Cel üwiczenia:
Pomiar wydłuĪenia wzglĊdnego drutu w funkcji temperatury oraz wyznaczenie liniowego
współczynnika rozszerzalnoĞci cieplnej.
Zagadnienia:
Oddziaływania miĊdzyatomowe w ciele stałym, zjawisko rozszerzalnoĞci cieplnej, współczynnik
rozszerzalnoĞci termicznej, zasada działania termopary.
Układ i metody pomiarowe:
Przy wykonywaniu üwiczenia korzystano z układu pomiarowego:
Rysunek 1. Schemat układu pomiarowego
Zestaw przyrządów, z których korzystano:
•
czujnik mikrometryczny
•
zasilacz prądu stałego
•
cyfrowy miernik temperatury
Zadania do wykonania:
Sporządziü wykres zaleĪnoĞci wzglĊdnego wydłuĪenia drutu ǻL/ L od przyrostu temperatury ǻT
(ǻT=t-t
o
). Dla wybranych punktów z początkowego, Ğrodkowego i koĔcowego zakresu temperatur zaznaczyü
pola niepewnoĞci. Z nachylenia wykresu wyznaczyü współczynnik rozszerzalnoĞci liniowej
D
badanego
materiału.
Metodą regresji liniowej wyznaczyü, a nastĊpnie omówiü, parametry prostej y = Ax±B (gdzie: y =ǻL/Lo
, x=ǻT, A=Į, niepewnoĞü ǻA=ǻĮ ) oraz współczynnik korelacji r. NanieĞü na wykres prostą najlepszego
dopasowania. Porównaü parametry tej prostej z wartoĞcią
D
wyznaczoną w punkcie 1 i przedyskutowaü wnioski
płynące z tych porównaĔ.
Pomiary i obliczenia:
Pomiary zostały dokonane na zestawie nr 2, dla którego L
o
= (0,900 ± 0,004) m. Po wyregulowaniu
zestawu, ustawieniu czujnika mikrometrycznego temperatura początkowa wyniosła 26,5°C. NastĊpnie
ogrzewaliĞmy drut zwiĊkszając wartoĞü prądu przepływającego w obwodzie o ok. 0,4 A. W ten sposób
otrzymaliĞmy 13 pomiarów, zebranych w Tabeli 1.
Tabela 1. Pomiary temperatury i obliczenie wzglĊdnego wydłuĪenia druta
Lp. L
0
[mm] ǻLo[mm]
to[
o
C]
t[
o
C]
ǻt[
o
C]
ǻT[
o
C]
ǻL[mm] ǻ(ǻL)[mm]
ǻL/L
0
ǻ(ǻL/L0)
1
28,9
2,4
0,04
0,000044
0,000011
2
37,2
10,7
0,16
0,000178
0,000012
3
48,5
22,0
0,32
0,000356
0,000013
4
57,4
30,9
0,46
0,000511
0,000013
5
92,3
65,8
0,95
0,001056
0,000016
6
99,3
72,8
1,06
0,001178
0,000016
7
111,6
85,1
1,22
0,001356
0,000017
8
118,3
91,8
1,35
0,001500
0,000018
9
127,0
100,5
1,46
0,001622
0,000018
10
133,6
107,1
1,62
0,001800
0,000019
11
142,2
115,7
1,77
0,001967
0,000020
12
153,0
126,5
2,00
0,002222
0,000021
13
900
4
26,5
156,2
1
129,7
2,15
0,01
0,002389
0,000022
ĝrednie:
100,4
1
73,9
1,12
0,01
0,001244
0,0000166
NiepewnoĞü wzglĊdnego wydłuĪenia druta liczymy metodą róĪniczki zupełnej.
)
(
1
)
(
0
0
2
0
L
L
L
L
L
L
L
o
∆
∆
+
∆
∆
−
=
∆
∆
Po podstawieniu danych i uĞrednieniu wyników otrzymujemy
K
L
L
1
0000166
,
0
)
(
0
≈
∆
∆
.
Na podstawie Tabeli 1 moĪemy sporządziü wykres zaleĪnoĞci wzglĊdnego wydłuĪenia druta od
przyrostu temperatury. Wykres wykonany w MS Excel znajduje siĊ w dalszej czĊĞci sprawozdania. Na
podstawie wykresu moĪemy obliczyü współczynnik rozszerzalnoĞci liniowej
D
materiału, z którego wykonany
jest drut. W tym celu wybieramy punkty z wykresu, które nie są punktami pomiarowymi np.
o
L
L
∆
1
=19,
T
∆
1
=112 oraz
o
L
L
∆
2
=0,
T
∆
2
=0 i korzystamy z zaleĪnoĞci
2
1
2
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
T
T
L
L
L
L
tg
a
∆
−
∆
∆
−
∆
=
=
α
. Dodatkowo
zamieniamy tu jednostkĊ, w której bĊdziemy podawaü temperaturĊ, ze stopni Celsjusza na Kelwiny, aby wynik
był zgodny z definicją współczynnika.
K
a
1
10
17
,
0
10
169642857
,
0
112
19
4
4
−
−
×
≈
×
=
=
Definicja współczynnika rozszerzalnoĞci cieplnej brzmi
)
(
0
0
0
t
t
l
l
l
k
k
−
−
=
α
i jest to odpowiednio
przekształcony wzór z którego juĪ korzystaliĞmy. Skorzystamy z metody róĪniczki zupełnej, aby policzyü
niepewnoĞü współczynnika rozszerzalnoĞci cieplnej. Licząc pochodne cząstkowe po kaĪdej zmiennej i
podstawiając za róĪniczki niepewnoĞci wielkoĞci pomiaru otrzymujemy:
)
(
)
(
1
2
0
2
0
0
T
T
L
L
L
T
L
L
L
T
L
u
o
a
∆
∆
∆
∆
−
+
∆
∆
∆
−
+
∆
∆
∆
=
WĞród danych które do tej pory wyliczyliĞmy nie ma niepewnoĞci ǻT. Aby ją wyliczyü ponownie
skorzystamy z róĪniczki zupełnej, zamiast róĪniczek podstawiamy wartoĞci niepewnoĞci. Po wykonaniu tych
czynnoĞci otrzymujemy niepewnoĞü pomiaru przyrostu:
0
)
(
t
t
k
T
∆
−
∆
=
∆
∆
.
Jako Īe pomiar temperatury wykonaliĞmy tym samym przyrządem, pomiar długoĞci początkowej i
koĔcowej jest obarczony taką samą niepewnoĞcią. Wykorzystując ten fakt moĪemy zmodyfikowaü wzór i
doprowadziü go do postaci:
t
T
∆
=
∆
∆
2
)
(
Do obliczeĔ za ǻL i ǻT przyjĊliĞmy Ğrednie arytmetyczne. Podstawiając wartoĞci liczbowe do
wyprowadzonego wzoru otrzymujemy:
07
-
778313E
6,80580538
07
-
282636E
4,55454962
08
-
929253E
7,48191826
07
-
802752E
1,50306393
2
9
,
73
900
12
,
1
4
9
,
73
900
12
,
1
01
,
0
9
,
73
900
1
2
2
=
+
+
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
a
u
MetodĊ regresji liniowej wykorzystują róĪne programy m. in. program Regresja.pas, z którego
korzystałam przy wyznaczaniu prostej regresji. Wyliczony programem współczynnik oraz jego niepewnoĞü
wyniosły: A=(0,00001747±0,00000048) 1/K. Obliczenia zostały wykonane na poziomie ufnoĞci równym
238,265.
PowyĪsze obliczenia zostały zebrane dla przejrzystoĞci w postaci tabeli:
Tabela 2. Zestawienie wyników
Į(z wykresu)[1/K]
A[1/K]
ǻĮ[1/K]
ǻA[1/K]
ǻĮ/Į[%]
ǻA/A[%]
0,00001696
0,00001747
0,00000069
0,00000048
4,07
2,75
Wnioski koĔcowe
Z pomiarów jak i wykresu wynika, iĪ przyrost długoĞci druta jest proporcjonalny do przyrostu
temperatury. Mówi o tym wzglĊdnie wysoki współczynnik korelacji liniowej, który wyniósł 99,18%. Przy
odpowiednich zaokrągleniach wartoĞü współczynnika rozszerzalnoĞci temperaturowej wyznaczona dwoma
metodami była by równa sobie. RóĪnice pojawiają siĊ dopiero w niepewnoĞci współczynnika rozszerzalnoĞci
cieplnej. Przy czym obliczenia wykonane w programie Regresja.pas są dokładniejsze. Wynika to z przybliĪenia
jakie zastosowano w ǻ(ǻT). Fakt ten wpłynął równieĪ na wielkoĞü błĊdu wzglĊdnego. W metodzie gdzie
zastosowano przybliĪenie jest on wiĊkszy.
Mimo to istnieją mocne podstawy, aby sądziü, Īe współczynnik jest wyznaczony poprawnie.
Porównując otrzymane dane z tabelami rozszerzalnoĞci temperaturowej moĪna spróbowaü okreĞliü z jakiego
materiału został wykonany badany drut. Otrzymane wyniki wskazują, Īe była to miedĨ lub jakiĞ jej stop.
