L

OGIKA MATEMATYCZNA

1.

Z

DANIE W SENSIE LOGICZNYM

.

•

Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można

powiedzieć, że jest prawdziwe albo fałszywe.

•

Zdania oznaczamy małymi literkami alfabetu, najczęściej są to literki:

r

q

p

,

,

itd.

•

Jeśli zdanie jest prawdziwe, to mówimy, że przyjmuje wartość logiczną „1”

Jeśli zdanie jest fałszywe, to mówimy, że przyjmuje wartość logiczną „0”

Na przykład:

Określ wartość logiczną podanych zdań:

1.

5 jest liczbą pierwszą.

2.

Są cztery pory roku.

3.

5

13

<

.

Ad.1. Prawda, 5 jest liczbą pierwszą zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „1”.

Ad.2. Prawda, są 4 pory roku zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „1”.

Ad.3. Fałsz 13 jest większe od 5 zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „0”.

•

Zauważcie, że zdania zapisuje się również w postaci symbolicznej (patrz pkt.3),

w dalszej części będę używała przeważnie takiego zapisu.

2.

Z

APRZECZENIE ZDAŃ

.

Jeśli mamy dane zdanie w sensie logicznym, to zdanie to może być albo prawdziwe albo

fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną „1”, zdanie fałszywe „0”. Zaprzeczeniem

zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem zdania fałszywego jest zdanie

prawdziwe, zatem:

p ~ p

1

0

0

1

3.

K

ONIUNKCJA

,

ALTERNATYWA

,

IMPLIKACJA

,

RÓWNOWAśNOŚĆ ZDAŃ

.

•

Koniunkcja zdań

, to dwa zdania połączone spójnikiem

„i”.

Na przykład:

Niech zdanie

p brzmi: „2 jest liczbą parzystą”, z zdanie q brzmi „3 jest mniejsze od

5”. Wówczas tworząc koniunkcję zdań

p oraz q otrzymamy zdanie: „2 jest liczbą

pierwszą

i 3 jest mniejsze od 5”.

Koniunkcję

oznaczamy symbolem

"

"

∧

, zatem zapisując koniunkcję zdań

p i q

musimy napisać

q

p

∧

.

Koniunkcja jest prawdziwa tylko jeden raz

, w przypadku

gdy oba zdania koniunkcji są prawdziwe, w pozostałych 3 przypadkach koniunkcja

jest fałszywa. Przedstawia to poniższa tabela:

Zauważcie, że tylko w pierwszym przypadku w kolumnie trzeciej

mamy wartość logiczną 1 w pozostałych jest wartość logiczna 0.

Łatwo to zapamiętać ponieważ spójnik „i” w koniunkcji jest

odpowiednikiem iloczynu na liczbach i rzeczywiście tylko

1

1

1

=

⋅

•

Alternatywa zdań

to dwa zdania połączone spójnikiem

„lub”.

Niech zdanie

p brzmi: „2 jest liczbą parzystą”, z zdanie q brzmi „3 jest mniejsze od

5”. Wówczas tworząc alternatywę zdań

p oraz q otrzymamy zdanie: „2 jest liczbą

pierwszą

lub 3 jest mniejsze od 5”.

Alternatywę

oznaczamy symbolem

"

"

∨

, zatem zapisując alternatywę zdań

p oraz q

musimy napisać

q

p

∨

.

Alternatywa jest prawdziwa 3 razy

, w przypadku gdy oba

zdania alternatywy są prawdziwe oraz gdy jedno z nich jest prawdziwe a drugie zdanie

jest fałszywe i na odwrót. Przedstawia to poniższa tabela:

Widać wyraźnie, że alternatywa jest prawdziwa 3 razy, a tylko

raz fałszywa. śeby łatwo to zapamiętać wystarczy wiedzieć, że

odpowiednikiem alternatywy w logice matematycznej jest

działanie dodawania na liczbach i tak

0+1=1, 1+0=1 oraz

p

q

q

p

∧

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

p

q

q

p

∨

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1+1=2 ale pamiętamy o tym, że w logice matematycznej są tylko dwie wartości

logiczna „1” oraz „0” dlatego możemy uznać, że w alternatywie 1+1=1.

•

Implikacja zdań, inaczej wynikanie

to zdanie postaci: „ Jeżeli

p , to q ” .

Implikację

oznaczamy symbolem

"

"⇒ . Tworząc implikację zdań

p oraz q

otrzymamy zdanie:

q

p ⇒

. Zdanie p nazywamy w implikacji poprzednikiem, zdanie

q nazywamy następnikiem implikacji.

Implikacja jest prawdziwa 3 razy

, w przypadku gdy oba zdania implikacji są

prawdziwe oraz gdy pierwsze zdanie jest fałszywe, a drugie zdanie prawdziwe oraz

gdy oba zdania są fałszywe. Łatwo zapamiętać implikację, wystarczy bowiem

pamiętać:

„ Z prawdy nie może wynikać fałsz, tzn. z 1 nie może wynikać 0”

Przedstawia to poniższa tabela:

•

Równoważność zdań

to zdanie postaci: „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q ” .

Równoważność

oznaczamy symbolem

"

"

⇔

. Tworząc równoważność zdań p oraz

q otrzymamy zdanie:

q

p

⇔

.

Równoważność jest prawdziwa 2 razy

, w przypadku

gdy po obu stronach symbolu równoważności jest ta sama wartość logiczna.

Przedstawia to poniższa tabela:

p

q

q

p ⇒

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

p

q

q

p

⇔

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4.

P

RZYKŁADOWE ZADANIA

.

1. Oceń wartość logiczna podanych zdań i utwórz ich zaprzeczenia:

a)

3

3

1

2

≤

∧

≥

, b)

2

2

3

>

⇒

>

π

, c) ~

(

)

7

4

>

d)

8

4

12

2

>

∨

=

, e)

1

2

3

2

=

⇔

>

π

, f) ~

(

)

8

4

≠

.

2. Załóżmy, że podane zdania są prawdziwe:

p: Ala ma kota, q: Trójkąt ma trzy boki, r: Każdy wielokąt jest wypukły.

Zapisz za pomocą liter p, q, r oraz odpowiednich symboli podane zdanie oraz oceń jego

wartość logiczną:

a)

Jeśli trójkąt ma trzy boki, to Ala ma kota i nie każdy wielokąt jest wypukły.

b)

Każdy wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy Ala ma kota.

c)

Jeśli Ala ma kota, to nie każdy wielokąt jest wypukły.

d)

Każdy wielokąt jest wypukły i każdy trójkąt ma trzy boki wtedy i tylko wtedy gdy Ala

ma kota.

3. Udowodnij metodą zero-jedynkową następujące prawa logiczne:

a)

(

) (

)

p

~

q

~

⇒

⇔

⇒

q

p

,

b)

(

) (

)

q

~

p

~

∧

⇔

⇒

q

p

,

c)

(

) (

)

q

~

p

~

~

∨

⇔

∧

q

p