub β znajduje się w
stanie wzbudzonym.
Właściwości promieniowania α:
-ma wielką przenikliwość jest bardzo dobrze pochłaniane
przez większość substancji;
-powoduje reakcję rozpadu, silnie zaczernia kliszę
fotograficzną;
-ma dużą zdolność jonizującą.
Właściwości promieniowania β:
-bardzo dobrze oddziaływujące z polami magnetycznymi
i elektrycznymi;
-jest bardziej przenikliwe niż α;
-ma mniejszą zdolność jonizującą;
-ma mniejszą szkodliwość biologiczną ale jest bardziej
skuteczne od promieniowania α.
Właściwości promieniowania γ:
-promieniowanie bardzo przenikliwe;
-jonizuje ośrodek ale zdolność jonizująca jest niewielka;
-szkodliwość promieniowania jest niewielka, natomiast
skuteczność wysoka.

Dawki promieniowania: Promieniowanie prowadzi do
zniszczenia komórki lub jej uszkodzenia. Wytworzony
ładunek elektryczny zakłóca procesy utleniania komórki.
Jednostką intensywności promieniowania jest Bekerel
[Bq]– ilość rozpadów na sekundę. Jednostką dawki
pochłoniętej energii jest Grej [Gy] 1Gy=1J/1kg.
Jednostki dawki pochłoniętej energii określają jaką
energię promieniowania pochłonęło ciało o danej masie.
Kiedyś używany był rad 1Gy=100rad. Jednostki dawki
ekspozycyjnej Dawka ekspozycyjna mówi nam o
ładunku który został wytworzony przez promieniowanie
jonizujące w jednostce masy danego ciała. Obecnie
używaną jednostką dawki ekspozycyjnej jest kulomb na
kilogram (C/kg). Dawniej używaną jednostką jest rentgen
(1R=2,58*10

-4

C/kg).

Moc dawki promieniowania to stosunek wartości tej
dawki do czasu w którym została otrzymana. Moc dawki
jest to wielkość opisująca szybkość napromieniowania.
Gy/s lub Gy/h.
Równoważnik dawki pochłoniętej przez żywy
organizm używany jest to określenia biologicznych
skutków napromieniowania jednostką jest 1Sv sivert
[1Sv=Q*1Gy] q jest to współczynniki jakości
promieniowania (określa szkodliwość promieniowania na
organizmy)
Pojemność elektryczna i kondensatory: Każdy
przewodnik ma ograniczoną pojemność elektryczną.

V

C

F

V

Q

C

1

1

1

,





farad jest bardzo dużą jednostką

dlatego używamy piko, nano, mikro. Pojemność zależy
od –wielkości powierzchni przewodnika, -środowiska w
którym się znajduje, -obecności w otoczeniu danego
przewodnika innych przewodników. Przewodnik o dużej
pojemności elektrycznej to kondensator. Wyróżniamy 2
rodzaje kondensatorów: -kulisty to naładowana metalowa
kulka. –płaski. Jeżeli kondensator po naładowaniu
odsuniemy od źródła ładunków to ładunek zgromadzony
na kondensatorze musi pozostać stały. Jeżeli po
naładowaniu kondensator pozostaje przy źródle
ładunków to napięcie na nim pozostaje stałe. Każdy
naładowany kondensator posiada energię równą wartości
pracy którą należało wykonać aby kondensator
naładować. Energia ta występuje w postaci pola
elektrycznego. Łączenie kondensatorów 1.szeregowo
Q=const., U=U

1

+U

2

1/C=1/C

1

+1/C

2

w połączeniu

szeregowym pojemność jest zawsze mniejsza niż
pojemność najmniejszego z nich. 2.równolegle U=const.,
Q=Q

1

+Q

2

C=C

1

+C

2

Elementy teorii względności – opiera się ona na
zasadzie Galileusza i na stałości światła w próżni.
Prędkość światła w próżni jest stała niezależnie od ruchu
źródła światła i obserwatora C=3x10

8

m/s 1.Długość

Jeżeli w układzie odniesienia względem któregociało
znajduję się w spoczynku długość ciała jest równa l

0

to w

układzie odniesienia względem którego ciało porusza się
z prędkością V długość ciała będzie równa

2

2

0

1

C

V

l

l





l-długość relatywistyczna. Jest to tzw

konstrakcja długości. Wymiary poprzeczne nie ulegają
skróceniu 2.Czas Jeśli w układzie spoczynkowym odstep
czasowy miedzy 2 zjawiskami fizycznymi jest τ

0

to

odstęp czasowy miedzy tymi zjawiskami w uk.
odniesienia poruszającym się z prędkością V jest równy

2

2

0

1

C

V









tzw dylatacja czasu. 3.Masa jeżeli w

układzie względem którego ciało jest w spoczynku masa
ciała wynoci m

0

to w układzie odniesienia względem

którego ciało porusza się z prędkością V jego masa jest

równa

2

2

0

1

C

V

m

m





4.Energia E=mC

2

, E

K

=mC

2

-

m

0

C

2

=

2

2

2

0

1

C

V

C

m



-m

0

C

2